5.1 导数的概念及其意义-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 白题 基础过关 限时：45min 题组1平均速度与瞬时速度 时间(t)的关系如图所示.则所给时间段内，空 1.*已知一直线运动的物体，当时间从t变到 气中微生物密度变化的平均速度最快的是 t+△t时，物体的位移为△s,那么lim 为 △r0△t1 ↑cmg/m) A.时间从t变到t+△t时物体的速度 B.在t时刻该物体的瞬时速度 C.当时间为△t时物体的速度 05101520253035 t/min D.时间从t变到t+△t时物体的平均速度 A.[5,10]B.[5,15]C.[5,20]D.[5,35] 2.苏教教材变式(2025·四川绵阳高二期 题组3割线、切线的斜率 末)某质点沿直线运动，位移s(单位：m)与时 7.*已知函数f(x)=x2的图象上四点 间t(单位：s)之间的关系为s=子，则该质点在 A(1f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)), [1,1+△t]内的平均速度是 ( D(4,f(4)),割线AB,BC,CD的斜率分别 A.2+△t B.2-△t 为k1,k2,k3,则 () C.-1+2△t D.-2+△t A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3 3.*(2025·广东汕尾高二期末)一物体沿直 C.3<k2<k1 D.k1<k3<k2 线运动，其位移s(t)(单位：m)随时间t(单 8.*已知曲线y=x2-1上两点A(2,3), 位：s)的变化关系为s(t)=-t2+3t,则t=1s B(2+△x,3+△y),当△x=1时，割线AB的斜率 时，物体的瞬时速度大小为 ( 是 ;当△x=0.1时，割线AB的斜 A.-1 B.1 C.-2 D.2 率是 题组2平均变化率的计算 9.*已知函数f(x)=-x2+x的图象上两点 4.*(2025·河北衡水高二月考)函数f(x)= A(2,f(2),B(2+△x,f(2+△x))(△x>0) x3-1在区间[2,4]上的平均变化率为( (1)若割线AB的斜率不大于-1，求△x的取 A.-28B.14 C.28 D.56 值范围； 5.*(2025·天津和平区高二月考)若函数 (2)求函数f(x)=-x2+x的图象在点 f(x)=x2-m2在区间[2，t]上的平均变化率为 A(2,f(2))处切线的方程. 5,则t= A.√5B.2 C.3 D.1 6.*降低室内微生物密度的有效方法是定时 给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某 室内，空气中微生物密度()随开窗通风换气 第五章黑白题37 题组4导数的定义 16.*(2025·四川自贡高二期中)已知函 10.* 设函数f(x)在点x附近有定义，且有 数f(x)=x3+2x,x∈R,则曲线y=f(x)在 f(x+△x)-f(xo)=a△x+b(△x)2(a,b为常 点(1，f(1))处的切线方程为 () 数)，则 ( A.5x-y+2=0 B.5x-y-2=0 A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.x-5y+2=0 D.x-5y-2=0 C.f'(xo)=a D.f'(xo)=b 17.*★(2025·山东济宁高二月考)函数 11.（2025·山东日照高二期中）若 (x)的图象如图所示，下列数值排序正确 的是 () f'(x)=2,则im。 fo+Ax)-fxo）=( △x0 △x A.-4 B.4 C.2 D.-2 2w已知到-名，且"(m)=则a的 4 1 012345成 值为 ( A.-4 B.2 C.-2 A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) D.±2 题组5导数的几何意义 B.0<f'(3)<f(3)-f2)<f'(2) 13.·下面说法正确的是 C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2) ( A.若∫'(xo)不存在，则曲线y=f(x)在 D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3) 18.*写出在x=0处的切线方程为y=2x+1 点(x,(x)处没有切线 的一个二次函数g(x)= B.若曲线y=f(x)在点(xo,f(xo))处有切 19.*(2025·江西赣州高二期中)已知函 线，则∫'(x)必存在 数f(x)=2x3+3x2. C.若∫'(xo)不存在，则曲线y=f(x)在 点(x,f(x)处的切线斜率不存在 (1)求f(x)在x=。处的切线方程； 】 D.若曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处没有 切线，则∫'(x)有可能存在 (2)求过点 分f(分)且与曲线y=f() 14.*(2025·黑龙江哈尔滨高二月考)曲线 相切的直线方程， y=2-2在点(1，)处的切线的倾斜角 为 ( A C. 3 B.T 4 D.5m 6 15.*苏教教材变式(2025·广东中山高二月 考)已知函数y=f(x)的图象在点(2， f(2))处的切线方程为x+2y+1=0,则 f(2)-2f'(2)的值为 ( A.2 B.1 C.-1 D.2 选择性必修第二册·RJ黑白题38 黑题应用提优 限时：45min 1.(2025·江苏镇江高二期末)已知函数7.函数f代x)=√2+1在x=1处的切线方程 f(x+△x)-f(xo) f(x)在x=x。处可导，且li =4 为 r0 2△x 8.籍已知曲线y=x2+1,问：是否存在实数a, 则f'(x)= ( 使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切 A.8 B.-8 C.-2 D.2 线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存 2.(2025·广东佛山高二月考)函数f(x)= 在，请说明理由. x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时 的瞬时变化率，则m= ( B.1 C.2 3.若函数f(x)=ax3+2bx+1的图象在点(1， f(1))处的切线方程为4x-y-1=0,则f'(2)= ( A.13 B.7 C.4 D.1 4.*（多选)某堆雪在融化过程中，其体积 V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足 函数关系：@)=H10品(H为常数)，其 图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的 压轴挑战 平均融化速度为u(单位：m3/h),t1,t2,t3,t4时 热已知两曲线f(x)=x3+ax和g(x)=x2+bx+c 刻的瞬时融化速度分别为1,2，，4（单 都经过点P(1,2),且在点P处有公切线 位：m3/h),那么下列各式正确的是 (1)求a,b,c的值； (2)设抛物线g(x)=x2+bx+c上一动点M到直 A.v1< 线y=3x-2的距离为d,求d的最小值. B.v2>v C.v3+>0 D.4+v<0 0424100 5.整过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在 点M(1,1)处的切线平行的直线方 程是 6.整(2025·河南省实验中学高二月考)已知 点P在前线)-兮2+2+1上，a为曲线 在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围 为 第五章黑白题39o,g-2与neN矛盾，所以g=2 1 ②由Aan≥S+1,得入an+1≥Sn+2,即A(Snt1-Sn)≥S+2,因此 ASn+1≥ASn+Sn2≥2√AS.S.+2,当且仅当AS。=S+2时取等 ≤云（合）”一令曲数列a各班均为正数 S-2 得8从面1<（）广脚（台）若0 4,则n<1+log3,与neN*矛盾，因此当入≥4时 (台)广≥1受恒成立，行合愿意，所以A的最小位 为4. 第四章真题演练 黑题真题体验 1.B解析：设等差数列{an}的公差为d,则由题可得 3a+3d=6,→{d=-3,所以S,=6a,+15d=6×5+15× 5a1+10d=-51a1=5, (-3)=-15. 2.C解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a,a4, a6成等比数列，且a1=-2,所以a=a3a6,即(-2+3d)2= (-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去)，所以ao=a1+ 9d=-2+9×2=16. 3.B解析：由S1o-S,=a6+a,+ag+ag+a1o=5ag=0,则ag=0,则 等差数列a,的公差d=)弓放a=4,4d=1-4x 3 (行）子故迹B 4.C解析：由题知1+q+g2+g3+g=5(1+q+g2)-4,即g3+g= 4q+4g2,即q3+g2-4q-4=0,即(q-2)(q+1)(q+2)=0.由题知 9>0,所以g=2,所以S4=1+2+4+8=15.故选C. 5.D解折：对A,由题意得a91,。7结合>0，解得 (a1+a19ta192=7, a1=4,(a1=9, 1或 1(舍去)，故A正确；对B,则a=a1g=4× (9=2(9=-3 (兮广号放B错误对c心1.显】 1-q 1- 2 放c能误：对D,4=4×(日）”=2,8 第五章 一元函 5.1导数的概念及其意义 白题基础过关 1.B解析：会表示从时间：到+A:时物体的平均速度， △s 表示在t时刻该物体的瞬时速度故选B. 2.A解析：由题意可得平均速度是A=1+A)-s(- △t 参考答案 x-(分)] 1 =8-2m+3,则an+Sn=23-"+8-23-"=8,故 12 D正确. 6.2解析：设该等比数列为{an},S。是其前n项和，则S4= 4,Sg=68,设{an}的公比为q(q>0),当q=1时，S4=4a1=4, 即a1=1,则Sg=8a1=8≠68，显然不成立；当q≠1时， 则3=(1-g) 1-g 4,,=(1-g 1-q =68,两式相除得1g 1-q 63,即-g)1+9=17,则1+g=17,所以g=2,所以该等 4； 1-g4 比数列公比为2. 7.95解析：因为数列{a.}为等差数列，则由题意得 {,+2da+3d:,解得{4则Sn=10a,+ 10× -d= (3(a1+d)+a1+4d=5, (d=3, 2 10×(-4)+45×3=95.故答案为95. 8.解：(1)因为2S.=3a+1-3,故2S-1=3an-3,所以2a.=3a*1 30.(n≥2)，即5a,=3a1,故等比数列的公比为g=3, 5 数2a1=30,-3=3a1×,-3=501-3,故a1=1,故a, () -(] (2)由等比数列求和公式得S。= 多x(3）广，所以数列，的前项和7=8+8+9+ …t。= x[3(+()*+(3)门 导片 2=2 9.解：(1)当n=1时，4S1=4a1=3a1+4,解得a1=4.当n≥2时， 4Sn-1=3an-1+4,所以4S。-4Sn-1=4an=3a.-3a-1,即an= -3a1,而a1=4≠0，故a,≠0，故=-3，所以数列{a,是 an-1 以4为首项，-3为公比的等比数列，所以an=4·(-3)-1 (2)由(1)得bn=(-1)1n·4×(-3)-1=4n·3-1,所以Tn= b1+b2+b3+…+bn=4×3°+8×31+12×32+…+4n·3-1,故3Tn= 4×31+8×32+12×33+…+4n·3”,所以-2T.=4+4×3+4×32+ …+4.3-1-4n·3”=4+4 31-31）-4n·3°=4+2×3· 1-3 (3-1-1)-4n·3=(2-4n)·3-2,.Tn=(2n-1)·3"+1. 收的导数及其应用 (1+△t)2-12_2A+(At)2 2+△t △t △t 3.B解析：由s（t)=-2+3,得瞬时速度为 1m-1+a)+3(1t4)-(-1+3)=1. △t 4.C解析：由平均变化率定义得4)-2）_63-7=28， 4-2 2 5.C解析：：函数f(x)=x2-m2在区间[2，t]上的平均变化率 黑白题25 为5之-心-2的5，解得4： t-2 6.C解析：如图，分别令t=5,t=10,t=15,t=20,t=35所对应 的点为A,B,C,D,E. c/(mgm） B C 、E 05101520253035m品 由图可知0>kB>kAc>kAB>kAD,所以时间段[5,20]内空气中 微生物密度变化的平均速度最快故选C. 7.A獬折k,2)1）=4-1=3,4-3)2)=9-4 2-1 3-2 5,44)-3》=16-9=7,k,<,<6,故选A 4-3 8.54.1解析：当△x=1时，割线AB的斜率 k=g-2+A)-1-2+1_2*1)2-2=59 △x △x 1 当△x=0.1时，割线AB的斜率 4=20101241-41 0.1 9.解：(1)由题意得制线AB的斜率为Ay-f2+A)f2) △x △x -(2+△x)2+(2+A)-(-4+2_-4ax+Ax-(Ax)2=-3-Ax △x Ax 由-3-△x≤-1，得△x≥-2. 又因为△x>0,所以△x的取值范围是(0，+∞). (2)由(1)知函数f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2)处切 线的斜率为=马是四(-3-4)-3，又2) -22+2=-2， 所以切线的方程为y-(-2)=-3(x-2),即3x+y-4=0. 10.C解析：：f'(x)=lim 4r-oar6(42 f(xo+Ax)-f(xo) △x im(atbAx)=a,.f()=a. 11.C解析：im o+r)f代o）=f”(o)=2 △x f(x+△x)-fx) 12.D解析：f'(x)=mAr 22 -2△x x(x+△x) -2 2 lim- a0x(x+△x)厂x2’ -21 m=2心m2=4,解得m=±2 13.C解析：∫'(x)的几何意义是曲线y=f(x)在点 (x。,f(xo))处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的 斜率不存在，但存在切线。 14.B解折：令)=-2'()=马1+山=1， △x 设线y=宁-2在点(，)处的切线的顿斜角为心， 选择性必修第二册·RJ 由导数的儿何意义知ma=1,即a=牙所以曲线y 分-2在点(1，子)处的切线的倾斜角为买 15D解析：将切线方程整理为宁，其斜率为分， 因此了"(2)=2切点(22)在切线上，将x=2代入切 线方程2422)+1=0,2)=-，所以2)-f(2) 16.B解析：点(1，f(1)位于函数f(x)=x3+2x上，.将 x=1代入原函数得到f(1)=3,切线过点(1,3).·函数 fx)=x+2x的图象在点(1,3)处的切线斜率k= im1+)-D=5,d切线方程为y-3=5(x-1),即5x- y-2=0. 17.B解析：观察函数f(x)的图象知，当x≥0时，f(x)单调递 增，且当x=0时，(0)>0，随着x增大而逐渐增大，函数图 象由陡逐渐变缓，f'(2)>0f'(3)>0,f(3)-f(2)>0,而x= 3处切线的倾斜角比x=2处的倾斜角小，且均为锐角， f“(2)>f'(3),3)2=f(3)-f(2是削线图象上 3-2 x=2与x=3的点的连线的斜率，显然f'(3)<f(3)- f(2)<f'(2),所以0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2). 18.x2+2x+1(满足ax2+2x+1(a≠0)均可)解析：设二次函数 ④=a+恤(a0,则go)=a0ra2g0-6,由 △x 题意可得g0)c引，例如取a=1,则g(x)=2+2x+1故 (g'(0)=b=2 答案为x2+2x+1(满足ax2+2x+1(a≠0)均可). 10.解：/'(=+a=6246f'(分）号 △x f(合）=1水)在x=处的切线方程为y-1=?(: 3）,即18-4y-5=0 (2)设所求直线与曲线y=f(x)相切于点P(x。,2x+3x), 则曲线y=f(x)在点P处的切线斜率为f'(x)=6x+6x 所以切线方程为y-2ax。-3x号=(6x+6xo)(x-x).因为切线 过点（分，1），所以1-2x-36=(6+6,)(分0）解 得o-1或x=,则P(-1,1)或P(3,1)小故所求直 线方程为y=1或18x-4y-5=0. 四重难点拨 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以 下几个方面： ①已知切点A(x,f(xo)求斜率，即求该点处的导数值k= f'(x). ②若求过点P(x0,y0)的切线方程，可设切点为(x1,y),由 y1=fx1), 求解即可 y0y1=f'(x)(x0-x) ③函数图象在每一点处的切线斜率反映函数图象在相应点处 的变化情况。 黑白题26 黑题应用提优 1.A解析：由题意知，lim (x+△x)-f(x) △x0 2△x f(xo+△x)-f(x）1 2s-0 △x =2f"(o)=4,即f'()=8 2.B解析：函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率为 2-0心2-02，f()=在x=m时的瞬时变化率为 f(2)-f0)_4-0 ga+a-马 (m+Ax)2-m2 x0 Ax lim(A+2m)=2m, 所以2=2m,解得m=1. 3.A解析：函数f(x)=ax3+2bx+1的图象在点(1，f1)处 的切线方程为4x-y-1=0,.y=4x-1,f'(x)= in+)-)-3ax2+2b,由题可知1)=3， △x f'(1)=4, a+2b+1=3,. (a=1, 3a+2b=4, 1∴f(x)=x3+x+1,f'(x)=3x2+ 1b= 2 1,∴f'(2)=13.故选A. 4.AD解析：平均融化速度为=(100)-V(0 ,反映的是V(t) 100-0 的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知1,2处瞬 时速度（即切线的斜率）小于平均速度，3，t4处瞬时速度及u 都小于0. 042⅓4、100i 5.2x-y+4=0解析：由题意知，△y=3(1+△x)2-4(1+△x)+2- 3+4-2=3(△x)2+2Ax,y=mA=2,所求直线的斜 △x+0△X 率k=2,则直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0. 6.「， 14,2 ）解析：函数e)-号242x+1的定文域为 Rf'(到=画+=-2x+2=(x-1)2+1≥1，当 △x 且仅当x=1时取等号，由α为曲线在点P处的切线的倾斜 角，得ma≥1，则牙≤a<受，所以a的取值范周为 [牙)月 7.x-2y+1=0解析：△y=f1+△x)-f1)=√(1+△x)2+1- 2=V(ax)2+2Ax+2-2,△x .△y-√（△x)2+2Ax+2-√2 △x ∴f'(1)=1imVA)+24x+2-2 △x0 △x (△x)2+2△x =A△）42a+2+W2 △x+2 √2 -/A2Ax+2+反 由八1)=2可知函数在x=1处的切线方程为y2= 2(x1), 参考答案 即x-√2y+1=0. 8.解：存在 Ay=li 由导数的定义知，y=m (x+△x)2+1-(+1=2x △x 设切点为(t,+1),因为y=2x,所以切线的斜率为 y'l==2t, 可得切线方程为y-(2+1)=2(x-t). 将(1，a)代人，得a-(2+1)=2t(1-t),即2-2+(a-1)=0. 因为切线有两条， 所以b2-4ac=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使 得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围 是(-0,2) 压轴挑战 解：(1)根据题意可知，将点P(1,2)的坐标分别代人两曲线方 程得到2=1+a,2=1+b+c.两个函数的导函数分别是f'(x)= m+a-)=30+a,g(x)=mx+)-8=2x+6 x+0△x 1+0 △x 又f'(1)=3+a,g'(1)=2+b,则3+a=2+b,解得a=1,b=2, c=-1. (2)如图，要使抛物线g(x)=x2+2x-1上的点M到直线y= 3x-2的距离最短，则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线 y=3k-2相同，则g(e)=2+2=3,解得x了又因为点N在抛 物线上，解得M2,4 11 ),所以最短距离即d的最小值为点M 到直线y=3x-2的距离，代入点到直线的距离公式得d= 1 之243而即最短矩窝为30 √32+(-1)2 40 40 =3x-2 5.2导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 白题 基础过关 1.AD 解折：(m牙）=(？)=0，故A正确：()= 2乙故B结误，(3)=3h3,故C错误，(w)2故 2 D正确。 2.A解桥f'()=m,所以f(受）=-1 1 3x2,x<0, 3.-1或 解析：由题意知∫'(x)= 1 当a<0时，3a2=3,解得a=-1或a=1(舍去)； 当0ca<1时，=3，解得a= 1 黑白题27