第4讲 数列求和(专题跟踪检测)-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

第4讲　数列求和 （时间：45分钟，满分：60分） 1.（13分）已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1－（n＋1）an＝1，数列{bn}满足bn＝. （1）证明：{bn}是常数数列； （2）若数列{cn}满足cn＝sin＋，求{cn}的前2n项和S2n. 2.（15分）已知{an}是无穷正整数数列，定义操作D（k，s）为删除数列{an}中除以k余数为s的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列{bn}.若an＝3n－1，n∈N*，进行操作D（3，1）后剩余项组成新数列{bn}，设数列{log3（an＋bn）}的前n项和为Sn. （1）求Sn； （2）设数列{cn}满足cn＝log3b2n－1，求数列{}的前n项和. 3.（15分）（2025·江苏南通模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝4，2Sn＝（n＋1）an，n∈N*. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜3. 4.（17分）设{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，2an＝a2n－1，a4＝7，b1＝2a1，b3＋b5＝40. （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn. ①证明＜1； ②求（－1）iTi. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 第4讲数列求和 1.解：（1)证明：因为61一6-- n(1+a41上+1)(1+az】 叶1m =tn3++1-(+1a=H1-+1 +1m (+1n =0,所以bn+1=bn,所以{bn}是常数数列. (2)因为a=1,所以b,=b1=生=2， 所以+=2，所以a,=2n-1. 所以cn=sim[受(2n-1]+22m-1=sin(m-受）+22m-1, 所以S,=[sin受十sin要+sim受+.十sim(2m-受)]+(21+23+25+.+24r-1) =(1-1+1-1+.-1)+2141=2+12 14 3 2.解：(1)因为an=3n-1,可知a1=1(满足除以3余数为1)，当n≥2时，am为3的倍数， 进行操作D(3,1),即删除a1,剩余a2,a3,a4,a5,, 则b,=a+1=3%,可得log3(a,+b,)=log3(3w-1+3")=log3(4·3w-1)=n+log34-1, 所以S,=+1+(1og34-1)m 2 (2)由(1)可知cm=log3b2m-1=log332m-1=2n-1, 1 则=2m2叶1=专（点-）， 所以数列{的前n项和T。=支(1-青+青-言十十点一本）=支(1-动)=品。 3.解：(1)当n≥2时，2Sn=(n十1)a,2Sm-1=nan-1,相减可得2am=(n+1)am-nam-1, 化简可得是=片，由累乘法可得a,=品·器··贵·a=舟··…呈×4=4n, 显然a1=4满足上式，故数列{an}的通项an=4n. (2)证明：由bn=是=4n·（专)”， 则Tm=4×青+8×（青)2+12×（青）3+十4n·(青)”， 青Tm=4×(专)2+8×（青）3+12×（专）4+十4n·(青)+1， 两式相减可得号I,=4×待十4×（专）2+4×（青）3++4×（专）n-4n·(青)n+1 =4x0月-a…》12-2x》。…( 所以Tm=3-3×(青)n-2n·(青)n=3-(3十2n)·(青)n<3. 4.解：(1)设等差数列{am}的公差为d,等比数列{b}的公比为q(q>0), 1/2 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 an=a+(n-1)d,bn=big"1, 因为2a,=a2m-1,可得2a1+2d(n-1)=a1+d(2n-1)-1,解得a=d-1, 又因为a4=a+3d=7,可得a1=1,d=2, （b1=2a=2, 又由b1=2a且b+b,=40,可得{b4q2+bgt=40,解得g=2（负值舍去）， 所以a4m=2n一1，bn=2” (2)①证明：由a,=2n-1,可得S,=a=, 2 所以熟-行古中中， 凸+1 测召器=(1-)+（分-字）++[京-中7]=1-中7<1. ②由b,=2”,可得7m=221=2+1-2, 1-2 则(-1)2m-172-1V52n1+(-1)272NS2 =-(22m-2)(2n-1)+(22m+1-2)2n=(2n+1)·221-2=(2n十1)·4n-2, 可得Am=3×41+5×42+..+（2n-1)×4m-1+(2n+1)·4", 则44m=3×42+5×43+.+(2n-1)×4+(2n+1)·4+1, 两式相减得-34m=12+2(42+43+..十4")-(2n+1)·4m+1, =12+2.坐-(2m+1）×4r1=手-专(6m+1D·4+1, 所以Aw=号+青(6n十1)·4+1， 即2（-1)x5=号+o+112n 2/2 ·独家授权侵权必究·