第4章 数列 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

22-122*=21 () =-日化衡得4-g )当为俱数时.6点2 1 号()含88兮时司 立)兮点)做八A+ 11 52912n+131 B.=1809.214(4n+5) 专题探究3数列的综合应用 黑题 专题强化 1.D解析：设第n环天心石块数为an,上层共有n环，Sn为 {an}的前n项和，则{an}是首项为9，公差为9的等差数列， a,=9+9(n-1)=9n,S.=之(n2+n),上层，中层、下层的块数 分别为Sn,S2n-Sn,Sn-S2,由下层比中层多729块，得 S-8=8-8+729,即2(92+3n)-2(6r+2) 是(+2a)-2(a+)+7,解得a=9,所以中下两层共 有扇面形石板88=(m+2)949)=2g7(块》。 2.A解析：由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一 天的一半，所以蒲生长长度构成首项为a,=3,公比为g,= 号的等比数列，其前a项和为$一 -()广] 人 2 (?）八又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为b,=1,公比为92=2的等比数列， 1-2 即2-1b6-6x(分）广则2+7，令1=2，则245 2n 时间最少为3天. 3.8解析：由题意得A=(a1,a2,a3,a4,a5,…),A*=(a2a1, a3-a2,a4-a3,a5-a4,…）,（A*)*=(a3-2a2+a1,a4-2a3+ 2,a5-2a4+a3,…).:(A*）*的所有项都是3，.a3-2a2+ a1=3,a4-2a3+a2=3,a5-2a4+a3=3,由a5-2a4+a3=3得 18-22+a3=3,解得a3=7,由a4-2a3+a2=3得11-14+a2=3, 解得a2=6,由a3-2a2+a1=3得7-12+a1=3,解得a1=8. 4.D解析：由题意可知分段函数在每一段上为增函数，且 (3-a>0, f8)>f7),即a>1, 解得2<a<3,故实数a的 (a8-6>(3-a)×7-3, 取值范围是(2,3). 5.4"-4+n64 1解折：8，=0+-3·4-101-23441 : 当n≥2，n∈N时，a.=(a,-a1)+(a1-a2)++(a- 选择性必修第二册·RJ a1)+a1=(3·4-1+1)+(3·4-2+1)+…+(3×4+1)+1=3× 4(1-4)n-1+1=4-4+nk(a,+4-m）≥2n-5=(4-4+ 1-4 n+4-m)≥2n-5→k≥，设6,3 26-4号 2n-3 「A02=10”,当n=12时，62>b1,b3>b2,当n≥3，neN 时，bn1<b.<bn1<…<b<b,因此b是数列{bn}的最大项， 要想数列{an}对任意的neN,k(an+4-n)≥2n-5恒成 立，只需≥。4即的最小值为4 6.解：(1)等差数列{a,中，设公差为1，则a=3,→ (a14=3a5 2r2-=a a+d=3, (neN),数列{bn}中的前n项和为Sn,且2Sn=3bn-1①，当 n=1时，b1=1,当n≥2时，2Sn-1=3bn-1-1②，①-②得b.= 3bn-1(n≥2)，故数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数 列，所以bn=3-(neN). (2)数列cn}中，cn=(an+1)·bn=2n·3-1.则Tn=2×3°+ 4×3+…+(2n-2)·3-2+2n·3m-1,所以3Tn=2×3+4×32+ …+(2n-2)·3-1+2n·3,故-2Tn=2+2(3+32+…+ 3)-2n3”=(1-2m）·3-1,所以T,=（2m-1)·3+1因 2 为(-1)·m>Tn-n·3=- 2,对neN恒成立.当n为奇 、13” 3"1 数时，(-1)”·m=-m>2-29m<2-2→m< (信)号子1，当：为萄时.(-0m= 台)分 13”、 -=-4.综上，实数m的取 值范围为(-4,1) 第四章章末检测 1.C解析：令√2n=√42，解得n=21,所以√42是这个数列 的第21项. 2.C解析：对于数列{an},因为a+1 a,+1 -5a+3且a1=1,则 -5+3-1,4=1+1 3、5三1，…，以此 类推可知，对任意的n∈N·,an4=an,因为2025=4×506+ 1,故a20s=a1=1. 3.A解析：由S4=Sg,得a+a6+…+ag=0,则5a,=0,所以a,= 0,又a3+a11=2a,=0,所以k=11.故选A. 4.A解析：设{an}的公比为g,因为a3+S3=2,a6+S6=a393+ S3(1+g3)=q3(a3+S3)+S3=2g3+S3=6+3,所以q3=3,所以 a+=1-1 dotaug 5.B解析：由题意得a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4= 10=1+2+3+4…观察规律可得an=1+2+3+…+n= D,所以am-10x101=5050, 2 2 白题22 6.B解析：因为数列{0，}满足a,=10,01-0=2,即a1 an=2n,当n≥2时，则有an-an-1=2(n-1),所以a2-a1=2, a3-a2=4,…,a,-am1=2(n-1),上述等式全部相加得a. 4,=2+4t+2(-1）=（2+2n-20n-1=n2-,所以a. 2 n2-n+a1=n2+10-n,a1=10也满足an=n2+10-n,故对任意 的neN=+0-n所以号=40”a+只1，由对 10 勾函数的单调性可知，函数y=x+一-1在(0，√10)上单调 递减，在(V而，+0)上单调递增，义因为3<而<4，号 31 3 16 21 ,5 3,04 号，故aa,所以片的最小值 n 为2-16 331 7.D解析：令n=1得amt1ta1=2an+2,即au1-an=am am-1+2,所以数列{am-am1}是公差为2的等差数列，所以 am-an-1=(az-a)+2(m-2),amtn+am-n=2am+2an(m>n,m, n∈N）.取m=3,n=2,则a,+a1=2a3+2a2,结合a3-a2=a2 a1+2,可得5=6a2+1,取m=4,n=1,同理可得a5=4a2+9, 所以6a2+1=4a2+9,解得a2=4,因此am-am-1=2m-1,a2 a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,…,am-am1=2m-1,累加得am- 1=m-1)(3+2m-1_（m-1)(2m+2）_2m2-2 2 2 2=m2-1,故 an=m2,所以a2s=20252的个位上的数为5. 8.D解析：因为a2n=a2a1+(-1)”,a21=a2n+3"(n∈N*),所 以a2n+1=a2n+3=a2-1+(-1)+3",即a2+1-a2n-1=(-1)+ 3",所以当n≥2时，a2-1=(a2-1-a2-3）+(a2n-3-a2m-5）+…+ (a3-a1)+a1=[(-1)1+3a-1]+[(-1)-2+3-2]+…+(-1+ 3)+1=33卡《21)+1=3“+ 2 2 +产2-1，又a,=1符合 _3”(-1)-1 上式，故a2-1=2 3 2-1,所以a=a-1+(-1)=2+ （-1)4-1 3n1 2 -1+(-1)= 2+2（-1)-1.所以52ms=(a+a,+ +as)+(a+a+…+a=3+°-1+ -1+ -八1++3 1)1012 2 2 2-1 +[3-0-1 2 2×(-1)2-1+…+ 2+2×(-1)12-1]=3x1-3+ 310121 13+ 310131 -2025=31013-2027. 22 9.ABD解析：对于A,若d<0,则a+1-an<0,为递减数列， 故A正确；对于B,若0<g<1,则1=g<1,为递减数列，故 an B正确对于C取a=6=g-=2,d号此时会=1 a 16 1.27 <1,不满足递增性，故C错误；对于D,因为a1= 23 6,>0,当gP1时，等比数列6，为正项且L,当少0时， b 等差数列a}各项为正且递增，即>1，所以1= a a b 参考答案 a.6>1,即a6,为递增数列，故D正确 an b 10.ABD解析：对于A选项，由Sn1=2S。+n得an+1=Sn1- S,=Sn+n>Sn,A对；对于C选项，a2=S,+1=2+1=3,当 n≥2时，由S+1=2Sn+n得Sn=2S.-1+n-1,上述两个等式 作差得a+1=2a.+1,所以a+1+1=2(an+1),故当n≥2时， 2+12,且%+14 at1+1 且。，+i3≠2，所以，数列{a,+1不是等比数 列，C错；对于D选项，由Sn1=2Sn+n可得Sn1+(n+1)+ 1=25.+2m+2=2(S+n+1),且s,+2=4,所以1tn+2 +n+72, 故数列{S.+n+1}是以4为首项，公比为2的等比数列， D对；对于B选项，由D选项可知Sn+n+1=4×2-1=2*1, 所以及=2n1所学2212型令8会 2” 散64=22）-(g）2>0,耶64所 以，数列6}为单河遥端数列，即数列（受}为单润递始 数列，B对 11.AC解析：对于A,令an1=a.=a,由an+1an=4an-4可得 a2=4a-4,解得a=2,即an=2时满足题设条件，故A正确； 对于B,当a1=2时，由a+1an=4an-4可得an(a1-2)= 2a-2,则得6=2，此时，无意义：由a1a,=46,4 可知an≠0，当a1≠2时，由a1a.=4an-4可得a1=4- 这 a a 数列{司是公装为宁的等差数列，即B错误：对于C, 43,由选项B可斜梦差数列{}的首项为1，公差 放。1宁a)=安因为之号则 为，放2 1 111 91 a,-2 0X2故C正确：对于D,由B选项 2 分析知，a,0,因为a1=4-4,则1-上=11 a10,4-4a. an a.1。（a.-2)2」 4(a)。.4a,(a,可不是一个非零常数，故D错误 12.2解析：设an=a1+(n-1)d,则a3=a1+2d,a,=a1+6d,又 a1,a3,a,成等比数列，则(a,+2d)2=a1(a1+6d)→2d2= 又0圆=，则公比为会-岩2 13.2公解桥图为2，且a=2a所以会分所以 数列a为等比数列，则数列。，=。（分）广 256(分）=2，所以.=2×2”×2×…x2 2-2因为2120(-)广g 黑白题23 又因为n∈N“,所以当n=10或n=11时，21n)严取最大 2 值55，所以(T.)x=T0=T11-25 4.3解析：1g·名·为··4·3) x1)（x1·x2）·…·(xk-1·x）（xg·3)]= 3影1…43.写]-gs1 …·x·3)3-l1g3=31og(1·x1·x2·…·xk·3)-1= 3a-1,a1=lg,(1×3x3)=2,由a1=3a。-1得a12 30号)a日-240.所以数列{a}是 1-3 以弓为首现3为公比的等比数列，故4子子9 3 30+1 20,2 15.解：(1)若4，=1，则S,=5×1+544=25,解得d=2,所以 2 an=1+2(n-1)=2n-1;9=d=2,b2=2b1=2,所以b1=1,则 bn=2m-1. (2)由(1)bn=2-1,所以b,+b3+b+…+b2-1=1+22+24+ …+22-2_=1-4"_4"-1 1-43 16.解：(1)由题可知{√a,是以1为首项、4a,为公差的等 差数列，放瓜=1+，(-0，令n=2,有=1+， 即(a2-4)2=0,解得a2=4.代人得√an=n,即a.=n2. (2)由()可得@-1= 111 2√ant@n+3 (n+1)(n+3)2(n+7 1/1111 ,111 +元n+2tnti 品)片})品246 17.解：(1)因为数列{an}的前n项和Sn满足2S。=4a.-4 (n∈N),当n≥2时，2Sn-1=4a-1-4,两式相减得2an= 4a。-4a-1,即an=2a-1(n≥2)，当n=1时，2S1=2a1=4a1 4,解得a1=2≠0，可知数列{an}是以2为首项，2为公比的 等比数列，所以an=2×2-1=2". an 2% (2)油(1)可知，6.(a,-1)(a-(2-1)(2-0 22所以=6场+城（站】 1 的meN,不等式>12都成立用121>1 2k n+1 化简得242号设6因为646号 .n+2 局2D心所以米测送议 n+1 则6≤=号，所以2号，则行所以实数k的取值范 国是（兮，*m）】 选择性必修第二册·RJ黑 3a.-4 18.解：(1)由an+1= a1可得a-2=221-2=,二2 81所以 1 1 a+1-2a。- +1,即1.1 ,即。a1,又由4=克，可得 、。2写2.所以{。2}是以2为首项，1为公差的 2 等差数列，所以2=24(m-1)1=n+1,则a,=12- n+1 ,即数列a,的酒项公式为a 2n+3 n+1 (a0(1奥-可得么”ax司 9 1 (）广=(a+10×(0广，当a=1时4=号<=所 以b1不是最大项，设第n项(n≥2)最大，则 ax(品广≥x(0)', [n+1、10 可得 n9’解 kax(g)广(o2x0） 10n+2 9≥n+ 得8≤n≤9，所以数列{bn}的项取得最大值时n=8或9. ②=2x品3x(侣）++(+1)×(倍广，可 可得=2x品（品）+(0)广++（品 -(n+1)x ()”品品（品（侣）++（品）] 信广京业-川 (n+1)× (品)”=0+-（品广]-a+1)x(品），所 以8=940[-（品广]-10(*1）x(0)”=9 (a() 9+1 19.（1)证明：因为a.=-2n+1,所以a1-a.=-2(n+1)+1+2n- 1=-2,所以数列{an}是以-2为公差，-1为首项的等差数 列，所以S=1-20+1)n=-n2,所以3a,-51=3(-2+ 2 1)+(n+1)2=(n-2)2≥0，即3an≥S+1,所以数列{an}具有 性质M(3). (2)解：①油数列{a.}具有性质M(4)得4an≥Sn1,又等比 数列{an}的公比为g,若q=1,则4a1≥(n+1)a1,解得n≤ 3,与n为任意正整数相矛盾；当g≠1时，4a191≥ 4,1g,面a>0,整理得4g≥1g,若0<9<1，则 1- 1-9 产g2解得a<1Hsg'2分与eN手后：者 9>1,则g-1(g-2)2≤1，当q=2时，9-1(q-2)2≤1恒成立， (g-2),解得n<1+ 满足题意，当9>1且g≠2时，g1≤，1 白题24 o,g-2与neN矛盾，所以g=2 1 ②由Aan≥S+1,得入an+1≥Sn+2,即A(Snt1-Sn)≥S+2,因此 ASn+1≥ASn+Sn2≥2√AS.S.+2,当且仅当AS。=S+2时取等 ≤云（合）”一令曲数列a各班均为正数 S-2 得8从面1<（）广脚（台）若0 4,则n<1+log3,与neN*矛盾，因此当入≥4时 (台)广≥1受恒成立，行合愿意，所以A的最小位 为4. 第四章真题演练 黑题真题体验 1.B解析：设等差数列{an}的公差为d,则由题可得 3a+3d=6,→{d=-3,所以S,=6a,+15d=6×5+15× 5a1+10d=-51a1=5, (-3)=-15. 2.C解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a,a4, a6成等比数列，且a1=-2,所以a=a3a6,即(-2+3d)2= (-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去)，所以ao=a1+ 9d=-2+9×2=16. 3.B解析：由S1o-S,=a6+a,+ag+ag+a1o=5ag=0,则ag=0,则 等差数列a,的公差d=)弓放a=4,4d=1-4x 3 (行）子故迹B 4.C解析：由题知1+q+g2+g3+g=5(1+q+g2)-4,即g3+g= 4q+4g2,即q3+g2-4q-4=0,即(q-2)(q+1)(q+2)=0.由题知 9>0,所以g=2,所以S4=1+2+4+8=15.故选C. 5.D解折：对A,由题意得a91,。7结合>0，解得 (a1+a19ta192=7, a1=4,(a1=9, 1或 1(舍去)，故A正确；对B,则a=a1g=4× (9=2(9=-3 (兮广号放B错误对c心1.显】 1-q 1- 2 放c能误：对D,4=4×(日）”=2,8 第五章 一元函 5.1导数的概念及其意义 白题基础过关 1.B解析：会表示从时间：到+A:时物体的平均速度， △s 表示在t时刻该物体的瞬时速度故选B. 2.A解析：由题意可得平均速度是A=1+A)-s(- △t 参考答案 x-(分)] 1 =8-2m+3,则an+Sn=23-"+8-23-"=8,故 12 D正确. 6.2解析：设该等比数列为{an},S。是其前n项和，则S4= 4,Sg=68,设{an}的公比为q(q>0),当q=1时，S4=4a1=4, 即a1=1,则Sg=8a1=8≠68，显然不成立；当q≠1时， 则3=(1-g) 1-g 4,,=(1-g 1-q =68,两式相除得1g 1-q 63,即-g)1+9=17,则1+g=17,所以g=2,所以该等 4； 1-g4 比数列公比为2. 7.95解析：因为数列{a.}为等差数列，则由题意得 {,+2da+3d:,解得{4则Sn=10a,+ 10× -d= (3(a1+d)+a1+4d=5, (d=3, 2 10×(-4)+45×3=95.故答案为95. 8.解：(1)因为2S.=3a+1-3,故2S-1=3an-3,所以2a.=3a*1 30.(n≥2)，即5a,=3a1,故等比数列的公比为g=3, 5 数2a1=30,-3=3a1×,-3=501-3,故a1=1,故a, () -(] (2)由等比数列求和公式得S。= 多x(3）广，所以数列，的前项和7=8+8+9+ …t。= x[3(+()*+(3)门 导片 2=2 9.解：(1)当n=1时，4S1=4a1=3a1+4,解得a1=4.当n≥2时， 4Sn-1=3an-1+4,所以4S。-4Sn-1=4an=3a.-3a-1,即an= -3a1,而a1=4≠0，故a,≠0，故=-3，所以数列{a,是 an-1 以4为首项，-3为公比的等比数列，所以an=4·(-3)-1 (2)由(1)得bn=(-1)1n·4×(-3)-1=4n·3-1,所以Tn= b1+b2+b3+…+bn=4×3°+8×31+12×32+…+4n·3-1,故3Tn= 4×31+8×32+12×33+…+4n·3”,所以-2T.=4+4×3+4×32+ …+4.3-1-4n·3”=4+4 31-31）-4n·3°=4+2×3· 1-3 (3-1-1)-4n·3=(2-4n)·3-2,.Tn=(2n-1)·3"+1. 收的导数及其应用 (1+△t)2-12_2A+(At)2 2+△t △t △t 3.B解析：由s（t)=-2+3,得瞬时速度为 1m-1+a)+3(1t4)-(-1+3)=1. △t 4.C解析：由平均变化率定义得4)-2）_63-7=28， 4-2 2 5.C解析：：函数f(x)=x2-m2在区间[2，t]上的平均变化率 黑白题25第四章 (时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的： 1.·(2025·广东广州高二期中)已知数列 √2,2，√6,2√2，√10，…，√2n,√2n+2,…,则 √42是这个数列的 () A.第19项 B.第20项 C.第21项 D.第22项 2.*(2025·山东泰安高二月考)对于数列 、an+1 a,,若a-50.3且al,则am ( A.0 B.-1 C.1 3.*(2025·河南南阳高二期末)已知等差数 列{an}前9项的和等于前4项的和，若a= -a3,则k= () A.11 B.13 C.15 D.17 4.*(2025·辽宁沈阳高二期末)已知等比数 列{an}的前n项和为Sn,若a3+S3=2,a6+S6= 6+S,则4，+a () agtaul A.9 1 B.I 6 c动 5.(2025·山东省实验中学高二期末)“杨 辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西 方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记αn为 图中虚线上的数1,3,6,10，…构成的数列 {an}的第n项，则a1o的值为 () 1 11 12 1331 14641 1501051 A.5049B.5050C.5051D.5101 第四章 章末检测 电 总分：150分)】 6.**(2025·安徽合肥高二期中)已知数列 {0,}满足a,=10,01-0=2,则2的最小值为 n A. 1 B. 16 27 C.4 D.2√10-1 7.*(2025·河北衡水高二月考)设首项为1 的数列{an}满足amn+am-n=2anm+2an(m>九，m, n∈N*),则a2s的个位上的数为 ( ) A.0 B.2 C.3 D.5 8.整（2025·黑龙江绥化高二期中)已知数列 {an}满足a1=1,a2n=a2n-1+(-1)",a2+1=a2n+ 3"(n∈N*),则数列{an}的前2025项的和为 A.31012-2025 B.31012-2027 C.31013-2025 D.31013-2027 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分. 9.*(2025·云南昆明高二月考)公差为d的 等差数列{an}与公比为g的等比数列{bn} 首项相同且为正数，则 ( A.若d<0,则{an}为递减数列 B.若0<q<1,则{bn}为递减数列 C.若g>1>少0，则{}为递增数列 a D.若q>1>d>0,则{anbn}为递增数列 10.*(2025·辽宁沈阳高二期中)已知数列 {an}的前n项和为Sn,若a1=2,Sn+1=2Sn+ n,则下列结论正确的是 ( 黑白题33 A.ant1>S R宁}是单调递蜡数列 C.{an+1}是等比数列 D.{Sn+n+1}是等比数列 11.禁(2025·浙江杭州高二月考)已知数列 {an}满足a+1an=4an-4(neN),则( A.{an}可能是常数列 B数列{2 是等差数列 C.若a1=3,则1。-的 m1a,-22 D数列{。}可能为公关不为0的等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.*(2025·四川绵阳南山中学高二期中) 已知{an}是公差不为0的等差数列，且a1, a3,a,成等比数列，则该等比数列的公比 为 13.*(2025·江苏镇江高二月考)已知数列 {an}满足a3=256,且an=2an+1若Tn是数列 {an}的前n项积，则T。的最大值为 14.(2025·湖北武汉高二月考)定义：在数 列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成 新数列，这样的操作叫做该数列的一次“美 好成长”，将数列1,3进行“美好成长”，第 次得到数列1,3,3；第二次得到数列1,3,3， 9,3;;设第n次“美好成长”后得到数列为 1,x1,x2,…,xk,3,记an=l0g3(1·x1·x2 …·xk·3),则数列an的通项公式为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 15.*(13分)(2025·湖北十堰高二期末)设 等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等 比数列{bn}的公比为g.若a1=1,S3=25, 选择性必修第二册·RJ舞 b2=2,q=d. (1)求数列{an},{bn}的通项公式； (2)求和：b1+b3+b+…+b2m-1 6.*（15分)(2025·江西上饶高二月考)已 知正项数列{an}满足a1=1,√a-√a= 1 402 (1)求{an}的通项公式； (2)求{-a} 的前n项和Sn 2.antian+3 白题34 17.*★（15分)(2025·辽宁沈阳高二月考)已19.熱(17分)(2025·江苏南京高二期末)已 知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn= 知数列{an}的前n项和为Sn,若存在常数入 4a,-4(nEN*). (A>0),使得an≥S1对任意n∈N*都成 (1)求数列{an}的通项公式； 立，则称数列{an}具有性质M(入) (2)记bn (a.-)(a1-1),7.是数列16. (1)若数列{an}的通项公式an=-2n+1,求 证：数列{an}具有性质M(3). 的前n项和，若对任意的neN,不等式 (2)设数列{an}的各项均为正数，且{an}具 T>12都成立，求实数的取值范试 有性质M(入) ①若数列{an}是公比为g的等比数列， 且入=4，求g的值； ②求入的最小值. 18.禁(17分)(2025·广东广州高二月考)数 5 3an-4 列{a,}的首项a2a1 a-1 （1)证明{，2}是等若数列，并求1a的 通项公式 9” (2)设b.-(a.-2)×10 ①当数列{b,}的项取得最大值时，求n 的值； ②求数列{bn}的前n项和Sn 第四章黑白题35