4.2.2 第2课时 等差数列的前n项和的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第2课时等差数列的前n项和的综合应用 白题 基础过关 限时：30min 题组1 裂项相消法求和 7.*(2025·江苏南京高二期末)设S,为等差 1.·(2025·湖北随州高二月考)已知an= 数列{an}的前n项和，若公差d<0,且So= ,设数列1a,}的前n项和为S,则Sm的 So,则当Sn取最大值时，n的值为 n2+n 题组3等差数列中a与S,关系的应用 值为 ( 8.·(2025·山东潍坊高二月考)设Sn为数列 A.2024 2025 C. 2026 2027 B. D. {an}的前n项和，若Sn=n+2n,则an= 2025 2026 2025 2026 1 2.在数列{an}中，an= ,若Sn=8, A.2n+1 B.2n-1 √n+n+1 C.n+1 D.n-1 则n= ( 9.(2025·重庆西南大学附中高二月考)已 A.77 B.78 C.79 D.80 3.*已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn, a2=11,S4=60,则数列 的前n项和 ,n+1 则2 S.+n- T2n+3’ T为 > 3 17 c D.13 23 题组2等差数列前项和的最值问题 10.*★(2025·广东深圳高二期末)记Sn为数 4.·(2025·河北邯郸高二月考)已知数列 3S {an}的前n项和为Sn,an=4n-17,则当Sn取 列{an}的前n项和.已知"+n=3an+1,a1= 得最小值时，n= A.3 B.4 C.5 D.6 >则数列1a,}的通项公式是 5.*(2025·陕西西安高二月考)记等差数列 题组4等差数列前n项和的实际应用 的前n项和为Sn,且S,<0,S1o>0,则使得Sn最 11.*(2025·广东深圳高二期末)现有一根 小的n的取值为 ( 七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上 A.4 B.5 C.8 D.9 面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等 6.*北师教材习题（多选）(2025·广东佛山高 量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计 二月考)设{a,}是等差数列，Sn是其前n项的 算，这根竹子的装米量为 () 和，且S,<S6,S。=S,>S8,则下列结论正确的是 A.9升B.10.5升C.12升D.13.5升 12.(2025·江西南昌高二月考)若第一天 A.d<0 织布6尺，从第2天开始，每天比前一天多织 B.a7=0 相同量的布，现1个月（按30天计）共织 C.S>Ss 360尺布，则第2天比前一天多织布 D.S6与S,均为Sn的最大值 尺 第四章黑白题11 黑题 应用提优 限时：40min 数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n2- 其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24，则该数 17n,则当Sn取最小值时，n的值为 ( 列的第19项为 A.4或5 B.5或6 A.174 B.184 C.4 D.5 C.188 D.190 2.Sn为等差数列{an}的前n项和，若S。= 7.*★(2025·广东珠海高二月考)已知等差数 3a1,a1>0,则使Sn>an的n的最大值为( 列{an}的前n项和为Sn,且a<-a1a2,若S。 A.2 B.12 有最小值，则当S>0时，n最小为( C.11 D.10 A.22 B.23 3.**设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1, C.11 D.13 an+1=2SnSn1,则Sn= ( 8.#(2025·河南郑州高二月考)已知等差数 1 列{an},Sn是数列{an}的前n项和，对任意的 A.3-2n B. 3-2n n∈N,均有S,≤S。成立，则的值不可能为 1 C.2n-1 D. 2n-1 4.**(2025·广东佛山高二期中)小明购买了 A.3 B.4 一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万 C.5 D.6 元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款 9.(多选)(2025·安徽安庆高二期末)等差 方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的 数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠ 当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止.则 0,则 购买这辆车小明最后实际共花 ( A.若S4>Sg,则S12<0 A.28.5万元 B.30.6万元 B.若S4=Sg,则S6是Sn中的最大值 C.31.8万元 D.32.2万元 C.若S5>S6,则S4>S5 1 D.若S3>S4,则S4>S 5.**已知{an}是等差数列，且a1=1, aa 10.*★(2025·江西九江高二期末)记等差数 1 1 十十 列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2=21,a3+ a2a3 25,则a0 a4=16,则S2n最大时，n的值为 A.15 B.26 11.(2025·福建漳州高二期末)已知数列 C.28 D.32 {an}满足a1=1,且对任意n∈{2,3,4，…}， 6.*(2025·天津红桥区高二月考)南宋数学 都存在i∈{1,2，…，n-1},使得an=a:+2,则 家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》 a5= (写出所有可能的取值)； 中，提出了高阶等差数列的概念.如数列1,3， 若数列{bn}中b.满足：存在j∈{1,2，…，k- 6,10,后前两项之差得到新数列2,3,4，新数 1}使得b.=b,则称b.具有性质P.若数列 列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等 {an}前30项中恰有3项具有性质P,且这 差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉 3项的积为27，则数列{an}的前30项和 之后一般称为“垛积术”现有二阶等差数列， 为 选择性必修第二册·RJ黑白题12 12.**(2025·山东菏泽高二月考)在数列 压轴挑战山 161中，6-于64=2 4 1 -(n≥2，neN*),数 熱(2025·广东广州高二期中)已知数列 {an}满足a1-an=4n+1(n∈N*),且a1=1,数 2 列a,满足a,-6neN 列{bn}满足nbn1-(n+1)bn=n2+n(n∈N*),且 (1)证明：数列{an}是等差数列并求出通项 b1=1 公式 (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{an}的前n项和为Sn,Sn是否存在 最大值？若存在，求出S。的最大值及取 (2)证明：合}为等差数列； 得最大值时n的值；若不存在，请说明 (3)若cn=(-1) 理由. 4(n+1)b(n∈N),求数列 anQn+l {cn}的前n项和Sn 13.辞(2025·江西上饶高二月考)记数列{an} 的前n项和为Sn,已知a1=3,nan+1=2Sn+3n. (1)证明：数列{an}为等差数列； (2)求数列 2n+1}的前n项和Tr S.S+ 第四章黑白题135.C解析：等差数列{an}中，由a1=9,a4=3,得公差d= 44=-2,则a,=a+(n-I)d=-2n+11,显然当n≤5时 an>0,当n≥6时，an<0,所以T31=1a1|+|a2|+…+|a31|= （a1ta2t…tas）-(a6ta,+…+a31)=2(a1+a2t…+a5）-(a1+ 4,t+1）=2x5(aa,）.31(a,+a-2x5x(9+1 2 2 2 31x(9-51)=701. 2 6.C解析：对于A,S-1(a,a-1lg=1,则a,=1,A不 是；对于B,设等差数列{an}的公差为d,a2ta3+a3=a6-4d+ a-3a+71=3,B不是：对于D,8=a+7(a-1)d,则 受》a+a+4=2a+5=2.D不是对于 C,S1+S21=a1+21a1+210d=22(a1+5d)+100d=22+100d,而 d值不确定，因此S,+S2,不确定，C是. 7.C解析：令a,的公差为d,又S,=4a,+3,则(aa,) 2 5t3,即50=4+3=→4，=3.由{会}neN")的公差 1,且2-2a:-2,则2=2+(n-1）×1=n+1,所以8，.= a a1 at0a又s.=a(an, 2,故《n+1）a-n(a+a）,所必 an=na1,则a3=3a1=3→a1=1,故an=n,故a5=5,a1o= 10,A,B错：8.=n(nt+D,则S0=55,S0=210,C对、D错 2 8.BD解析：对于A:当a=2时，a1=2,因为an+a+1=3n+1, 令n=1,得到a2=2;令n=2,得到a3=5;令n=3,得a4=5, 故A错误；对于B:因为an+a+1=3n+1,所以an1+an+2=3n+ 4,两式相减得a+2-an=3,令n=2k(k∈N*),则a2+2-a24= 3,且a2=4-a为常数，所以{a2n}是以4-a为首项，3为公差 的等差数列，故B正确；对于C:因为an+a*1=3n+1,得到 a1+a2=4,a3+a4=10,a+a6=16,…,a1g+a20=58,观察可得 a2-1+a2:=6i-2(i=1,2,3,…,10),所以S0=(a1+a2）+(a3+ a4)+（a5+a6）+…+(a1g+a20)=4+10+16+…+58= 10x(4+58）=310≠300，故C错误；对于D:因为a,+a,=7, 2 a4+a5=13,a6+a,=19,…,a30+a31=91,观察可得a2:+a21= 6i+1(i=1,2,3,…,15),S31=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+ (a0ta)=a+15x(7+91=748,解得a=13,放D正确 2 9.2513100解析：设所求等差数列为{a.},由题意可知数 列{a.}的首项为110，公差为116-110=6，则an=110+6(n- 1)=6n+104.由450≤6n+104≤600，得58≤n≤82，n∈N*,所 以该数列在[450,60]上有25项，其和S=2(ataa)×25= 13100. 10.135解析：设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,由题意 知数列S,S。-S,S,-S6,…成等差数列，且公差d”= S6-S3-S3=a4+a5+a6-a1-a2-a3=9d,记数列S3,S6-S3, ,-,…为c,其前n项和为T,则T,=nc,+n(ldr= 2 参考答案 空（号又因为数列3成心8的商n项 [ -=6. 2 和为6n2+3n,所以 解得=12，所以d= d' 923, lc1=9, ):号6S=3,+=9,解得a=子所以am=a+ 10d=5,400_405=135.故答案为135 333 四重难点拨 等差数列的性质： (1)项的性质：在等差数列{an}中， ①a,=an+(n-m)d(m,neN）,d=a。-am n-m ②若m+n=ptq(m,n,P,geN'),则an+a.=a,tag (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则： ①S2n=n(a1ta2n)=…=n(an+am1)； ②依次k项和成等差数列，即S,S4-S,SM-S4,…成等差 数列 11.(1)证明：若n为奇数，则n+1是偶数，n+2是奇数，所以 a+1=an+1,a+2=(an+1)+2=an+3,即an+2-an=3,所以 {a}的奇数项是首项为a1=1,公差为3的等差数列. (2)解：当n=2k(k∈N)时，Sn=Sx=(a1+a3+a5++ a2k1)+(a2+a4+a6+…+a2k)=(a1+a3+a5+…+a2k-1）+(a1+ 1+a3+1+a5+1+…+a2k-1+1)=2(a1+a3+a5+…+a24-1）+k= 2[a,x3]=3张=3x(行广-因为a a2k-1+1=a,+3(k-1)+1=3k-1,所以当n=2k-1(keN*) 时8=1==3-3+1=x(空)广-3x21 3 n2,n为偶数， 1综上所述，S 4 3 n+4n为奇数 4 第2课时等差数列的前n项和的综合应用 白题 基础过关 1.B解析：因为an= n+nn(n+)nn+7,所以S,s=a,t 1 111 1,11 1 1 1 4+…+a1=1-2+23+…+202s52026=1-2026 2025 2026 2.D解析：依题意，a,n+ 1 ==√n+1-n,所以Sn=√2- 1+3-√2+…+√n+1-√n=√n+1-1,由Sn=√n+1-1=8, 解得n=80.故选D. a+d=11, 3.2n+1 解析：由已知 4a,+43=60 解得3故5，= ld=8. 2 a(点)x-引 号）+（兮）*+（点2）门=( 黑白题07 1）n 解析：由a,=4n-17得，当1≤n542, 2n+1)2n+7 n≥5，neN*时，an>0,所以当Sn取得最小值时，n=4. 5.B解析：因为等差数列的前n项和为Sn,设等差数列为 a,由S<0,得(a,a.9x34=9a,<0,则a4,<0, 2 2 由5o>0,得10(a,n）=5(a,+a,)>0,则a,+a,>0,所以 2 a6>0,故d=a6-a5>0,则数列{an}的前5项为负数，从第 6项开始的项都是正数，因此当n=5时，Sn最小. 6.ABD解析：根据题意，设等差数列a,}的公差为d,因 为S,<S6,S6=S,>Sg,可得a6=S6-S5>0,a7=S,-S6=0, ag=Sg-S,<0,对于A,由d=a-a6<0,所以A正确；对于B, 由a,=S,-S6=0,所以B正确；对于C,由S,-S,=a6+a,+ag+ ag=2(a,+ag)<0,所以S,<S,所以C不正确；对于D,由d< 0,可得数列{an}为递减数列，且a,=0,所以S6=S,所以S6 和S,均为S,的最大值，所以D正确. 7.15解析：等差数列a,中，因为sn=5,所以10+ =,2P解得a=则=m 2 9hg-=2r-15=宁(a-15)2因为 2 dn+ 2 d<0,所以当Sn取最大值时，n=15. 8.A解析：当n=1时，a1=3;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n- （n-1)2-2(n-1)=2n+1,又a,=3适合上式，所以a.=2n+1 9.C解析：根据已知及等差数列前n项和公式，设Sn=m(n+ 1),T.=m(2m+3),则=8。-8-426-30k_4 b5T3-T465k-44k7 10a-子n解折39n=3a,1,38n3nm,n①， 当n≥2时，3Sn-1+(n-1)2=3(n-1)an-1+(n-1)②，①- ②，得3(Sn-Sn-1)+2n-1=3na。-3(n-1)an-1+1,.3(n- 1):a,-3(n-1)a1=2(n-1),a,-4,=2,n≥2 2 2 2 neN°，.{an}是等差数列.又：a1=3,a.=3n 11.B解析：依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数 列{an},neN”,n≤7，则a1+a2=4,a6ta7=2,a1+a,=a2+ a,=3,所以这根竹子的装米量为S,=a,）=105(升. 2 12.名解析：记第n(neN·)天织布a,尺，由题意可知数列 29 a,}为等差数列，设其公差为d,其前n项和为S,由题意 可得a=6,8w=30,+2901=180+15×2=30,爆得 12 d的 黑题 应用提优 1c解折：8=2-=2(-）厂-2”，即=次两数 &=2-17图象的对称轴为直线=子，且开日向上，又 neN,所以当n=4时，S,取得最小值，所以当Sn取最小值 时n的值为4. 2.C解析：因为等差数列{a}中，S。=3a1,4,>0,所以6a,+ 选择性必修第二册·RJ 15d=3a1,即a1+5d=0①，所以d<0.由Sn>an可得na1+ n(n,1)4,4+(-1)d②，①②联立整理得n-13n+12<0, 解得1<n<12,因为n为正整数，所以n的最大值为11. 3.B解析：由已知得an+1=Sn+1-S。=2S+1Sn,两边同时除 以S5,得11三 2,故数列{号}是以1为首项，2 1 为公差的等差数列，则 =1-2(n-1)=3-2n,所以 S.23-2m 4.B解析：首付11万元，余款14万元，按题意可知是分7次 还清，设每次付款数组成数列{an},则a1=2+14×10%= 3.4(万元)，a2=2+(14-2)×10%=3.2(万元)，a3=2+ （14-2×2)×10%=3(万元)，…，a.=2+[14-2(n-1)]× 10%=[3.4-0.2(n-1)](万元)，因而数列{a.}是首项为 3.4,公差为-0.2的等差数列，则5，=7×3,4+6x(-0.2) 19.6(万元)，因此购车款最后实际共付11+19.6=30.6（万元）. 5.C解析：设公差为d,若d=0,则1+1++1=8，不 aiaz azds asdy 满足题意，所以d≠0，则an=a1+(n-1)d=1+(n-1)d,则 =a号ldal所 1 以1+1++1=1 1-,1+11 ta,a,d（11+di+d1+2a+1+7a )小号（中a)故号(）会解得d=3, 1 故a10=1+9x3=28. 6.A解析：设此数列为{an},则a1=3,a2-a1=1,a3-a2=2, …,a.-a1=n-l(n≥2)，所以a.=(a。-a-1)+(a1-an-2）+ +(a2-a1)+a1=（n-1)+(n-2)+…+1+3= n-1+)m-+3=n0,D+3,所以a-19x18+3=174 2 2 2 7.A解析：因为Sn有最小值，所以数列{an}的公差d>0.因为 a<-a1a12,a(a1+a12)<0,所以a2>0>a1且a1+a12>0,所 以S2=11(a1+a2)>0,S21=21a1<0,所以S2为Sn的最 小正值. 8.A解析：等差数列{an},对任意的neN,均有S6≤Sn成 立，即S。是等差数列{an}的前n项和中的最小值，必有a,< 0,公差d>0,当a6=0,此时S,=S6,S5,S6是等差数列{an}的 前n项和中的最小值，此时a6=a1+5d=0,即a1=-5d,则 2,+6=4,当a6<0,a>0,此时S6是等差数列 的前n项和中的最小值，此时a6=a1+5d<0,a,=a1+6d>0, L+9 <-5,则0a=1+3,则有4， 即-6<a 4700号+6+6 综合可得，°≥4. 9.ABD解析：由S4>Sg,得Sg-S4=a5+a6+a,tag=2(a6+a,)< 0,所以，tn,<0,则Sa=12a,a)=6(as+a,)<0,A正 2 确；因为S4=Sg,所以Sg-S4=a5+a6+a,+ag=2(a6+a,)=0, 即a6+a,=0.因为a1>0,d≠0，所以a6>0,a,<0,则d<0,等差 白题08 数列{an}为递减数列，则S6是S。中的最大值，B正确； 若S3>S6,则S。-S<0,即a6<0.因为a1>0,d≠0，则d<0,故 a5=a6-d,无法判断a的正负，故S,=S4+a,不能判断 S4>S5,C错误；因为S1>S4,所以S4-2=a4<0.因为a1>0,d≠ 0,所以d<0,则a5=a4+d<0,则S,=S4+a5<S4,D正确. 10.5解析：设bn=a2-1+a2n,则{bn}为等差数列，且b,=21, b2=16,公差为-5，即bn=26-5n,故S2n就是{bn{的前n项 和.因为当n≤5时，bn>0,当n≥6时，bn<0,所以n=5 时S2最大. 11.3,5,7,9790解析：当n=2时，a2=a1+2=3;当n=3时， a3=a1+2=3或a3=a2+2=5,即a3=3,5;当n=4时，a4= a1+2=3或a4=a2+2=5或a4=a3+2=5,7,即a4=3,5,7;当 n=5时，a5=a1+2=3或a5=a2+2=5或a5=a3+2=5,7或 a5=a4+2=5,7,9,即a的所有可能取值为3,5,7,9.因为 {a.}中恰有3项具有性质P,且这3项的积为27，且a1= 1,a2=3,可得a2=a3=a4=3,即a2=a3=a4=3具有性质P, 可知从第4项开始是以3为首项，2为公差的等差数列，所 以20.=1+2x3+3x27+27X26x2=790 2 2.（)证明：因为6，=2所以1-6，=1-2-6 0则品2即2、26 6n-1 2-2.因为b,=5,所以女三10.又ab所议 4 2 1-bn1 an-an-1=-2,a1=10,所以{an}是首项a1=10,公差d=-2 的等差数列，所以an=a1+(n-1)d=10+(n-1)×(-2)= 12-2n. (2)解：根据等差数列的前n项和公式可得S。= n(a,+a)n(10+12-2n）=11n-n2,对于二次函数y=-+ 2 2 1111 1x,其对称轴为直线x=2x-)25,5.因为neN, 所以当n=5或n=6时，Sn取得最大值，当n=5时，S,= 11×5-52=30,当n=6时，S6=11×6-62=30,所以Sn存在 最大值，最大值为30，此时n=5或n=6. 13.(1)证明：由na1=2S.+3n,当n≥2时，(n-1)an=2Sn1+ 3(m-1),两式相减得na1-(n-1)a.=2a.+3,即naa1 (n+1)a.=3①，则(n+1)a+2-(n+2)an+1=3②，由①- ②整理得，(n+1)an+2+(n+1)an=(2n+2)a+1,所以an+2+ an=2a+1(n≥2).又a1=3,则当n=1时，a2=2S1+3=2a1+ 3=9,当n=2时，2a3=2S2+6=2(a1+a2)+6=24+6=30,则 a3=15,所以a1+a3=2a2,满足an+2+an=2aa+1,所以a+2+ an=2a+1,故数列{an}为等差数列，且首项为3，公差为6. (2)解：由(1)可知数列{a}是首项为3，公差为6的等差 数列，所以s.=3n+n(n1)×6=3n,则n+1 2 S.Sat1 2n+1 111 3n2.3(n+1)29n 11,11 11 22323242 n2(n+1)2]=9 n2+2n 9(n+1)2 压轴挑战 (1)解：由at-a,=4n+1(n∈N),可得a-a-1=4n-3,n≥2， 且a1=1,则当n≥2时，an=(an-a-1)+(an1-a-2)+…+(a2- 参考答案 a1)）+a,=(4n-3)+(4n-7)++(4x2-3)+1=n1+4n-3》三 2 2n2-n.又n=1时也满足上式，故an=2n2-n. (2)证明：nb1-(n+1)bn=n2+n(n∈N),. bb.=1, n+l n :(合}是公差为1，首项为1的等差数列 3)解：由(2)得经=1+n-1,即=心6 4n2(n+1) 4n ”(2m2-n)[2(a+i2-(t1万(-1）'(2n-12+D (-1) (-r(品2小当=(eN)时，数列1e.的前 骏和8=8=-(+写)（行+兮）-(2)片 2m-1'2n+-1+1 11 =-2n当n=2k-1(keN)时，数列 1+2n+12n+1 6的前。项和8.=1=-(1+了）小+（兮+兮）… -2n 2n+1n=2k, (k∈N). 2n+2 2n+1,n=2k- 4.2阶段综合 黑题 阶段强化 1.A解析：a3=S3-S2=12-4=8,S2=a1+a2=（a3-2d)+(a3- d)=16-3d=4,所以d=4. 2.B解析：由{an}是等差数列，a1+a,=10,可得2a=10,a5= 5,又aa,=35,所以a,=7,所以S0=10(aa）_ 2 10(asta6）=60. 2 3.Ac解新：油2=-1，-10，可得{头}是以10为 n+l n 首项，-1为公差的等差数列，所以=10+(n-1)(-1）= -n+11,所以Sn=-n2+11n,故S11=0,B正确；an=S。-Sn-1= (-n2+11n)-[-(n-1)2+11(n-1)]=-2n+12(n≥2)，又 a1=10,符合上式，所以an=-2n+12(neN*),所以{an}是 以10为首项，-2为公差的等差数列，A正确；又S4=4×10+ 2x(-2)=28,S,=8×10+8x7x 4× 2 ×(-2)=24,S2=12×10+ 12x1x(-2）=-12,所以5。-5。=-4，Sa-,=-36,所 2 以S4,Sg-S4,S12-Sg成等差数列，且公差为-32，D错；又当 n≤6时，an=-2n+12≥0，所以数列{|an1}的前10项和是 1a1l+la21+…+|a1o1=a1+…+a6-(a7+…+a1o）=S6 (S0-S%)=2S。-S0又S,=6×10+6X5 ×(-2)=30,So=10× 10+10x9x(-2)=10,所以数列11a,}的前10项和为60- 10=50,C正确. 4.A解析：由题意可得a1-a2=2,则数列{a}是以a为 黑白题09