微突破1 “爪形”三角形问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件（提升版）

微突破1 “爪形”三角形问题 考情分析 与三角形的特征线（中线、角平分线、高线）有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中等. 【例】　（2023·全国甲卷16题）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2， BC＝ ，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝ ⁠. 2 解析：如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a，由余弦定 理可得，22＋b2－2×2×b× cos 60°＝6，因为b＞0，解 得b＝1＋ ， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【技巧】 若是给出两边及一边的对角，可以利用余弦定理求出第三边 法一（常规解法）　由正弦定理可得， ＝ ＝ ，解得 sin B＝ ， sin C＝ ，因为1＋ ＞ ＞ ，所以C＝45°，B＝180° －60°－45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝ AB＝2. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 法二（等面积法）　由角平分线可得S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即 ×2×b× sin 60°＝ ×2×AD× sin 30°＋ ×AD×b× sin 30°，解得 AD＝ ＝ ＝2. 【技巧】 利用等面积法建立角平分线的关系式，使得问题更简单 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【变式1】　△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝ ，若c＝ ，a＝ ，D为BC的中点，则AD＝ 　​ 　　. 解析：法一（常规解法）　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC，则5＝b2＋2－2b，解得b＝3或b＝－1（舍去），因为D为 BC的中点，则 ＝ （ ＋ ），两边同时平方得 ＝ （ ＋ ＋2 · ）＝ ×（ 2＋9＋2× ×3× ）＝ ，所以｜ ｜＝ ，即AD＝ . ​ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【技巧】 平面向量是解决几何问题的一种重要方法，将其与余弦定理结合 到一起，可使问题快速解决 法二（中线法）　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC，则5＝b2＋2－2b，解得b＝3或b＝－1（舍去），因为D为BC 的中点，AD2＝ （AB2＋AC2）－ BC2，所以AD2＝ ×[（ ）2＋32] － ×（ ）2＝ ，即AD＝ . 【技巧】 若三边已知，可运用中线长定理快速得出结果 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【变式2】　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝ ，若边AB上的高为 ，则 cos C的值为 　－ 　. 解析：因为△ABC的面积S＝ ac sin B＝ ac＝ ，所以a＝ c. 【技巧】 建立关于三角形面积的关系式，得到a，c的关系由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2ac cos B＝（ c）2＋c2－2× c×c× ＝ c2，所以b＝ c，所以 cos C＝ ＝ ＝－ . 【技巧】 已知两边的关系及两边的夹角，利用余弦定理求出三边的关系， 再次运用余弦定理即可求解 － 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【规律方法】　三角形中“特征线”问题的解题策略 特征线 角平分线 中线 高线 破题 策略 （1）利用角平分线定理，找边之间的关系； （2）角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解 （1）利用角互补 及余弦定理求解； （2）利用中线长 定理求解； （3）利用向量法 求解 （1）求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度； （2）高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关 高考专题辅导与测试·数学·提升版 【训练】　（1）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AH为 △ABC的高线，则 · ＝ ⁠； 解析：在三角形ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°＝7，即BC＝ ，所以S△ABC＝ AB·AC sin 120°＝ BC·AH，所 以AH＝ ＝ ，由向量数量积的几何意义得 · ＝｜ ｜2＝（ ）2＝ . 　 高考专题辅导与测试·数学·提升版 ①求角A； ②若a＝ ，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC＝ ，且BC平分 ∠ABD，求△ACD面积的取值范围. （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan C ＋ ＝tan B（ tan C－1）. 解：①由tan C＋ ＝tan B（ tan C－1）， 得tan B＋tan C＝－ （1－tan Btan C），即 ＝－ ， 即tan（B＋C）＝－ ，所以tan（π－A）＝－ ，即tan A＝ ， 又A∈（0，π），所以A＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 ②设∠ABC＝∠CBD＝x， 在△BCD中，∠BDC＝ ，故x∈（0， ）， 则∠ACD＝2π－ － －2x＝π－2x. 由正弦定理有 ＝ ， ＝ ， 则AC＝CD＝2 sin x， 故S△ACD＝ （2 sin x）2 sin （π－2x）＝4 sin 3x cos x. 令φ（x）＝4 sin 3x cos x，x∈（0， ）， 则φ'（x）＝12 sin 2x cos 2x－4 sin 4x 高考专题辅导与测试·数学·提升版 ＝4 sin 2x（ cos x＋ sin x）（ cos x－ sin x）， 易知φ'（x）＞0，则函数φ（x）＝4 sin 3x cos x在（0， ）上单调递增， 又φ（0）＝0，φ（ ）＝ ， 所以△ACD面积的取值范围为（0， ）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 真题体验 （2023·新高考Ⅰ卷17题）已知在△ABC中，A＋B＝3C，2 sin （A－C） ＝ sin B. （1）求 sin A； 解： ∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，∴4C＝π，则C＝ . ∵2 sin （A－C）＝ sin B＝ sin （π－A－C）＝ sin （A＋C）， ∴2 sin A cos C－2 cos A sin C＝ sin A cos C＋ cos A sin C， 则 sin A cos C＝3 cos A sin C，∴ sin A＝3 cos A＞0. 又 sin 2A＋ cos 2A＝1，∴ sin A＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）设AB＝5，求AB边上的高. 解： 法一　设AB边上的高为h， 由（1）易得 cos A＝ ，则 sin B＝ sin （A＋C）＝ sin （ ＋A）＝ cos A＋ sin A＝ . 在△ABC中，由正弦定理 ＝ ，得AC＝ ＝ ＝2 . 又S△ABC＝ ·AC·AB· sin A＝ ·AB·h， ∴h＝AC sin A＝2 × ＝6. 即AB边上的高为6. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 法二　由（1）得 sin A＝3 cos A，则A是锐角， cos A＝ ， sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C＝ × ＋ × ＝ . 由正弦定理 ＝ ，得AC＝ ＝ ＝2 ，故AB边上的高 为AC sin A＝2 × ＝6. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 课时作业 （时间：40分钟，满分：54分） 1. （5分）（2025·湖南郴州三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分 别为a，b，c，若A＝ ，a＝4，BC边上的高AD＝ ，则b＋c＝ （　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 4 解析：　由已知得 ×4× ＝ bc sin ，解得bc＝8　①，由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得16＝b2＋c2－bc　②，由①②可得b＋c＝ ＝2 . 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 2. （5分）（2025·江西九江模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对 的边分别为a，b，c，D是BC的中点， · ＝2c2，则 ＝ （　　） A. B. C. 2 D. 解析：　在△ABC中，D是BC的中点， · ＝（ － ）· （ ＋ ）＝2c2，则 － ＝4c2，即b2－c2＝4c2，因此b2＝5c2，所以 ＝ ＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 3. （5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ ， AD是△ABC的角平分线，点D在BC上，CD＝3BD，AD＝ ，则 △ABC的面积为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 解析：　在△ABC中，由角平分线定理得 ＝ ＝3，所以b＝3c，又 S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，即 bc sin A＝ c×AD× sin ＋ b×AD× sin ，解得c＝ ，b＝4，所以S△ABC＝ bc sin A＝ × ×4× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 4. （6分）〔多选〕（2025·福建漳州一模）在△ABC中，AC＝2 ，tan A＝2，向量 在向量 上的投影向量为 ，则（　　） A. 边BC上的高为3 B. sin C＝ C. · ＝－8 D. 边AB上的中线为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 解析：　如图，过点C作CD⊥AB于点D，则向 量 在向量 上的投影向量为 ，由已知 ＝ ，所以AD＝ AB，设AD＝x，则BD＝2x，又tan A＝2，所以CD＝2x，所以B＝45°，在Rt△ACD中， AC＝ x，又AC＝2 ，所以x＝2，所以AD＝2，BD＝4，CD＝4，所以AB＝6，在Rt△BCD中，易得BC＝ ＝4 ，所以在△ABC中，边BC的高为AB· sin B＝3 ，故A正确；在△ABC中，由余弦 定理的推论得 cos C＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos C＝2 ×4 × ＝ 8，故C错误；设AB的中点为M，则 ＝ （ ＋ ），所以 ＝ （ ＋ ＋2 · ）＝ × （20＋32＋2×8）＝17，则｜ ｜＝ ，故D正确. 故选A、B、D. 又因为C∈（0，π），所以 sin C＝ ＝ ，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 5. （5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin Btan A＝ a sin B cos C＋ b sin C cos A. 若点D在边BC上，且BD＝ 2DC，b＝3，AD＝2 ，A＝ ，则△ABC的周长为 　3 ＋9　. 解析：设CD＝x，则在△ABC中， cos ∠BAC＝ ＝ 　①. 在△ACD中， cos ∠ADC＝ ＝ .在△ADB中， cos ∠ADB＝ .因为 cos ∠ADC＋ cos ∠ADB＝0， 所以6x2＋18－c2＝0　②.由①②可解得c＝6，x＝ ， 所以△ABC的周长为3 ＋9. 3 ＋9 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 6. （13分）在△ABC中，D是边BC上的点，∠BAC＝120°，AD＝1， AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍. （1）求△ACD的面积； 解： 由已知及正弦定理可得： S△ABD＝ AD·AB· sin 60°＝2S△ACD＝2× AD·AC· sin 60°， 化简得AB＝2AC. 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 又因为S△ABC＝3S△ACD＝3· AD·AC· sin 60°＝ AC ＝ AB·AC· sin 120°＝ AC2，所以AC＝ ， 所以S△ACD＝ AC·AD· sin 60°＝ × ＝ ， 所以△ACD的面积为 . 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）求△ABC的边BC上的中线AE的长. 解： 由（1）可知AB＝2AC＝3，因为AE是 △ABC的边BC上的中线，所以 ＝ （ ＋ ）， 所以｜ ｜＝ ＝ ＝ × ＝ ， 所以△ABC的边BC上的中线AE的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 7. （15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝ 6，b sin 2A＝4 sin B. （1）若b＝1，证明：C＝A＋ ； 解： 证明：由已知可得 ＝ ＝ ， 由正弦定理 ＝ 可得， ＝ ＝ ， 所以有 ＝ . 又 sin A＞0，所以 cos A＝ ， sin A＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 又b＝1，所以 sin B＝ ＝ ＝ . 因为a＞b，所以 cos B＝ ＝ ， 所以 cos C＝－ cos （A＋B）＝－ cos A cos B＋ sin A sin B＝－ ， 所以 cos C＝－ sin A＝ cos （A＋ ）. 又C∈（0，π），A＋ ∈（0，π），函数y＝ cos x在（0，π）上单调 递减，则C＝A＋ . 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 （2）若BC边上的高为 ，求△ABC的周长. 解： 由题意得△ABC的面积S＝ ×6× ＝8 . 又S＝ bc· sin A＝ bc，则bc＝24 . 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c）2－2bc（ cos A＋1）， 得（b＋c）2＝2bc（1＋ cos A）＋a2＝48 ×（ 1＋ ）＋62＝（6＋ 4 ）2，所以b＋c＝6＋4 . 所以△ABC的周长为12＋4 . 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学·提升版 THANKS 演示完毕 感谢观看 $