微突破2 数列中的放缩问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件（提升版）

微突破2　数列中的放缩问题 考情分析 数列不等式的证明是高考重点考查的内容，主要涉及数列项的证明和数列和的证明.考查题型为解答题的第（2）问，难度中等偏上. 【例】　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝ （Sn＋2）， （1）求数列{an}的通项公式； 解： 由an＝ （Sn＋2），可得Sn＝2an－2. 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－（2an－1－2）＝2an－2an－1，整理 得an＝2an－1（n≥2）， ∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2·2n－1＝2n. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）记bn＝ ，证明： － ＋ ＜ bi＜ － ＋ . 证明：∵bn＝ ＝ ＞ ＝ － ， 【巧放缩】 这里将分母2n＋1－1变为2n＋1，则整个分数变小， 实现放缩，进而将 变形为 － ，为后续的求和化简做好准备 ∴ bi＞（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＝ － ＝ － ＋ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 ∵bn＝ ＝ ＝ － ＜ － ， 【破障碍】 先配凑，分离常数后，再进行放缩 ∴ bi＜（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＝ － ＝ － ＋ . 结论得证. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【变式】　若将上述题目的第（2）问改为“记cn＝ ，证明： ci＜ ”，该如何求解呢？ 解：由题意知cn＝ ＝ ＜ ， ∴ ci＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＜ ＋ ＋…＋ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【讲关键】 全部放缩有时容易将范围放得过大或过小，此时可以选择部分 放缩，例如此处前两项并未放缩 ＝ ＋ （ ＋…＋ ） ＝ ＋ × ＜ ＋ × ＝ ＜ ＝ ，得证. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【规律方法】　（1）放缩技巧 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）通项放缩常见结论 ①对 的放缩（下列n∈N*）： ＜ ＝ － （n≥2）； ＜ ＝ （ － ）（n≥2）； ＝ ＜ ＝2（ － ）（n≥1）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 ②对 的放缩（下列n∈N*）： ＞ ＝ － （n≥1）； ＜ ＝ － （n≥1）. ③对 的放缩（下列n∈N*）： ＜ （n≥2）； ＜ ＝ － （n≥3）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【训练】　已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1＋2. （1）求{an}的通项公式； 解： 由题意可知，当n＝1时，a1＝2； 当n≥2时，由a1＋2a2＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1＋2得，a1＋2a2＋…＋ （n－1）an－1＝（n－2）·2n＋2， 两式作差可得nan＝（n－1）·2n＋1－（n－2）·2n＝n·2n，所以an＝2n， a1＝2也适合该式，故an＝2n. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）设bn＝ ＋ ，证明：b1＋b2＋…＋bn＜ . 解： 证明：由（1）知bn＝ ＋ ＝ ＋ ， 故b1＋b2＋…＋bn＝ ＋ ＝1－ ＋ － × ＝ － （ ＋ ）， 由于n∈N*，则 ＋ ＞0，故 －（ ＋ ）＜ ， 即b1＋b2＋…＋bn＜ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 真题体验 （2022·新高考Ⅰ卷17题）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1， 是 公差为 的等差数列. （1）求{an}的通项公式； 解：法一　因为a1＝1，所以 ＝1， 又 是公差为 的等差数列， 所以 ＝1＋（n－1）× ＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 所以 ＝ （n≥2），所以 ＝ （n≥2）， 整理得 ＝ （n≥2）， 所以 × ×…× × ＝ × ×…× × ＝ （n≥2）， 所以Sn＝ （n≥2）， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 又S1＝1也满足上式， 所以Sn＝ （n∈N*）， 则Sn－1＝ （n≥2）， 所以an＝ －＝ （n≥2）， 又a1＝1也满足上式， 所以an＝ （n∈N*）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 法二　因为a1＝1，所以 ＝1， 又 是公差为 的等差数列， 所以 ＝1＋（n－1）× ＝ ， 所以Sn＝ an. 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ an－ an－1， 所以 an－1＝ an（n≥2）， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 所以 ＝ （n≥2）， 所以 × ×…× × ＝ × × ×…× × ＝ （n≥2）， 所以an＝ （n≥2）， 又a1＝1也满足上式， 所以an＝ （n∈N*）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）证明： ＋ ＋…＋ ＜2. 证明：因为an＝ ，所以 ＝ ＝2 ， 所以 ＋ ＋…＋ ＝2［ ＋ ＋…＋ ＋ ］＝2 ＜2. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 课时作业 （时间：45分钟，满分：55分） 1. （10分）已知an＝（ ）n，cn＝ ＋ ，{cn}的前n项和为 Tn，证明：Tn＞2n－ . 证明：因为cn＝ ＋ ＝ ＋ ＝2＋ － ＞2＋ － ， 所以Tn＞2n＋（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＝2n－ ＋ ＞2n－ ＞2n－ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 2. （13分）已知数列{an}各项均为正数，数列{an}的前n项和为Sn，且a1 ＝1，an＋1＝ ＋ . （1）求{an}的通项公式； 解：因为an＝Sn－Sn－1（n≥2），又an＝ ＋ （n≥2）， 所以Sn－Sn－1＝ ＋ ，即（ ＋ ）·（ － ） ＝ ＋ ， 由题意得 ＋ ＝an＞0（n≥2），于是 － ＝1，而 ＝1， 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 即{ }是以1为首项，1为公差的等差数列， 从而 ＝1＋n－1＝n，即Sn＝n2， 因此an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2 ＝2n－1（n≥2）， 而a1＝1满足上式，故an＝2n－1. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）设bn＝ ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明： ≤Tn＜1. 解：证明：由（1）知Sn＝n2， 因此bn＝ ＝ ＝ － ＝ － ， 则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ，显然数列{ }单调递减，于是0＜ ≤ ， 则 ≤1－ ＜1，故 ≤Tn＜1. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 3. （15分）（2025·湖南长沙一模）已知数列{an}满足a1＝4，当n≥2 时，an－4an－1＝－ . （1）求数列{an}的通项公式； 解：当n≥2时，等式an－4an－1＝－ 两边同除4n后得 － ＝ － ，所以 － ＝－1＋ ， － ＝－ ＋ ，…， － ＝－ ＋ ，上述等式累加得 －1＝－1＋ ，即 ＝ ，所以an＝ . 又n＝1时，a1＝4满足an＝ ，故an＝ （n∈N*）. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）已知数列bn＝nan－1，证明： ＋ ＋…＋ ＜ . 解：证明：由bn＝nan－1＝4n－1，所以bn＝4·4n－1－1＝3·4n－1＋4n －1－1≥3·4n－1，所以 ≤ ，当n＝1时， ＝ ＜ ， 当n≥2时， ＋ ＋…＋ ＜ （ 1＋ ＋ ＋…＋ ）＝ · ＝ （ 1－ ）＜ . 综上所述，对任意的n∈N*， ＋ ＋…＋ ＜ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 4. （17分）（2025·四川泸州模拟预测）已知数列{an}的前n项和为Sn （n∈N*），且满足an＋Sn＝n＋2，若bn＝an－1. （1）求数列{bn}的通项公式； 解： 当n＝1时，由题意，a1＝ ； 当n≥2时，由an＋Sn＝n＋2，得an－1＋Sn－1＝n＋1，两式相减可得2an ＝an－1＋1， 所以2（an－1）＝an－1－1，即2bn＝bn－1， 因为b1＝ －1＝ ，所以bn＝ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）设cn＝ bn，dn＝ ①试比较d3与d4的大小，并说明理由； ②若数列{dn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 解： 因为bn＝ ，所以cn＝n； 当n为奇数时，dn＝ ；当n为偶数时，dn＝ sin . 令f（x）＝x－ sin x，则f'（x）＝1－ cos x≥0，即f（x）为增函数，则 当x＞0时，x＞ sin x. ①因为d4＝ sin ＜ ＜ ＝d3，所以d3＞d4. ②证明：当n为奇数时，Tn＝ ＋ sin ＋ ＋ sin ＋…＋ 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ sin ＋ sin ＋…＋ sin ， 因为 ＝ （ － ），所以Tn＜ （ 1－ ）＋ ＋ ＋…＋ ＝ （ 1－ ）＋ ＝ － － ， 因为 ＋ ＞0，所以Tn＜ ； 当n为偶数时，Tn＝ ＋ sin ＋ ＋ sin ＋…＋ ＋ sin 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ sin ＋ sin ＋…＋ sin ， 因为 ＝ （ － ），所以Tn＜ （ 1－ ）＋ ＋ ＋…＋ ＝ （ 1－ ）＋ ＝ － － ， 因为 ＋ ＞0，所以Tn＜ . 综上，Tn＜ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 THANKS 演示完毕 感谢观看 $