微突破2 三角形中的最值（范围）问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件（提升版）

微突破2 三角形中的最值（范围）问题 考情分析 三角形中的最值（范围）问题主要考查角的三角函数值、边长、周长及面积的最值（范围）问题，常与三角函数、基本不等式等结合，题型多为解答题，难度中等. 【例】　已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，b－2a cos C＝a. （1）证明：C＝2A； 解： 证明：因为b－2a cos C＝a. 所以 sin B＝ sin A＋2 sin A cos C＝ sin A cos C＋ cos A sin C， 所以 sin A＝ cos A sin C－ sin A cos C＝ sin （C－A）， 因为A，C为锐角三角形的内角，所以0＜A＜ ，0＜C＜ ， 所以－ ＜C－A＜ ， 所以A＝C－A，即C＝2A. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）求 的取值范围. 解：由题意得 解得 ＜A＜ ， 所以 ＜ sin A＜ ，由（1）得 ＝ ＝ ＝ ， 因为函数y＝ －2x在（ ， ）上单调递减， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 所以当 ＜x＜ 时，0＜ －2x＜1， 所以当 ＜ sin A＜ 时，0＜ －2 sin A＜1， 所以 ＝ ＞1， 所以 的取值范围为（1，＋∞）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【变式】　〔创新交汇〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a， b，c，且tan A＋tan B＝ . （1）求角A的大小； 高考专题辅导与测试·数学·提升版 解： 因为tan A＋tan B＝ ，所以由余弦定理得tan A＋tan B＝ ＝ ， 由正弦定理得tan A＋tan B＝ ， 又 ＋ ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ，显然 cos B≠0， 又在△ABC中， sin C＞0， 所以 sin A＝ cos A，所以tan A＝1，所以A＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）若BC＝2，求 · 的最大值. 解： 法一　由余弦定理可得a2＝c2＋b2－2cb cos A＝c2＋b2－ cb＝4， 又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立， 所以4＋ bc≥2bc，则bc≤ ， · ＝cb cos A≤ × ＝2 ＋2，所以 · 的最大值为2 ＋2. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 法二　 · ＝bc cos A＝ bc＝ × · sin B sin C＝4 sin B sin C＝ 2 [ cos （B－C）－ cos （B＋C）]＝2 ［ cos （B－C）＋ ］， 因为0＜B＜ ，0＜C＜ ，所以－ ＜B－C＜ ，则 · ≤2 （1＋ ）＝2 ＋2，当且仅当B＝C时等号成立. 故 · 的最大值为2 ＋2. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【规律方法】　三角形中常见最值（范围）问题的解题策略 （1）利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b 与ab相互转化求最值（范围）； （2）利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简， 利用三角函数的性质求最值（范围）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【训练】　（1）（2025·山东济南二模）已知△ABC的内角A，B，C的 对边分别为a，b，c，已知 ＝ ，则c＝ ；若a∶b＝ ∶1，则△ABC面积的最大值为 　​ 　； 2 ​ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 解析：法一　因为 ＝ ，可得b sin C＝2 cos A sin C＋2 sin A cos C＝2 sin （A＋C）＝2 sin B，由正弦定理可得bc＝2b，所以c＝2.由 a∶b＝ ∶1可得a＝ b，由余弦定理可得 cos C＝ ＝ ＝ ，且△ABC的面积S＝ ab sin C＝ sin C，所以S2＝ · sin 2C ＝ （1－ cos 2C）＝ ［1－ ］＝－ ＋2b2－1，所以 b2＝4，即b＝2时，S2的最大值为3，所以△ABC面积的最大值为 . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 法二　因为 ＝ ，由正弦定理可得 ＝ ，由余弦定理 得 ＝ ，化简得bc－ ＝ ，即bc＝ 2b，所以c＝2.以AB边所在直线为x轴，以边AB的垂直平分线为y轴建立 平面直角坐标系（图略），则A（－1，0），B（1，0），设C（x， y），因为a∶b＝ ∶1，所以 ＝ ，化简得（x＋2）2 ＋y2＝3（y≠0），即顶点C在以（－2，0）为圆心，以 为半径的圆 （除去与x轴的交点）上，所以△ABC的AB边上的高最大值为 ，所以 △ABC面积的最大值为Smax＝ ·AB＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）（2025·重庆二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，且c sin A＋ a cos C＝ b. ①求角 A的值； 解：①由c sin A＋ a cos C＝ b及正弦定理可得 sin C sin A＋ sin A cos C＝ sin B，得 sin C sin A＋ sin A cos C＝ sin （A＋C）， 得 sin C sin A＋ sin A cos C＝ sin A cos C＋ cos A sin C， 得 sin C sin A＝ cos A sin C， 因C∈（0，π），故 sin C≠0，故 sin A＝ cos A，即tan A＝ ， ②若△ABC为锐角三角形，且 c＝1，求△ABC面积的取值范围. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 又A∈（0，π），故A＝ . ②由A＝ 得B＋C＝ ， 由△ABC为锐角三角形可得 得 ＜C＜ ， 由正弦定理可得 ＝ ，故b＝ ＝ ， 即b＝ ＝ ＋ ， 因为 ＜C＜ ，故tan C＞ ，故0＜ ＜ ，故 ＜b＜2， 因为S△ABC＝ bc sin A＝ ×b× sin ＝ b，故 ＜S△ABC＜ ， 故△ABC面积的取值范围为（ ， ）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 真题体验 1. （2022·全国甲卷理16题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝ 120°，AD＝2，CD＝2BD. 当 取得最小值时，BD＝ 　 －1　. 解析：设BD＝k（k＞0），则CD＝2k.根据题意作出 大致图形，如图.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2 ＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝22＋k2－2×2k× ＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋ CD2－2AD·CD cos ∠ADC＝22＋（2k）2－2×2×2k× ＝4k2－4k＋4， －1 高考专题辅导与测试·数学·提升版 则 ＝ ＝ ＝4－ ＝4－ ＝4－ ，∵k＋1＋ ≥2 （ 当且仅当k＋1＝ ，即k＝ －1时等号成立），∴ ≥4－ ＝4－2 ＝（ －1）2， ∴当 取得最小值 －1时， BD＝k＝ －1. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 2. （2022·新高考Ⅰ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知 ＝ . （1）若C＝ ，求B； 解： 因为 ＝ ，所以 ＝ ， 所以 ＝ ，所以 cos A cos B＝ sin B＋ sin A sin B， 所以 cos （A＋B）＝ sin B， 所以 sin B＝－ cos C＝－ cos ＝ ， 因为B∈ ，所以B＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）求 的最小值. 解：由（1）知， sin B＝－ cos C＞0， 所以 ＜C＜π，0＜B＜ ，而 sin B＝－ cos C＝ sin （ C－ ）， 所以C＝ ＋B，即有A＝ －2B，所以B∈（ 0， ），C∈（ ， ） 所以 ＝ ＝ ＝ ＝4 cos 2B＋ －5≥2 －5＝4 －5，当且 仅当 cos 2B＝ 时取等号，所以 的最小值为4 －5. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 课时作业 （时间：45分钟，满分：61分） 1. （5分）已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a ＋b＝2c cos B，则 ＋（ ）2的最小值为（　　） A. 2 B. 3 解析：　由余弦定理得a＋b＝2c cos B＝2c· ，∴（ ）2＝ ＋ 1，∴ ＋（ ）2＝ ＋ ＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当 ＝ ，即a＝b时 等号成立，∴ ＋（ ）2的最小值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 √ C. 2 D. 4 高考专题辅导与测试·数学·提升版 2. （5分）（2025·内蒙古包头二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边 分别为a，b，c，若2（b2－c2）＝3a2，则tan A的最大值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 解析：　∵2（b2－c2）＝3a2，∴a2＝ ，∴ cos A＝ ＝ ＝ ≥ ＝ ，当且仅当b2＝5c2，即b＝ c时等号成立.又A∈（0，π），∴ cos A∈［ ，1）， cos 2A∈［ ， 1），∴tan A＝ ＝ ≤ ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 3. （5分）（2025·江西萍乡二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边 分别为a，b，c，若a＝2， ＋ ＝3，则△ABC面积的最大值为 （　　） A. 3 B. C. D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 解析：　对 ＋ ＝3进行化简，通分可得 ＝ ＝ ＝ ＝3，即5－4 cos A ＝3 sin A，又 sin 2A＋ cos 2A＝1，解得 sin A＝ ， cos A＝ .已知a＝2， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得4＝b2＋c2－ bc，根据基本不等 式b2＋c2≥2bc（当且仅当b＝c时取等号），则4＝b2＋c2－ bc≥2bc－ bc＝ bc，可得bc≤10，三角形面积S△ABC＝ bc sin A＝ bc≤ ×10＝ 3，当且仅当b＝c时等号成立.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 4. （6分）〔多选〕（2025·山东济宁一模）在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，a＝ ，且2c－b＝2a cos B，则下列结论正确 的是（　　） A. A＝ B. △ABC外接圆的面积为π C. △ABC面积的最大值为 D. △ABC周长的最大值为3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 解析： 　对于A，因为2c－b＝2a cos B，由余弦定理可得2c－b＝ 2a× ＝ ，整理可得b2＋c2－a2＝bc，则 cos A＝ ＝ ＝ ，且A∈（0，π），所以A＝ ，故A错误；对于B，由 正弦定理可得△ABC外接圆的半径R＝ ＝ ＝1，所以△ABC外接 圆的面积为πR2＝π，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 对于C，由b2＋c2－a2＝bc可得b2＋c2＝a2＋bc＝3＋bc，且b2＋c2≥2bc， 即3＋bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b＝c＝ 时，等号成立，所以 △ABC面积的最大值为 ×3× ＝ ，故C正确；对于D，由b2＋c2＝3 ＋bc可得（b＋c）2＝3＋3bc，即bc＝ ，且bc≤ ， 即 ≤ ，解得（b＋c）2≤12，即b＋c≤2 ，当且 仅当b＝c＝ 时，等号成立，所以△ABC周长的最大值为2 ＋ ＝ 3 ，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 5. （5分）如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距 离分别为CA＝8 km，DB＝27 km.为了缓解上下学的交通压力，市政府决 定在AB上找一点P，分别向C，D修建两条垂直的公路PC和PD，设 ∠APC＝θ（0＜θ＜ ），则当PC＋PD最小时，AP＝ km. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 解析：由题意得，PC＋PD＝ ＋ ＝ ＋ （0＜θ＜ ），令y＝ ＋ （0＜θ＜ ），则y'＝ ，令y'＝0，则 tan θ＝ ，当y'＞0时，tan θ＞ ，当y'＜0时，tan θ＜ .故当tan θ＝ 时，y取得最小值，此时AP＝ ＝ ＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 6. （5分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a cos B＝b cos ∠BAC，M是BC的中点，若AM＝4，则b＋ c的最大值 为 ⁠. 解析：由a cos B＝b cos ∠BAC，根据正弦定理得， sin ∠BAC cos B＝ sin B cos ∠BAC，即 sin （∠BAC －B）＝0，所以∠BAC－B＝kπ（k∈Z）. 又因为0＜∠BAC＜π，0＜B＜π，所以∠BAC＝B，所以a＝b.在△AMC中，b2＝ ＋16－2· ·4 cos ∠AMC　①，在△AMB中，c2＝ ＋16－2· ·4 cos ∠AMB　②，因为∠AMC＋∠AMB＝π， 8 　 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 所以 cos ∠AMC＝－ cos ∠AMB，①＋②可得b2＋c2＝ ＋32，又因为a ＝b，所以 b2＋c2＝32，即（ b＋c）2－ bc＝32，所以（ b＋c）2 ＝ bc＋32≤（ ）2＋32，令t＝b＋ c，则 t2≤（ ）2＋32， 即 t2≤32，解得－8 ≤t≤8 ，又因为t＞0，所以0＜t≤8 ，当且 仅当b＝ c＝4 时，等号成立，则b＋ c的最大值为8 . 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 7. （15分）（2025·上海闵行二模）已知f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞ 0，0＜φ＜π），函数y＝f（x）的部分图象如图所示，图中最高点S （ ，1），最低点T（ ，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （1）求函数y＝f（x）的解析式； 解：因为f（x）＝ sin （ωx＋φ）图象经过S（ ，1），T（ ，－1）， 所以 － ＝ 得周期T＝2π，由 ＝2π得，ω＝1. 又f（ ）＝1得 ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z， 又因为0＜φ＜π， 所以φ＝ ，所以f（x）＝ sin （ x＋ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A≠B，f （A）＝f（B），c＝2，求△ABC面积的取值范围. 解：因为f（A）＝f（B），又0＜A＋B＜π， 结合图象对称性可知A＋B＝ ，则C＝ ， 又c＝2，由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＝ ， 则a＝ sin A，b＝ sin B， 所以ab＝ sin A sin B＝ sin A sin （ －A） 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 ＝ sin A（ cos A＋ sin A）＝ sin A cos A＋ sin 2A ＝ sin 2A＋ － cos 2A＝ sin （ 2A－ ）＋ ， 由A＋B＝ ，A≠B，可得A∈（ 0， ）∪（ ， ）， 所以2A－ ∈（ － ， ）∪（ ， ），则 sin （ 2A－ ）∈（ － ， 1），故ab∈（0，4）， 所以△ABC的面积为 ab sin C＝ ab· ＝ ab∈（0， ）， 故△ABC面积的取值范围为（0， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 8. （15分）（2025·河北秦皇岛二模）已知锐角三角形ABC的内角A， B，C所对的边分别为a，b，c，且满足btan B cos C＋c sin B＝2atan B cos A. （1）求A； 解：由btan B cos C＋c sin B＝2atan B cos A， 根据正弦定理，得 sin Btan B cos C＋ sin C sin B＝2 sin A cos Atan B， 由tan B＝ ， sin B＞0，则 sin B cos C＋ sin C cos B＝2 sin A cos A， 即 sin （B＋C）＝ sin A＝2 sin A cos A，而 sin A＞0，故 cos A＝ ， 又A∈（0，π），所以A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）若a＝3，求2b－c＋2 sin （ 2B＋ ）的取值范围. 解：由正弦定理和 ＝2 ，得b＝2 sin B，c＝2 sin C， 由 sin C＝ sin （ －B）＝ cos B＋ sin B， 则2b－c＋2 sin （ 2B＋ ）＝3 sin B－3 cos B＋2 sin （ 2B＋ ） ＝6 sin （ B－ ）＋2 sin （ 2B＋ － ）＝2 cos ［2（ B－ ）］＋6 sin （ B－ ）＝2［1－2 sin 2（ B－ ）］＋6 sin （ B－ ）＝－4 sin 2（ B－ ）＋6 sin （ B－ ）＋2， 由 则 ＜B＜ ，即0＜B－ ＜ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 可得 sin （ B－ ）∈（ 0， ）， 令t＝ sin （ B－ ），则2b－c＋2 sin （ 2B＋ ）＝－4t2＋6t＋2＝－4 （ t－ ）2＋ ， 易知函数f（t）＝－4（ t－ ）2＋ 在（ 0， ）上单调递增，在（ ， ）上单调递减， f（0）＝2，f（ ）＝ ，f（ ）＝3 －1，所以2b－c＋2 sin （ 2B ＋ ）∈（ 2， ］. 故2b－c＋2 sin （2B＋ ）的取值范围为（ 2， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 高考专题辅导与测试·数学·提升版 THANKS 演示完毕 感谢观看 $