第5讲 数列的奇偶项问题(专题跟踪检测)-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

第5讲　数列的奇偶项问题 （时间：45分钟，满分：58分） 1.（13分）已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＋an＝3·2n. （1）求证：{an－2n}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和Sn. 2.（15分）（2025·四川自贡二模）已知数列{an}的前n项和Sn＝（n∈N*），数列{bn}是正项等比数列，满足b1＝a2，b3＝a8. （1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn＝（k∈N*），记数列{cn}的前n项和为Tn，求T99. 3.（15分）（2025·河北秦皇岛二模）已知数列{an}是公差大于2的等差数列，其前n项和为Sn，a2＝5，且a1＋1，a2＋1，a5－2成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn＝（－1）n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn. 4.（15分）（2025·贵州贵阳模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，8Sn＝＋4an－21. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足bn＝an·cos（nπ）·2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 第5讲数列的奇偶项问题 1.解：(1)证明：由题意，数列{an}满足an+1十an=3·2”,即a+1=一an十3·2”， 则241 学-特1 又由a1=1,可得a1-21=-1, 所以数列{a,一2”叫是首项为一1，公比为一1的等比数列， (2)由(1)知a,-2m=-1×(-1)n-1=(-1)”,得4，=(-1)n+2", 所以数列{a的前n项和S=2-+-日凸=2+1+，上5 1-2 1--1） 2.解：(1)因为S=(n∈N), 所以n=1时a1=1. 当n≥2时，n-1=-1)m1, 所以a=8一8-1=学-141=n(n≥2》， a1=1满足4，=n,所以a,=n(n∈N*). 因为数列{bm}是正项等比数列，b1=a2=2,b3=as=8, 所以公比q=2,bn=2”. （n,n=2k-1, (2)由1)知cm={z,n=2k,k∈N), T9=(1+3+5+…十99)+(22+24+十28)=50+99+141=2500+41= 2 14 3 450+7496 3 3.解：(1)设等差数列{a}的公差为d(d>2),则a41=a2-d=5-d,a5=a2+3d=5+3d, 由a1+1,a2+1,a5-2成等比数列，得(6-d)(3+3d)=62,而d>2,解得d=3, 所以数列{a}的通项公式为an=a2十(n-2)d=3n一1. (2)由1脊6=(-1)品=(-1)1京+动)， 当n为偶数时，T=(是十言)一（吉+合）+（合+立)一（立+年）++（点十3点） （3点十）=-3本2， 当n为奇数时，T=(是+言)一（言+言)+（吉+立)一（量+年）十.一（点十点）+ （3点十2）=支十， 1/2 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 山为偶数， 所以工=+n为奇数. 4.解：(1)由8Sm=孟+4an-21, 得当n≥2时，8Sm-1=民-1+4aa-1-21. 两式相减得8an=品-子-1+4an一4am-1 整理得4(an十an-1)=(an十an-1）(an-an-1), ,{a}为正项数列，∴.an十a,-1≠0，.ana,-1=4. 当n=1时，8S1=子+4a1-21=8a1,解得a4=7. ∴.{an}是以7为首项，4为公差的等差数列， ∴.am=7+4×(n-1)=4n+3. (2)当n=2k+1,k∈Z时，cos(m)=-1;当n=2k,k∈Z时，cos(m)=1, .bm=an·(-1)n·2=(4n十3)·(-2)”， ∴.Tn=b1+b2十b3+..+bm =(4+3)×(-2)+(4×2+3)×(-2)2+(4×3+3)×(-2)3+..+(4n+3)×(- 2)n, -2Tm=(4+3)×(-2)2+(4×2+3)×(-2)3+(4×3+3)×(-2)4+..+(4n+3)× (-2)+1, 两式相减得：3Tm=(4+3)×(-2)+4[(-2)2+(-2)3+..+(-2)]-(4n+3)×(- 2)n+1 =4x29+8+6×（-2》-6 =号×(-2)n-号+(8n十6)×(-2)"-6 =2时2×(-2)"-9， 3 “Tn=24m+26k-21-26 0 2/2 ·独家授权侵权必究