精品解析：黑龙江哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高二下学期限时训练1数学试题

黑龙江哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高二下学期限时训练1数学试题 一、单选题 1. 在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察总结规律，直接可写出第12个数. 【详解】观察可得，数列的第个数可以写为，所以第12个数为： . 故选：D 2. 已知椭圆 的一个焦点为，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 分析】根据焦点坐标可直接构造方程组求得结果. 【详解】由题意知焦点在轴上， 由题意知：，解得：. 故选：C. 3. 已知等比数列的各项均为正数，若，，则（ ） A. B. C. 27 D. 【答案】D 【解析】 【分析】等比数列，基本量的计算，设出公比，联立式子可求出，即可. 【详解】设的公比为，则，，． 因为，所以，因为，所以，所以． 因为的各项均为正数，所以．因为，所以． 故选：D 4. 方程表示圆，则a的范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆的一般方程，可知，计算即可. 【详解】根据圆的一般方程，可知，即，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查圆的一般方程，考查学生对基础知识的掌握. 5. 已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（ ） A. 9 B. 10 C. 10或11 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质知， 即． 又，故，则，，则， 则当取最小值时，. 故选：B． 6. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ） A. 23 B. C. D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，得，则，利用基本不等式求解，要注意等号成立时条件． 【详解】由题意，可知所有正整数为3，8，13，18，… 即数列为5的非负整数倍加3， 故， 数列是以3为首项，5为公差的等差数列， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，， 当时， 所以当时，取得最小值且最小值为. 故选：B. 二、多选题 7. 数列的前项和，则（ ） A. B. C. 数列有最小项 D. 是等差数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】对于A：因为，当时，故A正确； 对于B：当时， 所以， 经检验时也成立，所以， 所以，，则，故B错误； 对于C：因为，所以当或时取得最大值，且， 即数列有最大项，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确. 故选：AD 8. 下面说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 点在离心率为的椭圆上一点，、是椭圆的焦点，则的最大值为 C. 已知实数、满足，则的最小值为 D. 直线到点的距离是，到点的距离是，这样的直线有3条 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，由双曲线方程求出渐近线判断；对B，由题可得，当点为短轴顶点时，最大，运算得解；对C，由题点在圆上，表示点到原点的斜率，数形结合求解判断；对D，根据题意直线是以点为圆心，1为半径的圆的切线，也是以点为圆心，4为半径的圆的切线，即直线是两圆的公切线，判断两圆位置关系得解. 【详解】对于A，令，解得，所以双曲线的渐近线方程为，故A错误； 对于B，因为椭圆的离心率为，所以，得， 当点为短轴顶点时，最大，此时， 所以为正三角形，所以，故B正确； 对于C，由题点在圆上，表示点到原点的斜率， 如图，过原点圆的切线，切点为，因为，， 在中，易得，所以切线的斜率，由对称性知另一条切线的斜率为， 所以的取值范围为，故C错误； 对于D，由直线到点的距离是1，则直线是以点为圆心，1为半径的圆的切线， 同理，直线是以点为圆心，4为半径的圆的切线，即直线是两圆的公切线. 又两圆的圆心距， 故两圆外切，所以两圆的公切线只有3条，即直线有3条，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 9. 设等差数列中，，前项和为，则______． 【答案】30 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解． 【详解】等差数列中，根据等差数列的性质可知：， 即，则． 故答案为：30． 10. 已知数列为等比数列，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质直接求解即可． 【详解】由为等比数列，则， 又，则，即， 所以． 故答案为：． 四、解答题 11. 正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可求得等比数列的公比和首项，即可求得通项公式； （2）利用（1）的结果求得的表达式，根据等差数列的前n项和公式即可求得答案. 【小问1详解】 设正项等比数列的公比为，则． 由，，得， 解得，则，则， 故． 【小问2详解】 由（1）可知， 则是以1为首项，2为公差的等差数列， 故． 12. 已知数列满足，其中. （1）求证是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对任意的恒成立，求p的最小值. 【答案】（1）证明见解析，；（2）最小值为1. 【解析】 【分析】（1）根据，可得，从而可得，即可得出结论，再根据等差数列的通项即可求得数列的通项公式； （2），即，设，利用作差法证明数列单调递减，从而可得出答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，∴， ∴是以1为首项，1为公差等差数列. ，∴. （2）解：∵， ∴， 即对任意的恒成立， 而， 设， ∴， ， ∴， ∴数列单调递减， ∴当时，，∴. ∴p的最小值为1. 13. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】（1） （2） （3）当为的中点时，，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得双曲线的方程； （2）根据直线与圆相切得，设，则，从而，进而求得 （3）设直线的方程为，联立方程组，设，得到，得出直线的方程求得和，结合为的中点，列出方程求得，求得为定值，利用直角的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴， 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且 【小问3详解】 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高二下学期限时训练1数学试题 一、单选题 1. 在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆 的一个焦点为，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 3. 已知等比数列的各项均为正数，若，，则（ ） A. B. C. 27 D. 4. 方程表示圆，则a范围是（ ） A. 或 B. C. D. 5. 已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（ ） A. 9 B. 10 C. 10或11 D. 11 6. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ） A. 23 B. C. D. 33 二、多选题 7. 数列的前项和，则（ ） A. B. C. 数列有最小项 D. 是等差数列 8. 下面说法正确是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 点在离心率为的椭圆上一点，、是椭圆的焦点，则的最大值为 C. 已知实数、满足，则的最小值为 D. 直线到点距离是，到点的距离是，这样的直线有3条 三、填空题 9. 设等差数列中，，前项和为，则______． 10. 已知数列为等比数列，且，则______． 四、解答题 11. 在正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 12. 已知数列满足，其中. （1）求证是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对任意恒成立，求p的最小值. 13. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $