第1讲 三角函数的图象与性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件（提升版）

第1讲 三角函数的图象与性质 考情分析 三角函数的图象主要涉及图象变换及由图象确定函数解析式；三角函数的性质主要涉及求解三角函数值、参数值、最值、单调区间等，主要以选择题或填空题的形式考查，难度中等或偏下. 图象与解析式 考点一 目录 / CONTENTS 单调性与最值 考点二 ω，φ的范围问题 突破点 课时作业 考点一　图象与解析式 目 录 【例1】　（1）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ）的 部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移 个单位长度得到函数g （x）的图象，则g（ ）＝（　B　） A. B. C. 1 D. 0 B 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 设函数f（x）的最小正周期为T，由图知 T＝ － ＝ 可得T＝π，则 ＝π即ω＝2，由f（ ）＝ sin （2× ＋φ）＝1，则 ＋φ ＝ ＋2kπ，k∈Z，可得φ＝ ＋2kπ，k∈Z，又｜φ｜＜ ，则φ＝ ，故 f（x）＝ sin （2x＋ ），由题意g（x）＝f（x＋ ）＝ sin （2x＋ ），故g（ ）＝ sin （2× ＋ ）＝ sin ＝ .故选B. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ），如 图，A，B是直线y＝ 与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝ ， 则f（π）＝ ⁠. － 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 由题图设点A（x1， ），B（x2， ），则｜AB｜＝x2－x1 ＝ .由题图可知 其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝ ，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（ ，0），所以4× ＋φ＝ 2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－ ，k∈Z，所以f（x）＝ sin （4x＋2kπ－ ）＝ sin （4x－ ＋2kπ）＝ sin （4x－ ），k∈Z. 故f（π）＝ sin （4π－ ）＝ sin ＝－ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　已知图象求函数y＝A sin （ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0） 的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊 点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求 解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零 点的位置. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练1】　（1）已知函数f（x）＝A cos （ωx＋φ）（ω＞0，－π＜φ＜ 0）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　A　） A A. f（x）＝2 cos （2x－ ） B. f（x）＝2 cos （x－ ） C. f（x）＝2 cos （2x－ ） D. f（x）＝2 cos （3x－ ） 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 由图象可知A＝2， ＝ ＋ ＝ ，所以T＝π，故ω＝ ＝ 2，所以f（x）＝2 cos （2x＋φ），由f（x）图象过点（ ，2），所以2 cos （2× ＋φ）＝2，即 cos （ ＋φ）＝1，所以 ＋φ＝2kπ （k∈Z），由于－π＜φ＜0，所以φ＝－ ，所以f（x）＝2 cos （2x－ ）.故选A. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）（2025·河南洛阳一模）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，0 ＜φ＜π）的最小正周期为π，若将f（x）的图象向右平移 个单位长度后 所得的图象与曲线y＝f（x）关于直线x＝ 对称，则φ＝ 　 　. 　 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：因为函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）的最小正周期为π，且ω＞0，所以 ＝π，故ω＝2，所以f（x）＝ sin （2x＋φ），将f（x）的图象向右平移 个单位长度可得f（x－ ）的图象，因为f（x－ ）的图象与曲线y＝f（x）关于直线x＝ 对称，所以f（π－x）＝f（x－ ），即 sin （2π－2x＋φ）＝ sin （－2x＋φ）＝ sin （2x－ ＋φ），所以－2x＋φ＋2x－ ＋φ＝2kπ＋π（k∈Z）或2x－ ＋φ＋2x－φ＝2kπ（k∈Z）恒成立，化简可得2φ＝2kπ＋ （k∈Z）或4x＝2kπ＋ （k∈Z）（不是对任意实数x恒成立），解得φ＝kπ＋ （k∈Z），又0＜φ＜π，所以φ＝ . 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 考点二　单调性与最值 目 录 【例2】　（1）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在（1，2）上 单调递减，在（2，3）上单调递增，且圆x2＋y2＝r2（r＞0）内恰好包含f （x）的三个极值对应的点，则r的取值范围是（　B　） A. ［2， ） B. （ ， ］ C. （ ，3] D. ［ ， ） B 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 由已知f（x）在x＝2处取得最小值，∴ sin （2ω＋ ）＝－ 1，∴2ω＋ ＝2kπ－ （k∈Z），解得ω＝kπ－ （k∈Z），∵函数f （x）在（1，2）上单调递减，∴ ≥1，即 ≥1，∴0＜ω≤π，当k＝1 时，ω＝ ，T＝3，符合条件，∴f（x）＝ sin （ x＋ ）.由图象知y 轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点， ∴r的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点（2，－1）到原点的距离，小于等于原点左侧第二个极值对应的点（－ ，1）到原点的距离，即r∈（ ， ］.故选B. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷9题）对于函数f（x）＝ sin 2x和g （x）＝ sin （2x－ ），下列说法中正确的有（　BC　） A. f（x）与g（x）有相同的零点 B. f（x）与g（x）有相同的最大值 C. f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D. f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴 BC 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： A选项，令f（x）＝ sin 2x＝0，解得x＝ ，k∈Z，即为f （x）零点，令g（x）＝ sin （2x－ ）＝0，解得x＝ ＋ ，k∈Z，即 为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A错误；B选项，显然f （x）max＝g（x）max＝1，B正确；C选项，根据周期公式，f（x），g （x）的周期均为 ＝π，C正确；D选项，根据正弦函数的性质可知f （x）的对称轴满足2x＝kπ＋ ⇔x＝ ＋ ，k∈Z，g（x）的对称轴 满足2x－ ＝kπ＋ ⇔x＝ ＋ ，k∈Z，显然f（x），g（x）图象的 对称轴不同，D错误.故选B、C. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　（1）求三角函数单调区间的方法：把三角函数化为f （x）＝A sin （ωx＋φ）（ω＞0）或f（x）＝A cos （ωx＋φ）（ω＞0） 的形式，把ωx＋φ看作一个整体代入y＝ sin x或y＝ cos x相应的单调区间 解不等式即可； （2）求最值可化为y＝A sin （ωx＋φ）＋b的三角函数的最值问题，常利 用三角函数的单调性解决. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练2】　下列关于函数f（x）＝｜ sin 2x｜＋ cos 2x说法正确的是 （　　） A. （ ，0）是函数f（x）图象的一个对称中心 B. f（x）的值域为[－1， ] C. f（x）在区间［ ， ］上单调递减 D. 直线x＝ 是函数f（x）图象的一条对称轴 √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：令 sin 2x≥0，即2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，所以当kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z时，f（x）＝｜ sin 2x｜＋ cos 2x＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin （2x＋ ），由kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，所以2kπ＋ ≤2x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，所以f（x）∈[－1， ]；令 sin 2x＜0，即π＋2kπ＜2x＜2π＋2kπ，k∈Z，解得 ＋kπ＜x＜π＋kπ，k∈Z，所以当 ＋kπ＜x＜π＋kπ，k∈Z时，f（x）＝｜ sin 2x｜＋ cos 2x＝－ sin 2x＋ cos 2x＝－ sin （2x－ ），由 ＋kπ＜x＜π＋kπ，k∈Z，所以 ＋2kπ＜2x－ ＜ ＋2kπ，k∈Z，所以f（x）∈[－1， ]；综上可得，f（x）＝｜ sin 2x｜＋ cos 2x＝ 且f（x）的值域为[－1， ]，故B正确；作出函数f（x）的大致图象， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 由图可知f（x）不是中心对称图形，即没有对 称中心，故A错误；因为f（ ）＝ sin （2× ＋ ）＝ ，f（0）＝ sin （2×0＋ ）＝1，f（ ）＝ sin （2× ＋ ）＝－1，由图可知f（x）在［ ， ］上单调递减，在 ［ ， ］上单调递增，则f（x）在［ ， ］上不单调，故C错误；f（x）的对称轴为x＝ kπ，k∈Z，故D错误.故选B. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 突破点　ω，φ的范围问题 目 录 【例3】　（1）设函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx（ω＞0），若f（x＋π） ＝f（x）恒成立，且f（x）在［0， ］上存在零点，则ω的最小值为 （　C　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 C 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx＝ sin （ωx＋ ）（ω＞ 0），设函数f（x）的最小正周期为T，由f（x＋π）＝f（x）可得kT＝π （k∈N*），所以T＝ ＝ （k∈N*），即ω＝2k（k∈N*）；又函数f （x）在［0， ］上存在零点，且当x∈［0， ］时，ωx＋ ∈［ ， ＋ ］，所以 ＋ ≥π，即ω≥3.综上，ω的最小值为4.故选C. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）将函数y＝ sin 2x的图象向右平移φ（0＜φ＜ ）个单位长度得到f （x）的图象，若函数f（x）在区间［0， ］上单调递增，且f（x）的 最大负零点在区间（－ ，－ ）上，则φ的取值范围是（　B　） A. （ ， ］ B. （ ， ］ C. （ ， ） D. （ ， ） B 解析： f（x）＝ sin （2x－2φ），令2x－2φ＝kπ＋ ，则x＝ ＋ ＋φ，k∈Z. 故y轴右侧的第一条对称轴为x＝φ＋ ，左侧第一条对称轴 为x＝φ－ ， 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【点拨】 函数f（x）在区间D上单调递增，则区间D是f（x）单调递增区间的子区间 所以 所以 ≤φ≤ ，令f（x）＝0， 则2x－2φ＝kπ，故x ＝ ＋φ，k∈Z， 【点拨】 若φ＞0，f（x）的最大负零点一般是当k＝－1时取得 最大的负零点为x＝φ－ ，所以－ ＜φ－ ＜－ ，即 ＜φ＜ ，综 上， ＜φ≤ .故选B. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【变式】　〔创新命题角度〕已知a＝（ sin ωx， cos ωx－ ），b＝ （ cos ωx， cos ωx＋ ）（ω＞0），若函数f（x）＝a·b在区间[0，π] 上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数ω的取值范围是（　　） A. ［ ， ］ B. ［ ， ） C. ［ ， ］ D. ［ ， ） √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　f（x）＝a·b＝ sin ωx cos ωx＋ cos 2ωx－ ＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝ sin （2ωx＋ ），由于x∈[0，π]，可得2ωx＋ ∈［ ，2ωπ ＋ ］，由于函数f（x）恰好有5个最大值，4个最小值，则4×2π＋ ≤2ωπ＋ ＜4×2π＋ ，解得 ≤ω＜ .故选B. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【规律方法】　求ω取值范围的一般思路 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 【训练3】　（1）（2025·福建厦门期中）若直线x＝ 是曲线y＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）的一条对称轴，且函数y＝ sin （ωx－ ）在区间 ［0， ］上不单调，则ω的最小值为（　C　） A. 7 B. 9 C. 11 D. 15 C 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 因为直线x＝ 是y＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）的一条对称 轴，所以 ω－ ＝kπ＋ ，k∈Z，整理可得 ω＝kπ＋ ＋ ，即ω＝4k ＋3，k∈Z. 由－ ≤ωx－ ≤ ，得－ ≤x≤ ，则函数y＝ sin （ωx － ）在［－ ， ］上单调递增.因为函数y＝ sin （ωx－ ）在区间 ［0， ］上不单调，所以 ＜ ，解得ω＞9.因为ω＝4k＋3，k∈Z且ω ＞9，所以ω的最小值为11.故选C. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 （2）（2025·湖南常德一模）已知函数f（x）＝ cos （ωx－ ）（ω＞0） 在区间（－π，π）上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数ω的取值范围 是（　B　） A. （ ， ］ B. （ ， ］ C. （ ， ］ D. （ ，1］ B 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 当x∈（－π，π）时，ω＞0，ωx－ ∈（－ωπ－ ，ωπ－ ），由函数f（x）在区间（－π，π）上有且仅有1个零点和1条对称 轴，｜－ωπ－ ｜＞｜ωπ－ ｜，得 或 解得 或 则 ＜ ω≤ ，所以实数ω的取值范围是（ ， ］. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 真题体验 1. （2023·天津高考5题）已知函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝ 2，f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可能为（　　） A. f（x）＝ sin （ x） B. f（x）＝ cos （ x） C. f（x）＝ sin （ x） D. f（x）＝ cos （ x） √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　由三角函数的最小正周期T＝ ，可得y＝ sin （ x）与y＝ cos （ x）的最小正周期为4，而y＝ sin （ x）和y＝ cos （ x）的最小 正周期为8，故排除C、D；因为函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝ 2，所以f（x）在x＝2处取得最值.对于A，f（2）＝ sin （ ×2）＝ sin π ＝0；对于B，f（2）＝ cos （ ×2）＝ cos π＝－1，所以f（x）的解析式 可能为f（x）＝ cos （ x）.故选B. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 2. （2021·新高考Ⅰ卷4题）下列区间中，函数f（x）＝7 sin 的单调 递增区间是（　　） A. B. C. D. 解析：　法一（通解）　令－ ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z. 取k＝0，则－ ≤x≤ .因为 ⫋ ，所以区间 是函数f（x）的单调递增区间.故选A. √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 法二（优解）　因为 ＜ ＜ ＜π，但f ＝7 sin ＝7，f ＝7 sin ＜7，所以区间 不是函数f（x）的单调递增区间，排除B；因为 π＜ ＜ ＜ ，但f ＝7 sin π＝0，f ＝7 sin ＝－ ＜0，所以 区间 不是函数f（x）的单调递增区间，排除C；因为 ＜ ＜ ＜2π，但f ＝7 sin ＝－7 sin ＞－7，f ＝7 sin ＝－7，所 以区间 不是函数f（x）的单调递增区间，排除D. 故选A. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 3. （2022·新高考Ⅰ卷6题）记函数f（x）＝ sin ＋b（ω＞0）的最 小正周期为T. 若 ＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点 中心对 称，则f ＝（　　） A. 1 B. C. D. 3 √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　因为 ＜T＜π，所以 ＜ ＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f （x）的图象关于点 中心对称，所以b＝2，且 sin ＋b ＝2，即 sin ＝0，所以 ω＋ ＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所 以 ＜ ω＋ ＜ ，所以 ω＋ ＝4π，解得ω＝ ，所以f（x）＝ sin ＋2，所以f ＝ sin ＋2＝ sin ＋2＝1.故选A. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 4. （2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝ cos ωx－1（ω＞0）在区间 [0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ⁠. 解析：法一　由f（x）＝ cos ωx－1＝0，得 cos ωx＝1.设g（x）＝ cos ωx，x∈[0，2π].令t＝ωx，x∈[0，2π]，设g（t）＝ cos t，t∈[0， 2πω].因为方程g（x）＝1在[0，2π]上有且仅有3个根，所以4π≤2πω＜ 6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）. [2，3） 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 法二　函数f（x）＝ cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即 cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝ cos x在[0，2π]上的图 象可知， cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若 cos ωx＝1在区间[0， 2π]有且仅有3个根，则函数y＝ cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但 小于3个周期，即 又ω＞0，所以2≤ω＜3，即ω的取值范围 是[2，3）. 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 课时作业 （时间：60分钟，满分：84分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 函数f（x）＝x·tan x的奇偶性为（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 解析：　函数f（x）的定义域为{x｜x≠kπ＋ ，k∈Z}，关于原点对 称，又f（－x）＝（－x）tan（－x）＝xtan x＝f（x），故函数f（x） 为偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 2. （2025·湖南长沙模拟预测）函数f（x）＝｜ sin （2x＋ ）｜的最小 正周期是（　　） A. B. C. π D. 2π 解析：　因为函数y＝ sin （2x＋ ）的最小正周期T＝ ＝ ＝π，所 以函数f（x）＝｜ sin （2x＋ ）｜的最小正周期为 .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 3. （2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－ ）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析：　令x－ ＝ ，k∈Z，得x＝ ＋ ，k∈Z，故y＝2tan（x－ ）的图象的对称中心为（ ＋ ，0），k∈Z，由题意知a＝ ＋ ， k∈N，其最小值为 .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 4. 将函数f（x）＝3 sin （ x＋ ）的图象上各点向右平移 个单位长度 得函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间为（　　） A. ［2kπ－ ，2kπ＋ ］，k∈Z B. ［4kπ－ ，4kπ＋ ］，k∈Z C. ［6kπ－ ，6kπ＋ ］，k∈Z D. [4π，9π] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　将f（x）＝3 sin （ x＋ ）的图象向右平移 个单位长度 后，得到g（x）＝3 sin ［ （x－ ）＋ ］，即g（x）＝3 sin （ x＋ ）的图象，令2kπ－ ≤ x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，解得6kπ－ ≤x≤6kπ＋ ，k∈Z，所以g（x）的单调递增区间为［6kπ－ ，6kπ ＋ ］，k∈Z. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 5. （2025·陕西西安二模）已知ω＞0，函数f（x）＝ cos （ωx＋ ）－3的 最小正周期为T，若 ＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于直线x＝ 对 称，则f（－ ）＝（　　） A. －4 B. C. －2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　由 ＜T＜π，得 ＜ ＜π，解得2＜ω＜3，因为y＝f（x） 的图象关于直线x＝ 对称，所以 ω＋ ＝kπ，k∈Z，即ω＝ k－ ， k∈Z，所以ω＝ ×4－ ＝ ，则f（－ ）＝ cos ［ ×（－ ）＋ ］－3 ＝－4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 6. （2022·全国甲卷理11题）设函数f（x）＝ sin 在区间（0，π） 恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　依题意可得ω＞0，因为x∈（0，π），所以ωx＋ ∈（ ，ωπ＋ ），又y＝ sin x，x∈（ ，3π）的图象如图所示， 则 ＜ωπ＋ ≤3π，解得 ＜ω≤ ，即ω∈（ ， ］.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 7. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，ω＞0，A＞0） 的部分图象如图所示，若将f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到函 数g（x）的图象，则g（x）的解析式可以为（　　） A. g（x）＝2 sin （3x＋ ） B. g（x）＝2 cos （3x＋ ） C. g（x）＝2 sin （3x－ ） D. g（x）＝－2 cos （3x－ ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　由题意得 － π＝ ＝ T，所以T＝ ，故ω＝3，因为 3× ＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－ ＋2kπ，k∈Z，即f（x）＝A sin （3x－ ＋2kπ）＝A sin （3x－ ）.又因为f（ ）＝A sin （ － ） ＝A sin ＝－2，A＞0解得A＝2 ，即f（x）＝2 sin （3x－ ）.将 f（x）的图象向左平移 个单位长度，可得到函数g（x）＝2 sin ［3 （x＋ ）－ ］＝2 sin （3x＋ ）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 8. （2025·浙江金华二模）某美妙音乐的模型函数为f（x）＝ sin x＋ sin 2x＋ sin 3x，则关于该函数下列说法正确的是（　　） A. 最小正周期为3π B. 是偶函数 C. 在区间（－ ， ）上单调递增 D. 最大值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　A选项，f（x＋2π）＝ sin （x＋2π）＋ sin （2x＋4π）＋ sin （3x＋6π）＝ sin x＋ sin 2x＋ sin 3x＝f（x），A错误；B选项，f（－ x）＝ sin （－x）＋ sin （－2x）＋ sin （－3x）＝－ sin x－ sin 2x－ sin 3x＝－f（x），B错误；C选项，f'（x）＝ cos x＋ cos 2x＋ cos 3x， 当x∈（－ ， ）时，2x∈（－ ， ），3x∈（－ ， ），f'（x）＞ 0，函数单调递增，C正确；D选项， ＝1＋ ＋ ，当 sin x＝1时，x＝ ＋2kπ，此时， sin 2x＝0， sin 3x＝－ ，即三项无法同时取到最大 值，D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 已知函数g（x）＝ sin πx，h（x）＝πx＋π1－x，对于函数f（x）＝ ，下列结论中正确的是（　　） A. 函数f（x）是奇函数 B. 函数f（x）在区间[0，1]上单调递增 C. 函数f（x）的图象是轴对称图形 D. 函数f（x）在区间[－π，π]上有7个零点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 　因为g（x）为奇函数，而h（1）＝π＋1，h（－1）＝π2＋ ，所以h（x）＝πx＋π1－x为非奇非偶函数，所以f（x）为非奇非偶函 数，A不正确；因为f（0）＝f（1）＝0，所以函数f（x）不可能在[0， 1]上单调递增，B不正确；因为f（1－x）＝f（x），所以x＝ 是f（x） 图象的对称轴，C正确；因为f（x）＝0，则 sin πx＝0，即x＝k，k为整 数，所以f（x）在区间[－π，π]上的零点为－3，－2，－1，0，1，2， 3，共7个零点，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 10. 如图是因不慎丢失部分图象后，函数f（x）＝2tan（ωx＋φ）（ω＞ 0，｜φ｜＜ ）的局部图象，则下列结论正确的是（　　） A. f（x）的最小正周期为 B. （ ，0）是f（x）图象的一个对称中心 C. ｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z） D. f（x）的图象是由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移 个单位长度得到的 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 　由图象可知f（x）的最小正周期T＝ ×［ －（－ ）］＝ ，故A正确；由T＝ ＝ ，则ω＝2，即f（x）＝2tan（2x＋φ），由图 象的对称性可知（ ，0）为函数f（x）的一个对称中心，且在函数图象 上，所以f（ ）＝2tan（ ＋φ）＝0，因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，则f （x）＝2tan（2x－ ），当x＝ 时，f（ ）＝2tan（ － ）＝ 2≠0，所以（ ，0）不是f（x）图象的一个对称中心，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 令2x－ ＝ ，k∈Z，解得x＝ ＋ ，k∈Z，所以函数f（x）的对称 中心为（ ＋ ，0），则｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝ ＋ ， k∈Z，故C正确；由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到y＝2tan 2x，再向右平移 个单位长度，得到y＝ 2tan［2（x－ ）］＝2tan（2x－ ）≠f（x），故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 11. 已知函数f（x）＝2 cos （2x＋φ）（｜φ｜＜ ）的图象与函数g （x）＝ sin （ωx＋ ）的图象的对称中心完全相同，且在（0， ）上，f （x）有极小值，则（　　） A. f（φ）＝－2 B. g（φ）＝1 C. 函数f（x－ ）是偶函数 D. g（x）在（－ ，－ ）上单调递增 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 由题意，函数f（x）与g（x）的最小正周期相同，则｜ω｜＝2，且｜φ｜＜ .当ω＝2时，g（x）＝ sin （2x＋ ），其一个对称中心为（－ ，0），也是f（x）＝2 cos （2x＋φ）的一个对称中心，所以f（－ ）＝2 cos （－ ＋φ）＝0，所以φ＝ ＋kπ，k∈Z，又｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，所以f（x）＝2 cos （2x－ ），x∈（0， ），2x－ ∈（－ ， ），f（x）有极大值，无极小值，不合题意；当ω＝－2时，g（x）＝ sin （－2x＋ ）＝－ sin （2x－ ），其一个对称中心为（ ，0）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 也是f（x）＝2 cos （2x＋φ）的一个对称中心，所以f（ ）＝2 cos （ ＋φ）＝0，所以φ＝ ＋kπ，k∈Z，又｜φ｜＜ ，所以φ＝ ，所以f（x）＝2 cos （2x＋ ），x∈（0， ），2x＋ ∈（ ， ），f（x）有极小值，满足题意.f（φ）＝f（ ）＝2 cos π＝－2，g（φ）＝g（ ）＝ sin （－ ）＝－1，A项正确，B项不正确；f（x－ ）＝2 cos （2x－ ），不是偶函数，C项不正确；当－ ＜x＜－ 时，－ ＜2x－ ＜－ ，函数y＝ sin x在（－ ，－ ）上单调递减，则g（x）在（－ ，－ ）上单调递增，D项正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 将函数f（x）＝ sin （2x＋φ）图象上的每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象 关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值 ⁠. － （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：将函数f（x）＝ sin （2x＋φ）图象上的每个点的横坐标变为原来 的 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图 象对应的解析式为g（x）＝ sin ［4（x＋ ）＋φ］＝ sin （4x＋ ＋ φ），由题意知g（x）的图象关于y轴对称，所以 ＋φ＝ ＋kπ， k∈Z，解得φ＝kπ－ ，k∈Z，令k＝0，得φ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 13. 已知函数f（x）＝ sin （2ωx－ ）－1（ω＞0）在区间[0，π]上恰有 两个零点，则ω的取值范围是 ⁠. 解析：由0≤x≤π得－ ≤2ωx－ ≤2πω－ .令f（x）＝0，则 sin （2ωx － ）＝1在区间[0，π]上恰有两个实数根.令t＝2ωx－ ，则 sin t＝1在区 间［－ ，2πω－ ］上恰有两个实数根.结 合正弦函数图象与性质，可得 ≤2πω－ ＜ ，解得 ≤ω＜ . ［ ， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 14. （2025·山东泰安一模）已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋ ） cos ωx－ （ω＞0）的最小正周期为π，f（x）在（－ ， ）上的图象与直线y＝ a交于点A，B，与直线y＝ a交于点C，D，且｜AB｜＝2｜CD｜， 则a＝ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：因为f（x）＝2 sin （ωx＋ ） cos ωx－ ＝2 （ sin ωx· ＋ cos ωx· ） cos ωx－ ＝ sin ωx cos ωx＋ cos 2ωx－ ＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝ sin （2ωx＋ ）.又函数最小正周期为π，且ω＞0，所以 ＝π，即ω＝1，所以f（x）＝ sin （2x＋ ）.当x∈（－ ， ）时，2x＋ ∈（0，π），所以 sin （2x＋ ）∈（0，1].作函数f（x）＝ sin （2x＋ ），x∈（－ ， ）的草图如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 函数f（x）图象关于直线x＝ 对称.设｜CD｜＝2t，则B（ ＋2t，a），D（ ＋t， a），0＜t＜ ，所以 sin ［2（ ＋t）＋ ］＝ sin ［2（ ＋2t）＋ ］⇒ cos 2t＝ cos 4t⇒ cos 2t＝ （2 cos 22t－1）⇒2 cos 22t－ cos 2t－ ＝0，解得 cos 2t＝ 或 cos 2t＝－ （舍去），所以a＝ sin ［2（ ＋2t）＋ ］＝ cos 4t＝2 cos 22t－1＝2× －1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 高考新风向 15. （5分）〔创新知识交汇〕如图所示，将绘有函数f（x）＝M sin （ x ＋φ）（M＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成钝二面角，此二面 角的平面角为 ，此时A，B之间 的距离为3 ，则φ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析：　过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D， 在平面ACD内作AE∥x轴，DE⊥x轴交于点E，连接 AB，BE，则∠BDE是二面角的平面角，即∠BDE＝ ， BD＝DE＝M，则BE＝2BD cos ＝ M，由x轴垂直于 BD，DE，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，得x轴垂直于平面BDE，又AE∥x轴，则AE⊥平面BDE，而BE⊂平面BDE，因此AE⊥BE，又函数f（x）的周期T＝ ＝6，即AE＝CD＝3，由勾股定理得BE2＋AE2＝AB2，即3M2＋9＝18，解得M＝ ，而函数f（x）的图象过点（0， ），则f（0）＝ sin φ＝ ，即 sin φ＝ ，又0＜φ＜π，且0在f（x）的递减区间内，所以φ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 16. （6分）〔多选〕〔创新情境〕《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的 音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立 平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这 些点在函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的图象 上，且图象过最高点（ ，2），相邻最大值点与最小值点之间的水平距离 为 ，则下列说法正确的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 A. ωφ＝ B. 当x∈［0， ］时，f（x）的值域为[－ ，2] C. f（x）在区间［－ ， ］上单调递增 D. 将f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得 到的函数图象关于点 对称 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 解析： 　由题设知，函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）的周期满足 ＝ ＝ ，解得ω＝2，且A＝2，f（ ）＝2 sin （2× ＋φ）＝2，即 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，φ＝ ＋2kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜ ，则φ＝ ，所以f （x）＝2 sin （2x＋ ）.对于A，ωφ＝2× ＝ ，故A正确； 对于B，由 x∈［0， ］可得2x＋ ∈［ ， ］，故f（x）∈[－1，2]，故B错 误； 对于C，由x∈［－ ， ］可得2x＋ ∈［－ ， ］，结合正弦函 数的性质知f（x）在x∈［－ ， ］上单调递增，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 对于D，将f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不 变，即得g（x）＝f（ x）＝2 sin （x＋ ），因g（ ）＝2 sin （ ＋ ）≠0，即得到的函数图象不关于点（ ，0）对称，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 高考专题辅导与测试·数学·提升版 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $