创新交汇 三角函数、解三角形与其他知识的综合问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件（提升版）

创新交汇 三角函数、解三角形与其他知识的综合问题 考情分析 三角函数与解三角形问题在高考中一般难度不大，其创新性主要体现在以下几个方面： （1）把问题置于新情境中； （2）三角函数的新定义问题； （3）与其他知识的交汇命题. 三角函数、解三角形与其他知识的交汇 类型一 目录 / CONTENTS 三角函数、解三角形的新定义问题 类型二 课时作业 类型一 三角函数、解三角形与其他知识的交汇 目 录 【例1】　如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在 x轴上，其横坐标为xn，且{xn}是首项为1，公比为2的等比数列，记 ∠PnAPn＋1＝θn，n∈N*. （1）若tan θ3＝ ，求点A的坐标； 解：设A（0，t）（t＞0），根据题意得xn＝2n－1.由tan θ3＝ ，得 tan θ3＝tan（∠OAP4－∠OAP3）＝ ＝ ＝ ，解得t＝4或t＝8，故点A的坐标为（0，4）或（0，8）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若点A的坐标为（0，8 ），求tan θn的最大值及相应n的值. 解： 由题意，点Pn的坐标为（2n－1，0），tan∠OAPn＝ ，所以 tan θn＝tan（∠OAPn＋1－∠OAPn）＝ ＝ . 因为 ＋ ≥2 ，所以tan θn≤ ＝ ，当且仅当 ＝ ，即 n＝4时等号成立.故当n＝4时，tan θn最大，其最大值为 . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　三角函数、解三角形与其他知识的交汇问题，通常将已知 条件转化为三角函数问题，或利用正、余弦定理进行边角互化，可以考查 几何体中的线段长度或几何体角度之间的关系，或者构造长度、角度的函 数求最值. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练1】　（2025·山东潍坊二模）在△ABC中，AC＝ AB，D为边BC 上一点，满足BD＝2DC，以A，D为焦点作一个椭圆G，若G经过B，C 两点，则G的离心率为（　　） A. B. C. D. √ 解析：设｜DC｜＝m，｜AC｜＝n，则｜BD｜＝2m，｜AB｜＝ n，设该椭圆长半轴长为a，由椭圆的定义可知 解得 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 所以｜BD｜＝a，｜DC｜＝ a，｜AC｜＝ a，｜AB｜＝a，在△ABC中，显然有∠ADC＝π－∠ADB，所以 cos ∠ADC＝－ cos ∠ADB，设｜AD｜＝x，由余弦定理可知 ＝ － ，即 ＝－ ，解得x＝ a，因此椭圆的焦距为2c＝｜AD｜＝ a，所以椭圆的离心率e＝ ＝ ＝ .故选C. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 类型二 三角函数、解三角形的新定义问题 目 录 【例2】　（2025·江西景德镇模拟）A是直线PQ外一点，点M在直线PQ 上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ 施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记（P，Q；M）＝ ；若点M在线段PQ外，（P，Q；M）＝－ .在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D 在射线BC上. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （1）若AD是角A的平分线，且b＝3c，由A点对BC施以视角运算，求 （B，C；D）的值； 解：因为AD是角A的平分线，所以∠BAD＝ ∠DAC且D在线段BC上， 所以（B，C；D）＝ ＝ ， 又b＝3c，所以（B，C；D）＝ ＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若A＝60°，a＝4，AB⊥AD，由A点对BC施以视角运算，（B， C；D）＝－4，求△ABC的周长； 解：因为点D在射线BC上，∠BAC＝60°，且 AB⊥AD，所以D在线段BC外，且∠DAC＝30°， 所以（B，C；D）＝－ ＝－ ＝－ ＝－4， 所以c＝2b， 在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC， 所以42＝b2＋4b2－4b2 cos 60°，即3b2＝16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解得b＝ 或b＝－ （舍去）， 所以c＝ ， 所以△ABC的周长C△ABC＝a＋b＋c＝4＋4 . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （3）若A＝120°，AD＝4，由A点对BC施以视角运算，（B，C；D） ＝ ，求b＋4c的最小值. 解：因为（B，C；D）＝ ＞0，所以 ＝ ，则∠BAD＝∠DAC，因为A＝ 120°，所以∠BAD＝∠DAC＝60°， 又S△ABC＝S△ADC＋S△ABD，所以 bc sin 120°＝ b·AD sin 60°＋ c·AD sin 60°， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 又AD＝4，所以bc＝4（b＋c），所以 ＋ ＝1， 所以b＋4c＝（b＋4c）（ ＋ ）＝ ＋ ＋ 20≥2 ＋20＝36， 当且仅当 ＝ ，即b＝12，c＝6时等号成立， 所以b＋4c的最小值为36. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　解决三角函数、解三角形新定义问题的思路 （1）找出新定义的几个要素及其所代表的意义； （2）把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中； （3）利用三角函数的公式、性质，正、余弦定理等解答问题. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练2】　三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于 1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡 点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名.当△ABC内一 点P满足条件∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ时，则称点P为△ABC的布洛 卡点，角θ为布洛卡角.如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为 a，b，c，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ. （1）若θ＝30°.求证： ①a2＋b2＋c2＝4 S△ABC（S△ABC为△ABC的面积）； ②△ABC为等边三角形. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 证明：（1）①若θ＝30°， 则S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PAC＝ c·AP sin θ＋ a·BP sin θ＋ b·CP sin θ ＝ sin θ（c·AP＋a·BP＋b·CP）＝ （c·AP＋a·BP＋b·CP）， 【突破点】 根据面积相等列等式，思路来源是“奔驰定理” 的证明，显然题干中的图形跟“奔驰定理”的证明图形很相似所以我们 用类似的思路求解 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 所以c·AP＋a·BP＋b·CP＝4S△ABC， 在△PAB，△PBC，△PAC中，分别由余弦定理可得 BP2＝c2＋AP2－2c·AP cos θ， CP2＝a2＋BP2－2a·BP cos θ， AP2＝b2＋CP2－2b·CP cos θ， 三式相加整理得2 cos θ（c·AP＋a·BP＋b·CP）＝a2＋b2＋c2， 即 ×4S△ABC＝a2＋b2＋c2， 所以a2＋b2＋c2＝4 S△ABC. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 ②在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 则a2＋b2＋c2－4 S△ABC ＝2b2＋2c2－2bc cos A－4 S△ABC ＝2b2＋2c2－2bc cos A－2 bc sin A ＝2b2＋2c2－4bc sin （ A＋ ）≥4bc－4bc＝0， 当且仅当b＝c且 sin （ A＋ ）＝1时取等号. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【易错点拨】 忽视等号成立的条件 又A∈（0，π），所以A＋ ∈（ ， ），所以A＋ ＝ ，所以A＝ ， 即当且仅当b＝c且A＝ 时取等号， 即当且仅当△ABC为等边三角形时取等号， 所以a2＋b2＋c2≥4 S△ABC，当且仅当△ABC为等边三角形时取等号， 又由①知a2＋b2＋c2＝4 S△ABC， 所以△ABC为等边三角形. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若A＝2θ，求证： sin 2A＝ sin B sin C. 证明：由（1）得S△ABC＝ sin θ（c·AP＋a·BP＋b·CP）， 所以c·AP＋a·BP＋b·CP＝ a2＋b2＋c2＝2 cos θ（c·AP＋a·BP＋b·CP）， 所以a2＋b2＋c2＝2 cos θ· ＝2 cos θ· ＝4bc cos 2θ， 又由余弦定理可得b2＋c2＝a2＋2bc cos 2θ＝a2＋2bc（ cos 2θ－ sin 2θ）， 所以2a2＋2bc（ cos 2θ－ sin 2θ）＝4bc cos 2θ， 所以a2＝bc（ sin 2θ＋ cos 2θ），所以a2＝bc， 由正弦定理可得 sin 2A＝ sin B sin C. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 课时作业 （时间：45分钟，满分：58分） 目 录 1. （13分）对平面向量m，n，定义运算：｜m×n｜＝｜m｜｜n｜ sin θ，其中｜m｜，｜n｜分别表示m，n的模，θ是m与n的夹角.在 △ABC中，已知｜ × ｜＝4 ， · ＝4. （1）是否存在满足条件的△ABC，使得2｜ ｜＋｜ ｜＝6？若存 在，求｜ ｜的值；若不存在，请说明理由； 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解： 不存在满足条件的△ABC. 理由如下： ∵｜ × ｜＝4 ， · ＝4， ∴｜ ｜｜ ｜ sin A＝4 　①， ｜ ｜｜ ｜ cos A＝4　②，由①②解得tan A＝ . ∵A∈（0，π），∴A＝ ，∴｜ ｜｜ ｜＝8. 设｜ ｜＝c，｜ ｜＝b，｜ ｜＝a，∴bc＝8，由2｜ ｜＋｜ ｜＝6得2c＋b＝6， 联立 无解，∴不存在满足条件的△ABC. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若2｜ ｜＋｜ ｜＝8，D是线段AC上一点，且 BD＝ AD，求 . 解：由（1）知，A＝ ，bc＝8　③，由2｜ ｜＋｜ ｜＝8， 得2c＋b＝8　④，由③④解得 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝16＋4－2×4×2× ＝12，∴a＝ 2 . ∵a2＋c2＝b2，∴∠ABC＝ ，C＝ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 由 BD＝ AD，设BD＝ x，AD＝ x，其中x＞0，则CD＝4－ x. 在△ABD中，由余弦定理得（ x）2＝4＋（ x）2－2×2× x× ， 即x2＋2 x－4＝0，得x＝ － （舍负），∴AD＝2 －2，CD＝6 －2 ， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 2. （15分）（2025·山东齐鲁名校联考）已知复数z， ，z2在复平面内 对应的点分别为A，B，C，其中点A在第一象限，且原点O是△ABC的 外心. （1）求｜z｜； 解： ∵O是△ABC的外心，即｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜，∴｜ z｜＝｜ ｜＝｜z2｜. 只需考虑｜z｜＝｜z2｜，即｜z｜＝｜z｜2，又点A在第一象限，∴｜ z｜≠0，∴｜z｜＝1. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b＋c）2 ＝a2＋4bc sin 2 . ①证明：△ABC是直角三角形； ②求△ABC的面积. 解： ①证明：∵（b＋c）2＝a2＋4bc sin 2 ，∴b2＋c2＋2bc＝a2＋ 2bc（1－ cos A）. ∴a2＝b2＋c2＋2bc cos A. 由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A，两式相加可得a2＝b2＋c2，∴A＝ ，∴△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 ②设z＝m＋ni，m，n∈R，则 ＝m－ni，z2＝m2－n2＋2mni， 可知A（m，n），B（m，－n），C（m2－n2，2mn）. 易知AB与复平面的实轴垂直，又A＝ ，∴AC与复平面的虚轴垂直， ∴n＝2mn，又点A在第一象限，∴n＞0，∴m＝ ，又｜z｜＝ ＝1，∴n＝ ， ∴A（ ， ），B（ ，－ ），C（－ ， ），∴AB＝ ，AC＝1， ∴△ABC的面积为 AB·AC＝ × ×1＝ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 3. （15分）如果存在实数对（m，n）使函数f（x）＝m sin ωx＋n cos ωx（x∈R），那么我们就称函数f（x）为实数对（m，n）的“ω型正 余弦生成函数”，实数对（m，n）为函数f（x）的“ω型正余弦生成数 对”. （1）若函数y＝g（x）的“4型正余弦生成数对”为（1，－ ），求方 程g（x）＝ 在区间［ ， ］上的所有实根之和； 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解： 由函数y＝g（x）的“4型正余弦生成数对”为（1，－ ）， 可得g（x）＝ sin 4x－ cos 4x＝2 sin （4x－ ）， 方程g（x）＝ ，即2 sin （4x－ ）＝ ， 即 sin （4x－ ）＝ ， 由x∈［ ， ］，可得4x－ ∈［ ， ］， 设θ＝4x－ ，即 sin θ＝ ， 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 结合正弦函数y＝ sin θ的图象，可得方程 sin θ＝ 在区间［ ， ］上 有两个根， 设其为θ1，θ2，且θ1＝4x1－ ，θ2＝4x2－ ，由对称性可知θ1＋θ2＝ 3π，解得x1＋x2＝ ， 则方程g（x）＝ 在区间［ ， ］上的所有实根之和为 . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若实数对（k，－1）的“2型正余弦生成函数”y＝h（x）在x＝x0 处取得最大值，其中2＜k＜3，求tan 4x0的取值范围. 解： 由题意得h（x）＝k sin 2x－ cos 2x＝ · sin （2x－ φ），其中tan φ＝ ， 由h（x）在x＝x0处取得最大值，可得2x0－φ＝2nπ＋ （n∈Z），所以 2x0＝2nπ＋ ＋φ（n∈Z）， 即tan 2x0＝tan（2nπ＋ ＋φ）＝tan（ ＋φ）＝－ ＝－k（n∈Z）， 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 可得tan 4x0＝ ＝ ＝ ， 又2＜k＜3，且y＝x－ 在（0，＋∞）上单调递增，所以 ＜ ＜ ， 即tan 4x0的取值范围为（ ， ）. 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 4. （15分）（2025·江苏连云港期中）在非直角三角形ABC中，边长a， b，c满足a＋c＝λb（λ∈R，且λ＞1）. （1）若λ＝2，且3c sin A＝4b sin C，求 cos B的值； 解： 由正弦定理可得3ca＝4bc，即3a＝4b，即a＝ b， 又a＋c＝2b，即c＝ b， 由余弦定理可得 cos B＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）求证：tan tan ＝ ； 解： 证明：因为a＋c＝λb，所以 sin A＋ sin C＝λ sin B， 即2 sin · cos ＝2λ sin · cos . 则 cos ＝λ cos . 故 cos · cos ＋ sin · sin ＝λ cos · cos －λ sin · sin ， 即（1＋λ） sin · sin ＝（λ－1） cos · cos .故tan ·tan ＝ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （3）是否存在函数f（λ），使得对于一切满足条件的λ，代数式 恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的f（λ）， 并证明，若不存在，请给出一个理由. 解：存在f（λ）＝－ .证明如下： 因为（tan ·tan ）2＝ ，所以 · ＝ . 展开整理可得4λ－2（λ2＋1）（ cos A＋ cos C）＝－4λ cos A cos C， 即 ＝－4λ， 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 故 ＝ . 因此 ＝－1. 所以存在函数f（λ）＝－ . 1 2 3 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $