第11讲 不等式恒（能）成立问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word（提升版）

多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+款辅专家 第11讲不等式恒（能）成立问题 【考情分析】利用导数解决不等式恒（能）成立问题，是高考的热点之一，常用的方法有分离参 数法和分类讨论法，多以解答题的形式出现，难度较大。 【例】已知函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)=e-1+f(1)x2+1.若对于任意的x∈ [一1,2]，f(x)≥mx恒成立，试求实数m的取值范围. 解：由题意得f(x)=e-1+f(1)x, 将x=1代入上式得(1)=3， 则f(x)=ex-1+x2+1. 法一（分离参数法）对于任意的x∈[一1,2]，f(x)≥mx恒成立， 即关于x的不等式e-1十x2十1≥mx在[一1,2]上恒成立. ①当x=0时，言十1>0，上述不等式对任意的m∈R成立. ②当-1≤x<0时，不等式恒成立问题等价转化为m≥（十x十是）m问题. 令g(x)=+x+是，x∈[-1,0)， 则g(x)=+1-京=t(e1+x+1), 当-1≤x<0时，x-1<0,ex-1+x+1≥e-2>0,则g'(x)<0, 所以g(x)在[一1,0)上单调递减， 则g(x)mx=g(-1)=-e2-1-1=-e2-2,所以m≥-e-2-2. ③当0<x≤2时，不等式恒成立问题等价转化为m≤（十x十是）m问题. 令g'(x)=0,得x=1. 当0<x<1时，g(x)<0,g(x)单调递减；当1<x≤2时，g'(x)>0,g(x)单调递增. 所以g(x)mim=g(1)=1+1+1=3,所以m≤3. 综上，m的取值范围为[一e2-2,3]. 法二（分类讨论法）令h(x)=f(x)一mx=e-1+x2+1一mx,则h'(x)=ex-1+2x一m,令p (x)=e-1+2x一m,则p'(x)=e-1十2>0恒成立，所以h'(x)在[一1,2]上单调递增. ①若h'(2)=e+4-m≤0，则m≥e+4, Vx∈[一1,2]，h(x)≤h(2)≤0，则h(x)在[一1,2]上单调递减， 所以h(x)mm=h(2)=e十5-2m≥0，则m≤岁，与m≥e十4矛盾，舍去. 1/9 ·独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 ②若hN(-1)=e-2-2-m≥0，则m≤意-2， Vx∈[-1,2]，h(x)≥h'(1)≥0，所以h(x)在[-1,2]上单调递增，所以h(x)mim=h(- 1)=e2+2十m≥0，所以m≥-2-意，故-意-2≤m≤意-2. （h(-1)<0, ③若{H(2)>0,则-2<m<e+4, 则存在xo∈(-一1,2)，使得h'(xo)=0,即er1+2xo=m, 所以h(x)mim=h(xo)=er1+X行+1-mxo≥0， 即eo1+X+1-xoer1-2x3≥0， 即(1-x0)eo-1+1-X≥0，(1-xo）(eo1+1+xo)≥0， 当一1<xo<2时，e1十1十x0>0恒成立， 则要满足h(x0)≥0，只需1-0≥0，故-1<xo≤1，所以m=1+2xo∈（意-2,3]. 综上，m的取值范围为[-意一2,3]. 【变式】（巧用洛必达（端点效应）简化运算)设函数f(x)=(x一1)·(ex一e),g(x)= er-ax一l,其中a∈R.若Vx2∈[0，+∞)，都]x1∈R,使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求a的 取值范围。 解：由题意，f(x)=(x-l)(e-e),x∈R, 当x<1时，x-1<0,e-e<0,.f(x)>0, 当x≥1时，x-1≥0，e-e≥0，∴f(x)≥0， f(x)≥0恒成立，且f(x)mim=f(1)=0. :x2∈[0，十∞)，都3∈R,使得不等式f(x)≤g(x2)成立， ∴.Vx2∈[0，+∞)，f(x)mim≤g(x2）恒成立， .x2∈[0，+∞)，g(x2)≥0恒成立， 即Vx∈[0，+∞)，g(x)=e-ax-1≥0恒成立. 法-g'(x)=e-a,易知g(x)在[0，+∞)上单调递增， ∴.当x≥0时，g'(x)≥g'(0)=1-a, ①当1-a≥0，即a≤1时，g'(x)≥0在[0，+∞)上恒成立， ∴g(x)在[0，十∞)上单调递增， ∴.此时g(x)在[0，十∞)上的最小值为g(0)=0, 2/9 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 ∴.a≤1满足题意； ②当1-a<0,即a>1时， 令g'(x)=ex-a=0,得x=lna, ∴.当x∈(0，na)时，g'(x)<0: 当x∈(lna,+∞）时，g'(x)>0, ∴g(x)在(0，na)上单调递减， 在(1na,+∞)上单调递增，而g(0)=0, ∴.此时g(x)在[0，+∞)上的最小值为g(lna)<0, ∴.a>1不满足题意， 综合①②可得，a的取值范围为（一∞，1]. 法二当x=0时，很显然符合题意， 当x>0时，a≤， 记h(x)=会，x>0, 则h(x)=巴14上 x2 令m(x)=e(x-1)+1,x>0, 则m'(x)=xe>0, ∴.m(x)在(0，十∞)上单调递增， .m(x)>0,.h(x)>0, ∴.h(x)在(0，+∞)上单调递增， 又(x)=听=1，a≤1. 【规律方法】不等式恒（能）成立问题解题思路 3/9 ·独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 分析不等式的结构特征，观察参数是 第 观察参数 否易分离 和变量之 步 间的关系 优先考虑分离参数，若无法分参，再考 虑分类讨论 第 考虑分离 分离参数：转化为函数的最值问题 参数或含 参讨论 含参讨论：注意分类要不重不漏 第 转化，求 「是否可渗透洛必达法则（或指出此步 步 最值 骤的瓶颈，点或难，点) 第 确定“单 根据题意与函数的最值情况取舍“=”， 参数”的 步 对讨论的结果注意合理整合 取值范围 【训练1】 已知函数f(x)=xex-1一k(x一I)+e,k∈R,e为自然对数的底数，若不等式f(x) ≥0对任意x∈[一2，+∞)恒成立，求k的取值范围 解：当x=1时，1+e≥0恒成立，此时k∈R 当>1时，问题转化为≤学对任意的x∈(1，十四)恒成立. 令h(x)=e+e (x2-x-1 )e=-Le 则h(x)= x-13, 令4(x)=(x2-x-1)ex-1-e, 则u'(x)=(x2+x一2)ex-1=(x+2)(x一1)ex-1, 因为x>1,所以μ'(x)>0,则u(x)在(1，十∞)上单调递增， 又因为4(2)=h(2)=0,故当1<x<2时，4(x)<0,h'(x)<0,则h(x)在(1,2)内 单调递减： 当x>2时，u(x)>0,h'(x)>0,则h(x)在(2，十∞)上单调递增， 所以h(x)mim=h(2)=3e,所以k≤3e. 当-2≤x<1时，问题转化为k≥华对任意的x∈[-2,1)恒成立， -1 仿上设函数，则有u'(x)=(x2十x一2)e-1=(x+2)(x一1)e-1, 因为一2≤x<1,所以u'(x)≤0，则函数口(x)在[一2,1)上单调递减， 所以4(x)≤4(-2)=5e3-e<0,故当-2≤x<1时，h'(x)<0, 所以函数h(x)在[一2,1)上单调递减， 所以h(x)mx=h(-2)=2，所以k≥2 3 3 综上所述，k的取值范围为[2,3]. 4/9 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 【训练2】已知函数f(x)=x十nx,若关于x的不等式f(x)<mlnx有解，求m的取值范围. 解：由题意得x十lnx<mlnx有解，即x<（m一l)·lnx有解. 令g(x)=x-(m-1)nx(x>0), 则g'(x)=1-=m-1山， 若m-1<0,则0<e高<1， 则g(e点)=e点-1<0，符合题意； 若m一1=0，即m=1,则g(x)=x>0,不符合题意； 若m-1>0,当x∈(0，m-1)时，g'(x)<0,g(x)在(0，m-1)内单调递减， 当x∈(m-1,十∞)时，g'(x)>0,g(x)在(m-1,+∞)上单调递增， 所以g(x)mm=g(m-1)=m-1-(m-1)·ln(m-1)<0, 解得m>1+e. 综上，m的取值范围为（一∞，1）U(1十e,十∞). 真题体验， 1.(2023·全国甲卷理21题节选)已知函数f(x)=a-器，∈(0，受).若∫(x)<sin2x, 求a的取值范围， 解：令g(x)=f(x)-sin2x=ax-器一sin2x, 则g(x)=4-+30监-2cos2x=a-8g3经-4e0s2x十2=a-(23+4eosx COSX Cosx COs 2), 令=c0s2x,则u∈(0,1)，令k(u)=2+4u-2, u 则K()=2学十4=如】 u3 当u∈(0,1)时，'(u)<0,,∴.k(u)在(0,1)上单调递减， .k(1)=3,.当u∈(0,1)时，k()>3,∴.k(u)的值域为(3，+∞). ①当a≤3时，g'(x)<0,∴g(x)在(0,5)上单调递减， 又g(0)=0,∴.当x∈(0，)时，g(x)<0,即f(x)<sin2x. ②当a>3时，3xo∈(0，变)使得g(xo)=0, g(x)在(0，o)上单调递增，在(xo,受)上单调递减， …g(xo)>g(0)=0,∴f(x)<sin2x不成立. 综上所述，a的取值范围为（一∞，3]. 5/9 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.(2024·新高考I卷18题节选)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3.若f(x)>-2当且 仅当1<x<2,求b的取值范围， 解：令函数g(x)=f(x)+2,依题意g(x)>0当且仅当1<x<2,从而g(1)≤0. 若g(1)<0,g(号)>0， ∴.存在6∈(1，号)，使g(o)=0,矛盾， 从而g(1)=0,故a=-2. P)=+36-1D2 =(x-1)2[x2知+36]. 设h(x)=xB+3b,x∈(1,2)，易知h(x)在(1,2)上单调递增，h(1)=2+3b, 若b<-号，h(1)<0,令h(x)=0,得x=1+√1+品或x=1-V1+元（舍去），当xe (1,1+V1+苏)时，h(x)<0,从而f(x)<0,f(x)在区间(1,1+V1+荔)上单调递减，不 符合题目要求. 若b≥-号，当x∈(1,2)时，h(x)≥0. 从而f(x)≥0，当且仅当x=1时等号成立，故f(x)在区间(1,2)上单调递增，符合题目要求. 因此b的取值范围是[-号，十∞). 课时作业 (时间：45分钟，满分：52分) 1.(10分)(2025·安徽蚌埠模拟节选)已知函数f(x)=ln(ax)+是(a>0).若f(x)≥na 恒成立，求a的取值范围. 解：f(x)≥lna→ln(aw)+景≥lna→lnx+是≥0，其中x>0, 所以问题转化为a≥一xnx(x>0)恒成立， 记g(x)=一xnx,则g'(x)=-nx一1， 令g'(x)>0,得0<x<；令g'(x)<0,得x>是， 所以g(x)在(0，日)内单调递增，在（是，十∞）上单调递减，则g(x)的最大值为g(音)= , 所以a≥是. 6/9 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.(10分)已知函数f(x)=(x-2)e-ar2+ax(a∈R),当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求 a的取值范围. 解：法一（分类讨论法）子(x)=(x一1)(e一a), ①当a≤0时，因为x≥2， 所以x-1>0,e-a>0,所以f(x)>0, 则f(x)在[2，+∞)上单调递增， f(x)≥f(2)=0成立. ②当0<a≤e2时，(x)≥0， 所以f(x)在[2，十∞)上单调递增， 所以f(x)≥f(2)=0成立. ③当a>e2时，当x∈(2，lna)时，f(x)<0; 当x∈(1na,+∞)时，f(x)>0, 所以f(x)在(2，lna)内单调递减，在(lna,十∞)上单调递增，f(x)≥0不恒成立，不符合 题意。 综上，a的取值范围是（一∞，e2]. 法二（分离参数法）当x≥2时，f(x)≥0恒成立， 等价于当x≥2时，(x-2)e-专a2+ax≥0恒成立， 即(x2-x)a≤(x-2)e在[2，+∞)上恒成立. 当x=2时，0·a≤0，此时a∈R. 当x>2时，x2-x>0, 所以a≤=等恒成立。 -2e3 设gw=琴，则g)=2, 因为x>2,所以g'(x)>0, 所以g(x)在(2，+∞)上单调递增， 所以g(x)>g(2)=e2,所以a≤e2. 综上，a的取值范围是（一∞，e2]. 3.(15分)(2025·河北保定一模)已知函数f(x)=-c2-ae*+2a2x. (1)当a=1时，求f(x)的极值； 7/9 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 (2)若关于x的不等式f(x)+a2≥0有实数解，求a的取值范围. 解：(1)当a=1时，f(x)=-e2r-e*+2x, 则(x)=-e2x-e*+2=(e+2)(1-e), 令(x)>0,得x<0:令(x)<0,得x>0. 所以f(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0，+∞)上单调递减， 所以f(x)的极大值为∫(0)=一三，无极小值. (2)由题得f(x)=-e2x-ae+2a2=(a-e)·(e+2a), 当a=0时，f(x)=-e2x<0,不符合题意： 当a>0时，令f(x)>0,得x<na: 令P(x)<0,得x>lna. 所以f(x)在（一∞，lna)上单调递增，在(lna,十∞）上单调递减， 所以f(x)mx=f(lna)=-e2na-aena+2a2na =-a2+2a21na. 由-a2+2a2lna+a2≥0， 得-支+2na≥0，解得a≥t: 当a<0时，令P(x)>0,得x<ln(-2a);令f(x)<0,得x>ln(-2a),所以f(x)在 (-∞，ln(一2a))上单调递增，在(1n(-2a),+∞)上单调递减， 所以f(x)mx=f(ln(-2a)）=-e2n(-2a）-acn(-2a）+2a2ln(-2a)=2a21n(-2a), 由2a21n(-2a)+a2≥0， 得2n(-2a)+1≥0，解得a≤-六. 综上，a的取值范围为(-∞，一2方]U[,+∞)· 4.(17分)(2025·辽宁沈阳二模)已知函数f(x)=lnx一x. (1)若存在x∈(0，+∞)，使f(x)≥0成立，求k的取值范围； (2)已知k>0,若f(x)≤悬在x∈(0，+∞)上恒成立，求k的最小值. 解：(1)由f(x)=lnx-x≥0(x>0)得k≤竖， 则存在x∈(0，十∞)，使k≤严(x>0)成立， 令g(x)=警(x>0),g(x)=,令g'(x)=0得x=e, 8/9 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 当0<x<e时g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x>e时g'(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(x)≤g(e)==日， 若存在x∈(0，十∞)，使k≤严(x>0)成立，则k≤是，即k的取值范围为（一∞，日]. (2)f(x)=lnx-c≤悬， 若f(x)≤悬在x∈(0，十∞)上恒成立， 则lnx-x-悬≤0在x∈(0，+∞)上恒成立， 令h(x)=lnx-kx-悬(x>0),则h(x)mx≤0， 令h(x)=是-k什总=空也=0，则刘=-景（舍）或=是， 当0<x<是时，h(x)>0,h(x)单调递增， 当x>是时，h(x)<0,h(x)单调递减， 所以h(x)x=h(是)=ln是-k…是-k是=h是-hk≤0， 则k≥是，即k的最小值为是 9/9 ·独家授权侵权必究·