4.3.1 等比数列的概念-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 白题 基础过关 限时：50min 题组1等比数列概念的理解 题组3等比数列的通项公式 1.·已知下列各数列：①-1，-2，-4，-8； 7.*(2025·吉林长春东北师大附中高二期 111 ②1，-√3,3，-33；③a,a,a,a;④ 末)等比数列{an}中，a2=2,a5=4,则a= a'aa () [其中一定是等比数列的是 A.8 B.-8 C.16 D.-16 8.*(2025·云南昆明高二期中)若一个等比 A.①②③ B.①② C.①②④ D.①②③④ 数列的前三项依次为x,x-6,x+24,则这个等 2.给出下列说法：①等比数列中的某一项可 比数列的第四项为 () 以为0；②等比数列中公比的取值范围是 A.-64 B.-125 C.64 D.125 (-∞，+∞)；③若一个常数列是等比数列，则这 9.*已知数列{an}是各项均为正数的等比数 个常数列的公比为1.其中说法正确的个数为 列，且3a1+9a2=2,9a=a1a5,则 () ( 1 A.0 B.1 C.2 D.3 A.an= B.an=3” 3.*(多选)已知数列{an}是等比数列，那么 D.a=3m-1 下列数列一定是等比数列的是 C.a.= ( A.la B.anan+i 10.(多选)若数列{a,}满足a4=9,且(an+1 C.{a2} D.antant1 an-1)·(an+1-3an)=0(n∈N*),则首项a 题组2等比中项 可能是 4.·(2025·江西南昌高二期中)2与32的等 A.6 比中项为 ( . A.8 B.17 C.±8 D.±42 1 C.2 D.3 5.(2025·四川雅安高二期末)已知等差数 11.(2025·安徽合肥高二月考)在等比数 列{an}的首项为1，a6是a3和a。的等比 中项，则a= ( 列{an}中，a3+a5=5,a6+ag=40,则{an}的公 A.-9或1 B.-7或1 比为 C.1 D.-7 题组4等比数列的函数特征 6.*(2025·福建龙岩高二月考)在2和20之 12.·已知数列{an}满足a1>0,对一切 间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个 neN,a,=2,则数列{a,}是 数成等差数列，则插人的两个数的和为( a A.递增数列 B.递减数列 A.4 B.4或5 C6 D.6 C.摆动数列 D.不确定 选择性必修第二册·RJ黑白题16 13.*(多选)(2025·江西景德镇高二期末) 重难聚焦Ⅱ 若等比数列{an}中，首项为a1,公比为g,则 题组6构造等比数列求通项公式 下列条件中，使数列{an}一定为递减数列的 20.已知数列{an}满足a1=han-l(neN,， 条件是 ( k∈R),若数列{an-1}是等比数列，则k等于 A.Igl<1 B.a1>0,q<1 ( C.a1>0,0<q<1 D.a1<0,g>1 A.1 B.-1 C.-2 D.2 题组5等比数列的性质 21.*苏教教材习题在数列{an} 14.*人A教材变式(2025·四川攀枝花高二月 中，a1=1,已知a+1=2an+1,且 考)设{an}是等比数列，下列说法一定正确 {an+1}为等比数列，则{an}的通项公式为 ( 的是 A.an=2"-1 B.a=2 A.a1,a3,ag成等比数列 C.an=2"+1 B.a2,a3,a6成等比数列 D.0n=21 22.若数列{a,}满足1- 视 C.a2,a4,ag成等比数列 antl an D.a3,a6,ag成等比数列 0,则称{an}为“追梦数列”.已 15.*(2025·辽宁沈阳高二期末)在等比数 列{an}中，若a6=3a,则a2= 知数列{，1 b.+1 为“追梦数列”，且b1=2, 则数列{bn}的通项公式为bn= A.3 B.2 c D.3 题组7等比数列的实际应用 16.*(2025·黑龙江省实验中学高二月考) 23.*(2025·山东济南高二月考)“十二平 已知数列{an}为等比数列，其中a6,a1o为方 均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最 程x2+2025x+3=0的两根.则ag=（ 早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献.十二平均律将 B.-√3C.√3 D.±√3 一个纯八度音程分成十二份，依次得到十 三个单音，从第二个单音起，每一个单音 17.*(多选)(2025·安徽合肥高二期末)记 的频率与它的前一个单音的频率的比都 等比数列{an}的前n项积为Tn,且a6, 等于2.若第六个单音的频率为∫，则第十 a,eN,若T2=22,则a6ta,的可能取值为 二个单音的频率为 ( ( A.2f B.f C.f D.2f A.4 B.5 C.6 D.7 24.(多选)（2025·浙江杭州 18.*已知数列{an}为等比数列，an>0, 高二月考)从盛有1L纯酒精的 且anam+1am+2=2m,若p+q=6,则a2·a,= 容器中倒出子L,然后用水填满； ( A.27 B.28 C.29 D.210 再倒出L,又用水填满，连续进行若干次， 19.*(2025·湖南邵阳高二期末)在等比数 容器中的酒精浓度可能是 列{an}中，若a1a23=8,a4a5a6a7=32,则 2 .3 B.9 C.q D. 27 a11a12013a14= 第四章黑白题17 黑题 应用提优 限时：45min 1.(2025·江苏南京高二月考)在数列{an} 5.**(多选)(2025·浙江绍兴高二月考)已知 中，“对于任意的正整数n(n≥2)，都有a2= 数列{an}和{bn}(neN*)是等比数列，则下 an-1an+1”是“数列{an}为等比数列”的( 列结论中正确的是 （) A.必要不充分条件 A.{a}是等比数列 B.充分不必要条件 B.{an+bn}一定不是等差数列 C.充要条件 C.{a。·bn}是等比数列 D.既不充分也不必要条件 D.{an+bn}一定不是等比数列 2.*(2025·陕西渭南高二月考)已知数列 6.*已知{an}为等比数列，a2=1,则“a222< 1a,}的通项公式为a,=3×(号)广，则数列 a25”是“a224<a2026”的 A.充分不必要条件 {an}是 B.必要不充分条件 A以1为首项，为公比的等比数列 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B以3为首项，号为公比的等比数列 7.整（多选）(2025·广东深圳高二月考)无穷 等比数列{a}的首项为a1公比为g,下列条 C.以1为首项，3为公比的等比数列 件能使{an}既有最大值，又有最小值的有 D.以3为首项，3为公比的等比数列 () 3.*(2025·广东江门高二期末)已知等比数 A.a1>0,0<q<1 列{an}的首项a1>0,且满足a5-a1=15,a4- B.a1>0,-1<q<0 a2=6,则公比g为 C.a1<0,g=-1 B.2 或2 D.3 D.a1<0,q<-1 8.*★(2025·山西大同高二月考)在等比数列 4.**(2025·河南信阳高二月考)如图所示， {an}中，a4=1,a1a3+2aa5+a5a,=12,则a2+ 在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=√2，过 a6= 点A作BC边的垂线，垂足为A1,过点A1 9.**苏教教材变式已知三个数成等比数列， 作AC边的垂线，垂足为A2,过点A2作A,C边 它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个 的垂线，垂足为A3,…,依此类推.设BA= 数的和为 a1,A41=a2,A142=a3,…,A6A7=ag,则a7等于 10.*已知数列{an}满足下列条件：①数列 {an}是等比数列；②数列{an}是单调递增数 列；③数列{an}的公比g满足0<q<1.请写出 一个符合条件的数列{a}的通项 公式 11.禁(2025·湖北武汉高二月考)已知正项 1 数列{an}中，a1=2,a+1=2an+3×5”,则数列 B. D 16 32 {an}的通项an= 选择性必修第二册·RJ黑白题18 12.*(2025·湖南常德高二期中)在数列 压轴挑战山 aa=1,a1=2a,+n-1,nEN'. 熱(2025·江西南昌高二月考)已知数列 (1)证明：数列{an+n是等比数列； {an}满足：a1=a2=1,an+2=2an+an+1 (2)求数列{an}的通项公式an 1 (1)证明：a1+a2+a3+…+.=2+22 (2)设an+2+Aan+1=u(ant1+入an),求入，u的值； (3)求{an}的通项公式， 频讲解 13.(2025·山西吕梁高二月考)已知数列 {an}满足a1=3,且logsa+1=1+log3an (1)求{an}的通项公式； (2)若b,=a,+二，且{b}为递增数列，求实数 t的取值范围. 第四章黑白题19(2)(i)解：由题可得，ak1-a24=a24-a2k-1=k,则a2k+1-a-1= a21-a2k+a2k-a2k-1=2k,又a1=0,则a2k-1-a2k-3=2(k-1),a2k-3 a2k-5=2(k-2),…,a3-a1=2,a1=0,累加可得a2k-1=0+2+…+ 2k-2）+2(6-1）=2,10k=k(k-1）.因为a1-0=0- 2 a2k-1=k,则a2*3-a2+2=a2+2-a2k+1=k+1,则a2k+2-a4=a2k+2 a2k1+a2k+1-a24=2k+1.又a1=0,a3-a2=a2-a1=1,则a2=1,则 a24-a2k-2=2k-1,a2k-2-a2k-4=2k-3,…,a4-a2=3,a2=1,累加可 得021=1+3++2-3+2-1=（1+2-1=.综上，4 2 (k(k-1),n=2k-1kEN". k2,n=2k, （i)证明：因为6，=1,9 h(k-),n=2k-1,keN,所以当 a,{2,n=2k, a2-1时，=4场+地士1 1 a2 a3 a2k +1+1( 1 ）注意到++ 1 11 1 k(k-1)1 到2+6++4-）1x22x3…tk-) 1-1+11 144 i22(）期1室+日≤： (传日g子+)小；品则当 n=2k-1时，Rn=R24-1<1 +<号当m=24时，及=R-66+ 1,1，,1 111.1.1 …+b2=—+—+…+ -=1+ a2 a3 a2k+1 24+6 及ta(+1)(1+ 22+…+ 1 十…十 十…十 1 1,1，，1 k+1)1×22x3++(k+1)1-。+。-。+…t了 1-2+23++kk+1 11,益合1安名可得当=2以时风=儿< 1. 令综上可得，R< 8 4.3等比数列 4.3.1等比数列的概念 白题 基础过关 1.C解析：由等比数列的定义知①②④都是等比数列.当a=0 时，③不是等比数列.故选C. 2.B解析：对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以① 不正确；对于②，因为等比数列的公比不为0，所以②不正 确；对于③，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0， 根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以③正确.因 此，正确的说法只有1个.故选B. 3.ABC解析：设数列1a,是公比为g的等比数列，则0=q, an=1 对于选项A,因为 101g,所以数列{1a,}为等比数列， laI 参考答案 故A正确：对于选项B,因为2,01=g,所以数列{a,a1为 an-1an 壁比数列，故B正确：对于选项C,因为，所以数列 {a}为等比数列，故C正确；对于选项D,若等比数列{an} 公比g=-1,则21=-1，即a,+an1=0,此时数列{a+an不 是等比数列，故D错误，故选ABC 四方法总结 判定一个数列为等比数列的常见方法： ①定义法：若°1=q(g是不为零的常教)，则数列{a,}是等比 a. 数列. ②等比中项法：若a1=anan2(neN,a.≠0)，则数列{an}是 等比数列. ③通项公式法：若an=a19(a1,9是不为零的常数)，则数列 {an}是等比数列. 4.C解析：设2与32的等比中项为G,则G2=2×32=64,所以 G=±8. 5.C解析：设等差数列{an}公差为d,:a6是a3和a,的等比 中项，∴.a6=a3g,即(1+5d)2=(1+2d)(1+8d),解得d=0, .a5=1. 6.B解析：设插入的第一个数为a,则插人的另一个数为号 由a,2,20成等差数列，得2 2=a+20.整理得a2-a-20= 0,解得a=-4或a=5.当a=-4时，插入的两个数的和为a+ 4当a=5时，插入的两个数的和为a+g-5 a 22 7.C解析：若等比数列的公比为g,则g==2故4，= da a5g4=16. 8.B解析：由题意得x(x+24)=(x-6)2,解得x=1,则这个等 比数列的公比q=一-6=-5，所以这个等比数列的第四项为 x(-5)3=-125. 9.A解析：设数列{an}的公比为g,由9a=a1a,得9a=a, 所以g=)又因为6，的各项均为正数，所以g=了，由 3如+90=2得3+9如9=2，所以a,=写板，分 10.AD解析：因为(an+1-a.-1)(an1-3an)=0(neN),所以 am1-an=1或aa1=3an.当a+1-an=1时，{an}是公差为1 的等差数列，此时a1=a4-3d=9-3=6;当a+1=3an时， {an}是公比为3的等比数列，此时a1= 宁名写故首项 a可能是6或号故选AD, 11.2解析：设数列{a,的公比为g,则s+_（a,+a)·g a3+a5a3+a5 g3=8,解得g=2.故答案为2. 12.A解析：因为21=2(n∈N),所以数列a,}为等比数 0◆ 列，4，=a1·21.又4>0，则a,>0,所以得2=2>1,01> a。 黑白题11 an,故数列{an}是递增数列. 13.CD解析：若q<0,则等比数列{an}是摆动数列；若q=1, 则等比数列{an}是常数列；当0<q且q≠1时，an-an-1= a1g-2(g-1).对于A,若1gl<1,则当g<0时，等比数列{an} 是摆动数列，故A错误；对于B,若a1>0,9<1,则当q<0时， 等比数列{an}是摆动数列，故B错误；对于C,当a1>0,0< q<1时，an-a-1=a19-2(q-1)<0,即an<a-1,等比数列 {an}是递减数列，故C正确；对于D,当a1<0,9>1时，an aa-1=a192(q-1)<0,即an<an-1,等比数列{an}是递减数 列，故D正确. 14.D解析：根据等比数列角标和性质，A项中(a3)2≠a1· ag,故A项说法错误；B项中(a3)2≠a2·a6,故B项说法错 误；C项中(a4)2≠a2·ag,故C项说法错误；D项中 (a6)2=a3·ag,故D项说法正确。 15.D解析：由等比数列的性质可知a,a6=a,又子。 3a。=a,所 1 以a2=3 16.B解析：由题，根据韦达定理可得a6·a10=3,a6+a10= -2025,则a6<0,a1o<0,由等比数列的等比中项性质可得 a6·ao=a=3,所以ag=±√3.因为等比数列的偶数项符号 相同，a6,a1o都是负数，设公比为q,则ag=a69<0,所以 ag=-3. 17.AB解析：T2=a1·a2·…·a12=(a,·a6)5=22,a, a6∈N”,∴.a6·a,=4,而1×4=4,2×2=4，∴.a6ta,=5或4 18.B解析：数列{an}为等比数列，an>0,且anam+1a2=2m 可得a1=2m,所以am1=22,所以an=222.又p+g=6,则 a,·a,=22·22-2=22p)-4=28.故选B. 19.128解析：a1a2a3=a2=8,.a2=2.又：a4a5a6a,=32, (a5a6)2=32=(a2ag)2,ag=8.又：ag=a2a16,.a16=4. 考虑最后结果为正，不妨设每项均为正数，ag016=a12a13= a1a14=22×4=82,.a1a12a13a14=128. 重难聚焦 20.D解析：由a1=a,-1,得-1=a,-2=(0,-子)）由 2 于数列{a,-1是等比数列左=1，得k=2故选D 21.A解析：a+1=2an+1,.a1+1=2(a.+1).由a1=1,得 a1+1=2,∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数 列，∴an+1=2·2-1=2,即an=2-1.故选A 22.3”-1解析：根据题意，“追梦数列”{a,}满足1-3 an+l an 0(neN),即a,=3a1,则数列{a,是公比为了的等比数 列者数列{61}为道梦数列，则】、 6.+16,+1× (传）厂动1=或=31孩答案方L 23.D解析：设第n个单音的频率为a,则由题意知数列 {a,}是等比数列，且公比为g=a1-2(neN),a,=f, a 所以第十二个单音的频率为a12=a6g=f·(2)°=2f= √2f 24.AC解析：第1次操作，1L纯酒精，倒出子L,剩余纯酒精 子L,用水填演至1L酒粘浓度为号：第2次操作，1L浓 选择性必修第二册·RJ 度为号的酒精溶液，倒出了L,剩余浓度为子的溶液号L, 其中含有纯酒特子×号-（号）广L,用水填黄至1L,酒精 浓度为（仔）广：第3次操作，1L浓度为（仔） 的酒精溶 液，倒出写L,利余浓度为（子）'的溶液子L,其中含有 纯酒精号×（仔厂=（号）广1，用木填满至1L.酒猜浓度 为（号厂广：第4次操作，1L浓度为（层）月 的酒精溶液， 倒出了L,剩余浓度为( 的溶流号L,其中含有纯酒 精子×（仔厂=（仔）L,用水填满至1L,酒精浓度为 (子)广：…：第n次操作后，酒精浓度为 2 3 故选AC. 黑题 应用提优 1.A解析：当有a=an-1an1成立时，数列{an}不一定为等比 数列，例如an=0,即充分性不成立；当数列{an}为等比数列 时，a子=an-1a1一定成立，即必要性成立 2.A解析：因为a1=1, n+1 1) 3,所以数列{a,} 3×3】 是以1为首项，}为公比的等比数列， 3.B解析：由a5-a1=15,a4-a2=6,可得a19-a1=15,a1g2 419=6,显然g≠±1，所以9-0=9-1g2+115 a19-a199(g2-1)96 多即2-52=(g-2)(2-1)=0,解得g=2或g=分，当 9=2时，4=1与当g=2时，0=-16又a,>0,则q=2 4.B解析：依题意，数列an}的相邻两项an,a+1分别为同一 个等腰直角三角形的底边和腰，即受，因此数列。 a 是首项4，-受C=1,公比g=号的等比数列o-a- (9)”两=停)-安 5.AC解析：设{an},{bn}的公比分别为m,n,对于数列{a}, 它是公比为m3的等比数列，A对；对于数列{an·bn},它是 公比为mn的等比数列，C对；若an=1,bn=2满足数列{an} 和{bn{(n∈N*)是等比数列，此时，数列{an+b.}既是等比 数列，也是等差数列，B,D错. 6.A解析：设等比数列公比为q,若a2m<a2m5,因为a2ms= qa22,a2m<a2ms,所以有a2m<g3a22,a2m(1-g3)<0.因 为a2=1>0,所以a2m=a29220>0,所以，93>1，所以q>1.若 a24<a2s,则a24-a26<0,即a2(1-9)<0.因为a2=1>0, 所以a224=a292>0,所以g2-1>0,解得g>1或g<-1.所 以，“a22<a225”是“a2m4<a226”的充分不必要条件. 7.BC解析：a1>0,0<q<1时，等比数列{an}单调递减，故{an} 只有最大值a1,没有最小值；a1>0,-1<q<0时，等比数列 {an}为摆动数列，此时a1为最大值，a2为最小值；a1<0, 黑白题12 q=-1时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零 所以等比数列{an}有最大值，也有最小值；a,<0,9<-1时， 因为1gl>1,所以{an}奇数项为负数无最小值，偶数项为正 数无最大值 8.23解析：在等比数列{an}中，a,a3+2a3a5+a5a,=a+ 2a2a6+a6=12,则(a2+a6)2=12,设等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，则a6=qa4=qa2,所以a2,a4,a6同号.又a4=1, 所以a2+a6=25. 9.13或-7解析：由题意，可设这三个数分别为g,a,叫，则 a.a·ag=27, 9 gta2+a2g2=91 解得a=3,g=9或a=3,g=),所以a= 3,9=±3或a=3,9=±了，所以这三个数为1,39或-1,3， -9或9,3,1或-9,3，-1.故这三个数的和为13或-7. 四方法总结 等比数列中的设项技巧： 灵活设出等比数列中的项，可起到简化计算、降低计算量的作 用，常见的设项方法： (1)若连续n个数成等比数列，通常设为a,ag,ag2,ag,…,公比 为q (2)若连续奇数个数成等此数列，可设为…司·日@，四， aa ag2,…,公比为g （3)若连续偶数个正数（或负数）成等比数列，可设为“， a a ,ag,ag,…,公此为g. 10.an=- 分)厂广（答案不单-）解折：因为数列1口，是等比 数列，数列{a}是单调递增数列，数列{a.}的公比g满足 0<g<1,所以等比数列{an}的公比0<q<1,且各项均为负 数，符合题意的一个数列{a,的通项公式为a,=-（2) 1 11.5-3×2-1解析：设a+1+k×51=2(an+k×5),则 an+1=2a。-3k×5,与an+1=2an+3×5”比较可得k=-1,所以 a1-51=2(a.-5"),所以数列{a。-5}是首项为a1-5= -3,公比为2的等比数列，所以a.-5”=-3×2-1,所以an= 5m-3×2m-1 12.(1)证明：an*1+(n+1)=2an+n-1+n+1=2an+2n=2(an+ n.又a1+1=2,.数列{an+n是以2为首项，2为公比的 等比数列. (2)解：由(1)得an+n=2×2m-1=2,.an=2"-n. 13.解：(1)由log,a1=1+logad,得log3a1-log,a.=1,所以 1=1,所以21=3，所以a,是以3为公比的等比数 log3 a。 a, 列.又a1=3,所以an=3" (②)由(1)知a=3,所以6，=3”+因为6，为递增数 列，所以VneN,66.=3"+3-(3+分)=2x3- 气>0恒成立，所以2x3八品即1<3对任意正整数加 参考答案 成立，即t<(32+1)m·因为{321}为递增数列，所以 (321)=27,所以t<27,即实数t的取值范围为 (-∞，27). 压轴挑战 1 (1)证明：因为a2=2a,+a1,所以a,=2（a2-a1),所以 1 a1tata+…ta,=2（ag-a,+a4a,+ay-a4t+…+a2ai）= 1 11 2(a2a)=2022 (2)解：因为a+2+入a1=u(a1+Aa.),所以a2=(u-A)at1+ Aa:因为a2=2a。+a1,所以 μ-入=1，解得 uM=2, =或A=-2, u=2w=-1. （)解：由(2)知，当公2时an-2(ena).所以数列 {a+1+a,}是首项为a2+a1=2,公比为2的等比数列，所以at1+ 4.=2①，当{-2时a2-2a=-(a1-2a,所以数列 u=-1 {a+1-2an}是首项为a2-2a1=-1,公比为-1的等比数列，所以 a+1-2an=(-1)②， ①-②得4.=2”-（-1) 3 4.3.2等比数列的前n项和公式 第1课时等比数列的前n项和及其性质 白题 基础过关 1.B解析：根据题意设等比数列{an}的公比为q(q>0),由 a2=4,a1a5=64可得a2a4=a1a5=64,即a4=16.因此g2= 2=6=4,解得g=2,所以山，=2，可得3，=1） a24 1-q 2(1-2)=62 1-2 2 2.D解桥8.=(1-9）-0·a, 30 1- 1-9 -=3-2an 1-9 1 3 3.B解析：在等比数列{an}中，a1=3,an=48,Sn=93,所以 q≠1，由Sn= (1-）,及通项公式a,=ag,可得 1-q 93=31-g) 。1-9解得9=2， 48=3g-1, (n=5. 四重难点拨 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1, a。,9,n,S,已知其中三个就能求另外两个（简称“知三 求二”). (2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对g=1和q≠1进 行分类讨论. 41玻分解折：当g=1时，4=4=4，号：当1 3 3 a=a9=2’ (a1=6, 时，{ (1-g)9解得{g1公比g的值为1 S3= 1-9=2,(9=2 黑白题13