第1讲 三角函数的图象与性质(专题跟踪检测)-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

第1讲　三角函数的图象与性质 （时间：60分钟，满分：84分） 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1.函数f（x）＝x·tan x的奇偶性为（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 2.（2025·湖南长沙模拟预测）函数f（x）＝｜sin（2x＋）｜的最小正周期是（　　） A.　　　B. C.π　　　D.2π 3.（2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A. B. C. D. 4.将函数f（x）＝3sin（x＋）的图象上各点向右平移个单位长度得函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间为（　　） A.［2kπ－，2kπ＋］，k∈Z B.［4kπ－，4kπ＋］，k∈Z C.［6kπ－，6kπ＋］，k∈Z D.[4π，9π] 5.（2025·陕西西安二模）已知ω＞0，函数f（x）＝cos（ωx＋）－3的最小正周期为T，若＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，则f（－）＝（　　） A.－4 B. C.－2 D. 6.（2022·全国甲卷理11题）设函数f（x）＝sin在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，ω＞0，A＞0）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式可以为（　　） A.g（x）＝2sin（3x＋） B.g（x）＝2cos（3x＋） C.g（x）＝2sin（3x－） D.g（x）＝－2cos（3x－） 8.（2025·浙江金华二模）某美妙音乐的模型函数为f（x）＝sin x＋sin 2x＋sin 3x，则关于该函数下列说法正确的是（　　） A.最小正周期为3π B.是偶函数 C.在区间（－，）上单调递增 D.最大值为 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9.已知函数g（x）＝sin πx，h（x）＝πx＋π1－x，对于函数f（x）＝，下列结论中正确的是（　　） A.函数f（x）是奇函数 B.函数f（x）在区间[0，1]上单调递增 C.函数f（x）的图象是轴对称图形 D.函数f（x）在区间[－π，π]上有7个零点 10.如图是因不慎丢失部分图象后，函数f（x）＝2tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的局部图象，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为 B.（，0）是f（x）图象的一个对称中心 C.｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z） D.f（x）的图象是由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移个单位长度得到的 11.已知函数f（x）＝2cos（2x＋φ）（｜φ｜＜）的图象与函数g（x）＝sin （ωx＋）的图象的对称中心完全相同，且在（0，）上，f（x）有极小值，则（　　） A.f（φ）＝－2 B.g（φ）＝1 C.函数f（x－）是偶函数 D.g（x）在（－，－）上单调递增 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.将函数f（x）＝sin（2x＋φ）图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值　　　　. 13.已知函数f（x）＝sin （2ωx－）－1（ω＞0）在区间[0，π]上恰有两个零点，则ω的取值范围是　　　　. 14.（2025·山东泰安一模）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋）cos ωx－（ω＞0）的最小正周期为π，f（x）在（－，）上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线y＝a交于点C，D，且｜AB｜＝2｜CD｜，则a＝　　　　. 高考新风向 15.（5分）〔创新知识交汇〕如图所示，将绘有函数f（x）＝Msin（x＋φ）（M＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时A，B之间的距离为3，则φ＝（　　） A. B. C. D. 16.（6分）〔多选〕〔创新情境〕《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象上，且图象过最高点（，2），相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是（　　） A.ωφ＝ B.当x∈［0，］时，f（x）的值域为[－，2] C.f（x）在区间［－，］上单调递增 D.将f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲　三角函数的图象与性质 1.B　函数f（x）的定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称，又f（－x）＝（－x）tan（－x）＝xtan x＝f（x），故函数f（x）为偶函数. 2.B　因为函数y＝sin（2x＋）的最小正周期T＝＝＝π，所以函数f（x）＝｜sin（2x＋）｜的最小正周期为.故选B. 3.B　令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan（x－）的图象的对称中心为（＋，0），k∈Z，由题意知a＝＋，k∈N，其最小值为.故选B. 4.C　将f（x）＝3sin（x＋）的图象向右平移个单位长度后，得到g（x）＝3sin［（x－）＋］，即g（x）＝3sin（x＋）的图象，令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得6kπ－≤x≤6kπ＋，k∈Z，所以g（x）的单调递增区间为［6kπ－，6kπ＋］，k∈Z.故选C. 5.A　由＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3，因为y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，即ω＝k－，k∈Z，所以ω＝×4－＝，则f（－）＝cos［×（－）＋］－3＝－4.故选A. 6.C　依题意可得ω＞0，因为x∈（0，π），所以ωx＋∈（，ωπ＋），又y＝sin x，x∈（，3π）的图象如图所示， 则＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤，即ω∈（，］.故选C. 7.A　由题意得－π＝＝T，所以T＝，故ω＝3，因为3×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，即f（x）＝Asin（3x－＋2kπ）＝Asin（3x－）.又因为f（）＝Asin（－）＝Asin＝－2，A＞0解得A＝2，即f（x）＝2sin（3x－）.将f（x）的图象向左平移个单位长度，可得到函数g（x）＝2sin［3（x＋）－］＝2sin（3x＋）.故选A. 8.C　A选项，f（x＋2π）＝sin（x＋2π）＋sin（2x＋4π）＋sin（3x＋6π）＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＝f（x），A错误；B选项，f（－x）＝sin（－x）＋sin（－2x）＋sin（－3x）＝－sin x－sin 2x－sin 3x＝－f（x），B错误；C选项，f'（x）＝cos x＋cos 2x＋cos 3x，当x∈（－，）时，2x∈（－，），3x∈（－，），f'（x）＞0，函数单调递增，C正确；D选项，＝1＋＋，当sin x＝1时，x＝＋2kπ，此时，sin 2x＝0，sin 3x＝－，即三项无法同时取到最大值，D错误.故选C. 9.CD　因为g（x）为奇函数，而h（1）＝π＋1，h（－1）＝π2＋，所以h（x）＝πx＋π1－x为非奇非偶函数，所以f（x）为非奇非偶函数，A不正确；因为f（0）＝f（1）＝0，所以函数f（x）不可能在[0，1]上单调递增，B不正确；因为f（1－x）＝f（x），所以x＝是f（x）图象的对称轴，C正确；因为f（x）＝0，则sin πx＝0，即x＝k，k为整数，所以f（x）在区间[－π，π]上的零点为－3，－2，－1，0，1，2，3，共7个零点，D正确. 10.AC　由图象可知f（x）的最小正周期T＝×［－（－）］＝，故A正确；由T＝＝，则ω＝2，即f（x）＝2tan（2x＋φ），由图象的对称性可知（，0）为函数f（x）的一个对称中心，且在函数图象上，所以f（）＝2tan（＋φ）＝0，因为｜φ｜＜，所以φ＝－，则f（x）＝2tan（2x－），当x＝时，f（）＝2tan（－）＝2≠0，所以（，0）不是f（x）图象的一个对称中心，故B错误；令2x－＝，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函数f（x）的对称中心为（＋，0），则｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，故C正确；由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到y＝2tan 2x，再向右平移个单位长度，得到y＝2tan［2（x－）］＝2tan（2x－）≠f（x），故D错误.故选A、C. 11.AD　由题意，函数f（x）与g（x）的最小正周期相同，则｜ω｜＝2，且｜φ｜＜.当ω＝2时，g（x）＝sin（2x＋），其一个对称中心为（－，0），也是f（x）＝2cos（2x＋φ）的一个对称中心，所以f（－）＝2cos（－＋φ）＝0，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，所以φ＝－，所以f（x）＝2cos（2x－），x∈（0，），2x－∈（－，），f（x）有极大值，无极小值，不合题意；当ω＝－2时，g（x）＝sin （－2x＋）＝－sin（2x－），其一个对称中心为（，0），也是f（x）＝2cos （2x＋φ）的一个对称中心，所以f（）＝2cos（＋φ）＝0，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，所以φ＝，所以f（x）＝2cos（2x＋），x∈（0，），2x＋∈（，），f（x）有极小值，满足题意.f（φ）＝f（）＝2cos π＝－2，g（φ）＝g（）＝sin（－）＝－1，A项正确，B项不正确；f（x－）＝2cos（2x－），不是偶函数，C项不正确；当－＜x＜－时，－＜2x－＜－，函数y＝sin x在（－，－）上单调递减，则g（x）在（－，－）上单调递增，D项正确.故选A、D. 12.－（答案不唯一）　解析：将函数f（x）＝sin（2x＋φ）图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为g（x）＝sin［4（x＋）＋φ］＝sin（4x＋＋φ），由题意知g（x）的图象关于y轴对称，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，得φ＝－. 13.［，）　解析：由0≤x≤π得－≤2ωx－≤2πω－.令f（x）＝0，则sin（2ωx－）＝1在区间[0，π]上恰有两个实数根.令t＝2ωx－，则sin t＝1在区间［－，2πω－］上恰有两个实数根.结合正弦函数图象与性质，可得≤2πω－＜，解得≤ω＜. 14.　解析：因为f（x）＝2sin（ωx＋）cos ωx－＝2（sin ωx·＋cos ωx·）cos ωx－＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin（2ωx＋）.又函数最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，即ω＝1，所以f（x）＝sin（2x＋）.当x∈（－，）时，2x＋∈（0，π），所以sin（2x＋）∈（0，1].作函数f（x）＝sin （2x＋），x∈（－，）的草图如图所示， 函数f（x）图象关于直线x＝对称.设｜CD｜＝2t，则B（＋2t，a），D（＋t，a），0＜t＜，所以sin ［2（＋t）＋］＝sin［2（＋2t）＋］⇒cos 2t＝cos 4t⇒cos 2t＝（2cos22t－1）⇒2cos22t－cos 2t－＝0，解得cos 2t＝或cos 2t＝－（舍去），所以a＝sin［2（＋2t）＋］＝cos 4t＝2 cos22t－1＝2×－1＝. 15.B　过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，在平面ACD内作AE∥x轴，DE⊥x轴交于点E，连接AB，BE，则∠BDE是二面角的平面角，即∠BDE＝，BD＝DE＝M，则BE＝2BDcos＝M，由x轴垂直于BD，DE，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，得x轴垂直于平面BDE，又AE∥x轴，则AE⊥平面BDE，而BE⊂平面BDE，因此AE⊥BE，又函数f（x）的周期T＝＝6，即AE＝CD＝3，由勾股定理得BE2＋AE2＝AB2，即3M2＋9＝18，解得M＝，而函数f（x）的图象过点（0，），则f（0）＝sin φ＝，即sin φ＝，又0＜φ＜π，且0在f（x）的递减区间内，所以φ＝.故选B. 16.AC　由题设知，函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的周期满足＝＝，解得ω＝2，且A＝2，f（）＝2sin（2×＋φ）＝2，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜，则φ＝，所以f（x）＝2sin（2x＋）.对于A，ωφ＝2×＝，故A正确； 对于B，由x∈［0，］可得2x＋∈［，］，故f（x）∈[－1，2]，故B错误； 对于C，由x∈［－，］可得2x＋∈［－，］，结合正弦函数的性质知f（x）在x∈［－，］上单调递增，故C正确；对于D，将f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得g（x）＝f（x）＝2sin（x＋），因g（）＝2sin（＋）≠0，即得到的函数图象不关于点（，0）对称，故D错误.故选A、C. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $