第7讲 函数的图象与性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word（提升版）

第7讲　函数的图象与性质 【考情分析】　函数的图象与性质、函数与方程是高考考查的重点和热点，主要考查函数图象的识别与应用、函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）及零点问题等，多以选择题、填空题的形式呈现.难度中等或偏上. 考点一　函数的图象 【例1】　（1）（2024·全国甲卷理7题）函数y＝－x2＋（ex－e－x）sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为（　B　） 解析：（1）由题知函数y＝f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（－x）＝－（－x）2＋（e－x－ex）sin（－x）＝－x2＋（ex－e－x）sin x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、C；f（1）＝－1＋（e－）sin 1＞－1＋（e－）sin ＝－1＋－＞0，排除D.故选B. （2）（2025·河北保定十县一中联考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x－a.若∀x∈R，f（x－a2）≤f（x），则a的取值范围为（　D　） A.（－∞，0] B.（－∞，2] C.[0，2] D.（－∞，0]∪[2，＋∞） 解析：（2）当a＝0时，f（x－a2）≤f（x）显然恒成立.当a≠0时，f（x－a2）≤f（x）可以理解为将f（x）的图象向右平移a2个单位长度后，得到的f（x－a2）的图象始终在f（x）的图象的下方（部分重合）. 当a＞0时，由f（x）的图象可知，a2≥2a，解得a≥2；当a＜0时，由f（x）的图象可知，f（x－a2）的图象始终在f（x）的图象的下方，故a的取值范围为（－∞，0]∪[2，＋∞），故选D. 【规律方法】　（1）确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象； （2）函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值或取值范围、交点、方程的根等问题. 【训练1】　（1）已知函数f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能为（　D　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝cos x·ln ｜x｜ D.f（x）＝sin x·ln ｜x｜ 解析：（1）由题图知，f（x）为奇函数，且定义域为{x｜x≠0}，对于A，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）为偶函数，不符合题意；对于B，f（－x）＝＝≠－f（x），故f（x）不是奇函数，不符合题意；对于C，f（－x）＝cos（－x）·ln ｜－x｜＝cos x·ln ｜x｜＝f（x），故f（x）为偶函数，不符合题意.对于D，f（x）＝sin x·ln ｜x｜的定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝sin（－x）·ln ｜－x｜＝－sin x·ln ｜x｜＝－f（x），所以f（x）＝sin x·ln ｜x｜是奇函数，故选项D正确.故选D. （2）（2025·云南玉溪第一中学9月月考）若·x3＝ln x2·x3＝1，则下列不等关系一定不成立的是（　B　） A.x3＞x2＞x1 B.x3＞x1＞x2 C.x2＞x1＝x3 D.x2＞x1＞x3 解析：（2）因为·x3＝ln x2·x3＝1，则＝ln x2＝，由＞0，得x2＞1，x3＞0，作函数y＝ex，y＝ln x，y＝（x＞0）的图象，同时作出y＝m，如图，变换m的值可以发现x3＞x2＞x1，x2＞x1＝x3，x2＞x1＞x3均能够成立，x3＞x1＞x2不可能成立.故选B. 考点二　函数的性质 【例2】　（1）（2025·山东日照一模）定义在R上的函数y＝f（x）满足以下条件：①f（－x）－f（x）＝0；②对任意x1，x2∈[0，＋∞），当x1≠x2时都有＞0.则f（－），f（π），f（－3）的大小关系是（　A　） A.f（π）＞f（－3）＞f（－） B.f（π）＞f（－）＞f（－3） C.f（π）＜f（－3）＜f（－） D.f（π）＜f（－）＜f（－3） 解析：（1）因为定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（－x）－f（x）＝0，所以函数f（x）是偶函数，对任意x1，x2∈[0，＋∞），当x1≠x2时都有＞0，所以不妨设x1＞x2，则有f（x1）－f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2），因此x∈[0，＋∞）时，函数f（x）单调递增，因为函数f（x）是偶函数，所以f（－）＝f（），f（－3）＝f（3），因为x∈[0，＋∞）时，函数f（x）单调递增，所以f（π）＞f（3）＞f（），即f（π）＞f（－3）＞f（－），故选A. （2）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1＋x）＝f（1－x），当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），则f（）＝（　B　） A.－1 B.－2 C.2 D.1 解析：（2）因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，又当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），所以f（）＝f（8＋）＝f（）＝－f（－）＝－log2［－6×（－）＋2］＝－log24＝－2，故选B. 【规律方法】　函数周期性、对称性及奇偶性的转化 （1）利用函数的周期性，可将待求区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题转化为已知区间上的相应问题，进而求解； （2）若函数f（x）在定义域R上满足f（x＋a）＋f（x）＝0（a≠0），则可转化为f（x）是周期函数，T＝2｜a｜为f（x）的一个周期； （3）若函数f（x）在定义域R上满足f（a＋x）＝f（b－x），则图象关于x＝对称. 【训练2】　（1）已知函数f（x）＝是定义在R上的增函数，且关于x的不等式f（a＋x2）≥f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（　D　） A.［0，］ B.［－，1］ C.［－，］ D.［，1］ 解析：（1）因为函数g（x）＝a－2－x（x≤0）与h（x）＝ln（x＋1）（x＞0）均是增函数，所以，要使函数y＝f（x）是R上的增函数，只需满足g（0）≤h（0），即a－1≤0，解得a≤1，由f（a＋x2）≥f（x）得a＋x2≥x，即a≥－（ x－）2＋恒成立，所以，当x＝时，函数y＝－（ x－）2＋取得最大值，所以a≥，即a∈［，1］，因此，实数a的取值范围是［，1］，故选D. （2）（2025·山西孝义第二中学校月考）设定义在R上的函数f（x）的图象关于x＝1对称，f（x＋2）为奇函数，若f（1）＋f（2）＝2，则f（k）＝（　B　） A.0 B.2 C.4 D.2 026 解析：（2）定义在R上的函数f（x）的图象关于x＝1对称，则f（2－x）＝f（x），由f（x＋2）为奇函数，得f（－x＋2）＝－f（x＋2），于是f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），因此函数f（x）是以4为周期的周期函数，由f（x＋2）＝－f（x），得f（1）＋f（3）＝f（2）＋f（4）＝0，由f（－x＋2）＝－f（x＋2），得f（2）＝0，而f（1）＋f（2）＝2，则f（1）＝2，所以f（k）＝506[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（1）＋f（2）＝2.故选B. 考点三　函数与方程 【例3】　已知函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x－1），且当x∈[0，2]时，f（x）＝x2－2x，若关于x的方程f（x）＝k在区间[－2，4]上有6个不同的实数根，则k的取值范围是（　　） A.（－1，0） B.（－1，1） C.（0，2） D.（0，1） 解析：A　因为f（x＋1）＝f（x－1），所以f（x）＝f（x＋2），得到f（x）的周期为2，当x∈[2，4]时，x－2∈[0，2]，解析式为f（x）＝f（x－2）＝（x－2）2－2（x－2）＝x2－6x＋8，而f（2）＝f（4）＝0，由二次函数性质得对称轴为x＝3，且f（3）＝－1，当x∈[－2，0]时，x＋2∈[0，2]，此时解析式为f（x）＝f（x＋2）＝（x＋2）2－2（x＋2）＝x2＋2x，而f（－2）＝f（0）＝0，同理可得f（－1）＝－1， 由题意得当x∈[0，2]时，f（x）＝x2－2x，同理可得f（2）＝f（0）＝0，f（1）＝－1，若f（x）＝k在区间[－2，4]上有6个不同的实数根，则y＝f（x）和y＝k在区间[－2，4]上有6个不同的交点，如图，作出y＝f（x）的图象，由图象可得k∈（－1，0），故A正确，故选A. 【规律方法】　利用函数零点的情况求参数值（或取值范围）的三种方法 （1）直接法：利用零点存在定理构建不等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 【训练3】　已知函数f（x）＝若关于x的方程[f（x）]2＋（a＋1）f（x）＋a＝0恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（　　） A.（－3，＋∞） B.（－∞，5） C.（－∞，3）∪{4} D.（－∞，1）∪（1，3）∪{4} 解析：D　画出函数f（x）的图象，如图所示，设f（x）＝t，则原方程可化为t2＋（a＋1）t＋a＝0，解得t＝－1或t＝－a.由图可知当t＝－1时，f（x）＝－1有2个根.因为原方程有4个不同的实数根，则f（x）＝－a有2个根，所以－a＝－4或－3＜－a＜－1或－a＞－1，解得a＝4或1＜a＜3或a＜1，则实数a的取值范围为（－∞，1）∪（1，3）∪{4}.故选D. 突破点　嵌套函数的零点 嵌套函数的零点问题主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查二次函数与复合函数相关零点，其往往与函数的图象性质交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 【例4】　已知函数f（x）＝若函数y＝f（f（x））－log3（t－x）在R上恰有两个零点，则实数t的取值范围为（　C　） A.（－∞，1] B.[1，4] C.（1，4] D.（4，＋∞） 解析：　函数f（x）＝的图象如图所示. 当x≤0时，f（x）＝3x∈（0，1]，f（f（x））＝log3f（x）＝log33x＝x； 【障碍速通】 内层函数的值域影响了外层函数的解析式， 故要时刻注意自变量的取值范围 当0＜x≤1时， f（x）＝log3x∈（－∞，0]，f（f（x））＝＝x；当x＞1时，f（x）＝log3x∈（0，＋∞），f（f（x））＝log3（log3x）.所以f（f（x））＝①若x≤1，则方程f（f（x））－log3（t－x）＝0变为x＝log3（t－x），其中x＜t，易知关于x的方程x＝log3（t－x）最多只有一个解x0，且t＝＋x0，结合函数y＝3x，y＝x都是增函数可得t＝＋x0≤31＋1＝4.②若x＞1，则方程f（f（x））－log3（t－x）＝0变为log3（log3x）＝log3（t－x），其中x＜t，则log3x＝t－x，易知关于x的方程log3x＝t－x最多只有一个解x'0，且t＝log3x'0＋x'0，结合函数y＝log3x，y＝x都是增函数可得t＝log3x'0＋x'0＞log31＋1＝1.综上，t的取值范围为（1，4].故选C. 【规律方法】　 【训练4】　已知定义域为（0，＋∞）的增函数f（x）满足：∀x∈（0，＋∞），有f（f（x）－ln x）＝1，则方程f（x）＝－x2＋4x－2的解的个数为（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 解析：A　因为定义域为（0，＋∞）的增函数f（x）满足：∀x∈（0，＋∞），有f（f（x）－ln x）＝1，则存在唯一正实数t使得f（t）＝1，且f（x）－ln x＝t，即f（x）＝t＋ln x，于是得f（t）＝t＋ln t＝1，而函数y＝t＋ln t在（0，＋∞）上是增函数，且当t＝1时，t＋ln t＝1，因此t＝1时，f（x）＝1＋ln x，方程f（x）＝－x2＋4x－2＝1＋ln x，即ln x＝－x2＋4x－3，于是得方程f（x）＝－x2＋4x－2的解的个数就是函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象公共点的个数， 在同一平面直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象，如图所示，观察图象知，函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象有3个公共点，所以方程f（x）＝－x2＋4x－2的解的个数为3. 真题体验 1.（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞） 解析：B　因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1）单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0].故选B. 2.（2025·天津高考3题）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 解析：D　由题图可知函数f（x）的定义域为{x｜x≠±1}，且f（x）为偶函数，易得f（x）＝与f（x）＝均为奇函数，排除选项A、B；由题图可知当x＞1时，f（x）＞0，易得当x＞1时，f（x）＝＜0，f（x）＝＞0，排除C，故选D. 3.（2023·全国甲卷文11题）已知函数f（x）＝，记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（　　） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 解析：A　函数f（x）＝是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（）＝f（2－），又＜2－＜＜1，所以f（）＜f（2－）＜f（），所以b＞c＞a，故选A. 4.（2024·新高考Ⅱ卷6题）设函数f（x）＝a（x＋1）2－1，g（x）＝cos x＋2ax.当x∈（－1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点.则a＝（　　） A.－1 B. C.1 D.2 解析：D　法一　令f（x）＝g（x），即a（x＋1）2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x，令F（x）＝ax2＋a－1，G（x）＝cos x，原题等价于当x∈（－1，1）时，曲线y＝F（x）与y＝G（x）恰有一个交点，注意到F（x），G（x）均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F（0）＝G（0），即a－1＝1，解得a＝2.故选D. 法二　令h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋a－1－cos x，x∈（－1，1），原题意等价于h（x）有且仅有一个零点，因为h（－x）＝a（－x）2＋a－1－cos（－x）＝ax2＋a－1－cos x＝h（x），则h（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知h（x）的零点只能为0，即h（0）＝a－2＝0，解得a＝2，故选D. （时间：60分钟，满分：83分） 一、单项选择题（每小题5分，共45分） 1.（2025·全国Ⅰ卷5题）已知f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5－2x，则f（－）＝（　　） A.－　　　B.－ C.　　　D. 解析：A　法一（通解）　当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f（x）＝f（－x）＝f（－x＋2）＝5－2（－x＋2）＝1＋2x，所以f（－）＝1－＝－.故选A. 法二（优解）　f（－）＝f（）＝f（＋2）＝5－2×（＋2）＝－. 2.函数f（x）＝ln x＋x2－ex的零点所在的区间是（　　） A.（ ，1） B.（1，2） C.（2，e） D.（e，3） 解析：C　f'（x）＝＋2x－e＝，x＞0，且2x2－ex＋1＝0时Δ＝e2－8＜0，故f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，因此f（x）至多一个零点，f（2）＝ln 2＋4－2e＜0，f（e）＝ln e＋e2－e2＞0，f（3）＝ln 3＋32－3e＞0，因此f（x）＝ln x＋x2－ex的零点所在的区间是（2，e），故选C. 3.（2025·江西南昌一模）函数f（x）＝（ x－）·cos πx的部分图象大致为（　　） 解析：A　f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝（ －x＋）cos （－πx）＝－（ x－）·cos πx＝－f（x），f（x）是奇函数，所以排除B、C，又函数f（x）在原点附近的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数，如0.1，得f（0.1）＝（0.1－10）cos（0.1π）＜0，所以排除D，故选A. 4.设a，b，c分别为函数f（x）＝x－1，g（x）＝xlg x－1，h（x）＝xex－1的零点，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.c＞a＞b D.b＞a＞c 解析：D　因为x＝1时，x－1＝0，又因为y＝x＝单调递增，所以a＝1；若0＜x≤1，则xlg x≤0，所以xlg x－1＝0时，x＞1，即b＞1；若x≥1，则xex＞1，所以xex－1＝0时，0＜x＜1，即0＜c＜1.综上所述，c＜a＜b，故选D. 5.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，2]上单调递减，且f（x＋2）为偶函数，则不等式f（x－1）＞f（2x）的解集为（　　） A.（ －∞，－）∪（6，＋∞） B.（－∞，－1）∪（ ，＋∞） C.（ －，1） D.（ －1，） 解析：D　∵函数f（x＋2）为偶函数，∴f（－x＋2）＝f（x＋2），即f（2－x）＝f（2＋x），∴函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，又∵函数f（x）定义域为R，在区间（－∞，2]上单调递减，∴函数f（x）在区间（2，＋∞）上单调递增，∴由f（x－1）＞f（2x）得，｜（x－1）－2｜＞｜2x－2｜，解得x∈（ －1，）.故选D. 6.（2025·浙江杭州一模）设f（x）＝ex＋ln x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）.若函数f（x）存在零点x0，则（　　） A.x0＜a B.x0＞a C.x0＜c D.x0＞c 解析：B　函数f（x）＝ex＋ln x的定义域为{x｜x＞0}，且y＝ex，y＝ln x均为单调递增函数，故函数f（x）＝ex＋ln x是增函数，由于0＜a＜b＜c，故f（a）＜f（b）＜f（c），满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），说明f（a），f（a），f（c）中有1个负数、2个正数或3个负数，且f（a）＜0恒成立，由于f（x）存在零点，故x0＞a.故选B. 7.（2025·福建厦门一模）若函数f（x）＝ln（eax－6＋1）－x的图象关于直线x＝3对称，则f（x）的值域为（　　） A.[ln 2－3，0） B.[ln 2－3，＋∞） C.[ln 3－2，0） D.[ln 3－2，＋∞） 解析：B　依题意，f（x）＝ln（eax－6＋1）－x＝ln（e（a－1）x－6＋e－x），图象关于直线x＝3对称，则f（0）＝f（6），所以ln（e－6＋e0）＝ln（e6a－12＋e－6），所以e－6＋e0＝e6a－12＋e－6，解得a＝2，所以f（x）＝ln（ex－6＋e－x），此时f（6－x）＝ln（e－x＋ex－6）＝f（x），满足题意；因为ex－6＞0，e－x＞0，ex－6＋e－x≥2＝，当且仅当ex－6＝e－x，即x＝3时等号成立，所以f（x）≥ln 2－3，故选B. 8.（2025·山西阳泉三模）已知函数f（x）＝函数g（x）＝f（f（x））－的零点个数为（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 解析：D　令u＝f（x），令g（x）＝0，则f（u）－＝0，当u≥0时，则f（u）＝ln（u＋1），所以ln（u＋1）＝，所以u＝－1.当u＜0时，f（u）＝－ueu，则f'（u）＝－（u＋1）eu，当u＜－1时，f'（u）＞0；当－1＜u＜0时，f'（u）＜0.此时，函数y＝f（u）在u＝－1处取得极大值，且极大值为f（－1）＝＜.所以当u＜0时，f（u）＜，则方程f（u）－＝0在u＜0时无解.再考虑方程f（x）＝－1的根的个数，作出函数u＝f（x）与u＝－1的图象如图所示， 由于－1＞＞，所以直线u＝－1与函数u＝f（x）的图象只有一个交点，因此，函数g（x）只有一个零点. 9.（2025·全国Ⅰ卷8题）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为（　　） A.x＞y＞z B.x＞z＞y C.y＞x＞z D.y＞z＞x 解析：B　法一　令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，y＝，z＝，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选B. 法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f（t），y＝3t－3＝g（t），z＝5t－5＝h（t），在同一平面直角坐标系中画出函数f（t），g（t），h（t）的图象，由图可知x，y，z的关系不可能为x＞z＞y，故选B. 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 10.关于函数f（x）＝lg（－1），下列说法正确的有（　　） A.f（x）的定义域为（－1，1） B.f（x）的图象关于y轴对称 C.f（x）的图象关于原点对称 D.f（x）在（0，1）上单调递增 解析：ACD　因为f（x）＝lg（－1）＝lg，则＞0，解得－1＜x＜1，所以f（x）的定义域为（－1，1），故A正确；因为f（－x）＝lg＝－f（x），即f（x）为奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称，故B错误，C正确；因为y＝－1在（0，1）上单调递增，y＝lg x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝lg（－1）在（0，1）上单调递增，故D正确. 11.（2025·河北石家庄统考）设函数f（x）定义域为R，f（x－1）为奇函数，f（x＋1）为偶函数，当x∈（－1，1）时，f（x）＝－x2＋1，则下列结论正确的是（　　） A.f（ ）＝－ B.f（x＋7）为奇函数 C.f（x）在（6，8）上是减函数 D.方程f（x）＋lg x＝0仅有6个实数解 解析：ABD　由题设f（－x－1）＝－f（x－1），则f（x）关于（－1，0）对称，即f（x）＝－f（－x－2），又由题意得f（x＋1）＝f（－x＋1），则f（x）关于x＝1对称，即f（x）＝f（2－x），所以f（2－x）＝－f（－x－2），则f（2＋x）＝－f（x－2），故f（x）＝－f（x－4），所以f（x－4）＝－f（x－8），即f（x）＝f（x－8），故f（x）＝f（x＋8），所以f（x）的周期为8，f（ ）＝f（ 2－）＝f（ －）＝－f（ －2）＝－f（ －）＝－，A正确；由周期性知：f（x－1）＝f（x＋7），故f（x＋7）为奇函数，B正确；由题意，f（x）在（6，8）与（－2，0）内单调性相同，而x∈（－1，0）内f（x）＝－x2＋1递增，由f（x）关于（－1，0）对称知：x∈（－2，－1）内f（x）递增，故在（－2，0）内f（x）递增，所以f（x）在（6，8）上是增函数，C错误；f（x）＋lg x＝0的根等价于f（x）与y＝－lg x交点横坐标，根据f（x）和对数函数性质得：f（x）∈[－1，1]，－lg 12＜－1＜－lg 6，所以根据如图所示的函数图象得，函数共有6个交点，D正确.故选ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.（2025·四川成都石室中学二诊）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f（x）＝　x2－2x（答案不唯一）　.①f（2－x）＝f（x）；②f（x）至少有两个零点；③f（x）有最小值. 解析：取f（x）＝x2－2x，其对称轴为x＝1，满足①f（2－x）＝f（x）.令f（x）＝x2－2x＝0，解得x＝0或2，满足②f（x）至少有两个零点.f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1，当x＝1时，f（x）min＝－1，满足③f（x）有最小值. 13.函数f（x）＝－2sin x（－4≤x≤4）的所有零点的和等于　0　. 解析：由f（x）＝0可得＝2sin x，知函数y＝和函数y＝2sin x都为奇函数，在同一坐标系下作出两函数在[－4，0）∪（0，4]内的图象如图所示.所以两函数图象交点都关于原点成中心对称，因此函数f（x）＝－2sin x（－4≤x≤4且x≠0）的所有零点的和等于0. 14.（2025·山东烟台一模）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x＋4）＋f（x）＝0，f（x＋2）为奇函数，且f（1）＝1，则kf（2k－1）＝　9　. 解析：由f（x＋4）＋f（x）＝0⇒f（x）＝－f（x＋4），则f（x＋4）＝－f（x＋8），所以f（x）＝f（x＋8），即f（x）是周期为8的函数，由f（x＋2）为奇函数，则f（－x＋2）＝－f（x＋2），则f（－x）＝－f（x＋4），所以f（－x）＝f（x），即f（x）是偶函数，由f（1）＝f（－1）＝1，则f（3）＝f（5）＝－1，f（7）＝1，结合周期性，对于k∈N*，f（2k－1）依次为1，－1，－1，1，1，－1，－1，1，…，所以f（2k－1）是周期为4的函数，则f（1）＋2f（3）＋3f（5）＋4f（7）＝1－2－3＋4＝0，5f（9）＋6f（11）＋7f（13）＋8f（15）＝5－6－7＋8＝0，故kf（2k－1）＝9f（17）＝9. 高考新风向 15.（5分）〔创新交汇〕（2025·湖北武汉四调）已知连续型随机变量ξ服从正态分布N（，），记函数f（x）＝P（ξ≤x），则f（x）的图象（　　） A.关于直线x＝对称 B.关于直线x＝对称 C.关于点（，）成中心对称 D.关于点（，）成中心对称 解析：C　由连续型随机变量ξ服从正态分布N（，），可得μ＝，σ2＝，可得μ＝，σ＝，所以正态密度曲线关于x＝对称，即P（ξ≤x）＝P（ξ≥1－x），由f（x）＝P（ξ≤x），可得f（x）＝P（ξ≤x）在x≤时增加较快，在x＞时增加越来越慢，所以f（x）无对称轴，故A、B错误；f（x）＋f（1－x）＝P（ξ≤x）＋P（ξ≤1－x）＝P（ξ≥1－x）＋P（ξ≤1－x）＝1，所以f（x）关于点（，）成中心对称，故C正确，D错误.故选C. 16.（6分）〔多选〕〔创新交汇〕太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”.则下列说法正确的是（　　） A.函数y＝x3＋x可以是某个圆的“太极函数” B.正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数” C.存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数” D.函数y＝f（x）是“太极函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形 解析：ABC　函数y＝x3＋x是对称函数，其图象的中心对称点是（0，0）.因此，它可以将圆的周长和面积同时等分，故A正确；正弦函数的图象关于原点中心对称，且可以通过适当选择圆心位置和半径，使得正弦函数的图象将圆的周长和面积同时等分.因此，正弦函数可以是无数个圆的“太极函数”，故B正确；如图，函数y＝g（x）是偶函数， A（0，1），D（，0），C（2，0），AB⊥BC，AD＝CD＝，BD＝CDcos∠BDC＝，于是S△BCD＝S△OAD，因此函数g（x）也是圆x2＋y2＝4的一个太极函数，C正确；由选项C知，圆的太极函数可以是偶函数，它的图象不一定关于点中心对称，D错误.故选A、B、C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $