第8讲 导数与函数的性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word（提升版）

第8讲　导数与函数的性质 【考情分析】　（1）导数的几何意义（切线、公切线）是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等；（2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的常见题型，多以选择题、填空题的形式考查，或作为导数解答题第一问，难度中等偏上，属于综合性问题. 考点一　切线及公切线问题 【例1】　（1）（2024·全国甲卷理6题）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　A　） A. B. C. D. 解析：（1）f'（x）＝，所以f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（－，0），所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A. （2）（2024·新高考Ⅰ卷13题）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝　ln 2　. 解析：（2）由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝，设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），由两曲线有公切线得y'＝＝2，解得x0＝－，则切点为（－，a＋ln），由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln＝0，故a＝ln 2. 【规律方法】　（1）求过某点的切线方程时（不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点），应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”（切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上）求切线方程； （2）对于公切线问题一般是设切点，求出两个函数的切线方程，根据这两个方程表示同一条直线，可得方程组，求解方程组，要注意两个曲线有公切线，切点可能是同一点也可能不是同一点. 【训练1】　已知函数f（x）＝x3－ax＋1，过点P（2，0）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则实数a的取值范围是　（ ，）　. 解析：由f'（x）＝3x2－a，设切点为（m，n），则切线斜率为f'（m）＝3m2－a，所以过P（2，0）的切线方程为y＝（3m2－a）（x－2），综上，即（3m2－a）（m－2）＝m3－am＋1，所以2a＝－2m3＋6m2＋1有三个不同m值使方程成立，即y＝2a与g（m）＝－2m3＋6m2＋1有三个不同交点，而g'（m）＝－6m2＋12m，故在（－∞，0），（2，＋∞）上g'（m）＜0，g（m）单调递减，在（0，2）内g'（m）＞0，g（m）单调递增.所以g（m）的极小值为g（0）＝1，极大值为g（2）＝9，故当1＜2a＜9时两函数有三个交点，综上，a的取值范围是（ ，）. 考点二　利用导数研究函数的单调性 【例2】　（1）（2025·黑龙江齐齐哈尔二模）已知函数f（x）＝2x－sin 2x，则不等式f（x2）＋f（2x－3）＜0的解集为　（－3，1）　； （2）若函数f（x）＝－ln x在区间（m，m＋）上不单调，则实数m的取值范围为　（，1）　. 解析：（1）f（x）＝2x－sin 2x的定义域为R，∵f'（x）＝2－2cos 2x＝2（1－cos 2x）≥0，∴函数f（x）是R上的增函数，∵f（－x）＝－2x－sin（－2x）＝－（2x－sin 2x）＝－f（x），∴函数f（x）是奇函数，∴由f（x2）＋f（2x－3）＜0得f（x2）＜－f（2x－3）＝f（3－2x），∴x2＜3－2x⇒x2＋2x－3＜0⇒（x－1）（x＋3）＜0⇒－3＜x＜1，∴不等式f（x2）＋f（2x－3）＜0的解集为（－3，1）. （2）由题可得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝，易知当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，即函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.若函数f（x）＝－ln x在区间（m，m＋）上不单调，则需满足0≤m＜1＜m＋，解得＜m＜1，所以实数m的取值范围为（，1）. 【规律方法】　（1）已知函数解析式求单调区间，实质上是求f'（x）＞0，f'（x）＜0的解集，但是要注意定义域； （2）解决含参数问题及不等式问题要注意两个转化：一是利用导数解决含参函数的单调性问题，可将问题转化为不等式恒成立问题，此时要注意分类讨论和数形结合思想的应用；二是将不等式的证明、方程根的个数的判定问题转化为函数的单调性问题来处理. 提醒：讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制. 【训练2】　（1）（2025·北京通州一模）已知函数f（x）＝x2＋cos x，则f（－2），f（3），f（π）的大小关系是（　A　） A.f（－2）＜f（3）＜f（π） B.f（π）＜f（3）＜f（－2） C.f（3）＜f（－2）＜f（π） D.f（－2）＜f（π）＜f（3） 解析：（1）因为f（－x）＝x2＋cos x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，f'（x）＝x－sin x，令g（x）＝x－sin x，x∈（0，＋∞），则g'（x）＝1－cos x≥0，x∈（0，＋∞），所以函数g（x）＞g（0）＝0，即当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（－2）＝f（2）＜f（3）＜f（π）.故选A. （2）（2025·福建泉州二模）函数f（x）＝aex－ln x在区间（2，3）上单调递增，则实数a的取值范围为　［，＋∞）　. 解析：（2）对于f（x）＝aex－ln x，则f'（x）＝aex－，因为f（x）＝aex－ln x在区间（2，3）内单调递增，所以f'（x）＝aex－≥0在（2，3）内恒成立，显然a＞0，所以≤xex在（2，3）内恒成立，令g（x）＝xex，x∈（2，3），则g'（x）＝（x＋1）ex＞0，所以g（x）在（2，3）上单调递增，所以≤2e2，则a≥或a＜0（舍去），所以实数a的取值范围为［，＋∞）. 考点三　利用导数研究函数的极值（最值） 【例3】　（2025·四川泸州模拟）已知函数f（x）＝（x－1）ex－ax2. （1）当a＝2时，求f（x）的极大值； 解：（1）当a＝2时，f（x）＝（x－1）ex－x2， f'（x）＝ex＋（x－1）ex－2x＝xex－2x＝x（ex－2）， 令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝ln 2. 当x＜0或x＞ln 2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当0＜x＜ln 2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减. 所以当x＝0时，f（x）的极大值为f（0）＝（0－1）·e0－02＝－1. （2）若f（x）在（0，＋∞）上有最小值，且最小值大于－a，求a的取值范围. 解：（2）f（x）＝（x－1）ex－ax2，f'（x）＝xex－ax＝x（ex－a）， 当a＜0时，在x∈（0，＋∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增，无最小值，不符合题意； 当a＞0时，令f'（x）＝x（ex－a）＝0，则x＝0或x＝ln a， 当0＜a≤1时，在x∈（0，＋∞）上，f'（x）＞0，所以f（x）单调递增，无最小值， 当a＞1时，在x∈（0，ln a）内，f'（x）＜0，在x∈（ln a，＋∞）上，f'（x）＞0， 所以f（x）在（0，ln a）内单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增，所以当x＝ln a时，f（x）有最小值， 最小值为f（ln a）＝（ln a－1）eln a－a（ln a）2＝a［ln a－1－（ln a）2］， 所以a［ln a－1－（ln a）2］＞－a，即ln a－1－（ln a）2＞－1， 化简得－（ln a）2＋ln a＞0，即ln a（2－ln a）＞0， 解得0＜ln a＜2，即1＜a＜e2， 故a的取值范围为（1，e2）. 【规律方法】　（1）可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点； （2）求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值； （3）函数在区间（a，b）内有唯一极值点，则这个极值点也是最大（小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 【训练3】　（1）（2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x－a）的极值点，则f（0）＝　－4　； 解析：（1）f'（x）＝（x－2）'[（x－1）（x－a）]＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'＝（x－1）（x－a）＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'，因为x＝2是函数f（x）的极值点，所以f'（2）＝0，即（2－1）（2－a）＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所以f（0）＝－4. （2）已知函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）内存在最小值，则实数a的取值范围为　[－1，2）　. 解析：（2）由题意得f'（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）.令f'（x）＞0，得x＜0或x＞2，令f'（x）＜0，得0＜x＜2，则f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减区间为（0，2），即x＝2时，函数取得极小值f（2）＝－1.又因为当x3－3x2＋3＝－1，即x3＋1＋3（1－x2）＝（x＋1）·（x－2）2＝0时，解得x＝－1或x＝2，可作出f（x）的图象如图所示，故要使函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）内存在最小值，需有解得－1≤a＜2，即实数a的取值范围为[－1，2）. 突破点　函数与导数中的对称问题 【例4】　（2024·新高考Ⅱ卷11题改编）设函数f（x）＝2x3－3ax2＋1，是否存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心？ 解：法一　由f（1）＝3－3a，若存在这样的a，使得（1，3－3a）为f（x）的对称中心， 则f（x）＋f（2－x）＝6－6a，事实上， f（x）＋f（2－x）＝2x3－3ax2＋1＋2（2－x）3－3a（2－x）2＋1＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a， 于是6－6a＝（12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a， 即解得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心. 法二　任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， f（x）＝2x3－3ax2＋1，f'（x）＝6x2－6ax，f″（x）＝12x－6a， 由f″（x）＝0⇔x＝，于是该三次函数的对称中心为（ ，f（ ））， 由题意（1，f（1））也是对称中心，故＝1⇔a＝2， 即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心. 【变式】　〔创新考法〕给出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数y＝f'（x）的导函数.若方程f″（x）＝0有实数解x＝x0，则称（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”.经研究发现所有的三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f（x）的图象的对称中心.若函数f（x）＝x3－3x2，则f（ ）＋f（ ）＋f（ ）＋…＋f（ ）＋f（ ）＝（　　） A.－4 050 B.－8 096 C.－8 098 D.－4 049 解析：C　由f'（x）＝3x2－6x，可得f″（x）＝6x－6，令f″（x）＝0，可得x＝1，又f（1）＝1－3＝－2，所以y＝f（x）的图象的对称中心为（1，－2），即f（1－x）＋f（1＋x）＝－4，所以f（ ）＋f（ ）＋f（ ）＋…＋f（ ）＋f（ ）＝［f（ ）＋f（ ）］＋［f（ ）＋f（ ）］＋…＋［f（ ）＋f（ ）］＋f（ ）＝－4×＝－8 098.故选C. 【规律方法】　函数对称性质的常用结论 （1）f（x）的对称轴为x＝b⇔f（x）＝f（2b－x）； （2）f（x）关于（a，b）对称⇔f（x）＋f（2a－x）＝2b； （3）任何三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是f″（x）＝0的解，即（ －，f（ －））是三次函数的对称中心. 【训练4】　已知函数y＝x3＋3x2＋x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x1，y1），N（x2，y2），就恒有y1＋y2的定值为y0，则y0的值为　2　. 解析：因为P为定点，y1＋y2＝y0为定值，所以M，N两点关于点P对称，由y＝x3＋3x2＋x可得y'＝3x2＋6x＋1，设g（x）＝3x2＋6x＋1，则g'（x）＝6x＋6，令g'（x）＝6x＋6＝0，解得x＝－1，所以根据三次函数的对称中心的二阶导数为0可得P（－1，1）是三次函数y＝x3＋3x2＋x的对称中心，所以y1＋y2＝2，即y0＝2. 真题体验 1.（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 解析：C　法一　由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C. 法二　∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C. 2.（2022·全国乙卷文11题）函数f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（　　） A.－， B.－， C.－，＋2 D.－，＋2 解析：D　f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1，x∈[0，2π]，则f'（x）＝－sin x＋sin x＋（x＋1）cos x＝（x＋1）cos x.令f'（x）＝0，解得x＝－1（舍去），x＝或x＝.因为f＝cos ＋sin ＋1＝2＋，f＝cos ＋sin ＋1＝－，又f（0）＝cos 0＋（0＋1）sin 0＋1＝2，f（2π）＝cos 2π＋（2π＋1）sin 2π＋1＝2，所以f（x）max＝f＝2＋，f（x）min＝f＝－.故选D. 3.（2024·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝ex－ax－a3. （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 解：（1）当a＝1时，则f（x）＝ex－x－1，f'（x）＝ex－1， 可得f（1）＝e－2，f'（1）＝e－1， 即切点坐标为（1，e－2），切线斜率k＝e－1， 所以切线方程为y－（e－2）＝（e－1）（x－1），即（e－1）x－y－1＝0. （2）易知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－a. 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数，无极值； 当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞ln a，由f'（x）＜0，得x＜ln a， 所以函数f（x）在区间（－∞，ln a）上单调递减，在区间（ln a，＋∞）上单调递增，所以f（x）的极小值为f（ln a）＝a－aln a－a3. 由题意知a－aln a－a3＜0（a＞0），等价于1－ln a－a2＜0（a＞0）. 法一（导数法）　令g（a）＝1－ln a－a2（a＞0）， 则g'（a）＝－－2a＜0， 所以函数g（a）在（0，＋∞）上是减函数， 又g（1）＝0，故当0＜a＜1时，g（a）＞0；当a＞1时，g（a）＜0. 故实数a的取值范围为（1，＋∞）. 法二（图象法）　由1－ln a－a2＜0（a＞0），得ln a＞－a2＋1（a＞0）. 如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间（0，＋∞）上的大致图象， 由图易知当a＞1时，ln a＞－a2＋1，即1－ln a－a2＜0. 所以实数a的取值范围为（1，＋∞）. （时间：60分钟，满分：97分） 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1.（2025·福建莆田二模）曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则P的坐标为（　　） A.（－1，－1） B.（ －1，1－） C.（1，e－1） D.（1，2e－1） 解析：B　y'＝（x＋1）ex－1，令（x＋1）ex－1＝－1，则（x＋1）ex＝0，故x＝－1，当x＝－1时，y＝－e－1－（－1）＝1－，即P的坐标为（ －1，1－），故选B. 2.已知函数f（x）＝ex＋x，则满足f（x）＞f（2x－1）的x的取值范围是（　　） A.（－∞，－1） B.（－∞，1） C.（－1，＋∞） D.（1，＋∞） 解析：B　∵f（x）＝ex＋x，∴f'（x）＝ex＋1＞0，∴f（x）在R上为增函数，由f（x）＞f（2x－1）得，x＞2x－1，解得x＜1，故x的取值范围是（－∞，1），故选B. 3.已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　　） A.（0，4） B.（－∞，1），（，4） C.（0，） D.（0，1），（4，＋∞） 解析：D　由题图可知，先减后增的曲线为f'（x）的图象，先增后减再增的曲线为f（x）的图象，当0＜x＜1或x＞4时，f'（x）＜f（x），即g'（x）＝＜0，则函数g（x）＝的单调递减区间为（0，1），（4，＋∞）.故选D. 4.（2025·江苏无锡质检）当x＝2时，函数f（x）＝x3＋bx2－12x取得极值，则f（x）在区间[－4，4]上的最大值为（　　） A.8 B.12 C.16 D.32 解析：C　f'（x）＝3x2＋2bx－12，∵f（x）在x＝2处取得极值，∴f'（2）＝12＋4b－12＝0，∴b＝0，则f（x）＝x3－12x，由f'（x）＝0，得x＝±2，f（x）在[－4，－2）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，在（2，4]上单调递增，又f（－2）＝－8＋24＝16，f（4）＝64－48＝16，∴f（x）max＝16.故选C. 5.（2025·江苏扬州第二次调研）若函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A.a＞－2 B.a＞－ C.a＜－2 D.a＜－ 解析：C　由函数f（x）＝eax＋2x，可得f'（x）＝aeax＋2，若a≥0，则f'（x）＞0恒成立，此时f（x）单调递增，无极值点，故a＜0，令f'（x）＝aeax＋2＝0，解得x＝ln（－），当x＞ln（－）时，f'（x）＞0，当x＜ln（－）时，f'（x）＜0，故x＝ln（－）是f（x）＝eax＋2x的极值点，由于函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，∴ln（－）＞0⇒ln（－）＜0⇒0＜－＜1，解得a＜－2.故选C. 6.（2025·陕西渭南二模）函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－3｜＋2ex的最小值为（　　） A.6 B.2＋2e C.6－2ln 2 D.e2＋1 解析：A　当x≤1时，f（x）＝1－x＋3－x＋2ex＝4－2x＋2ex，则f'（x）＝－2＋2ex，令f'（x）＞0，得0＜x≤1；令f'（x）＜0，得x＜0，所以函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，1]上单调递增，则f（x）min＝f（0）＝4＋2＝6；当1＜x＜3时，f（x）＝x－1＋3－x＋2ex＝2＋2ex，函数f（x）在（1，3）内单调递增，则f（x）＞f（1）＝2＋2e＞6；当x≥3时，f（x）＝x－1＋x－3＋2ex＝2x－4＋2ex，则f'（x）＝2＋2ex＞0，函数f（x）在[3，＋∞）上单调递增，则f（x）min＝f（3）＝6－4＋2e3＝2＋2e3＞6.综上所述，函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－3｜＋2ex的最小值为6.故选A. 7.（2025·湖南永州三模）若函数f（x）＝aex－x3在区间（1，3）内单调递增，则实数a的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析：C　已知f（x）＝aex－x3，可得f'（x）＝aex－3x2. 因为f（x）在区间（1，3）内单调递增，所以f'（x）≥0在区间（1，3）内恒成立，即aex－3x2≥0在区间（1，3）内恒成立，移项可得a≥在区间（1，3）内恒成立，令g（x）＝，x∈（1，3），则a≥g（x）max. 对g（x）＝求导，可得g'（x）＝＝＝＝.令g'（x）＝0，即＝0，因为ex＞0恒成立，所以3x（2－x）＝0，解得x＝0或x＝2.当1＜x＜2时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当2＜x＜3时，g'（x）＜0，g（x）单调递减.所以g（x）在x＝2处取得极大值，也是最大值，g（2）＝＝. 因为a≥g（x）max＝，所以实数a的最小值为. 故选C. 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 8.已知函数f（x）的定义域为R，且导函数为f'（x），如图是函数y＝xf'（x）的图象，则下列说法正确的是（　　） A.函数f（x）的增区间是（－2，0），（2，＋∞） B.函数f（x）的增区间是（－∞，－2），（2，＋∞） C.x＝－2是函数的极小值点 D.x＝2是函数的极小值点 解析：BD　由题意，当0＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞0；当－2＜x＜0时，f'（x）＜0；当x＜－2时，f'（x）＞0.即函数f（x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，因此函数f（x）在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值.故选B、D. 9.（2025·全国Ⅱ卷10题）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2－3）ex＋2，则（　　） A.f（0）＝0 B.当x＜0时，f（x）＝－（x2－3）e－x－2 C.f（x）≥2当且仅当x≥ D.x＝－1是f（x）的极大值点 解析：ABD　A.根据奇函数的定义有f（0）＝0，故A正确；B.当x＜0时，－x＞0，所以f（－x）＝（x2－3）e－x＋2，因为f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝－（x2－3）e－x－2，故B正确；C.当x＞0时，f'（x）＝（x2＋2x－3）ex＝（x－1）（x＋3）ex，所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，又f（）＝2，所以由f（x）≥2得x≥；当x＜0时，f（－1）＝2（e－1）＞2，满足f（x）≥2，但－1∉[，＋∞），故C错误；D.由C知，D正确. 三、填空题（每小题5分，共10分） 10.（2025·湖南岳阳二模）已知曲线y＝x＋ln x在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2＋（a＋4）x＋1只有一个公共点，则a＝　0或2　. 解析：由y＝x＋ln x得y'＝1＋，当x＝1时，切线的斜率k＝2，则曲线y＝x＋ln x在点（1，1）处的切线方程为y＝2（x－1）＋1＝2x－1，因为它与y＝ax2＋（a＋4）x＋1只有一个公共点，所以ax2＋（a＋4）x＋1＝2x－1有唯一解，即ax2＋（a＋2）x＋2＝0有唯一解，故或a＝0，解得a＝2或a＝0. 11.（2025·江苏苏州模拟预测）已知函数f（x）＝x3－3x2＋ax＋2，若f（x）在（－1，1）内有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为　（－9，3）　. 解析：函数f（x）＝x3－3x2＋ax＋2，则f'（x）＝3x2－6x＋a，因为f（x）在（－1，1）有唯一的极值点且为极大值点，所以根据函数零点存在定理得f'（－1）·f'（1）＜0，f'（x）＝3x2－6x＋a的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 x＝－＝1，由于对称轴x＝1在区间 （－1，1）右侧，要使f'（x）在（－1，1）内有唯一的变号零点，则需满足 而f'（－1）＝3×（－1）2－6×（－1）＋a＝3＋6＋a＝9＋a，f'（1）＝3×12－6×1＋a＝3－6＋a＝a－3，则不等式组可化为解得－9＜a＜3，综上，a的取值范围为（－9，3）. 四、解答题（共2小题，共30分） 12.（15分）（2025·湖南岳阳二模）已知函数f（x）＝x2－（a＋2）x＋2aln x（a∈R）. （1）当a＝－3时，求函数f（x）的极值； （2）讨论函数f（x）的单调性. 解：（1）当a＝－3时，f（x）＝x2＋x－6ln x（x＞0）， f'（x）＝x＋1－＝＝ 由f'（x）＜0，得0＜x＜2；由f'（x）＞0，得x＞2. 所以f（x）在（0，2）内单调递减，在（2，＋∞）上单调递增. 故f（x）的极小值为f（2）＝4－6ln 2，无极大值. （2）由题意知x∈（0，＋∞），f'（x）＝x－（a＋2）＋＝＝. 当a≤0时，由f'（x）＜0，得0＜x＜2，由f'（x）＞0，得x＞2， 此时，f（x）在（0，2）内单调递减，在（2，＋∞）上单调递增； 当0＜a＜2时，由f'（x）＜0，得a＜x＜2， 由f'（x）＞0，得0＜x＜a或x＞2， 此时，f（x）在（a，2）内单调递减，在（0，a）和（2，＋∞）上单调递增； 当a＝2时，f'（x）＝≥0对任意的x＞0恒成立， 此时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞2时，由f'（x）＜0，得2＜x＜a， 由f'（x）＞0，得0＜x＜2或x＞a， 此时，f（x）在（2，a）内单调递减，在（0，2）和（a，＋∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（0，2）内单调递减，在（2，＋∞）上单调递增； 当0＜a＜2时，f（x）在（a，2）内单调递减，在（0，a）和（2，＋∞）上单调递增； 当a＝2时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞2时，f（x）在（2，a）内单调递减，在（0，2）和（a，＋∞）上单调递增. 13.（15分）（2025·安徽黄山一模）已知函数f（x）＝x2－aln x－a3. （1）当a＝1时，求函数f（x）在［，3］上的最值； （2）若f（x）有极值且极小值大于0，求a的取值范围. 解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2－ln x－，则f'（x）＝x－＝，x＞0， 由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，可得0＜x＜1， 所以f（x）在（ ，1）内单调递减，在（1，3）内单调递增， 所以f（x）min＝f（1）＝0， 因为f（3）＝4－ln 3，f（ ）＝ln 2－， 又4－ln 3－（ ln 2－）＝4＋－ln 6＞0，所以f（3）＞f（ ），f（x）max＝f（3）， 所以f（x）的最大值为4－ln 3，最小值为0. （2）因为f'（x）＝x－＝，x＞0， 当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无极值，不符合题意； 当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝， 当0＜x＜时，f'（x）＜0，即f（x）单调递减， 当x＞时，f'（x）＞0，即f（x）单调递增， 所以当x＝时，f（x）有极小值，极小值为f（）＝a（ 1－ln a－a2）， 由f（）＝a（ 1－ln a－a2）＞0，得1－ln a－a2＞0， 令F（a）＝1－ln a－a2，a＞0， 则F'（a）＝－－2a＜0，所以函数F（a）在（0，＋∞）上单调递减，又F（1）＝0， 由F（a）＞F（1），得a＜1，则0＜a＜1. 综上，a的取值范围为（0，1）. 高考新风向 14.（5分）〔创新定义〕（2025·江西南昌模拟）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”.已知f（x）＝ex－ex2＋（x－1）2，则下列给出的函数中，对应图象与y＝f（x）的图象“相似”的是（　　） A.y＝x2 B.y＝－x2 C.y＝x3－3x D.y＝－x3＋3x 解析：C　f'（x）＝ex－ex＋2x－2，则f'（1）＝0，令f'（x）＝0，则ex＝（e－2）x＋2，如图，在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝ex，y＝（e－2）x＋2的大致图象，由图可知，函数y＝ex与y＝（e－2）x＋2的图象有两个交点，则函数y＝f'（x）有两个零点为1，x0，且x0＜0，令f'（x）＞0，则x＞1或x＜x0，令f'（x）＜0，则x0＜x＜1，所以f（x）在（－∞，x0），（1，＋∞）上单调递增，在（x0，1）内单调递减，所以图象从左到右看，f（x）先有极大值点x0，再有极小值点1. 法一　A错误，函数y＝x2在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以函数y＝x2有极小值点，无极大值点； B错误，函数y＝－x2在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以函数y＝－x2有极大值点，无极小值点； C正确，对y＝x3－3x求导，得y'＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当x＜－1或x＞1时，y'＞0，当－1＜x＜1时，y'＜0，所以函数y＝x3－3x在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，1）内单调递减，所以图象从左到右看，函数y＝x3－3x先有极大值点－1，再有极小值点1； D错误，y＝－x3＋3x＝－（x3－3x），则由C选项可得，图象从左到右看，函数y＝－x3＋3x先有极小值点－1，再有极大值点1.故选C. 法二　根据二次函数的图象性质可排除A、B. 三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象在a＜0时为倒“N”型，图象从左到右看先有极小值点，再有极大值点，排除D.故选C. 15.（5分）〔创新交汇〕P是平面直角坐标系xOy内一点，我们以x轴正半轴为始边，射线OP为终边构成角θ∈[0，2π]，OP的长度r作为θ的函数，若其解析式为r＝｜2sin 2θ｜＋｜sin 4θ｜，则P的轨迹可能为（　　） 解析：B　r（θ）＝｜2sin 2θ｜＋｜sin 4θ｜，r（ θ＋）＝＋＝｜2sin 2θ｜＋｜sin 4θ｜＝r（θ），可以得到r是以为周期的函数，所以P的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D；由于A、B项均关于y＝x对称，所以仅研究θ∈［0，］，此时，令r＝2sin 2θ＋sin 4θ，r'＝4（cos 2θ＋cos 4θ），令cos 2θ＝t∈[0，1]，则r'＝4（2t2＋t＋1），令f（t）＝2t2＋t－1＝0，解得t＝（负数根－1舍去），则f（t）在上小于等于0，在（ ，1）内大于0，即r（θ）在（ 0，）内单调递增，在（ ，）内有且仅有一个极值点，所以OP不会一直增大，B正确. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $