第6讲 数列中的最值、范围问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件（提升版）

第6讲 数列中的最值、范围问题 考情分析 近几年高考试题中，与数列有关的最值、范围问题既有解答题，也有选择、填空题，难度中等或偏上. 求数列和式的最值、范围问题 考点一 目录 / CONTENTS 求数列项数的最值、范围问题 考点二 求数列不等式中参数的取值范围 突破点 课时作业 考点一　求数列和式的最值、范围问题 目 录 【例1】　（2025·福建厦门二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn ＋an＝n＋3. （1）证明：数列{an－1}是等比数列； 解： 证明：由Sn＋an＝n＋3，　① 当n＝1时，a1＋a1＝1＋3，即a1＝2； 当n≥2时，Sn－1＋an－1＝n＋2，　② 则①－②得，2an－an－1＝1， 则2（an－1）＝an－1－1，即 ＝ ， 所以数列{an－1}是等比数列，首项为1，公比为 . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）记数列{ }的前n项和为Tn，求Tn的取值范围. 解：由（1）得，an－1＝1·（ ）n－1，即an＝（ ）n－1＋1， 则 ＝ ＝1＋2n－1， 则Tn＝1＋20＋1＋21＋…＋1＋2n－1＝n＋ ＝2n＋n－1， 因为y＝2x，y＝x－1在[1，＋∞）为增函数， 则数列{2n＋n－1}为递增数列，所以Tn≥2， 所以Tn的取值范围为[2，＋∞）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　求数列和式最值、范围的基本方法 （1）利用不等式组 （n≥2）确定和式的最大值； 利用不等式组 （n≥2）确定和式的最小值； （2）把数列的和式看作函数，利用函数的性质求其最值、值域. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练1】　（2025·山东枣庄二模）在数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋ 2n－2. （1）求{an}的通项公式； 解：依题意，当n≥2时，an－an－1＝2n－1－2，则an＝a1＋（a2－ a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1） ＝20＋（21－2）＋（22－2）＋（23－2）＋…＋（2n－1－2）＝（2＋22＋ 23＋…＋2n－1）－2（n－1）＋20 ＝ －2n＋22＝2n－2n＋20， a1＝20满足上式，所以{an}的通项公式为an＝2n－2n＋20. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若bn＝an－2n，求数列{bn}的前n项和Sn的最大值. 解：由（1）得bn＝an－2n＝－2n＋20，数列{bn}是递减等差数列， 由bn≥0，得n≤10，则数列{bn}的前10项均为非负数，从第11项起为 负数， 而b10＝0，因此数列{bn}的前10项和与前9项和相等，都最大， 所以数列{bn}的前n项和Sn的最大值为S10＝S9＝ ×10＝90. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 考点二　求数列项数的最值、范围问题 目 录 【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝ ，Sn＝2an＋1－3. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 因为S1＝2a2－3且S1＝a1＝ ，所以a2＝ ， 由Sn＝2an＋1－3，可得Sn－1＝2an－3（n≥2）， 两式相减得an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an， 因为an≠0，所以 ＝ ， 又 ＝ ，所以对任意的n∈N*， ＝ ， 所以{an}是首项和公比均为 的等比数列，所以an＝a1×qn－1＝（ ）n. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若cn＝ ，求使cn取得最大值的n的值. 解： 由（1）可得cn＝（ ）n（n2＋n）， n≥2时，由 ＝ ＝ ＞1，可得n＜5， 故当n＜5时，c1＜c2＜c3＜c4，当n＞5时，c5＞c6＞c7＞…， 当n＝4时，c4＝（ ）4（42＋4）＝ ， 当n＝5时，c5＝（ ）5（52＋5）＝ ， 所以c4＝c5，所以c1＜c2＜c3＜c4＝c5＞c6＞c7＞…， 综上，n＝4或n＝5时，cn取得最大值 . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　求n的值或最值，一般涉及数列的项或和的最值与范围， 通常化归为解关于n的不等式，或根据数列的单调性求解. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练2】　已知数列{an}是递增的等比数列，公比为q，且满足a1＋a5＝ 34，8是a2与a4的等比中项. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 因为8是a2与a4的等比中项，所以a2a4＝82＝64，则由题意得 即 解得 或 因为数列{an}是递增的等比数列，所以 即a1＝2，q＝2，所以an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若bn＝n·an，Tn是{bn}的前n项和，求使Tn－n·2n＋1＞－100成立的 最大正整数n的值. 解：由（1）得bn＝n·an＝n×2n， 则Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n　①， 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1　②， ①－②得－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1， 即Tn＝n×2n＋1－ ＝（n－1）2n＋1＋2， 所以Tn－n·2n＋1＝（n－1）2n＋1＋2－n·2n＋1＝2－2n＋1. 由Tn－n·2n＋1＞－100，得2－2n＋1＞－100， 即2n＜51，由于25＝32＜51，26＝64＞51， 所以n≤5，即使Tn－n·2n＋1＞－100成立的最大正整数n的值为5. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 突破点　求数列不等式中参数的取值范围 目 录 【例3】　（2025·浙江嘉兴三模）记Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞ 0，4Sn＝ ＋2an－3，数列{bn}满足bn＝ （1）求数列{an}的通项公式； 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解：n＝1时，a1＝S1＝ ，解得a1＝－1或a1＝3，因为an＞ 0，所以a1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ，得（an＋an－1） （an－an－1－2）＝0， 因为an＋an－1＞0，所以an－an－1＝2，又a1＝3， 故数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意n∈N*，Tn≥10n＋λ，求实 数λ的取值范围. 解：法一　由bn＝ 所以bn＝ 当n为偶数时， Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝（b1＋b3＋…＋bn－3＋bn－1）＋（b2＋ b4＋…＋bn－2＋bn）＝[－2＋（－2）＋…＋（－2）＋（－2）]＋[12＋20＋…＋（4n－4）＋（4n＋4）] ＝（－2）× ＋ ＝n2＋3n， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝（n＋1）2＋3（n＋1）－[4（n＋1）＋4]＝n2＋n－4，所以Tn＝ 因为对任意的n∈N*，Tn≥10n＋λ成立， 当n为奇数时，即n2＋n－4≥10n＋λ，所以λ≤n2－9n－4， 不等号的右边可看作关于n的二次函数，对称轴为n＝－ ＝4.5， 因为n为奇数，所以n＝5时，（n2－9n－4）min＝－24，则λ≤－24； 当n为偶数时，n2＋3n≥10n＋λ，所以λ≤n2－7n， 同理可得，因为n为偶数，所以n＝4时，（n2－7n）min＝－12，则λ≤ －12，综上，λ≤－24. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 法二　由bn＝ 当n为偶数时， Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝（a1－a2）＋（a2＋a3）＋（a3－a4）＋ …＋（an－1－an）＋（an＋an＋1）＝[a1＋（a2＋a3）＋…＋（an＋an＋1）] ＋[（－a2）＋（a3－a4）＋…＋（an－1－an）] ＝Sn＋1＋（－5）＋（－2）× ＝n2＋3n. 当n为奇数时， Tn＝Tn＋1－bn＋1＝（n＋1）2＋3（n＋1）－[4（n＋1）＋4]＝n2＋n－ 4， 所以Tn＝ （下同法一） 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 法三　因为对任意的n∈N*，Tn≥10n＋λ恒成立， 则λ≤Tn－10n，即求Tn－10n的最小值，令Cn＝Tn－10n， 当n为奇数时，Cn＋1－Cn＝Tn＋1－Tn－10＝bn＋1－10＝4n－2＞0， 则Cn＋1＞Cn，所以Cn的最小值一定在n为奇数时取到， 当n为奇数时，Cn＋2－Cn＝Tn＋2－Tn－20＝bn＋2＋bn＋1－20＝4n－14， 当n≥5时，Cn＋2＞Cn，当n≤3时，Cn＋2＜Cn， 所以当n为奇数时，C1＞C3＞C5，C5＜C7＜C9＜…， 则Cn的最小值为C5＝T5－50＝b1＋b2＋…＋b5－50＝－24， 所以λ≤－24. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　此类问题以数列为载体，一般涉及数列的求和，考查不等 式的恒成立问题，可转化为函数的最值问题.若f（n）≥M恒成立，则f （n）min≥M；若f（n）≥M有解，则f（n）max≥M. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练3】　（2025·辽宁葫芦岛一模）设数列{an}是公差大于1的等差数 列，{an}，{bn}满足 ＝ － ，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的 前n项和，且2a1＝a2，S2＋T2＝16. （1）求{an}的通项公式； 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解： ∵2a1＝a2，∴2a1＝a1＋d，解得a1＝d，a2＝2d， ∴S2＝a1＋a2＝3d， 由 ＝ － ，可知 ＝ ，b1＝ ＝ ， ＝ ，b2＝ ＝ ＝ ， ∴T2＝b1＋b2＝ ＋ ＝ ， ∴S2＋T2＝3d＋ ＝16， 即3d2－16d＋5＝0，解得d＝5或d＝ （舍去）， ∴an＝a1＋（n－1）d＝5n. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若存在n∈N*，使得10Tn－9n＋t＋t2＜3，求实数t的取值范围. 解： 由（1）知an＝5n，由 ＝ － 可知， ＝ ， 解得bn＝ n＋ ， ∴{bn}为等差数列，故Tn＝ ＝ ＝ ， 存在n∈N*，有10Tn－9n＋t＋t2＜3，即（10Tn－9n）min＋t＋t2＜3， 又10Tn－9n＝n2－6n＝（n－3）2－9， ∴ ＝－9， 故－9＋t＋t2＜3，整理t2＋t－12＜0解得－4＜t＜3. ∴t的取值范围是（－4，3）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 真题体验 1. （2022·全国甲卷理17题）记Sn为数列{an}的前n项和.已知 ＋n＝ 2an＋1. （1）证明：{an}是等差数列； 解： 证明：由 ＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2ann＋n，　① 所以2Sn＋1＋（n＋1）2＝2an＋1（n＋1）＋（n＋1），　② ②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1（n＋1）－2ann＋1， 化简得an＋1－an＝1， 所以数列{an}是公差为1的等差数列. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值. 解： 由（1）知数列{an}的公差为1. 由 ＝a4a9，得（a1＋6）2＝（a1＋3）（a1＋8）， 解得a1＝－12. 所以Sn＝－12n＋ ＝ ＝ － ， 所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 2. （2021·浙江高考20题）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－ ，且 4Sn＋1＝3Sn－9（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； 解：因为4Sn＋1＝3Sn－9，所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9， 两式相减可得4an＋1＝3an，即 ＝ . 当n＝1时，4S2＝4 ＝－ －9，解得a2＝－ ， 所以 ＝ .所以数列{an}是首项为－ ，公比为 的等比数列， 所以an＝－ × ＝－ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）设数列{bn}满足3bn＋（n－4）an＝0（n∈N*），记{bn}的前n项 和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 解： 因为3bn＋（n－4）an＝0， 所以bn＝（n－4）× . 所以Tn＝－3× －2× －1× ＋0× ＋…＋（n－4） × ，　① 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 且 Tn＝－3× －2× －1× ＋0× ＋…＋（n－5） × ＋（n－4）× ，　② ①－②得 Tn＝－3× ＋ ＋ ＋…＋ －（n－4）× ＝ － ＋ －（n－4）× ＝－n× ， 所以Tn＝－4n× . 因为Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 所以－4n× ≤λ（n－4）× 恒成立， 即－3n≤λ（n－4）恒成立， 当n＜4时，λ≤ ＝－3－ ，此时λ≤1； 当n＝4时，－12≤0恒成立； 当n＞4时，λ≥ ＝－3－ ，此时λ≥－3. 所以－3≤λ≤1. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 课时作业 （时间：45分钟，满分：60分） 目 录 1. （13分）已知数列{an}是首项为 的等比数列，公比q∈N*，Sn是它的 前n项和，满足S4＝5S2. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 公比q∈N*，∵S4＝5S2，q≠1. ∴ ＝ ，解得q＝2. ∴an＝ ×2n－1＝2n－5. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）设bn＝logaan（a＞0且a≠1），求数列{bn}的前n项和Tn的最值. 解： bn＝logaan＝（n－5）loga2，∴数列{bn}的前n项和Tn＝ loga2＝［ （ n－ ）2－ ］loga2， 当a＞1时， ＝T4＝T5＝－10loga2，无最大值； 当0＜a＜1时， ＝T4＝T5＝－10loga2，无最小值. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 2. （15分）（2025·黑龙江齐齐哈尔一模）已知公差d不为0的等差数列 {an}的前n项和为Sn，a3＝6， ＝ . （1）求{an}的通项公式； 解： 由题设 ＝ ＝ ，即3a1＋10a6＝7a9， 所以13a1＋50d＝7a1＋56d，即a1＝d，而a3＝a1＋2d＝6，所以a1＝d＝ 2， 所以an＝2n. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）令bn＝ ＋12，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn≥2 025成立的n 的最小值. 解：由题设bn＝ ＋12＝4n＋12， 则Tn＝（4＋42＋43＋…＋4n）＋12n＝ ＋12n＝ ＋12n－ ， 所以Tn＝ ＋12n－ ≥2 025， 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 又Tn＝ ＋12n－ 在n∈N*上单调递增， 当n＝5时，T5＝ ＋12×5－ ＝1 424＜2 025， 当n＝6时，T6＝ ＋12×6－ ＝5 532＞2 025， 所以使Tn≥2 025成立的n的最小值为6. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 3. （15分）（2025·青海西宁二模）设Sn为数列{an}的前n项和，n≥2 时，Sn＋2＝5Sn＋1－8Sn＋4Sn－1，已知a1＝1，a2＝4，a3＝12. （1）证明：数列{an＋1－2an}为等比数列； 解： 证明：当n≥2时，Sn＋2＝5Sn＋1－8Sn＋4Sn－1，即Sn＋2－Sn＋1＝ 4（Sn＋1－Sn）－4（Sn－Sn－1）， 则an＋2＝4an＋1－4an，而a1＝1，a2＝4，a3＝12，则a3＝4a2－4a1， 于是∀n∈N*时，an＋2＝4an＋1－4an，整理得an＋2－2an＋1＝2（an＋1－ 2an），又a2－2a1＝2≠0， 所以数列{an＋1－2an}是首项和公比都是2的等比数列. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）求数列{an}的通项公式； 解： 由（1）知，数列{an＋1－2an}是首项和公比都是2的等比数列， 则an＋1－2an＝2n， 因此 － ＝ ，数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列， ＝ ＋ （n－1）＝ n， 所以数列{an}的通项公式an＝n×2n－1. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （3）若不等式λ（Sn－1）－n＋1≥0对任意正整数n都成立，求实数λ 的最小值. 解： 由（2）知，Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1， 2Sn＝1×21＋2×22＋…＋（n－1）×2n－1＋n×2n， 两式相减得，－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n＝ －n×2n＝－1＋ （1－n）×2n，则Sn＝2n（n－1）＋1. 不等式λ（Sn－1）－n＋1≥0，即λ·2n（n－1）－（n－1）≥0， 当n＝1时，λ为任意实数； 当n≥2时，λ≥ 恒成立，而 ≤ ，因此λ≥ ， 所以实数λ的取值范围是λ≥ ，λ的最小值为 . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 4. （17分）（2025·河北秦皇岛一模）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1 ＝4，{ }是公比为2的等比数列. （1）证明：{an}是等比数列； 解：证明：依题意，数列{ }是首项为1，公比为2的等比数列，故 ＝2n－1，则Sn＝（2n－1）an，Sn＋1＝（2n＋1－1）an＋1，两式相减得an＋1＝（2n＋1－1）an＋1－（2n－1）an，即（2n＋1－2）an＋1＝（2n－1）an，因此an＋1＝ an，而a1＝4，所以{an}是等比数列. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）求{an}的通项公式以及Sn； 解： 由（1）知an＝a1（ ）n－1＝（ ）n－3，Sn＝（2n－1）· ＝ 8－ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （3）设bn＝（n－5）an，若∃n∈N*，4m＋2m－2≤bn，求m的取值范围. 解：由（2）知，bn＝ ，当n≤5时，bn≤0，当n≥6时，bn＞0， ＝ ＝ · ＝ （ 1＋ ），若n＝6，则b7＝b6＝ ， 若n≥7， ＝ （ 1＋ ）≤ ＜1，bn＋1＜bn， 因此数列{bn}的最大项为b7＝b6＝ ，由∃n∈N*，4m＋2m－2≤bn，得4m ＋2m－2≤ ， 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 即8· ＋2·2m－1≤0，整理得（4·2m－1）·（2·2m＋1）≤0，因 为2m＞0，所以2m≤ ， 解得m≤－2， 所以m的取值范围是（－∞，－2]. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $