第3讲 数列的递推关系-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件（提升版）

第3讲　数列的递推关系 考情分析 　数列的递推关系是高考考查的重点内容，此类问题常利用累加法、累乘法或构造等差、等比数列求数列的通项公式，题型既有小题也有解答题，难度中等. 　an与Sn的关系 考点一 目录 / CONTENTS 　构造辅助数列 考点二 “不动点法”求数列通项 突破点 课时作业 考点一　an与Sn的关系 目 录 【例1】　（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn ＝（　C　） A. 4［（ ）n－1］ B. 4［（ ）n－1］ C. 3［（ ）n－1］ D. 4（3n－1） C 解析：当n＝1时，S1＝4a1－3，S1＝4S1－3，得S1＝1，当n≥2时，Sn＝4（Sn－Sn－1）－3，3Sn＝4Sn－1＋3，Sn＝ Sn－1＋1，Sn＋3＝ （Sn－1＋3），又S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为 的等比数列，所以Sn＋3＝4×（ ）n－1，Sn＝4×（ ）n－1－3＝3［（ ）n－1］.故选C. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）（2025·天津高考6题）已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则 {｜an｜}的前12项和为（　C　） A. 48 B. 112 C. 80 D. 144 C 解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2 ＋8n－[－（n－1）2＋8（n－1）]＝－2n＋9，显然a1＝7也符合该式， 所以an＝－2n＋9，所以｜an｜＝ 所以{｜an｜}的前 12项和为 ＋ ＝80.故选C. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f （an）为等差（等比）数列，就消去Sn，如果要证明f（Sn）为等差（等 比）数列，就消去an.但有些题目要求{an}的通项公式，表面上看应该消 去Sn，但这会导致解题陷入困境，此时需要先消去an，求出Sn，然后利用 an＝Sn－ （n≥2）求出an（n≥2）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练1】　（1）（2025·湖南常德一模）已知数列{an}的前n项和为 Sn，a1＝1，且an＋1＝a1＋a2＋…＋an（n∈N*），则（　D　） A. a2＝2 B. a4＝8 C. S2＝3 D. S5＝16 D 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 由an＋1＝a1＋a2＋…＋an＝Sn，当n＝1时，a2＝S1＝1，当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋1－an，所以an＋1＝2an，所以数列{an}从第 二项开始是以a2＝1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝ Sn＝ 所以a2＝1，a4＝4，S2 ＝2，S5＝16，故A、B、C错误，D正确.故选D. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）（2025·四川绵阳模拟预测）数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝ ＋n，an＞0，则S100＝ ⁠. 解析： 当n＝1时，a1＝S1＝ ＋1，解得a1＝2，当n≥2时，an＝ Sn－Sn－1＝ ＋n－［ ＋（n－1）］，即 －4an＋4－ ＝ 0，则（an－2）2－ ＝0，即（an－an－1－2）（an＋an－1－2）＝0， 所以an＋an－1＝2或an－an－1＝2，当an＋an－1＝2时，a1＝2，则a2＝0与 an＞0矛盾，舍去，所以an－an－1＝2，即数列{an}是首项a1＝2，公差d＝ 2的等差数列，即an＝a1＋（n－1）d＝2n，所以数列{an}的前n项和Sn ＝ ＝n（n＋1），即S100＝100×101＝10 100. 10 100 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 考点二　构造辅助数列 目 录 【例2】　（1）已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝ （　C　） A. 2210－3 B. 2211－1 C. 2210＋3 D. 2211＋1 解析： 因为an＋1＝2an－3，所以an＋1－3＝2（an－3）.因为a1－3＝ 1，所以数列{an－3}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an－3＝2n－ 1，所以an＝2n－1＋3，故a211＝2210＋3.故选C. C 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）（2025·福建宁德期末）已知数列{an}的首项a1＝ ，且满足an＋1＝ （n∈N*），则a20的值为（　A　） A. B. C. D. A 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 因为a1＝ ，an＋1＝ （n∈N*），易知an≠0，所以 ＝ ＝4＋ ，即 － ＝4，又a1＝ ，所以 ＝3，故{ }是以3 为首项，4为公差的等差数列，则 ＝3＋4（n－1）＝4n－1，故an＝ ，所以a20＝ ＝ .故选A. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （3）记数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，2an＋1－3an＝2n，则 ＝ ⁠. 解析： 由2an＋1－3an＝2n，得 ＝ × ＋1，则 －4＝ （ －4），又 －4＝0，所以 ＝4，则an＝2n，故a8＝28，S8＝ ＝29－2， ＝ ＝ . ​ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　（1）形如an＋1＝ （p，q≠0）的数列，取倒数构 造等差数列求通项； （2）若数列{an}满足an＋1＝pan＋q（p≠0，1；q≠0），构造an＋1＋λ ＝p（an＋λ）； （3）若数列{an}满足an＋1＝pan＋f（n）（p≠0，1），构造an＋1＋g （n＋1）＝p[an＋g（n）]. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练2】　（1）已知数列{an}满足an＋1＋2an＝3且a1＝2，其前n项和 为Sn，则满足不等式｜Sn－n－ ｜≥100的最小整数n为 ⁠； 解析： 因为an＋1＋2an＝3，所以an＋1－1＝－2（an－1），且a1－1 ＝1，所以数列{an－1}是首项为1，公比为－2的等比数列，则an－1＝ （－2）n－1，所以an＝1＋（－2）n－1，所以Sn＝n＋ ＝n＋ － （－2）n，因此不等式｜Sn－n－ ｜≥100，即｜－ （－2）n｜ ≥100，即2n≥300，因为28＝256＜300＜29＝512，故满足不等式｜Sn－n － ｜≥100的最小整数n为9. 9 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋1－2Sn＝1－n，且S1＝3，则 {an}的通项公式是 ⁠. 解析： ∵Sn＋1－2Sn＝1－n，∴Sn＋1－（n＋1）＝2（Sn－n），且 S1－1＝2≠0，∴ ＝2，∴{Sn－n}是以2为首项，2为公比的 等比数列.∴Sn－n＝2·2n－1＝2n，Sn＝n＋2n.∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝n＋2n－（n－1＋2n－1）＝2n－1＋1，又a1＝3不满足上式，∴an＝ an＝ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 突破点　“不动点法”求数列通项 目 录 【例3】（1）数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3 （n≥1），则该数列 的通项an＝ ⁠； 解析： 法一（待定系数）　因为an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2 （an＋3），即{an＋3}是等比数列，公比为2，首项为a1＋3＝4，所以an ＋3＝4·2n－1，即an＝2n＋1－3. 法二（不动点）　设f（x）＝2x＋3，令f（x）＝x得2x＋3＝x，所以x ＝－3，an＋1－（－3）＝2an＋3－（－3），所以an＋1＋3＝2（an＋3）， 因为a1＋3＝4，所以{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，从而an＋3 ＝4×2n－1，故an＝2n＋1－3. 2n＋1－3 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ ，则an＝ 　​ 　. 解析： 设f（x）＝ ，令f（x）＝x得 ＝x，解得x＝±1， 则an＋1－1＝ －1，化简得an＋1－1＝ 　①，an＋1－（－1）＝ －（－1），化简得an＋1＋1＝ 　②， 得 ＝ ＝ · ，又 ＝ ，所以数列{ }是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ＝ ×（ ）n－1＝（ ）n，故an＝ . ​ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　不动点法求通项公式的解题策略 （1）常见模型：an＋1＝Aan＋B型和an＋1＝ 型； （2）利用不动点求通项公式的步骤 第一步，令f（x）＝x，求出f（x）的不动点x0； 第二步，原等式两端同时减去x0，化简使得左右两侧结构一致； 第三步，构造数列求通项. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练3】　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－ ，则an＝ 　​ 　. 解析：设f（x）＝－ ，令f（x）＝x得：－ ＝x，解得x＝－1，an ＋1－（－1）＝－ －（－1），化简得an＋1＋1＝ ，所以 ＝ ＝ ＝1＋ ，从而 － ＝1，又 ＝ ，所以 { }是首项为 ，公差为1的等差数列，故 ＝ ＋（n－1）×1＝n － ，所以an＝ . ​ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 真题体验 1. （2021·浙江高考10题）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ （n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn，则（　　） A. ＜S100＜3 B. 3＜S100＜4 C. 4＜S100＜ D. ＜S100＜5 √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　因为a1＝1，an＋1＝ ，所以an＞0，a2＝ ，所以S100＞ . ＝ ＝ ＋ ＝ － .所以 ＜ ，两边 同时开方可得 ＜ ＋ ，则 ＜ ＋ ，…， ＜ ＋ ， 由累加法可得 ＜ ＋ ＝1＋ ，所以 ＜1＋ ＝ ，所以 ＞ ，所以an＋1＝ ＜ ＝ an，即 ＜ ，则 ＜ ，…， ＜ ，由累乘法可得当n≥2时，an＝ ＜ × × ×…× × ＝ ＝6（ － ），所以S100＜1＋6（ － ＋ － ＋…＋ － ）＝1＋6（ － ）＜1＋2＝3，故选A. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 2. （2019·上海高考8题）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋an＝ 2，则S5＝ ⁠. 解析：n＝1时，S1＋a1＝2，∴a1＝1.n≥2时，由Sn＋an＝2得Sn－1＋an－ 1＝2，两式相减得an＝ an－1（n≥2），∴{an}是以1为首项， 为公比的 等比数列，∴S5＝ ＝ . ​ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 3. （2022·北京高考15题）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn 满足an·Sn＝9（n＝1，2，…）.给出下列四个结论： ①{an}的第2项小于3； ②{an}为等比数列； ③{an}为递减数列； ④{an}中存在小于 的项. 其中所有正确结论的序号是 ⁠. ①③④ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：因为an·Sn＝9，所以a1·S1＝9，又an＞0，所以a1＝3，a2·S2＝a2 （a1＋a2）＝9，即 ＋3a2－9＝0，得a2＝ ＝ ＜3，所以 ①正确；当n≥2时，由Sn＝ ，得Sn－1＝ ，两式作差可得an＝ － （n≥2），即an＝ （n≥2），整理得 ＝ （n≥2），若数列{an}为等比数列，则当n≥2时， 为常数，即数列 {an}从第2项起各项均为同一个常数，易知当n＝3时不成立，所以②不正确； 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 因为an·Sn＝an＋1·Sn＋1＝9，所以 ＝ ，由数列{an}的各项均为正数， 得 ＞1，所以an＞an＋1＞0，所以③正确；对于④，若数列{an}的所有 项均大于等于 ，取n＞90 000，由an≥ 且an＞an＋1＞0，得Sn＞nan ＞900，所以an·Sn＞9，与已知矛盾，所以④正确.综上，所有正确结论的 序号是①③④. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 课时作业 （时间：60分钟，满分：93分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，n∈N＋，则an＝（　　） A. B. 解析：　由an＋1＝ 可得 ＝ ＝ ＋ ，所以{ }是以 ＝1 为首项， 为公差的等差数列，所以 ＝1＋（n－1）· ＝ ，所以an ＝ .故选A. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 2. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝ ，则a4＝（　　） A. B. C. D. 解析：　法一　数列{an}中，an＋1－an＝ ＝ － ，因此an ＋1＋ ＝an＋ ，则数列{an＋ }是常数列，于是an＋ ＝a1＋ ＝2，an ＝2－ ，所以a4＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 法二　an＋1－an＝ ＝ － ，则当n≥2，n∈N*时，a2－a1＝1 － ，a3－a2＝ － ，…，an－an－1＝ － .将n－1个式子相加可得an －a1＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ，因为a1＝1，则an＝2－ ， n≥2，n∈N*，所以a4＝2－ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 3. 数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1，则a7＝ （　　） A. 64 B. 128 C. 256 D. 512 √ 解析：　当n≥2时，由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1　 ①，得a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）·an－1＝（n－2）·2n－1＋1　②，① －②，得nan＝[（n－1）·2n＋1]－[（n－2）·2n－1＋1]＝n·2n－1 （n≥2），所以an＝2n－1（n≥2），则a7＝64.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 4. 已知数列{an}满足a1＝－3，an＋1＝ ，则a2 026＝（　　） A. B. 2 C. － D. －3 解析：　∵a1＝－3，an＋1＝ ，∴a2＝ ＝2，a3＝ ＝ ，a4 ＝ ＝－ ，a5＝ ＝－3，…，∴数列{an}是以4为周期的周期数列. 又∵2 026＝4×506＋2，∴a2 026＝a2＝2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 5. （2025·福建漳州一模）记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，Sn＋1 －2Sn＝n，则a10＝（　　） A. 1 024 B. 1 023 C. 513 D. 256 解析：　由Sn＋1－2Sn＝n，得Sn＋1＋n＋2＝2（Sn＋n＋1），因为a1＝ 2，所以S1＋1＋1＝4，所以Sn＋n＋1≠0，所以{Sn＋n＋1}是首项为4， 公比为2的等比数列，所以Sn＋n＋1＝4×2n－1，所以Sn＝2n＋1－n－1， 所以a10＝S10－S9＝1 023，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 6. （2025·山东临沂一模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋nan＝1， 则Sn＝（　　） A. B. C. D. n＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　因为Sn＋nan＝1，所以a1＝ ，当n≥2时，Sn＋nan＝Sn－1＋ （n－1）an－1＝1，所以（n＋1）an＝（n－1）an－1，即 ＝ ，此 时an＝ × × ×…× × ×a1＝ × × ×…× × × × ＝ ，n＝1时也满足该式，故an＝ ，Sn＝1－ nan＝1－ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 7. （2025·陕西咸阳三模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的 概率为 ，从第二题开始，甲同学回答第n题时答错的概率为Pn，Pn＝ Pn－1＋ ，当n≥2时，Pn≥M恒成立，则M的最大值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　依题意，P1＝1－ ＝ ，当n≥2时，由Pn＝ Pn－1＋ ，得 Pn－ ＝ （ Pn－1－ ），而P1－ ＝－ ，因此数列{Pn－ }是首项 为－ ，公比为 的等比数列，则Pn－ ＝－ ·（ ）n－1，即Pn＝ － ·（ ）n－1，显然数列{Pn}是递增数列，当n≥2时， ＝P2 ＝ － × ＝ ，而当n≥2时，Pn≥M恒成立，于是M≤ ，所以M 的最大值为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 8. （2025·江苏宿迁二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n， 则（　　） A. 9a7＞8a8 B. 9a7＜8a8 C. 9S7＞7a8 D. 9S7＜7a8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n，当n＝1时， 则a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2且n∈N*时，由Sn＝2an－2n可得 Sn－1＝2an－1－2n－1，上述两式作差可得an＝2an－2an－1－2n－1，整理可得 an－2an－1＝2n－1，等式两边同时除以2n－1可得 － ＝1，所以数列 { }是以 ＝2为首项，1为公差的等差数列，所以 ＝2＋n－1＝n ＋1，所以an＝（n＋1）·2n－1，对于A、B选项，9a7＝9×8×26＝9×29， 8a8＝8×9×27＝9×210，则9a7＜8a8，A错误，B正确；Sn＝2an－2n＝ （n＋1）·2n－2n＝n·2n，对于C、D选项，9S7＝9×7×27＝63×27，7a8 ＝7×9×27＝63×27，所以9S7＝7a8，C、D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. （2025·陕西安康三模）在数列{an}中，a1＝1，对任意m，n∈N＋，am ＋n＝am＋an＋2mn，则（　　） A. a4＝16 B. {an}为递增数列 C. {an}为等差数列 D. ＋ ＋ ＋…＋ ＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 　令m＝1，则an＋1＝a1＋an＋2n，所以an＋1－an＝1＋2n＞ 0，所以{an}为递增数列，不是等差数列，故B正确，C错误；n≥2时，由 an－an－1＝1＋2（n－1），an－1－an－2＝1＋2（n－2），…，a2－a1＝1 ＋2，累加得：an－a1＝3＋5＋7＋…＋[2（n－1）＋1]，所以an＝1＋3＋ 5＋7＋…＋[2（n－1）＋1]＝ ＝n2，故an＝n2（n≥2），又 a1＝1也符合该式，故an＝n2，所以a4＝42＝16，故A正确；又 ＝ ＝ ＝ － ，所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ ，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 10. （2025·湖北武汉二模）已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋2n－1an＝ n·2n，数列{an}的前n项和为Sn，则（　　） A. a1＝2 B. 数列{an}是等比数列 C. Sn，S2n，S3n构成等差数列 D. 数列{ }前100项和为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 　对于A，当n＝1时，可得a1＝1×21＝2，故A正确；对于B， a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝（n －1）·2n－1，两式相减可得2n－1an＝n·2n－（n－1）·2n－1＝（n＋1）2n－ 1，所以an＝n＋1，a1＝2适合上式，所以an＝n＋1，由 ＝ 不是常 数，所以数列{an}不是等比数列，故B错误；对于C，由an＝n＋1可知，an－an－1＝n＋1－n＝1，所以{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以Sn＝2n＋ ，S2n＝4n＋ ，S3n＝6n＋ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 Sn＋S3n＝2n＋ ＋6n＋ ＝8n＋5n2－2n， 又2S2n＝8n＋4n2－2n，所以Sn＋S3n≠2S2n， 所以Sn，S2n，S3n不构成等差数列，故C错误；对于D， ＝ ＝ － ，所以T100＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ － ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝ － ＝ ＝ ，故D正确. 故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 11. （2025·安徽淮北二模）设数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n 有Sn＋2＝4Sn＋3，下列命题正确的有（　　） A. 若a1＝1，则S3＝7 B. {an}一定不是等差数列 C. 若{an}为等比数列，则公比为2 D. 若a1＝1，a2＝2，则{an}为等比数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 　对于A，a1＝1，当n＝1时，S3＝4S1＋3＝4a1＋3＝7，故A 正确；对于B，假设{an}是等差数列，设公差为d，则Sn＝na1＋ d，Sn＋2＝（n＋2）a1＋ d，由Sn＋2＝4Sn＋3得（n＋2）a1 ＋ d＝4na1＋ d＋3，即 d＋（ d＋a1）n＋（2a1 ＋d）＝2n2d＋（4a1－2d）n＋3，根据多项式相等可得 ＝2d， d＋a1 ＝4a1－2d，2a1＋d＝3，无解，所以{an}一定不是等差数列，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 对于C，若{an}为等比数列，由Sn＋2＝4Sn＋3，Sn＋3＝4Sn＋1＋3两式相减 得an＋3＝4an＋1，即anq3＝4anq，由an≠0得q2＝4，解得q＝±2，故C错误； 对于D，若a1＝1，a2＝2，则S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝1＋2＝3，当n＝1 时，S3＝4S1＋3＝7，所以a3＝S3－S2＝7－3＝4，当n≥2时，Sn＋2＝4Sn ＋3，Sn＋1＝4Sn－1＋3，两式相减可得an＋2＝4an，即 ＝4，所以数列 {an}的奇数项是以a1＝1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以2为首 项，4为公比的等比数列，又 ＝2， ＝2，所以数列{an}为等比数列， 故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知数列{an}中a1＝ ，an＋1＝ an＋（ ）n＋1，则{an}的通项公式 为 ⁠. 解析：法一　构造数列an＋1＋λ（ ）n＋1＝ ［an＋λ（ ）n］，化简成 原式结构得an＋1＝ an－ λ·（ ）n＋1，对应项系数相等得λ＝－3，设bn ＝an－3（ ）n，b1＝a1－3×（ ）1＝－ ，所以数列{bn}是以－ 为首 项， 为公比的等比数列，则bn＝－ ·（ ）n－1，所以an＝ － . an＝ － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 法二　将an＋1＝ an＋（ ）n＋1两边同乘2n＋1，得2n＋1·an＋1＝ （2n·an） ＋1.令bn＝2n·an，则bn＋1＝ bn＋1，根据待定系数法，得bn＋1－3＝ （bn－3），所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2× －3＝－ ，公比为 的等比数列，所以bn－3＝－ ·（ ）n－1，即bn＝3－2·（ ）n，所以an ＝ ＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 法三　将an＋1＝ an＋（ ）n＋1两边分别除（ ）n＋1，得3n＋1an＋1＝3nan ＋（ ）n＋1.令bn＝3nan，则bn＋1＝bn＋（ ）n＋1，所以bn－bn－1＝ （ ）n，bn－1－bn－2＝（ ）n－1，…，b2－b1＝（ ）2.将以上各式叠 加，得bn－b1＝（ ）2＋…＋（ ）n－1＋（ ）n.又b1＝3a1＝3× ＝ ＝ 1＋ ，所以bn＝1＋ ＋（ ）2＋…＋（ ）n－1＋（ ）n＝2·（ ）n＋1－ 2，所以an＝ ＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 13. （2025·福建厦门三模）已知数列{an}满足a1＝1， ＝10an（an＞ 0），则{an}的通项公式为 ⁠. 解析：n≥2时，取以10为底的对数可得2lg an＝lg an－1＋1，即lg an－1＝ （lg an－1－1），所以数列{lg an－1}是以lg a1－1＝－1为首项， 为公比的 等比数列，所以lg an－1＝（－1）×（ ）n－1＝－（ ）n－1，即lg an＝1 －（ ）n－1，即an＝10×（ . an＝10×（ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 14. 已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2（n≥3），则 数列{an}的通项公式为 ⁠. 解析：∵an＝2an－1＋3 ，∴an＋an－1＝3（an－1＋an－2），又a1＋a2 ＝7，∴{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列，则an＋an－1＝7×3n －2　①，又an－3an－1＝－（an－1－3an－2），a2－3a1＝－13，∴{an－3an －1}是首项为－13，公比为－1的等比数列，则an－3an－1＝（－13）·（－ 1）n－2　②，由①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13·（－1）n－1，∴an＝ ×3n－1＋ （－1）n－1. an＝ ×3n－1＋ （－1）n－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 高考新风向 15. （5分）〔创新考法〕定义：在数列{an}中，若 － ＝d （n∈N*），其中d为常数，则称数列{an}为“等比差”数列.已知“等比 差”数列{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则 ＝（　　） A. 1 763 B. 1 935 C. 2 125 D. 2 303 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　因为数列{an}是“等比差”数列，所以 － ＝d （n∈N*），因为a1＝a2＝1，a3＝3，所以d＝ － ＝2，所以有 － ＝2， － ＝2，…， － ＝2，累加得 － ＝2n⇒ ＝2n＋1⇒ ＝2n－3（n≥2，n∈N*），因此有 ＝2n－3， ＝ 2n－5，…， ＝1，累乘得 ＝（2n－3）（2n－5）…1⇒an＝ 1×3×5×…×（2n－3），所以 ＝ ＝1 935.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 16. （15分）〔创新交汇〕如图，已知曲线C1：y＝ （x＞0）及曲线 C2：y＝ （x＞0）.从C1上的点Pn（n∈N*）作平行于x轴的直线，交曲 线C2于点Qn，再从点Qn作平行于y轴的直线，交曲线C1于点Pn＋1，点Pn 的横坐标构成数列{an}（ 0＜a1＜ ）. （1）试求an＋1与an之间的关系，并证明： a2n－1＜ ＜a2n（n∈N*）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解： Pn（ an， ），从而有Qn（ an＋1， ），Qn在y＝ 上，故 ＝ ，故an＋1＝ ， 由a1＞0及an＋1＝ ，知an＞0，下证：a2n－1＜ ＜a2n， an＋1－ ＝ ，故an＋1－ 与an－ 异号， 0＜a1＜ ，故a1－ ＜0，故a2n－1－ ＜0，a2n－ ＞0，即a2n－1＜ ＜a2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若a1＝ ，求an的通项公式. 解： an＋1＝ ，则an＋1－ ＝ － ＝ ，an＋1＋ ＝ ＋ ＝ ，两式相除得 ＝－ · ， ＝－ ，故 { }是以－ 为首项，以－ 为公比的等比数列， 则 ＝－ ·（ － ）n－1，解得an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $