第7讲 函数的图象与性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件（提升版）

第7讲　函数的图象与性质 考情分析 函数的图象与性质、函数与方程是高考考查的重点和热点，主要考查函数图象的识别与应用、函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）及零点问题等，多以选择题、填空题的形式呈现.难度中等或偏上. 　函数的图象 考点一 目录 / CONTENTS 　函数的性质 考点二 　函数与方程 考点三 　嵌套函数的零点 突破点 课时作业 考点一　函数的图象 目 录 【例1】　（1）（2024·全国甲卷理7题）函数y＝－x2＋（ex－e－x） sin x 在区间[－2.8，2.8]的图象大致为（　B　） B 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 由题知函数y＝f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（－ x）＝－（－x）2＋（e－x－ex） sin （－x）＝－x2＋（ex－e－x） sin x＝ f（x），所以函数f（x）为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、 C；f（1）＝－1＋（e－ ） sin 1＞－1＋（e－ ） sin ＝－1＋ － ＞ 0，排除D. 故选B. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）（2025·河北保定十县一中联考）已知f（x）是定义在R上的奇函 数，且当x＞0时，f（x）＝x－a.若∀x∈R，f（x－a2）≤f（x），则 a的取值范围为（　D　） A. （－∞，0] B. （－∞，2] C. [0，2] D. （－∞，0]∪[2，＋∞） D 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 当a＝0时，f（x－a2）≤f（x）显然恒 成立.当a≠0时，f（x－a2）≤f（x）可以理解为将f （x）的图象向右平移a2个单位长度后，得到的f（x－ a2）的图象始终在f（x）的图象的下方（部分重合）. 当a＞0时，由f（x）的图象可知，a2≥2a，解得a≥2；当a＜0时，由f（x）的图象可知，f（x－a2）的图象始终在f（x）的图象的下方，故a的取值范围为（－∞，0]∪[2，＋∞），故选D. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　（1）确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如 定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求 的图象； （2）函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点 和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值或取值范围、交点、方程的根 等问题. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练1】　（1）已知函数f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式 可能为（　D　） A. f（x）＝ B. f（x）＝ C. f（x）＝ cos x·ln ｜x｜ D. f（x）＝ sin x·ln ｜x｜ D 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 由题图知，f（x）为奇函数，且定义域为{x｜x≠0}，对于 A，f（－x）＝ ＝ ＝f（x），故f（x）为偶函数，不 符合题意；对于B，f（－x）＝ ＝ ≠－f（x），故f （x）不是奇函数，不符合题意；对于C，f（－x）＝ cos （－x）·ln ｜ －x｜＝ cos x·ln ｜x｜＝f（x），故f（x）为偶函数，不符合题意.对于 D，f（x）＝ sin x·ln ｜x｜的定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝ sin （－ x）·ln ｜－x｜＝－ sin x·ln ｜x｜＝－f（x），所以f（x）＝ sin x·ln ｜ x｜是奇函数，故选项D正确.故选D. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）（2025·云南玉溪第一中学9月月考）若 ·x3＝ln x2·x3＝1，则下列 不等关系一定不成立的是（　B　） A. x3＞x2＞x1 B. x3＞x1＞x2 C. x2＞x1＝x3 D. x2＞x1＞x3 解析： 因为 ·x3＝ln x2·x3＝1，则 ＝ln x2＝ ，由 ＞0，得x2＞1，x3＞0，作函数y＝ex，y＝ln x，y＝ （x＞0）的图象，同时作出y＝m，如图，变 换m的值可以发现x3＞x2＞x1，x2＞x1＝x3，x2＞x1＞x3 均能够成立，x3＞x1＞x2不可能成立.故选B. B 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 考点二　函数的性质 目 录 【例2】　（1）（2025·山东日照一模）定义在R上的函数y＝f（x）满足 以下条件：①f（－x）－f（x）＝0；②对任意x1，x2∈[0，＋∞），当 x1≠x2时都有 ＞0.则f（－ ），f（π），f（－3）的大 小关系是（　A　） A. f（π）＞f（－3）＞f（－ ） B. f（π）＞f（－ ）＞f（－3） C. f（π）＜f（－3）＜f（－ ） D. f（π）＜f（－ ）＜f（－3） A 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：因为定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（－x）－f（x）＝0，所以函数f（x）是偶函数，对任意x1，x2∈[0，＋∞），当x1≠x2时都有 ＞0，所以不妨设x1＞x2，则有f（x1）－f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2），因此x∈[0，＋∞）时，函数f（x）单调递增，因为函数f（x）是偶函数，所以f（－ ）＝f（ ），f（－3）＝f（3），因为x∈[0，＋∞）时，函数f（x）单调递增，所以f（π）＞f（3）＞f（ ），即f（π）＞f（－3）＞f（－ ），故选A. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1＋x）＝f（1－x），当－ 1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），则f（ ）＝（　B　） A. －1 B. －2 B 解析：因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，又当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），所以f（ ）＝f（8＋ ）＝f（ ）＝－f（－ ）＝－log2［－6×（－ ）＋2］＝－log24＝－2，故选B. C. 2 D. 1 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　函数周期性、对称性及奇偶性的转化 （1）利用函数的周期性，可将待求区间上的求值、求零点个数、求解析 式等问题转化为已知区间上的相应问题，进而求解； （2）若函数f（x）在定义域R上满足f（x＋a）＋f（x）＝0 （a≠0），则可转化为f（x）是周期函数，T＝2｜a｜为f（x）的一个 周期； （3）若函数f（x）在定义域R上满足f（a＋x）＝f（b－x），则图象 关于x＝ 对称. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练2】　（1）已知函数f（x）＝ 是定义在R上的 增函数，且关于x的不等式f（a＋x2）≥f（x）恒成立，则实数a的取值 范围是（　D　） A. ［0， ］ B. ［－ ，1］ C. ［－ ， ］ D. ［ ，1］ D 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 因为函数g（x）＝a－2－x（x≤0）与h（x）＝ln（x＋1） （x＞0）均是增函数，所以，要使函数y＝f（x）是R上的增函数，只需 满足g（0）≤h（0），即a－1≤0，解得a≤1，由f（a＋x2）≥f（x） 得a＋x2≥x，即a≥－（ x－ ）2＋ 恒成立，所以，当x＝ 时，函数y ＝－（ x－ ）2＋ 取得最大值 ，所以a≥ ，即a∈［ ，1］，因此， 实数a的取值范围是［ ，1］，故选D. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）（2025·山西孝义第二中学校月考）设定义在R上的函数f（x）的图 象关于x＝1对称，f（x＋2）为奇函数，若f（1）＋f（2）＝2，则 f （k）＝（　B　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 026 B 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 定义在R上的函数f（x）的图象关于x＝1对称，则f（2－x） ＝f（x），由f（x＋2）为奇函数，得f（－x＋2）＝－f（x＋2），于 是f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），因此函 数f（x）是以4为周期的周期函数，由f（x＋2）＝－f（x），得f（1） ＋f（3）＝f（2）＋f（4）＝0，由f（－x＋2）＝－f（x＋2），得f （2）＝0，而f（1）＋f（2）＝2，则f（1）＝2，所以 f（k）＝ 506[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（1）＋f（2）＝2.故选B. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 考点三　函数与方程 目 录 【例3】　已知函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x－1），且当x∈[0，2] 时，f（x）＝x2－2x，若关于x的方程f（x）＝k在区间[－2，4]上有6 个不同的实数根，则k的取值范围是（　　） A. （－1，0） B. （－1，1） C. （0，2） D. （0，1） A 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　因为f（x＋1）＝f（x－1），所以f（x） ＝f（x＋2），得到f（x）的周期为2，当x∈[2，4] 时，x－2∈[0，2]，解析式为f（x）＝f（x－2）＝ （x－2）2－2（x－2）＝x2－6x＋8，而f（2）＝f（4）＝0，由二次函数性质得对称轴为x＝3，且f（3）＝－1，当x∈[－2，0]时，x＋2∈[0，2]，此时解析式为f（x）＝f（x＋2）＝（x＋2）2－2（x＋ 2）＝x2＋2x，而f（－2）＝f（0）＝0，同理可得f（－1）＝－1， 由题意得当x∈[0，2]时，f（x）＝x2－2x，同理可得f（2）＝f（0）＝0，f（1）＝－1，若f（x）＝k在区间[－2，4]上有6个不同的实数根，则y＝f（x）和y＝k在区间[－2，4]上有6个不同的交点，如图，作出 y＝f（x）的图象，由图象可得k∈（－1，0），故A正确，故选A. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　利用函数零点的情况求参数值（或取值范围）的三种方法 （1）直接法：利用零点存在定理构建不等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数 的图象，然后数形结合求解. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练3】　已知函数f（x）＝ 若关于x的方程[f （x）]2＋（a＋1）f（x）＋a＝0恰有4个不同的实数根，则实数a的取 值范围为（　　） A. （－3，＋∞） B. （－∞，5） C. （－∞，3）∪{4} D. （－∞，1）∪（1，3）∪{4} √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　画出函数f（x）的图象，如图 所示，设f（x）＝t，则原方程可化为t2＋ （a＋1）t＋a＝0，解得t＝－1或t＝－ a.由图可知当t＝－1时，f（x）＝－1有2 个根.因为原方程有4个不同的实数根，则f （x）＝－a有2个根，所以－a＝－4或－3＜－a＜－1或－a＞－1，解得a＝4或1＜a＜3或a＜1，则实数a的取值范围为（－∞，1）∪（1，3）∪{4}.故选D. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 突破点　嵌套函数的零点 目 录 嵌套函数的零点问题主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查二次函 数与复合函数相关零点，其往往与函数的图象性质交汇.对于嵌套函数的 零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借 助函数的图象、性质求解. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【例4】　已知函数f（x）＝ 若函数y＝f（f（x））－ log3（t－x）在R上恰有两个零点，则实数t的取值范围为（　C　） A. （－∞，1] B. [1，4] C. （1，4] D. （4，＋∞） 解析：　函数f（x）＝ 的图象如图所示. 当x≤0时，f（x）＝3x∈（0，1]，f（f（x））＝log3f （x）＝log33x＝x； 【障碍速通】 内层函数的值域影响了外层函数的解析式， 故要时刻注意自变量的取值范围 C 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 当0＜x≤1时， f（x）＝log3x∈（－∞，0]，f（f（x））＝ ＝ x；当x＞1时，f（x）＝log3x∈（0，＋∞），f（f（x））＝log3 （log3x）.所以f（f（x））＝ ①若x≤1，则方程f （f（x））－log3（t－x）＝0变为x＝log3（t－x），其中x＜t，易知关 于x的方程x＝log3（t－x）最多只有一个解x0，且t＝ ＋x0，结合函 数y＝3x，y＝x都是增函数可得t＝ ＋x0≤31＋1＝4.②若x＞1，则方 程f（f（x））－log3（t－x）＝0变为log3（log3x）＝log3（t－x），其 中x＜t，则log3x＝t－x，易知关于x的方程log3x＝t－x最多只有一个解 x'0，且t＝log3x'0＋x'0，结合函数y＝log3x，y＝x都是增函数可得t＝ log3x'0＋x'0＞log31＋1＝1.综上，t的取值范围为（1，4].故选C. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练4】　已知定义域为（0，＋∞）的增函数f（x）满足：∀x∈（0， ＋∞），有f（f（x）－ln x）＝1，则方程f（x）＝－x2＋4x－2的解的 个数为（　　） A. 3 B. 2 √ C. 1 D. 0 解析：因为定义域为（0，＋∞）的增函数f（x）满足：∀x∈（0，＋∞），有f（f（x）－ln x）＝1，则存在唯一正实数t使得f（t）＝1，且f（x）－ln x＝t，即f（x）＝t＋ln x，于是得f（t）＝t＋ln t＝1，而函数y＝t＋ln t在（0，＋∞）上是增函数，且当t＝1时，t＋ln t＝1， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 因此t＝1时，f（x）＝1＋ln x，方程f（x）＝－x2＋4x－2＝1＋ln x，即ln x＝－x2＋4x－3，于是得方程f（x）＝－x2＋4x－2的解的个数就是函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象公共点的个数， 在同一平面直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝－x2＋4x －3的图象，如图所示，观察图象知，函数y＝ln x与y＝ －x2＋4x－3的图象有3个公共点，所以方程f（x） ＝－x2＋4x－2的解的个数为3. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 真题体验 1. （2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝ 在 R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A. （－∞，0] B. [－1，0] C. [－1，1] D. [0，＋∞） 解析：　因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x ＋1）单调递增，则需满足 解得－1≤a≤0，即a的取 值范围是[－1，0].故选B. √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 2. （2025·天津高考3题）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则f（x） 的解析式可能为（　　） A. f（x）＝ B. f（x）＝ C. f（x）＝ D. f（x）＝ √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　由题图可知函数f（x）的定义域为{x｜x≠±1}，且f（x）为 偶函数，易得f（x）＝ 与f（x）＝ 均为奇函数，排除选 项A、B；由题图可知当x＞1时，f（x）＞0，易得当x＞1时，f（x）＝ ＜0，f（x）＝ ＞0，排除C，故选D. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 3. （2023·全国甲卷文11题）已知函数f（x）＝ ，记a＝f （ ），b＝f（ ），c＝f（ ），则（　　） A. b＞c＞a B. b＞a＞c C. c＞b＞a D. c＞a＞b √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　函数f（x）＝ 是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复 合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞， 1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可 知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f （x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（ ）＝f（2－ ），又 ＜2－ ＜ ＜1，所以f（ ）＜f（2－ ）＜f（ ），所以b＞c＞ a，故选A. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 4. （2024·新高考Ⅱ卷6题）设函数f（x）＝a（x＋1）2－1，g（x）＝ cos x＋2ax.当x∈（－1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个 交点.则a＝（　　） A. －1 B. 解析：　法一　令f（x）＝g（x），即a（x＋1）2－1＝ cos x＋2ax， 可得ax2＋a－1＝ cos x，令F（x）＝ax2＋a－1，G（x）＝ cos x，原题 等价于当x∈（－1，1）时，曲线y＝F（x）与y＝G（x）恰有一个交 点，注意到F（x），G（x）均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可 得F（0）＝G（0），即a－1＝1，解得a＝2.故选D. C. 1 D. 2 √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 法二　令h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋a－1－ cos x，x∈（－1， 1），原题意等价于h（x）有且仅有一个零点，因为h（－x）＝a（－ x）2＋a－1－ cos （－x）＝ax2＋a－1－ cos x＝h（x），则h（x）为 偶函数，根据偶函数的对称性可知h（x）的零点只能为0，即h（0）＝a －2＝0，解得a＝2，故选D. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 课时作业 （时间：60分钟，满分：83分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共45分） 1. （2025·全国Ⅰ卷5题）已知f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当 2≤x≤3时，f（x）＝5－2x，则f（－ ）＝（　　） A. － B. － C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析：法一（通解）　当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当 x∈[－1，0]时，f（x）＝f（－x）＝f（－x＋2）＝5－2（－x＋2）＝ 1＋2x，所以f（－ ）＝1－ ＝－ .故选A. 法二（优解）　f（－ ）＝f（ ）＝f（ ＋2）＝5－2×（ ＋2）＝－ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 2. 函数f（x）＝ln x＋x2－ex的零点所在的区间是（　　） A. （ ，1） B. （1，2） C. （2，e） D. （e，3） 解析：　f'（x）＝ ＋2x－e＝ ，x＞0，且2x2－ex＋1＝0时Δ ＝e2－8＜0，故f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，因此f （x）至多一个零点，f（2）＝ln 2＋4－2e＜0，f（e）＝ln e＋e2－e2＞ 0，f（3）＝ln 3＋32－3e＞0，因此f（x）＝ln x＋x2－ex的零点所在的区 间是（2，e），故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 3. （2025·江西南昌一模）函数f（x）＝（ x－ ）· cos πx的部分图象大 致为（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝ （ －x＋ ） cos （－πx）＝－（ x－ ）· cos πx＝－f（x），f（x）是 奇函数，所以排除B、C，又函数f（x）在原点附近的零点为 和1，可取 大于0且接近于0的一个数，如0.1，得f（0.1）＝（0.1－10） cos （0.1π）＜0，所以排除D，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 4. 设a，b，c分别为函数f（x）＝x －1，g（x）＝xlg x－1，h （x）＝xex－1的零点，则a，b，c的大小关系为（　　） A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. c＞a＞b D. b＞a＞c 解析：　因为x＝1时，x －1＝0，又因为y＝x ＝ 单调递增，所 以a＝1；若0＜x≤1，则xlg x≤0，所以xlg x－1＝0时，x＞1，即b＞1； 若x≥1，则xex＞1，所以xex－1＝0时，0＜x＜1，即0＜c＜1.综上所 述，c＜a＜b，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 5. 已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，2]上单调递减，且f（x＋2） 为偶函数，则不等式f（x－1）＞f（2x）的解集为（　　） A. （ －∞，－ ）∪（6，＋∞） B. （－∞，－1）∪（ ，＋∞） C. （ － ，1） D. （ －1， ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　∵函数f（x＋2）为偶函数，∴f（－x＋2）＝f（x＋2），即 f（2－x）＝f（2＋x），∴函数f（x）的图象关于直线x＝2对称， 又∵函数f（x）定义域为R，在区间（－∞，2]上单调递减，∴函数f （x）在区间（2，＋∞）上单调递增，∴由f（x－1）＞f（2x）得，｜ （x－1）－2｜＞｜2x－2｜，解得x∈（ －1， ）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 6. （2025·浙江杭州一模）设f（x）＝ex＋ln x，满足f（a）f（b）f （c）＜0（0＜a＜b＜c）.若函数f（x）存在零点x0，则（　　） A. x0＜a B. x0＞a C. x0＜c D. x0＞c 解析：　函数f（x）＝ex＋ln x的定义域为{x｜x＞0}，且y＝ex，y＝ln x均为单调递增函数，故函数f（x）＝ex＋ln x是增函数，由于0＜a＜b＜ c，故f（a）＜f（b）＜f（c），满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a ＜b＜c），说明f（a），f（a），f（c）中有1个负数、2个正数或3个 负数，且f（a）＜0恒成立，由于f（x）存在零点，故x0＞a.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 7. （2025·福建厦门一模）若函数f（x）＝ln（eax－6＋1）－x的图象关于 直线x＝3对称，则f（x）的值域为（　　） A. [ln 2－3，0） B. [ln 2－3，＋∞） C. [ln 3－2，0） D. [ln 3－2，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　依题意，f（x）＝ln（eax－6＋1）－x＝ln（e（a－1）x－6＋e－ x），图象关于直线x＝3对称，则f（0）＝f（6），所以ln（e－6＋e0）＝ln （e6a－12＋e－6），所以e－6＋e0＝e6a－12＋e－6，解得a＝2，所以f（x）＝ ln（ex－6＋e－x），此时f（6－x）＝ln（e－x＋ex－6）＝f（x），满足题 意；因为ex－6＞0，e－x＞0，ex－6＋e－x≥2 ＝ ，当且仅当ex －6＝e－x，即x＝3时等号成立，所以f（x）≥ln 2－3，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 8. （2025·山西阳泉三模）已知函数f（x）＝ 函数g （x）＝f（f（x））－ 的零点个数为（　　） A. 4 B. 3 √ 解析：　令u＝f（x），令g（x）＝0，则f（u）－ ＝0，当u≥0时，则f（u）＝ln（u＋1），所以ln（u＋1）＝ ，所以u＝ －1.当u＜0时，f（u）＝－ueu，则f'（u）＝－（u＋1）eu，当u＜－1时，f'（u）＞0； C. 2 D. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 当－1＜u＜0时，f'（u）＜0.此时，函数y＝f（u）在u＝－1处取得极大值，且极大值为f（－1）＝ ＜ .所以当u＜0时，f（u）＜ ，则方程f（u）－ ＝0在u＜0时无解.再考虑方程f（x）＝ －1的根的个数，作出函数u＝f（x）与u＝ －1的图象如图所示， 由于 －1＞ ＞ ，所以直线u＝ －1与函数 u＝f（x）的图象只有一个交点，因此，函数g（x）只有一个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 9. （2025·全国Ⅰ卷8题）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z 的大小关系不可能为（　　） A. x＞y＞z B. x＞z＞y 解析：　法一　令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝ ，y＝ ，z＝ ，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z； 令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选B. C. y＞x＞z D. y＞z＞x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f（t），y＝3t －3＝g（t），z＝5t－5＝h（t），在同一平面直角坐标系中画出函数f （t），g（t），h（t）的图象，由图可知x，y，z的关系不可能为x＞ z＞y，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 10. 关于函数f（x）＝lg（ －1），下列说法正确的有（　　） A. f（x）的定义域为（－1，1） B. f（x）的图象关于y轴对称 C. f（x）的图象关于原点对称 D. f（x）在（0，1）上单调递增 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 因为f（x）＝lg（ －1）＝lg ，则 ＞0，解得－1 ＜x＜1，所以f（x）的定义域为（－1，1），故A正确；因为f（－x）＝ lg ＝－f（x），即f（x）为奇函数，所以f（x）的图象关于原点对 称，故B错误，C正确；因为y＝ －1在（0，1）上单调递增，y＝lg x在 （0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝lg（ －1）在（0，1）上单调 递增，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 11. （2025·河北石家庄统考）设函数f（x）定义域为R，f（x－1）为奇 函数，f（x＋1）为偶函数，当x∈（－1，1）时，f（x）＝－x2＋1，则 下列结论正确的是（　　） A. f（ ）＝－ B. f（x＋7）为奇函数 C. f（x）在（6，8）上是减函数 D. 方程f（x）＋lg x＝0仅有6个实数解 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：由题设f（－x－1）＝－f（x－1），则f（x）关于（－1，0）对称，即f（x）＝－f（－x－2），又由题意得f（x＋1）＝f（－x＋1），则f（x）关于x＝1对称，即f（x）＝f（2－x），所以f（2－x）＝－f（－x－2），则f（2＋x）＝－f（x－2），故f（x）＝－f（x－4），所以f（x－4）＝－f（x－8），即f（x）＝f（x－8），故f （x）＝f（x＋8），所以f（x）的周期为8，f（ ）＝f（ 2－ ） ＝f（ － ）＝－f（ －2）＝－f（ － ）＝－ ，A正确；由周期 性知：f（x－1）＝f（x＋7），故f（x＋7）为奇函数，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 由题意，f（x）在（6，8）与（－2，0）内单调性相同，而x∈（－1，0）内f（x）＝－x2＋1递增，由f（x）关于（－1，0）对称知：x∈（－2，－1）内f（x）递增，故在（－2，0）内f（x）递增，所以f（x）在（6，8）上是增函数，C错误；f（x）＋lg x＝0的根等价于f（x）与y＝－lg x 交点横坐标，根据f（x）和对数函数性质得：f（x）∈[－1，1]， －lg 12＜－1＜－lg 6，所以根据如图所示的函数图象得，函数共有6个交点，D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. （2025·四川成都石室中学二诊）请写出同时满足下面三个条件的一个 函数解析式f（x）＝ .①f（2－x）＝f （x）；②f（x）至少有两个零点；③f（x）有最小值. 解析：取f（x）＝x2－2x，其对称轴为x＝1，满足①f（2－x）＝f （x）.令f（x）＝x2－2x＝0，解得x＝0或2，满足②f（x）至少有两个 零点.f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1，当x＝1时，f（x）min＝－1，满 足③f（x）有最小值. x2－2x（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 13. 函数f（x）＝ －2 sin x（－4≤x≤4）的所有零点的和等于 ⁠. 解析：由f（x）＝0可得 ＝2 sin x，知函数y＝ 和函 数y＝2 sin x都为奇函数，在同一坐标系下作出两函数 在[－4，0）∪（0，4]内的图象如图所示.所以两函数 图象交点都关于原点成中心对称，因此函数f（x）＝ －2 sin x（－4≤x≤4且x≠0）的所有零点的和等于0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 14. （2025·山东烟台一模）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x＋ 4）＋f（x）＝0，f（x＋2）为奇函数，且f（1）＝1，则 kf（2k－ 1）＝ ⁠. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：由f（x＋4）＋f（x）＝0⇒f（x）＝－f（x＋4），则f（x＋4） ＝－f（x＋8），所以f（x）＝f（x＋8），即f（x）是周期为8的函 数，由f（x＋2）为奇函数，则f（－x＋2）＝－f（x＋2），则f（－ x）＝－f（x＋4），所以f（－x）＝f（x），即f（x）是偶函数，由f （1）＝f（－1）＝1，则f（3）＝f（5）＝－1，f（7）＝1，结合周期 性，对于k∈N*，f（2k－1）依次为1，－1，－1，1，1，－1，－1， 1，…，所以f（2k－1）是周期为4的函数，则f（1）＋2f（3）＋3f（5） ＋4f（7）＝1－2－3＋4＝0，5f（9）＋6f（11）＋7f（13）＋8f（15） ＝5－6－7＋8＝0，故 kf（2k－1）＝9f（17）＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 高考新风向 15. （5分）〔创新交汇〕（2025·湖北武汉四调）已知连续型随机变量ξ服 从正态分布N（ ， ），记函数f（x）＝P（ξ≤x），则f（x）的图象 （　　） A. 关于直线x＝ 对称 B. 关于直线x＝ 对称 C. 关于点（ ， ）成中心对称 D. 关于点（ ， ）成中心对称 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　由连续型随机变量ξ服从正态分布N（ ， ），可得μ＝ ，σ2 ＝ ，可得μ＝ ，σ＝ ，所以正态密度曲线关于x＝ 对称，即P （ξ≤x）＝P（ξ≥1－x），由f（x）＝P（ξ≤x），可得f（x）＝P （ξ≤x）在x≤ 时增加较快，在x＞ 时增加越来越慢，所以f（x）无对 称轴，故A、B错误；f（x）＋f（1－x）＝P（ξ≤x）＋P（ξ≤1－x） ＝P（ξ≥1－x）＋P（ξ≤1－x）＝1，所以f（x）关于点（ ， ）成中 心对称，故C正确，D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 16. （6分）〔多选〕〔创新交汇〕太极图被称为“中华第一图”，闪烁着 中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼， 太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图 象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一 个“太极函数”.则下列说法正确的是（　　） A. 函数y＝x3＋x可以是某个圆的“太极函数” B. 正弦函数y＝ sin x可以同时是无数个圆的“太极函数” C. 存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数” D. 函数y＝f（x）是“太极函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：函数y＝x3＋x是对称函数，其图象的中心对称点是（0，0）.因此，它可以将圆的周长和面积同时等分，故A正确；正弦函数的图象关于原点中心对称，且可以通过适当选择圆心位置和半径，使得正弦函数的图象将圆的周长和面积同时等分.因此，正弦函数可以是无数个圆的“太极函数”，故B正确；如图，函数y＝g（x）是偶函数， A（0，1），D（ ，0），C（2，0），AB⊥BC， AD＝CD＝ ，BD＝CD cos ∠BDC＝ ，于是S△BCD ＝S△OAD，因此函数g（x）也是圆x2＋y2＝4的一个太 极函数，C正确；由选项C知，圆的太极函数可以是偶函数，它的图象不一定关于点中心对称，D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $