第2讲 三角恒等变换与解三角形-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件（提升版）

第2讲 三角恒等变换与解三角形 考情分析 （1）三角函数的化简与求值是高考的考查重点，其中关键是运用二倍角公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行恒等变换，主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下； （2）解三角形问题主要涉及三角形的边、角、周长及面积的计算问题，大小题均有涉及，难度中等偏下. 三角恒等变换 考点一 目录 / CONTENTS 正、余弦定理 考点二 多个三角形组合问题 突破点 课时作业 考点一　三角恒等变换 目 录 【例1】　（1）（2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π， cos ＝ ，则 sin （α－ ）＝（　D　） A. B. C. D. 解析： cos α＝2 cos 2 －1＝2× －1＝－ ，因为0＜α＜π，所以 sin α＝ ，所以 sin （α－ ）＝ （ sin α－ cos α）＝ × ＝ . D 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角， tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝ ＋1，则 sin （α＋β）＝ 　－ 　. 解析： 法一　由题意得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－ 2 ，因为α∈（2kπ，2kπ＋ ），β∈（2mπ＋π，2mπ＋ ），k， m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k， m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2 ＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π ＋ ，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则 sin （α＋β）＜0，则 － 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 ＝－2 ，联立 sin 2（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1，解得 sin （α＋β）＝－ . 法二　由法一得tan（α＋β）＜0， sin （α＋β）＜0，故α＋β为第四 象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2 ），则r＝｜ OP｜＝ ＝3，所以 sin （α＋β）＝－ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 法三　易得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－2 .又tan α＋tan β ＝ ＋ ＝ ＝4，所以 sin （α＋β）＝4 cos α cos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得 cos α＞0， cos β＜0，所以 sin （α＋β）＝4 cos α cos β＜0.由tan（α＋β）＝－2 ，结合 sin 2 （α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1，得 sin （α＋β）＝－ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　三角恒等变换的策略 （1）常值代换：特别是“1”的代换，1＝ sin 2θ＋ cos 2θ＝tan 等； （2）项的分拆与角的配凑：如 sin 2α＋2 cos 2α＝（ sin 2α＋ cos 2α）＋ cos 2α，α＝（α－β）＋β等； （3）降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； （4）弦、切互化：一般是切化弦. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练1】　（1）（2025·江西萍乡模拟）已知0＜α＜ ＜β＜π且 sin α ＝ ， cos （β－α）＝ ，则β＝（　D　） A. B. C. D. D 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 因为 sin α＝ ，且0＜α＜ ＜β＜π，所以0＜β－α＜π， 所以 cos α＝ ＝ ，因为 cos （β－α）＝ ，所以0＜β－α ＜ ， sin （β－α）＝ ＝ ，所以 cos β＝ cos [（β－α）＋α]＝ cos （β－α） cos α－ sin （β－α） sin α＝ × － × ＝－ ，所以β＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）（2025·江西景德镇模拟）已知 cos （x＋y）＝2 sin （x－y），tan （x－y）＝ ，则tan xtan y＝（　C　） A. B. C. D. － 解析： 因为 cos （x＋y）＝2 sin （x－y），所以 cos x cos y－ sin x sin y＝2 sin x cos y－2 cos x sin y，两边同时除以 cos x cos y，所以1－tan xtan y＝2tan x－2tan y，因为tan（x－y）＝ ＝ ，所以tan x－tan y＝ ，所以1－tan xtan y＝2× ，解得tan xtan y＝ .故选C. C 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 考点二　正、余弦定理 目 录 【例2】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别 为a，b，c.已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab. （1）求B； 解：由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ ab，可得 cos C＝ ＝ ＝ ， 因为C∈（0，π），所以C＝ ， 又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B， 即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若△ABC的面积为3＋ ，求c. 解： 由（1）可得A＝ ， 则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，由正弦定理 有 ＝ ， 从而a＝ · c＝ c， 又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1）， 将a＝ c代入，解得c＝2 . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　应用正、余弦定理解题的技巧 （1）求边：利用公式a＝ ，b＝ ，c＝ 或其他相应变形公 式求解； （2）求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ 或其他相应变形公式求解； （3）已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解，有时已知两边和 其中一边对角可用余弦定理求第三边，这种方法可避免对解个数的讨论； （4）灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定 理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练2】　（2025·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C的对边分 别为a，b，c.已知a sin B＝ b cos A，c－2b＝1，a＝ . （1）求A的值； 解： 因为a sin B＝ b cos A，所以由正弦定理可得 sin A sin B＝ sin B cos A， 因为B∈（0，π），所以 sin B＞0，所以 sin A＝ cos A，所以tan A＝ . 又因为A∈（0，π），所以A＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）求c的值； 解： 因为c－2b＝1，a＝ ， cos A＝ ，所以由a2＝b2＋c2－2bc cos A， 可得7＝b2＋（2b＋1）2－2b（2b＋1）× ，化简得b2＋b－2＝0， 又b＞0，故b＝1. 由c＝2b＋1，得c＝3. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （3）求 sin （A＋2B）的值. 解： 由正弦定理 ＝ ，得 ＝ ，解得 sin B＝ . 因为b＝1＜3＝c，所以B为锐角， cos B＝ ＝ . sin 2B＝2 sin B cos B＝ ， cos 2B＝2 cos 2B－1＝ . 所以 sin （A＋2B）＝ sin （ ＋2B）＝ sin cos 2B＋ cos sin 2B＝ × ＋ × ＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 突破点　多个三角形组合问题 目 录 【例3】 如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD， cos B＝ ， cos ∠ACB＝ ， BC＝ . （1）求AC； 解：由 cos B＝ ， cos ∠ACB＝ ，则 sin B＝ ＝ ， sin ∠ACB＝ ＝ ， 又由∠CAB＝π－B－∠ACB， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 所以 cos ∠CAB＝－ cos （B＋∠ACB）＝－（ × － × ）＝ ， 又由∠CAB∈（0，π），可得∠BAC＝ ， 在△ABC中，又由正弦定理得 ＝ ，所以 ＝ ，可得AC＝ 2 . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若△ACD的面积为 ，求CD. 解： 由AB⊥AD，∠BAC＝ ，可得∠CAD＝ ， 又由△ACD的面积为 ，得 ×2 AD× sin ＝ ，可得AD＝ ， 在△ACD中，由余弦定理得CD＝ ＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　求解多个三角形组合问题的解题思路 （1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角 形中； （2）在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三 角形； （3）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件； （4）结合面积公式或三角恒等变换公式进行化简. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练3】　（2025·湖北武汉二模）如图，△AOD与△BOC存在对顶角 ∠AOD＝∠BOC＝ ，AC＝2，BD＝2 ，且BC＝AD. （1）证明：O为BD中点； 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 ∴2 x＝4，x＝ ，∴BO＝OD＝ ，∴O为BD中点. 解：证明：如图，设OB＝x，OC＝m，∴OD ＝2 －x，OA＝2－m， 在△BOC与△AOD中分别由余弦定理及BC＝AD可得 m2＋x2－2mx· ＝（2－m）2＋（2 －x）2－2 （2－m）·（2 －x）· ＝m2＋x2－4m－4 x＋12－8＋2 x＋4m－ mx， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若 sin 2A＋ cos B＝ ，求OC的长. 解： 在△BOC与△AOD中，分别由正弦定理得 ＝ ， ＝ ，∵BC＝AD，∴ sin A＝ sin C， 由图知显然A≠C，∴A＋C＝π，∴C＝π－A， ∴B＝A－ ， ＜A＜ ， ∴ sin 2A＋ cos （ A－ ）＝ ，令 sin A＋ cos A＝t， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 ∴ （t2－1）＋ t＝ ，∴t＝ ， ∴ sin A＋ cos A＝ ， ∴（ － sin A）2＋ sin 2A＝1，∴ sin A＝ ， cos A＝ ， ∴ sin B＝ sin A－ cos A＝ × ＝ ， sin C＝ sin A＝ ， 在△BOC中，由正弦定理得 ＝ ， ∴OC＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 真题体验 1. （2024·新高考Ⅰ卷4题）已知 cos （α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则 cos （α－β）＝（　　） A. －3m B. － 解析：　因为 cos （α＋β）＝m，所以 cos α cos β－ sin α sin β＝ m，而tan αtan β＝2，即 ＝2，所以 sin α sin β＝2 cos α cos β，故 cos α cos β－2 cos α cos β＝m，即 cos α cos β＝－m，从而 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝3 cos α cos β＝－3m.故 选A. C. D. 3m √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 2. （2024·全国甲卷理11题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知B＝60°，b2＝ ac，则 sin A＋ sin C＝（　　） A. B. C. D. √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　由正弦定理得 sin A sin C＝ sin 2B，因为B＝60°，所以 sin A sin C＝ sin 2B＝ .由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac· cos B＝a2＋c2－ac＝ ac，所以a2＋c2＝ ac，所以 sin 2A＋ sin 2C＝ sin A sin C，所以（ sin A＋ sin C）2＝ sin 2A＋ sin 2C＋2 sin A sin C＝ sin A sin C＝ ，又 sin A＞ 0， sin C＞0，所以 sin A＋ sin C＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 3. （2024·新高考Ⅱ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知 sin A＋ cos A＝2. （1）求A； 解： 由 sin A＋ cos A＝2可得， sin A＋ cos A＝1，即 sin （ A＋ ）＝1， 由于A∈（0，π）⇒A＋ ∈（ ， ），故A＋ ＝ ，解得A＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若a＝2， b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长. 解： 由题设条件和正弦定理得， b sin C＝c sin 2B⇔ sin B sin C＝2 sin C· sin B cos B， 又B，C∈（0，π），则 sin B sin C≠0，则 cos B＝ ，得到B＝ ， 于是C＝π－A－B＝ ， sin C＝ sin （π－A－B）＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ sin B cos A＝ ， 由正弦定理可得 ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ， 解得b＝2 ，c＝ ＋ ， 故△ABC的周长为2＋ ＋3 . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 课时作业 （时间：60分钟，满分：95分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1. （2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋ ，AB＝ ， 则A＝（　　） A. 45° B. 60° 解析：　法一（通解）　 cos A＝ ＝ ＝ ， 因为0°＜A＜180°，所以A＝45°. 法二（优解）　因为BC＜AC，BC＜AB，所以A为最小角，所以A＜ 60°，排除B、C、D，故选A. C. 120° D. 135° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 2. 已知 sin （ α＋ ）＝ ＋ cos α，则 cos （ 2α－ ）＝（　　） A. － B. C. － D. 解析：　因为 sin （ α＋ ）＝ ＋ cos α，则 sin α＋ cos α＝ ＋ cos α，即 sin α－ cos α＝ ，所以 sin （ α－ ）＝ ，则 cos （ 2α－ ）＝ cos 2（ α－ ）＝1－2 sin 2（ α－ ）＝1－2× （ ）2＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 3. △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°，a＝ . 若这个三角形有两解，则b的取值范围是（　　） A. ＜b≤2 B. ＜b＜2 C. 1＜b＜2 D. 1＜b≤2 解析：　由正弦定理 ＝ 可得，b＝ ＝ ＝2 sin B. 要使 △ABC有两解，即B有两解，则应有A＜B，且 sin B＜1，所以 ＝ sin A ＜ sin B＜1，所以 ＜b＜2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 4. （2025·湖南长沙模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别 为a，b，c，A＜ ，a＝2 ，b＝5 ， sin 2A＝ ，则△ABC的面 积为（　　） A. 36 B. 18 C. 36 D. 27 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　因为 cos 2A＋ sin 2A＝1，且2 sin A cos A＝ ，又A＜ ，所以 sin A＝ ， cos A＝ ，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即4×17＝50 ＋c2－2×5 c× 即c2－8 c－18＝0，即（c－9 ）（c＋ ）＝ 0，所以c＝9 ， 所以△ABC的面积为 bc sin A＝ ×5 ×9 × ＝ 27.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 5. 已知0＜α＜ ， ＜β＜π， sin α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，则 sin β＝（　　） A. B. C. 或 D. 0或 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　因为0＜α＜ ， sin α＝ ，所以 cos α＝ ＝ ，因 为0＜α＜ ， ＜β＜π，所以 ＜α＋β＜ ，因为 cos （α＋β）＝－ ，所以 sin （α＋β）＝± ＝± .当 sin （α＋β）＝ 时， sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋ β） sin α＝ × ＋ × ＝ ，因为 ＜β＜π，所以 sin β＞0，故 sin β＝ 满足题意；当 sin （α＋β）＝－ 时， sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α＝－ × ＋ × ＝0，因为 ＜β＜π，故 sin β＝0不合题意，舍去.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 6. 在圆内接梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝ ，BC＝2，CD＝1， 则其外接圆的半径为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　如图，梯形ABCD内接于圆O，则∠ADC＋ ∠ABC＝π，因∠ADC＝ ，则∠DAB＝∠ABC＝ ，故 梯形ABCD为等腰梯形，则AD＝BC＝2，所求即为△ACD 的外接圆的半径.在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2 ＋CD2－2AD·CD· cos ∠ADC＝4＋1－2×2×1×（ － ）＝7，则AC＝ ，又由正弦定理得2R＝ ＝ ＝ ，即R＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 7. 雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九 大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB （塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中 A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为 30°，在点D处测得点A，B的仰角分别为60°，15°，测得CD＝36 （ ＋1）m，则按此法测得的雷峰塔塔高为（　　） A. 68 m B. 70 m C. 72 m D. 74 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　令直线CD，AB的延长线交于点E，则AE⊥CE. 依题意，CE ＝ ＝ AE，DE＝ ＝ AE，而CD＝36（ ＋1），所 以 AE＝36（ ＋1），解得AE＝18（3＋ ），又AE＝DEtan 60° ＝ DE，所以DE＝18（ ＋1），而BE＝DEtan 15°＝DEtan （60°－45°）＝DE· ＝18（ －1）， 所以AB＝AE－BE＝72（m）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 8. （2025·江苏南京一模）已知 cos α cos β＝ ， cos （α＋β）＝ ，则 （　　） A. sin α sin β＝ B. cos （α－β）＝ C. tan αtan β＝－ D. sin 2α sin 2β＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 　由 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ，且 cos α cos β＝ ，则 sin α sin β＝－ ，故A错误；由 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ － ＝ ，故B正确；由tan αtan β＝ ＝ ＝－ ，故C正确；由 sin 2α sin 2β＝2 sin α cos α·2 sin β cos β ＝4 sin α sin β cos α cos β＝4×（ － ）× ＝－ ，故D错误.故选 B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 9. （2025·全国Ⅰ卷11题）已知△ABC的面积为 ， cos 2A＋ cos 2B＋2 sin C＝2， cos A cos B sin C＝ ，则（　　） A. sin C＝ sin 2A＋ sin 2B B. AB＝ C. sin A＋ sin B＝ D. AC2＋BC2＝3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 　A. cos 2A＋ cos 2B＋2 sin C＝1－2 sin 2A＋1－2 sin 2B＋2 sin C＝2，所以 sin 2A＋ sin 2B＝ sin C，故A正确；令a＝BC，b＝AC， c＝AB，则 ＝ ＝ ＝2R（R为△ABC的外接圆半径），由 sin 2A＋ sin 2B＝ sin C，得a2＋b2＝c·2R≥c2.由 cos A cos B sin C＝ ，易知 A，B为锐角，若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B＞ ，即 A＞ －B，则 sin A＞ sin （ －B）＝ cos B，所以 sin C＝ sin 2A＋ sin 2B＞ cos 2B＋ sin 2B＝1，矛盾.故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝ ；B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 由 cos A cos B sin C＝ cos A cos B＝ ，所以 sin A sin B＝ .因为S△ABC＝ ab ＝ ，所以ab＝ ，所以 ＝（2R）2＝ ＝2，所以2R＝ ，所以 c＝2R· sin C＝ ，故B正确；C. （ sin A＋ sin B）2＝ sin 2A＋ sin 2B＋2 sin A sin B＝ sin C＋2 sin A sin B＝1＋2× ＝ ，所以 sin A＋ sin B＝ ，故 C正确；D. AC2＋BC2＝AB2＝c2＝2，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 三、填空题（每小题5分，共10分） 10. （2025·陕西咸阳二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知A＝ ，a2＋（1－2 cos C）ac－2c2 cos C＝0，则C ＝ ⁠. 解析：a2＋（1－2 cos C）ac－2c2 cos C＝（a＋c）·（a－2c cos C）＝ 0，因为a＋c≠0，所以a－2c cos C＝0，即a＝2c cos C，由正弦定理，可 得 sin A＝2 sin C cos C＝ sin 2C，又因为A＝ ，所以 sin 2C＝ ，因为0 ＜C＜ ，则0＜2C＜ ，所以2C＝ ，解得C＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 11. 如图所示，两个直角三角形共斜边MN，且MN＝1，MB－MA＝ ， NA－NB＝ ，设∠AMN＝β，∠BMN＝α，则 cos （β－α） ＝ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：∠BMN＝α，∠AMN＝β，由题意可得MB＝ cos α，NB＝ sin α，MA＝ cos β，NA＝ sin β，因为 则 两式平方相加可得2－2 cos α cos β－2 sin α sin β＝ ，即2－2 cos （β－α）＝ ，所以 cos （β－α）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 四、解答题（共2小题，共28分） 12. （13分）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝ cos （2x＋φ） （0≤φ＜π），f（0）＝ . （1）求φ； 解： 因为f（0）＝ cos φ＝ ，且0≤φ＜π，所以φ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）设函数g（x）＝f（x）＋f（x－ ），求g（x）的值域和单调区间. 解：g（x）＝f（x）＋f（x－ ）＝ cos （2x＋ ）＋ cos 2x＝ cos 2x cos － sin 2x sin ＋ cos 2x＝ cos 2x－ sin 2x＝ （ cos 2x － sin 2x）＝ cos （2x＋ ），故函数g（x）的值域为[－ ， ]. 令2kπ－π≤2x＋ ≤2kπ（k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ－ （k∈Z）， 所以g（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ－ ］（k∈Z）. 令2kπ≤2x＋ ≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z）， 所以g（x）的单调递减区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 13. （15分）（2025·山东齐鲁名校联考）如图，在△ABC中，AB＝5， AC＝3，点D，E是BC边上的两点，点D在B，E之间，∠BAD＝ ∠CAE. （1）求 的值； 解：因为∠BAD＝∠CAE，且AB＝5，AC＝3， 所以 ＝ ＝ ，可得 ＝ ， 即5AD·CE＝3BD·AE，所以 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）若BC＝7，AB⊥AE，求 的值. 解： 因为AB＝5，AC＝3，BC＝7， 所以 cos ∠BAC＝ ＝ ＝－ ， 又因为∠BAC∈（0，π），所以∠BAC＝ ， 因为AB⊥AE，所以∠BAD＝∠CAE＝ － ＝ ，所以∠DAE＝ ， 又因为 cos B＝ ＝ ＝ ，所以 sin ∠AED＝ cos B＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 高考新风向 14. （5分）〔创新交汇〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a， b，c，若a2，b2，2c2成等差数列，则tan（C－B）的最小值为（　　） A. B. C. － D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　因为a2，b2，2c2成等差数列，所以a2＋2c2＝2b2，则 cos B＝ ＝ ， cos C＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ，即tan B＝3tan C，且tan C＞0，所以tan（C－B） ＝ ＝－ ＝－ ≥－ ，当且仅当tan C＝ 时， 等号成立.所以tan（C－B）的最小值为－ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 15. （5分）〔创新考法〕（2025·黑龙江双鸭山模拟预测）我国古代数学 家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天 顶距θ（0°≤θ≤80°）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函 数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的 乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶 距分别为α，β，第二次的“晷影长”是“表高”的3倍，且 cos 2α＋ sin 2α＝－ ，则tan（α－β）的值为（　　） A. － B. C. 4 D. 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　由已知得tan β＝3，易得 cos 2α＝ ＝ ， sin 2α＝ ＝ ，所以 cos 2α＋ sin 2α＝ ＝－ ，解得tan α＝4或tan α＝－ （舍去），故tan（α－β）＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $