专题03 一元一次不等式（组）（专项训练，8大题型+能力提升）数学新教材湘教版七年级下册

专题03 一元一次不等式（组） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、不等式的定义及基本性质 1 题型二、一元一次不等式的解集及用数轴表示 2 题型三、求一元一次不等式的整数解及解的最值 2 题型四、用一元一次不等式解决问题（常考点） 3 题型五、求不等式组的解集 3 题型六、由一元一次不等式组的解集求参数（重点） 4 题型七、不等式组与方程组结合的问题 4 题型八、不等式组的实际应用（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、不等式的定义及基本性质 1．（24-25七年级下·河北唐山·月考）若不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案． 【详解】解：不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的知识和生活常识，根据生活常识，“秤高高的”通常指称量时显示的数值超过目标值，即实际质量大于显示的数值，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的知识和生活常识，进行作答，即可求解； 【详解】由题意可知，摊主称量苹果时显示为，并称“秤高高的”，这表示实际质量超过显示的，因此，用不等式表示为，对应选项C， 故选：C； 3．（24-25七年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义， 根据不等式的定义，用不等号（如）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条件． 【详解】解：① 使用了“<”，是不等式； ② 使用了“>”，是不等式； ③ 是等式，不是不等式； ④ 是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤ 使用了“≥”，是不等式． 故选：B． 4．（24-25七年级下·黑龙江大庆·开学考试）若，则下列不等式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故A、B、D成立，不符合题意； C不成立，符合题意． 5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若，则下列式子错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵已知， 选项不等式两边同时减去，不等号方向不变， ∴，正确； 选项不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得， 两边再同时加，不等号方向不变，可得， ∴错误，错误； 选项由，可得，即，正确； 选项不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，正确． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】依据不等式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，重点关注不等号方向是否正确． 【详解】解：A、由，根据不等式的对称性，不等号方向应相反，得，而不是，不符合题意； B、由，，根据不等式的传递性，得，而不是，不符合题意； C、由，根据不等式的对称性，应得到，不符合题意； D、根据不等式的对称性，由可得，故该变形正确，符合题意． 故选：D． 7．（24-25七年级下·北京通州·期中）一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式__________． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．理解题意，找出数量关系是解题关键．根据题意列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可列不等式为：． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，数轴和不等式的性质等知识点，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据数轴得出，再根据不等式的性质进行变形即可． 【详解】解：由图可知，， ， ． 故答案为：． 题型二、一元一次不等式的解集及用数轴表示 9．（2025·陕西西安·二模）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是不等式的一个解，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入不等式求出的取值范围，即可判断. 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴，即：， 故选：D ． 11．（24-25七年级上·山东聊城·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式．移项合并同类项，再把系数化为1，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 把解集在数轴上表示为： ． 故选：D 12．（24-25七年级上·河北张家口·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 先解不等式，再把其解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， ， ， 把不等式的解集在数轴上表示如下： 故选：A． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在数轴上表示不等式的解集时注意：大于号向右，小于号向左，带等号实心，不带等号空心． 【详解】 解：不等式组的解集在数轴上表示． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）在实数范围内规定新运算“▲”，其规则：．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是（   ） A．－5 B．－1 C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； 根据新定义的运算解出不等式的解，结合数轴上的表示，即可解出k的值． 【详解】解：由， 得， 则． 由数轴，得不等式的解集为， ， 解得； 故选：A． 15．（24-25七年级下·广东茂名·开学考试）解不等式，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，画图见解析 【分析】先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法，画出图示即可求得 【详解】解：去分母得：， ， ， 把解集在数轴上表示如图所示． 16．（24-25七年级下·全国·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ．第二步 由②，得，第三步 ，第四步 ．第五步 故原不等式组的解集为． 圆圆的解答过程从哪一步开始出错？请写出正确的解答过程． 【答案】第一步   过程见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，去括号法则，掌握解不等式时去括号要应用分配律，不等式组解集取各解集的公共部分是解题的关键． 先检查圆圆的解答步骤，发现第一步去括号时漏乘，导致错误，再正确去括号求解每个不等式，最后取两个解集的公共部分． 【详解】解：圆圆的解答过程从第一步开始出错． 正确的解答过程如下： 由①，得， ， ． 由②，得， ． 故原不等式组的解集为． 题型三、求一元一次不等式的整数解及解的最值 17．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 18．（24-25七年级下·广东汕头·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 19．（2025·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 20．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解． 先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解． 【详解】解：解不等式 ， 移项，得：， 两边同时除以 ，不等号方向改变，得：， 因此，不等式的解集为 ， 最大正整数解为：2， 故答案为：2． 21．（24-25七年级下·江苏南通·月考）若关于x的不等式的负整数解有三个，则实数a满足的条件是_______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的整数解，在解不等式时要根据不等式的基本性质． 根据不等式 的负整数解有三个，即负整数解为，通过分析a的取值范围，确保恰好这三个负整数解． 【详解】解：不等式的解集为所有大于或等于a的实数，负整数解有三个，即为， 由于是负整数解，因此，即， 又因为不能是负整数解（否则负整数解有四个），所以， 综上，实数a满足的条件是， 故答案为：． 22．（24-25七年级下·广东清远·期中）不等式的正整数解的和为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 先解不等式求出解集，然后求出整数解，再求和即可． 【详解】解： ， ∴， ∴正整数解为， ∴正整数解的和为， 故答案为：． 23．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）（）解不等式：； （）若（）中的不等式的最小正整数解是方程的解，求的值． 【答案】 （） （） 【分析】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．也考查了一元一次方程的解． （）根据去括号、移项、合并同类项、将系数化为，即可得出答案； （）利用（）中的解集得到不等式的最小正整数解，然后把该解代入方程，计算即可得出答案． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 将系数化为得，； （）由 ()知不等式的解集为，即， ∴这个解集中的正整数有， ∴最小正整数解是， 把代入方程，得到：，即， 解得：． 题型四、用一元一次不等式解决问题（常考点） 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少，若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过，设此试验田的宽为，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据宽和长的关系表示出长，再结合长方形周长公式和篱笆长度的限制列出不等式即可． 【详解】解：∵设试验田的宽为，宽比长少， ∴试验田的长为， ∵篱笆总长度是长方形的周长，要求篱笆总长度不超过， 长方形周长宽长，“不超过”用“”表示， ∴可列不等式为． 25．（2025七年级下·全国·专题练习）今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围（树干的周长）为，已知以后此树树围每年增长，若生长年后此树树围超过，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据生长年后此树树围超过（即），即可得出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：∵ 初始树围为，每年增长， ∴ 年后树围为. 又∵ 树围超过（即）， ∴ ． 故选：A. 26．（24-25七年级下·全国·周测）为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了25道选择题，答对1道得4分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于90分，则他至少要答对的题数是（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设答对题数为，则答错或不答题数为，根据得分规则列出不等式并求解． 【详解】解：设答对题数为，则答错或不答题数为， 依题意得：， 解得：， 故至少需答对题， 故选：D． 27．（24-25七年级下·全国·周测）小唯准备用204元班费买小风扇和水杯，已知小风扇每个30元，水杯每个22元，她买了3个水杯．如果设小唯还可以买个小风扇，那么可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，掌握不超过对应不等号≤，以及正确计算两种物品的总花费是解题的关键． 根据题意，小唯已买个水杯，每个元，花费元；还可以买个小风扇，每个元，花费元，总花费不超过班费元，故用小于等于号． 【详解】解：∵总花费为水杯花费加小风扇花费，即， 且总花费不超过元， ∴不等式为. 故选：D． 28．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 29．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 30．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙的体重分别为和，货物每箱质量为，两人一起乘梯，则每次最多搬运_____箱货物． 【答案】 【分析】本题考查不等式的应用，准确理解题意，列出并求解对应不等式是解题的关键． 电梯限载量减去甲、乙两人体重之和，得到可用于搬运货物的最大重量，再除以每箱货物质量，取整数部分即为最多搬运箱数． 【详解】解：设每次搬运箱货物，则总重量为， 根据限载量，有不等式， 解不等式得， ∵为整数，故最大值为， 故答案为． 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 【答案】10 【分析】根据成品茶叶总质量表示出成品银针的质量，再结合鲜茶叶使用量不超过75千克的条件，列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设生产出的成品毛尖为千克，则生产出的成品银针为千克． 根据题意，得． 去括号，得． 合并同类项，得． 移项，得． 计算得． 系数化为1，得． 故生产出的成品毛尖至多为10千克． 题型五、求不等式组的解集 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）建模解不等式组时，不等式①，②的解集在同一条数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 故选：D． 33．（2025·湖北武汉·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后依据数轴表示规则(空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，大于向右延伸，小于向左延伸)判断正确选项． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴原不等式组的解集为． 在数轴上表示该解集时，在1的位置画空心圆圈并向右延伸，在2的位置画实心圆点并向左延伸，两者的公共部分就是，对应选项C． 34．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再找出解集中符合要求的负整数． 【详解】解：不等式组的解集为：， ∴该不等式组的负整数解是，． 35．（24-25七年级下·山东威海·期末）若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的整数解与一元一次方程的解，分别求解不等式组的解集、方程的解，结合条件确定的取值范围，进而得到符合条件的整数并求和． 【详解】解：先解不等式组，解不等式①，得；解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有2个整数解，结合，可知整数解为2、1， ∴，解得． 再解关于的方程，得， ∵方程的解为非正数，即， ∴，解得． 结合与，得，符合条件的整数为2、3， ∵它们的和为， ∴符合条件的整数的和是5． 故选：C． 36．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 37．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定． 首先解不等式，根据解的情况确定的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 此不等式组有3个整数解， 这3个整数解为3，4，5， 的取值范围是， 故答案为：． 38．（2025·陕西西安·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，把它们的解集表示在数轴上，从数轴上找出解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 把解集表示在数轴上，如下图所示： 由数轴可知，不等式组的解集为． 题型六、由一元一次不等式组的解集求参数（重点） 39．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的字母参数，解题关键是掌握求不等式组的字母参数求法． 先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集是，得到关于m的不等式求解． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴，解得：， 故选：D． 40．（24-25七年级下·广东清远·月考）如果不等式组的解集是，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，求出每个不等式的解集，根据不等式的解集和不等式组的解集即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 故选：C． 41．（24-25七年级下·贵州安顺·期末）如果不等式组有且只有4个整数解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组有4个整数解确定m的取值范围是解题的关键． 先根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有4个整数解即可解答． 【详解】解：∵不等式组的解集是， 又∵不等式组有且只有4个整数解， ∴该不等式组的整数解为2，1，0，， ∴． 故选：D． 42．（24-25七年级下·河南郑州·期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”的规则即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 43．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是___________． 【答案】 【分析】该题考查了不等式组的解集，由已知不等式组的解集为，可确定参数，再代入第二个不等式组求解解集． 【详解】解：∵不等式组，解集为． ∴，且（即)， 设不等式①的解为，不等式②的解为， 解集为， 因此，解得． 将代入第二个不等式组， 得， 解得：． 故答案为：． 44．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）若关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围______． 【答案】 【分析】本题考查不等式组解集的求法，熟练掌握概念是解题的关键． 先确定不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解这一条件来确定的取值范围． 【详解】解：已知不等式组，因为不等式组有解， 可得不等式组的解集为， 因为不等式组有4个整数解， 所以这4个整数解为，，，， 那么需要满足， 这样才能保证不等式组的整数解恰好为，，，． 故答案为：． 45．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于任意实数a，b，定义关于@的运算是：． （1）若，则x的值可以是______（只要写出一个）． （2）若不等式组的解集为，则m的取值范围是______． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了定义新运算，熟练掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数，是解题的关键． （1）根据新定义可得不等式，解之即可得到答案； （2）根据新定义可得不等式，即为，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出m的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 取． 故答案为：3． （2）∵， 由①，得， 解得， ∴， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故答案为：． 46．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）（1）如下是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围写出这道题完整的解题过程． （2）已知不等式组的解集是，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组、一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先解一元一次方程可得，然后根据题意可得，从而进行计算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀确定不等式组的解集，再结合得出关于、的方程组求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 方程的解是非负数， ， ，解得：， 的取值范围为：． （2）， 解不等式得：， 解不等式得：， 该不等式组的解集是， ，， 解得：，， ． 题型七、不等式组与方程组结合的问题 47．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 48．（2025·河南商丘·一模）若方程组的解，满足，则的取值范围为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 49．（24-25七年级下·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 50．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可； 【详解】解： 由①②，得：， ∴， 当时，， 解得： ， ∴， 故答案为： 51．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为______． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查方程组和不等式组的综合，先求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出关于的不等式组，进而求出a的取值范围即可． 【详解】解：由，得：， ∵方程组的解是一对正数， ∴， 解得：． 53．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”． 故答案为：③． （2）解：解方程组得：， ∴， ∵方程组的解是不等式组的梦想解， ∴， ∴， ∴m的整数解为． 54．（24-25七年级下·全国·单元测试）关于，的方程组的解满足为负数，为正数．化简． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组和二元一次方程组的综合应用，求出方程组的解集，根据解集的情况列出不等式组求出的取值范围，化简绝对值即可． 【详解】解：解方程得 根据题意，得 解不等式①，得． 解不等式②，得， ． 当时，． 题型八、不等式组的实际应用（难点） 55．（24-25七年级下·全国·假期作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 56．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 57．（25-26七年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 58．（24-25七年级下·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)元 (2)方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【分析】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 59．（24-25七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，根据件数关系和总金额限制建立不等式解出解集后，取的最小整数解即可． 【详解】解：设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，由题意得： ； ∵ ∴， ∴， ∵取最小整数解， 故 ． 答：该商场购进的乙种智能家电至少为 件． 60．（24-25七年级下·四川泸州·期中）某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ (2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元 (2)共有7种购买方案 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组解决实际问题，找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据“买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元”列出方程，求解即可； （2）设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据“总费用不超过7800元，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍”列出不等式组，求解即可解答． 【详解】（1）解：设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元． （2）解：设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据题意，得 ， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴共有7种购买方案． 61．（24-25七年级下·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 62．（24-25七年级下·浙江金华·期末）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． (1)沙包和篮球的单价各是多少元？ (2)若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 【答案】(1)沙包的单价为12元，篮球的单价为30元 (2)一共有三种方案，分别是：方案一：购买沙包52个，购买篮球38个；方案二：购买沙包53个，购买篮球37个；方案三：购买沙包54个，购买篮球36个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设沙包的单价为元，篮球的单价为元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买沙包个，购买篮球个，根据采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设沙包的单价为元，篮球的单价为元，根据题意得： ， 解得：，， 答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元． （2）解：设购买沙包个，购买篮球个，根据题意得： 解得：， 一共有三种方案，分别是： 方案一：购买沙包52个，购买篮球38个； 方案二：购买沙包53个，购买篮球37个； 方案三：购买沙包54个，购买篮球36个． 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．根据不等式的性质，时，加减相同数不等号方向不变，乘除正数不等号方向不变，乘除负数不等号方向改变． 【详解】解：∵， ∴ 对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：∵，乘以负数，不等号方向改变，∴，故C错误； 对于D：∵，除以正数2，不等号方向不变，∴，故D正确， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质．熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变，是解题的关键．通过对已知不等式进行合理变形，对比选项即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴不等式两边同时加， ∴， 即，其他选项均不符合不等式的基本性质． 故选：． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三条基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：已知， 对于选项A：取特殊值，，则，， ，，故A错误； 对于选项B：根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘，不等号方向改变， ，，故B错误； 对于选项C：根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加，不等号方向不变， ，，即，故C正确； 对于选项D：根据不等式的基本性质3，不等式两边同时除以(即乘)，不等号方向改变， ，，故D错误； 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先求解不等式，再从解集中找出负整数解的个数． 【详解】解： 所以不等式的负整数解为，，，共个． 故选：C． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键．根据去括号、移项、合并同类项即可求得不等式的解集，然后确定正整数解即可． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 则正整数解有3，2，1，一共3个． 故选：C． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）九年级几名同学拍了一张合影．已知冲一张底片需要20元，洗一张相片需要5元．在每名同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不超过6元，那么参加合影的同学人数（   ） A．至少为20 B．至多为20 C．至少为19 D．至多为19 【答案】A 【分析】设同学人数为，根据总费用和平均分摊费用不超过6元，建立不等式求解． 【详解】解：设参加合影的同学人数为， ∵ 总费用为元，平均每人分摊费用为元， ∵ 平均每人分摊费用不超过6元， ∴ ， 化简得， ∴ ， ∴ ， 故参加合影的同学人数至少为20人． 故选：A． 7．（24-25七年级下·河北雄安·月考）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 8．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 9．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式的应用、多项式的次数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先解一元一次方程可得，从而可得，则，再根据多项式的次数可得所有满足条件的正整数的值，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， ∴， ∵关于的多项式是四次多项式， ∴所有满足条件的正整数的值为1和2， ∴所有满足条件的正整数的和是， 故选：A． 10．（25-26七年级下·安徽安庆·开学考试）小程在解“已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围”这题时，墨水把题中的条件给挡住了，通过翻阅参考答案发现的取值范围是或，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】解每个不等式得出不等式组的解集为，然后由或得到或，分别求出整数解，然后求和即可． 本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的能力． 【详解】解：∵ ∴由，得出， 由，得出， ∴不等式组的解集为， ∵的取值范围是或， ∴或， ∴当时，整数解为，0，1，2，3，和为； 当时，整数解为2，3，和为； 综上所述，的值为5． 故选：A． 11．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．先解出每个不等式的解集，再根据题目所给的解集确定的范围． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组的解集为， ， 故选：B． 二、填空题 12．（24-25七年级下·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 13．（24-25七年级下·北京昌平·月考）当_________时，有最小值，最小值是_________； 【答案】 7 【分析】根据题意以及绝对值的非负性，再利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】当x>3时， 当时， =7； 当x<-4时， 当时，有最小值7． 故答案为：；7． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． 【答案】33 【分析】考查一元一次不等式解决实际问题，设B产品的件数为件，根据生产两种产品所需原料总量不超过现有原料量列一元一次不等式，求解后结合实际取整数即可得到B产品的最大件数． 【详解】设生产B产品件，则生产A产品件， 根据题意，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， ， 系数化为1，得， 因为为产品件数，需取非负整数，所以的最大值为33． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元的价格进行计费．现乙复印社表示，若学校先付200元的包月费，则可按每100页15元的价格进行计费．设学校需复印页，则当_____时，乙复印社的收费更少． 【答案】 【分析】先根据两家复印社的计费方式，分别写出费用的表达式，再根据“乙复印社收费更少”列出不等式，最后解不等式求出的取值范围． 【详解】解：甲复印社收费为 元， 乙复印社收费为 元． 要使乙复印社收费更少，即： 移项得： 两边同时除以： ． 因此，当时，乙复印社的收费更少． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·全国·周测）如图，书架长102cm，在该书架上按图所示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚1.2cm，每本语文书厚1.5cm．若书架上已摆放30本语文书，设数学书摆放了本，则可列不等式为_______________________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，掌握根据题意找出不等关系，正确表示两种书的总厚度是解题的关键． 先计算本语文书的总厚度，再表示出本数学书的总厚度，根据 两种书的总厚度不超过书架长度的条件，列出不等式． 【详解】解：本语文书的总厚度：， 本数学书的总厚度：， 总厚度不超过， 因此可列不等式：． 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）计算： (1)． (2)解不等式，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解一元一次不等式，熟练掌握相关运算法则及解不等式的方法是解题的关键． （1）先计算乘方、立方根及化简绝对值，再计算加减，即可得答案； （2）根据解一元一次不等式的方法移项，合并同类项，得出不等式的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 移项，得， 合并同类项，得， 在数轴上表示如下： 18．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，它的所有整数解的和为 【分析】本题考查了求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解，然后求得它的所有整数解，再求和即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解为， 它的所有整数解为，，0，1， 它的所有整数解的和为． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）定义新运算：对于任意实数，，都有．比如：． (1)求的值． (2)若的值大于－2，求x的取值范围，并在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据题意得出有理数混合运算的式子，再求出其值即可； （2）先得出有理数混合运算的式子，再根据的值大于，求出的取值范围，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 的值大于， ． 如图．    20．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于，的方程组的解满足，请求出满足条件的正整数的值． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查了解二元一次方程组及解一元一次不等式，解方程组得，将此代入，解不等式，即可求解． 【详解】解：， ①②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的正整数的值为1，2，3，4． 21．（2025·河北邯郸·三模）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，． (1)________（用含m的代数式表示）； (2)若点B为线段的中点，求的长； (3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值． 【答案】(1) (2) (3)整数x的最小值为25 【分析】（1）直接利用两点之间的距离公式进行计算即可； （2）点B为线段的中点，可得，再建立方程求解即可； （3）由，，，再利用当与的差不小于，建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，， ∴； （2）∵点B为线段的中点， ∴， ∵，， 即， 解得． ∴B点表示的数为， ∴． （3）∵，，， 由题意得， 解得， ∴， ∴整数x的最小值为25． 22．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件 (2)至少需要购买67个“滨滨”摆件 (3)能，可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件个，根据题意确定的取值范围，即可确定答案； （3）根据题意求出，进而作答即可. 【详解】（1）解：设“滨滨”摆件的零售价为x元/件，“妮妮”摆件的零售价为y元/件，依题意，列得方程组得， 解得 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件； （2）解：设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件个， ∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件的数量的2倍， ， 解得：． ∵m应为正整数， ∴可得m至少为67． 答：至少需要购买67个“滨滨”摆件； （3）解：商店售完这100个摆件能实现利润超过2310元的目标． 根据题意，得：， 解得： ， ∵m应为正整数， ∴m可以取67，68． 当时，；当时，． 答：可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式（组） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、不等式的定义及基本性质 1 题型二、一元一次不等式的解集及用数轴表示 2 题型三、求一元一次不等式的整数解及解的最值 2 题型四、用一元一次不等式解决问题（常考点） 3 题型五、求不等式组的解集 3 题型六、由一元一次不等式组的解集求参数（重点） 4 题型七、不等式组与方程组结合的问题 4 题型八、不等式组的实际应用（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、不等式的定义及基本性质 1．（24-25七年级下·河北唐山·月考）若不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级下·黑龙江大庆·开学考试）若，则下列不等式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若，则下列式子错误的是（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 7．（24-25七年级下·北京通州·期中）一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式__________． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____（填“”“”或“”）． 题型二、一元一次不等式的解集及用数轴表示 9．（2025·陕西西安·二模）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是不等式的一个解，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·山东聊城·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·河北张家口·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）在实数范围内规定新运算“▲”，其规则：．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是（   ） A．－5 B．－1 C．1 D．5 15．（24-25七年级下·广东茂名·开学考试）解不等式，并在数轴上把解集表示出来． 16．（24-25七年级下·全国·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ．第二步 由②，得，第三步 ，第四步 ．第五步 故原不等式组的解集为． 圆圆的解答过程从哪一步开始出错？请写出正确的解答过程． 题型三、求一元一次不等式的整数解及解的最值 17．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（24-25七年级下·广东汕头·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 19．（2025·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是_______． 21．（24-25七年级下·江苏南通·月考）若关于x的不等式的负整数解有三个，则实数a满足的条件是_______． 22．（24-25七年级下·广东清远·期中）不等式的正整数解的和为___________． 23．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）（）解不等式：； （）若（）中的不等式的最小正整数解是方程的解，求的值． 题型四、用一元一次不等式解决问题（常考点） 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少，若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过，设此试验田的宽为，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 25．（2025七年级下·全国·专题练习）今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围（树干的周长）为，已知以后此树树围每年增长，若生长年后此树树围超过，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·全国·周测）为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了25道选择题，答对1道得4分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于90分，则他至少要答对的题数是（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 27．（24-25七年级下·全国·周测）小唯准备用204元班费买小风扇和水杯，已知小风扇每个30元，水杯每个22元，她买了3个水杯．如果设小唯还可以买个小风扇，那么可列不等式为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 30．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙的体重分别为和，货物每箱质量为，两人一起乘梯，则每次最多搬运_____箱货物． 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 题型五、求不等式组的解集 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）建模解不等式组时，不等式①，②的解集在同一条数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（2025·湖北武汉·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 35．（24-25七年级下·山东威海·期末）若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 36．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 37．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是______． 38．（2025·陕西西安·一模）解不等式组：． 题型六、由一元一次不等式组的解集求参数（重点） 39．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．（24-25七年级下·广东清远·月考）如果不等式组的解集是，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级下·贵州安顺·期末）如果不等式组有且只有4个整数解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·河南郑州·期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 43．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是___________． 44．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）若关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围______． 45．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于任意实数a，b，定义关于@的运算是：． （1）若，则x的值可以是______（只要写出一个）． （2）若不等式组的解集为，则m的取值范围是______． 46．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）（1）如下是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围写出这道题完整的解题过程． （2）已知不等式组的解集是，求的值． 题型七、不等式组与方程组结合的问题 47．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 48．（2025·河南商丘·一模）若方程组的解，满足，则的取值范围为___________． 49．（24-25七年级下·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 50．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是_________． 51．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为______． 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 53．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 54．（24-25七年级下·全国·单元测试）关于，的方程组的解满足为负数，为正数．化简． 题型八、不等式组的实际应用（难点） 55．（24-25七年级下·全国·假期作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 56．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 57．（25-26七年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 58．（24-25七年级下·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 59．（24-25七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 60．（24-25七年级下·四川泸州·期中）某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ (2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 61．（24-25七年级下·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 62．（24-25七年级下·浙江金华·期末）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． (1)沙包和篮球的单价各是多少元？ (2)若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）九年级几名同学拍了一张合影．已知冲一张底片需要20元，洗一张相片需要5元．在每名同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不超过6元，那么参加合影的同学人数（   ） A．至少为20 B．至多为20 C．至少为19 D．至多为19 7．（24-25七年级下·河北雄安·月考）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 8．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（25-26七年级下·安徽安庆·开学考试）小程在解“已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围”这题时，墨水把题中的条件给挡住了，通过翻阅参考答案发现的取值范围是或，则的值为（ ） A． B． C． D．或 11．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 12．（24-25七年级下·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 13．（24-25七年级下·北京昌平·月考）当_________时，有最小值，最小值是_________； 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多________件． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元的价格进行计费．现乙复印社表示，若学校先付200元的包月费，则可按每100页15元的价格进行计费．设学校需复印页，则当_____时，乙复印社的收费更少． 16．（24-25七年级下·全国·周测）如图，书架长102cm，在该书架上按图所示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚1.2cm，每本语文书厚1.5cm．若书架上已摆放30本语文书，设数学书摆放了本，则可列不等式为_______________________． 三、解答题 17．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）计算： (1)． (2)解不等式，并把解集表示在数轴上． 18．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）定义新运算：对于任意实数，，都有．比如：． (1)求的值． (2)若的值大于－2，求x的取值范围，并在数轴上表示出来． 20．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于，的方程组的解满足，请求出满足条件的正整数的值． 21．（2025·河北邯郸·三模）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，． (1)________（用含m的代数式表示）； (2)若点B为线段的中点，求的长； (3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值． 22．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $