第5讲 数列的奇偶项问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件（提升版）

第5讲　数列的奇偶项问题 考情分析 数列的奇偶项问题主要考查学生的综合运算能力与探究问题能力，考查形式既有小题，也有解答题，解决此类问题的难点在于搞清数列中奇数项和偶数项各自的首项、项数、公差或公比等，特别注意分类讨论思想在解题中的灵活运用. 数列中相邻两项和或积的问题 考点一 目录 / CONTENTS 含有（－1）n的类型 考点二 an＝ 型 考点三 数列奇偶项新视角 突破点 课时作业 考点一　数列中相邻两项和或积的问题 目 录 【例1】　（2025·广东清远二模）已知数列{an}的首项为a1＝4，且满足an ＋1＋an＝6×5n（n∈N*）. （1）求证：{an－5n}是等比数列； 解： 证明：∵数列{an}满足an＋1＋an＝6×5n，即an＋1＝－an＋ 6×5n， ∴an＋1－5n＋1＝－（an－5n），即 ＝－1， 又∵a1＝4，∴a1－51＝－1， ∴数列{an－5n}是首项为－1，公比为－1的等比数列. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）求数列{an}的前n项和Sn. 解： 由（1）知an－5n＝－1×（－1）n－1＝（－1）n， ∴an＝（－1）n＋5n， ∴Sn＝51＋52＋…＋5n＋（－1）＋1＋…＋（－1）n， 当n为偶数时，可得Sn＝ ＋0＝ ×5n＋1－ ； 当n为奇数时，可得Sn＝ －1＝ ×5n＋1－ . 综上可得，Sn＝ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　（1）构造隔项等差数列：an＋1＋an＝pn＋q（p， q≠0）⇒an＋2＋an＋1＝p（n＋1）＋q，两式相减得an＋2－an＝p； （2）构造隔项等比数列：an＋1·an＝pqn（p，q≠0）⇒an＋2·an＋1＝pqn＋ 1，两式相除得 ＝q. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练1】　已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝9n，n∈N*. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 由题意，当n＝1时，a1a2＝9，可得a2＝9. 因为an·an＋1＝9n， 所以an＋1·an＋2＝9n＋1，所以 ＝9， 所以数列{an}的奇数项和偶数项都是公比为9的等比数列. 当n为奇数时，设n＝2k－1（k∈N*）， 则an＝a2k－1＝1·9k－1＝32k－2＝3n－1； 当n为偶数时，设n＝2k（k∈N*），则an＝a2k＝9·9k－1＝9k＝32k＝3n. 因此，an＝ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若bn＝ 求数列{bn}的前2n项和S2n. 解：由（1）得bn＝ 所以S2n＝（b1＋b3＋…＋b2n－1）＋（b2＋b4＋…＋b2n）＝[0－2－4－… －（2n－2）]＋（32＋34＋36＋…＋32n）－n＝－ ＋ －n＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 考点二　含有（－1）n的类型 目 录 【例2】　已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1＝1， 是1－Sn与Sn＋1的等差中项. （1）证明：数列{ }是等差数列； 解：证明：因为 是1－Sn与Sn＋1的等差中项，所以2 ＝1 －Sn＋Sn＋1， 所以Sn＝1＋Sn＋1－2 ＝（ －1）2， 因为数列{an}的各项均为正数，所以Sn＞0， 所以 ＝ －1，所以 － ＝1， 所以数列{ }是首项为 ＝ ＝1，公差为1的等差数列. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）设bn＝（－1）n·（Sn＋an），求数列{bn}的前2n项和T2n. 解：因为数列{ }是首项为1，公差为1的等差数列， 所以 ＝1＋（n－1）×1＝n， 所以Sn＝n2，当n＝1时，a1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1， n＝1时a1＝1符合上式， 所以an＝2n－1， 因为bn＝（－1）n·（Sn＋an）， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 则T2n＝－S1－a1＋S2＋a2－S3－a3＋S4＋a4＋…＋S2n＋a2n ＝（S2－S1）＋（S4－S3）＋…＋（S2n－S2n－1）－（a1－a2＋…－a2n） ＝a2＋a4＋…＋a2n－（a1－a2＋…－a2n） ＝－（a1＋a3＋…＋a2n－1）＋2（a2＋a4＋…＋a2n） ＝－ ＋2× ＝－ ＋2× ＝－n（2n－1）＋n（4n＋2）＝2n2＋3n. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　通项中含有（－1）n的情形 （1）等差数列的通项公式乘以（－1）n，用并项求和法求数列的前n 项和； （2）等比数列的通项公式中含有（－1）n，其前n项和可写成分段的形 式，可求最值. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练2】　（2025·陕西咸阳二模）已知等差数列{an}的公差为2，且 a2，a3，a5－1成等比数列，记Sn为数列{bn}的前n项和，且4Sn＝3bn＋2. （1）求{an}，{bn}的通项公式； 解：设等差数列{an}的首项为a1， 因为a2，a3，a5－1成等比数列，所以 ＝a2（a5－1）， 又因为公差d＝2，所以（a1＋4）2＝（a1＋2）（a1＋7），解得a1＝2， 故an＝a1＋（n－1）d＝2＋2（n－1）＝2n. 对于数列{bn}，当n＝1时，4S1＝4b1＝3b1＋2，解得b1＝2. 当n≥2时，由4Sn＝3bn＋2，可得4Sn－1＝3bn－1＋2， 两式相减，可得4Sn－4Sn－1＝4bn＝3bn－3bn－1，即bn＝－3bn－1， 因为b1＝2≠0，所以bn≠0，可得 ＝－3， 所以数列{bn}是以2为首项，－3为公比的等比数列，所以bn＝2·（－3）n－1. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）设cn＝（－1）n－1anbn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：由（1）知an＝2n，bn＝2·（－3）n－1， 可得cn＝（－1）n－1anbn＝（－1）n－1·2n·2·（－3）n－1＝4n·3n－1， 所以Tn＝4·30＋8·31＋12·32＋…＋4n·3n－1， 则3Tn＝4·31＋8·32＋12·33＋…＋4n·3n， 两式相减，可得－2Tn＝4＋4·31＋4·32＋…＋4·3n－1－4n·3n ＝4＋4· －4n·3n＝4＋2·3·（3n－1－1）－4n·3n＝（2－ 4n）·3n－2， 所以Tn＝（2n－1）·3n＋1. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 考点三　an＝ 型 目 录 【例3】　（2023·新高考Ⅱ卷18题）已知{an}为等差数列，bn＝ 记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝ 32，T3＝16. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （1）求{an}的通项公式； 解： 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 因为bn＝ 且S4＝32，T3＝16， 所以 解得 所以an＝5＋2（n－1）＝2n＋3. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 解： 证明：由（1）可知，Sn＝ ＝ ＝n2 ＋4n. 由an＝2n＋3，得bn＝ 若n为偶数，则 Tn＝（b1＋b3＋…＋bn－1）＋（b2＋b4＋…＋bn）＝（a1－6＋a3－6 ＋…＋an－1－6）＋（2a2＋2a4＋…＋2an）＝（5＋9＋…＋2n＋1－ 3n）＋2（7＋11＋…＋2n＋3）＝ －3n＋ 2× ＝ n2＋ n. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 所以当n＞5时，Tn－Sn＝ n2＋ n－（n2＋4n）＝ n2－ n＝ n（n－ 1）＞0， 即Tn＞Sn. 若n为奇数，则n－1为偶数，则 Tn＝Tn－1＋bn＝ （n－1）2＋ （n－1）＋2n＋3－6＝ n2＋ n－5. 所以当n＞5时， Tn－Sn＝ n2＋ n－5－（n2＋4n）＝ n2－ n－5＝ （n2－3n－10）＝ （n＋2）（n－5）＞0， 即Tn＞Sn. 综上可得，当n＞5时，Tn＞Sn. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用a2n，a2n－1及 a2n－1，a2n－2，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过 a2n，a2n－1的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把a2n＋a2n－1 看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练3】　（2025·江苏淮安模拟预测）已知数列{an}的首项为a1，前n 项和为Sn，且an＋1＝ 记bn＝a2n－1. （1）当a4＝6时，求数列{bn}的通项公式； 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解： ∵a4＝a3＋1＝（2a2＋1）＋1＝2a2＋2＝2（a1＋1）＋2＝2a1＋ 4＝6，∴a1＝1. bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＋1＝2（a2n－1＋1）＋1＝2a2n－1＋3＝2bn＋3， 则bn＋1＋3＝2（bn＋3）， ＝2. ∵b1＋3＝a1＋3＝4，∴{bn＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴bn＋3＝4·2n－1＝2n＋1，则bn＝2n＋1－3. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若2 000＜S16＜2 510，求a1的取值范围. 解： 当a1＋3＝0时，bn＋3＝a2n－1＋3＝0， ∴a2n－1＝－3，a2n＝－3＋1＝－2，S16＝8×（－5）＝－40，不合题意， ∴a1＋3≠0. 由（1）得{bn＋3}构成以a1＋3为首项，2为公比的等比数列，∴bn＋3＝ （a1＋3）·2n－1. 由题意得a2n＝a2n－1＋1， ∴S16＝（a1＋a3＋…＋a15）＋（a2＋a4＋…＋a16）＝（a1＋a3＋…＋ a15）＋（a1＋1）＋（a3＋1）＋…＋（a15＋1） 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 ＝2（a1＋a3＋…＋a15）＋8＝2（a1＋3＋a3＋3＋…＋a15＋3）－2×3×8 ＋8＝2（b1＋b2＋…＋b8）－40 ＝2× －40＝（a1＋3）（29－2）－40＝510（a1＋3）－ 40， ∴2 000＜S16＝510（a1＋3）－40＜2 510，解得 1＜a1＜2， ∴a1的取值范围是（1，2）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 突破点　数列奇偶项新视角 目 录 【例4】　已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4＝5，且a1，a3，a7成 等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 设数列{an}公差为d，d≠0 由题意可知 ＝a1a7，即 ＝（a4－3d）·（a4＋3d）， ∴（5－d）2＝（5－3d）（5＋3d），则25－10d＋d2＝25－9d2，解得d ＝1， ∴an＝a4＋（n－4）d＝5＋（n－4）＝n＋1. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）设bn＝an cos ，求数列{bn}的前2 025项和. 解： bn＝an cos ＝（n＋1） cos ， 【卡壳点】 利用 cos ＝ cos 进行转化，将数列问题 转化为三角函数特殊值问题 当n为偶数时，n＋1为奇数，则 cos ＝0，即bn＝0， 当n＝2k＋1，k∈N时， cos ＝ cos （k＋1）π， 当k为偶数时， cos （k＋1）π＝－1， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 当k为奇数时， cos （k＋1）π＝1， 设数列{bn}的前n项和为Sn， 则S2 025＝b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋…＋b2 021＋b2 022＋b2 023＋b2 024＋b2 025 ＝－2＋0＋4＋0－6＋0＋…＋0－2 022＋0＋2 024＋0－2 026 ＝2× ＋（－2 026）＝－1 014. 【易错提醒】 注意项数及最后一项的符号 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　当已知条件中含有三角函数时，需等价转化，常用的三角 函数等价转化有：① cos nπ＝（－1）n； ② sin ＝（－1）n＋1. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （1）求证：{bn}是等比数列； 解： 证明：∵an＋1－2an＝3n，∴an＋1＝3n＋2an， ∵bn＝an－3n，则bn＋1＝an＋1－3n＋1＝3n＋2an－3×3n＝2an－2×3n＝2 （an－3n）＝2bn， 又∵a1＝5， ∴b1＝a1－31＝5－3＝2， ∴数列{bn}中任意一项不为0， ＝2， ∴数列{bn}是首项为2， 公比为2的等比数列，bn＝2×2n－1＝2n. 【训练4】　（2025·黑龙江哈尔滨二模）已知数列{an}满足a1＝5，an＋1－ 2an＝3n（n∈N*），记bn＝an－3n. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）设cn＝ ，数列{cn}的前n项和为Sn.若不等式（－1）nλ＜Sn＋ 对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 解： 由（1）可知 bn＝2n，则cn＝ ， ∴Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ， Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 两式相减可得： Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝ ＋ － ， ∴Sn＝5－（2n＋5）（ ）n. 由（－1）nλ＜Sn＋ ，得（－1）nλ＜5－（2n＋5）·（ ）n＋ ， 化简得（－1）nλ＜5［1－（ ）n］. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【卡壳点】 当题目条件中出现（－1）n时，需按照n的奇偶性分类求解 当n 为奇数时，有－λ＜5［1－（ ）n］，即λ＞5×（ ）n－5， 而［5×（ ）n－5］max＝5× －5＝－ ，所以λ＞－ ； 当n为偶数时，有λ＜5［1－（ ）n］＝5－5×（ ）n， 而［5－5×（ ）n］min＝5－5×（ ）2＝ ，所以λ＜ . 综上，λ的取值范围为（ － ， ）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 真题体验 （2021·新高考Ⅰ卷17题）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ （1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； 解：因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝ 所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5. 因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋ 3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3， 所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3（n－1） ＝3n－1，n∈N*. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）求{an}的前20项和. 解： 因为an＋1＝ 所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1， 即a2k＝a2k－1＋1，　① a2k＋1＝a2k＋2，　② a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，　③ 所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3， 所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 ②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3， 又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列. 所以数列{an}的前20项和S20＝（a1＋a3＋a5＋…＋a19）＋（a2＋a4＋a6 ＋…＋a20）＝10＋ ×3＋20＋ ×3＝300. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 课时作业 （时间：45分钟，满分：58分） 　　 目 录 1. （13分）已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＋an＝3·2n. （1）求证：{an－2n}是等比数列； 解：证明：由题意，数列{an}满足an＋1＋an＝3·2n，即an＋1＝－an ＋3·2n， 则 ＝ ＝ ＝－1， 又由a1＝1，可得a1－21＝－1， 所以数列{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）求数列{an}的前n项和Sn. 解： 由（1）知an－2n＝－1×（－1）n－1＝（－1）n，得an＝（－ 1）n＋2n， 所以数列{an}的前n项和Sn＝ ＋ ＝2n＋1＋ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 2. （15分）（2025·四川自贡二模）已知数列{an}的前n项和Sn＝ （n∈N*），数列{bn}是正项等比数列，满足b1＝a2，b3＝a8. （1）求{an}，{bn}的通项公式； 解：因为Sn＝ （n∈N*），所以n＝1时a1＝1. 当n≥2时，Sn－1＝ ， 所以an＝Sn－Sn－1＝ － ＝n（n≥2）， a1＝1满足an＝n，所以an＝n（n∈N*）. 因为数列{bn}是正项等比数列，b1＝a2＝2，b3＝a8＝8， 所以公比q＝2，bn＝2n. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）设cn＝ （k∈N*），记数列{cn}的前n项和为 Tn，求T99. 解： 由（1）知cn＝ （k∈N*）， T99＝（1＋3＋5＋…＋99）＋（22＋24＋…＋298）＝ ＋ ＝2 500＋ ＝ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 3. （15分）（2025·河北秦皇岛二模）已知数列{an}是公差大于2的等差数 列，其前n项和为Sn，a2＝5，且a1＋1，a2＋1，a5－2成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 设等差数列{an}的公差为d（d＞2），则a1＝a2－d＝5－d， a5＝a2＋3d＝5＋3d， 由a1＋1，a2＋1，a5－2成等比数列，得（6－d）（3＋3d）＝62，而d＞ 2，解得d＝3， 所以数列{an}的通项公式为an＝a2＋（n－2）d＝3n－1. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）令bn＝（－1）n＋1 ，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由（1）得bn＝（－1）n＋1 ＝（－1）n＋1（ ＋ ）， 当n为偶数时，Tn＝（ ＋ ）－（ ＋ ）＋（ ＋ ）－（ ＋ ） ＋…＋（ ＋ ）－（ ＋ ）＝ － ， 当n为奇数时，Tn＝（ ＋ ）－（ ＋ ）＋（ ＋ ）－（ ＋ ） ＋…－（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋ ， 所以Tn＝ 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 4. （15分）（2025·贵州贵阳模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn， 8Sn＝ ＋4an－21. （1）求数列{an}的通项公式； 解：由8Sn＝ ＋4an－21，得当n≥2时，8Sn－1＝ ＋4an－1－21. 两式相减得8an＝ － ＋4an－4an－1， 整理得4（an＋an－1）＝（an＋an－1）（an－an－1）， ∵{an}为正项数列，∴an＋an－1≠0，∴an－an－1＝4. 当n＝1时，8S1＝ ＋4a1－21＝8a1，解得a1＝7. ∴{an}是以7为首项，4为公差的等差数列，∴an＝7＋4×（n－1）＝4n＋3. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）设数列{bn}满足bn＝an· cos （nπ）·2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：当n＝2k＋1，k∈Z时， cos （nπ）＝－1；当n＝2k，k∈Z 时， cos （nπ）＝1， ∴bn＝an·（－1）n·2n＝（4n＋3）·（－2）n， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝（4＋3）×（－2）＋（4×2＋3）×（－2）2＋（4×3＋3）×（－2）3 ＋…＋（4n＋3）×（－2）n， －2Tn＝（4＋3）×（－2）2＋（4×2＋3）×（－2）3＋（4×3＋3）× （－2）4＋…＋（4n＋3）×（－2）n＋1， 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 两式相减得：3Tn＝（4＋3）×（－2）＋4[（－2）2＋（－2）3＋…＋ （－2）n]－（4n＋3）×（－2）n＋1 ＝4× ＋（8n＋6）×（－2）n－6 ＝ ×（－2）n－ ＋（8n＋6）×（－2）n－6 ＝ ×（－2）n－ ， ∴Tn＝ － . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $