平面向量最值（范围）问题（交互动画）高一数学

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平面向量最值（范围）问题典型例题 题型1求模的取值范围 1.已知平面向量ā，6，c满足园==.b=c.(a+2b-2)=2,则a-c的取值范围是(). A. √万-5万+5 「万-3万+3 2,2 3’3 c. 「V万-2万+2 2’2 2] 【详解】刻图，设a=oA,6=0丽，c=oc,c日-6：=-1 B D 由樱化恒等式得x(6:6=4,求的697。 所6到-5，两食到9 设0D-=a,o=5,则Om=OD+0i, 点C在以点F为圆心，半径为5的圆上，所以4P-香s口-小sAF+5 2 45 故选：A. 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知平面向量ā，五，，且=1.已知向量与所成的角为60°，且5-包≥万-对任意实数t恒成 立，则a+2+a-b的最小值为() A.V3+1 B.2W5 C.5 D.4 【详解】平方去绝对值号，由5-疤≥5-e,则万2-2b.+t2≥2-25.+2， 根据向量5与的条件可得6.8-， 化简可得-t+-1≥0， 令f)=-+-1,由于函数开口向上，所以需要满足△=-4+4≤0→△=(-2≤0，所以 =2 观察所求式子内部，两者相减可将ā约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即a+2e+a-b(a+2)-(a-b)l2+b, 又2e+=V4e2+4e.b+b2-V4+4+4=2W3, 则a+2+a-的最小值为2√3. 题型2求向量夹角的取值范围 1.已知a,b均为单位向量，且a+2bk3a-b1,则a与b的夹角的取值范围是() B可 【详解】因为a,b均为单位向量，所以a=2=1, 由|a+2五k3a-b1,得1a+2bP<3a-bP, 则a+4a.i+46<9a-6a.i+b, 则1+4ai+4<9-6a.6+1,即a6c号则coa=a6号 1ab21 因为0≤a≤元，所以雪sas元 则a与B的夹角的取值范围是（行 故选：D 2/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知oC=20A=4,O丽=，oc,设与4C的夹角为，则sne的最大值为 【详解】由已知oc=4,o=0=10,o=2 如图1，以点O为原点，OC为x的负方向建立平面直角坐标系， 则C(-4,0),B(-10,0),点A在以O为圆心，2为半径的圆上，记此圆为圆O, 则AB与AC的夹角B,即为∠BAC, B -10 图1 设A(2cosa,2sina),由对称性不妨设0≤≤π， 当a=0或a=兀时，0=0， 当0<a<元时，Se8c男ac-3m&6ma 又Sae-aCsn0,所以时国acm8=6sina,所以aad-12g. sine AB.AC=4B.ACcos0,4B-(-10-2cosa.-2sina),AC-(-4-2cosa.-2sina), 所以(-10-2cosa-2sina)-(←4-2csa,-2sima)=12smg. cose, sin 3×2sin 3sin a 2c02 所以tan8= 11+7cosa na)2 11 cos a 2+11sm2)+7cos2-7sm2 6tan 所以ano、 2 3 3√2 2 18+4 tan 9 -+2tan 2/184,故0∈0,2 2 2 =2ta 当且仅当ang “2,即tan &_35时等号成立， 22 2 此时ana=V2 故m0V ,又sin20+cos20=1, 4 c0S04 所以s血8-写因为y=s血x,y=mx在0，习到都单调递增。 1 所以s血8的最大值为3故答案为：3 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3极化恒等式求数量积的最值或范围 1.己知正△ABC内接于半径为2的圆O,E为线段BC上一动点，延长AE,交圆O于点F,则FA.FB 的取值范围为 【详解】如图，取AB中点为D,连结FD. 由条件可知AB=AC=BC=2√5，A.B=而2-1BA=FD-3. 因为点F在劣弧BC上，当点F在点B处时取最小值，当点F在点C处时取最大值， 所以V3≤FD≤3，所以FAFB∈[0,6] 故答案为：[0,6] 2.设P是△ABC所在平面内的一点，若2AP-BP-CP=2,则PA.PB+PA.PC的最小值为 【详解】 2P-BP-CP-24P+PB+PC-AP+PB+AP+PC=AB+AC=2 如图所示设BC中点为D,则AB+AC=2AD=2,所以AD=1: 设AD中点为O PA.PB+PA.PC=PA.(PB+PC)=2PA.PD=2(PO+0A)(PO+OD) -2P6+01(Po-04=2m 当且仅当P网=0，即点P与点0重合时，所历+PA元有最小值-号 故答案为：月 4/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型4坐标法求向量数量积的最值或范围 1.已知在矩形ABCD中，AB=2BC=2,若P是CD上的动点，求PA.PB-PA.BC的最小值. 【详解】建立平面直角坐标系，并标出各点坐标，其中F是PC的中点，如图 DPx,1)F5+1,1) PA.PB-PA.BC=PA.(PB-BC)=PA.(PB+CB=PA.2FB =2AP.BF A(0,0) B2,0)主 =2x-2+2--121. 当x=1时，等号成立，故PA.PB-PA.BC的最小值为1. 2.在△ABC中，已知AB=4,AC=8,∠BAC=60°，M为线段BC的中点，N为线段AC上一动点，则 MN.BN的最小值为 【详解】由AB=4,AC=8,∠BAC=60°， 所以BC=Ac-A-V(4c-AB=VAC+aB-24cA 6+16-2x4x8×=4V3 所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC, 如图，以点B为原点，建立平面直角坐标系， 则A(4,0),B(0,0),C(0,4W3),M(0,23),设AN=AC(0≤1≤1)， 则AN=Ac=(-4,4V3)=（-4元，432，BM=(0,23),BA=(4,0), 故BN=BA+AN=(-4+4,4W5,=BN-BM=(-4+4,4V32-2W5), 所以N.BN=(-42+4)+4W34W3元-2W3)=6422-561+16, 当2=乙时，B丽取得最小值，所以远8丽的最小值为}故答案为： 16 4 M B 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5基底法求向量数量积的最值或范围 1.在边K长为1的正方形ABCD中，点B为线段CD的三等分点，C5-号D5,函=+uBC,则 九+L= :F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF.DG的最小值为 【详解】因为CE-D驱，即西-}，则B服-Bc+C压-+BC, 又因为旺-+uBC,可得入行A=1,所以2子 4 因为正方形ABCD的边长为1，可得BC=BA=1,且BA.BC=0, 又因为F为线段B驱上的动点，设BF=kB正=kBA+kBC,且k∈[0,1]， 3 则示-丽+丽-丽+丽-（目k扇+kc, 医为G为申点，则c-a+aG-c+4--1+侵]ac 可得G-[G-a+kac6-a-(-c 0-小+传-小高 又因为k=0小所以当k=1时，示正取到最小值各 4， 故答案为：3；18 D 6/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.在等腰梯形ABCD中，己知AB/DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和 Dc上，且丽=c.DF-g7c,则亚的最小值为《) 1.20 B. 9 c. D. 18 【详解】在等腰梯形ABCD中，已知AB/1DC,AB=2,BC=1,且∠ABC=60°， 所以AD=BC=1,CD=2-2×1×cos60°=1，∠DAB=60°，∠ADC=∠BCD=120°， 因为BE=ABC,DF=是，DC,由题意知0<2≤1， 9元 D F 则A=A+8驱=AB+BC,AF=AD+DF=AD+1DC, 9元 所以AEAF=(AB+BC 〔40+或网-而+亚元-0+cc 92 =2×1×c0s60°+ ×2×1×cos0°+2×1×1×cos60°+-×1×1×c0s120 9 =1+2+11、17 2129 2 9221818V922-18 当员子即=专时等号成这，所以福，丽的最小植为 当且仅当22 3 18 题型6投影法求向量数量积的最值或范围 1.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥DC,AD=DC=2,AB=4,以四条边为直径向外作四个半 圆，点M是这四个半圆弧上的一个动点，则AM.AB的最大值是() A.8 B.16 C.12+125 D.12+4v2 5 【详解】要使AM.AB最大，AM与A正的夹角θ小于90°， 当点M在弧DC上时，AM.AB=A☑cos6:AB≤2.4=8， 7/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点M在弧AB上时，AM.AB=AM.cos6AE≤ABP=16, 当点M在弧BC上时，取线段BC中点为O, 则AM.AB=(AO+OM·AB=AO.AB+OM.AB =A0.4B.cos(A0,4B+OM AB.cos(OM,AB)=3x4+2x4xcos<OM,4B>, 所以当OM与AB同向时，cos<OM,AB>max=1,此时AM·AB最大值为12+4V互，故选：D. D B 2.已知平面向量a,4,4,a,4,G两两都不共线.若问=日-a=1, a4= 9=机284别：4何+4-a+区+风)的最大监是 【详解】国为a4-同民o仅4)=5同6e机2345)， 所以eosa,a）-9(e机234别，则a)-30 固定4=0A,又因为回=反-4=1，依次类推画出图象，如图所示： a=0B,a=0C,a=0D,a=0E,。=0F 则回=5，回=2或1，回=5，回=1或2，a=5 D C 4·(a2+4+4+4,+4)的最大值即所有向量在OA上的投影之和最大 (E) B 时，看图易得即当C取远离O时，E取靠近O时取得最大值， 4低4*国+4*国]万91a5ai59-6 故答案为：号 8/9 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型7定义法求向量数量积的最值或范围 1.已知平面向量ā，五，c均为单位向量，且a-=1,则(a-)(石-c)的最大值为() A. B. C.1 3 D:2 【详解】a-=-2a.万+万2=2-2a.万-1，ā.i- (a-)6-）-a.6-ac-+i-c=子1-(a-万)c =-号a--coa-b.c)=-分cos<a-i,c> ea--.a列6 即(a-)(石-c)的最大值为 故选：B 2.已知平面上三个不同的单位向量、云、：满足a.万=万正号若为平面内任意单位向量，则 a.e+3石.)+2(c.)的最大值为 【详解】因为a6=万G-号，且i、8、e为单位向量， 所以同5cos元6-cos五.c- 因为a,b∈[o,m,b,c∈[o,,a,ce[0,, 所以a与5.5与的夹角为子易得云与的夹角为所以ac-问elcosa.e-分 设a+36+2,e=日，由题意得a-e+3(石.e)+2(c.e)=(a+35+2c)e -a+38+20ecos0=a+36+2ccos0, a+36+2=Va+36+20)=Va2+9奶+462+6a.b+4a.c+126.e -94642, 2 又因为-1≤cos0≤l,所以a:e+3(石.e)+2(c.e)=a+36+2ccos6≤V2i, 所以最大值为√21 故答案为：√21. 9/9null