上分专题05 空间几何体的截面问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

上分专题05 空间几何体的截面问题 命题密钥 空间几何体的截面问题是立体几何知识的综合应用，主要考查对空间几何体结构特征和 平面基本性质的理解以及空间想象能力. 截面问题大致分为多面体的截面和球的截面两类，多面体的截面问题常以正方体、正四 面体、正棱锥等规则几何体为载体，其难点在于需要准确作出截面图形，再结合平面几何知识 计算相关量，如面积、周长、最值等；而球的截面问题常与几何体的外接球一起综合考查，求解 距离、截面面积、体积等量，难度较高： 考点觉醒 ●多面体的截面 有两点在几何体的同一个面上，连接这两点即为几何 直接法 体与截面的交线，找截面实际上就是找交线的过程 作平面截多 延长截面与多面体其中一个平面的交线至与其他平面 面体的截面 延长线法 的方法 相交，从而找到截面与已知多面体的其他平面的交线 平行线法 过截面与多面体的一个交点作截面内已知直线的平行 线，从而找到截面和已知多面体的其他交点 截面图形 题型分类 截面周长、面积 与截面有关的最值、范围问题 ●球的截面 用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，当截面过球心时 球的截面形状 截面的半径最大，即为球的半径 球心和截面圆心的连线与截面垂直 球的截面性质 球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r之间满足关系式： d=/R2-r2 黑白题·上分秘籍11 实战演练 题组1多面体的截面问题 4.熱(2025·江苏南通海安高级中学高一月 1.*★(2025·广东广州高一月考)如图，正三 考)已知四面体ABCD中，AB=CD=2,AD= 棱柱ABC-A'B'C'的所有边长都相等，P为线 段BB'的中点，Q为侧面BB'CC内的一点 BC=AC=BD=√6，则此四面体的体积 (包括边界，异于点P),过点A,P,Q作正三 为 若用平行于AB,CD的平面截此 棱柱的截面，则截面的形状不可能是( 四面体，得到截面四边形EFGH,则此四边形 EFGH的对角线EG的最小值为 A.五边形 B.四边形 C.等腰三角形 D.直角三角形 题组2：球的截面问题 2.整(2025·河北石家庄高一期中)如图，正 5.*★*(2025·浙江嘉兴高一期中)在半径为2 方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，B1P=2PC, 的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球 D1Q=3QC1,过B,P,Q三点的平面截该正方 体，则所截得的截面面积为 心的截面的面积为S,不过球心的任意非圆 D 面的截面的面积为S2,则 () A.S=S2 B.S>S2 C.S<S2 A.35 B.153 D.S,S2的大小关系不定 C.1515 D.321 6.整(2025·福建泉州高一期中)已知棱长 3.#(2025·黑龙江哈尔滨高一期中)如图 为6√6的正四面体与一个球相交，球与正四 所示，在正四棱台ABCD-ABCD1中，上底 面体的每个面所在平面的交线都为一个面 面边长为4，下底面边长为6，体积为76 3 积为9π的圆，则该球的表面积为() 点E为AD的中点，过点E的平面与平 A.48m B.72m 面D,AC平行，且与正四棱台相交得到截面 C.96m D.128m 多边形，则该截面多边形的周长为( 7.禁(2025·河南信阳高一期末)已知正三 棱锥A-BCD的外接球是球O,正三棱锥底边 BC=3,侧棱AB=25,点E在线段BD上， A.43 B.3√2 且2BE=DE,过点E作球O的截面，则所得 C.23+3√2 D.4√3+3√2 截面圆面积的取值范围是 12 数学|必修第二册·RJ△4，G为直角三角形，所以S6=号x1×号-是 1 24,所以 1 1x2x1-2 V三棱输-8，BC,=V三棱输B-48,41=3S64181G,×1M1=3×4X1=12 4.CD解析：如图，设BD∩AC=G,连接EG,DF,交点为H,分别延长 EG,FB交于点I,则根据题意可得G为DB的中点，又FB∥ED,从而 可得DE=BL又DE=2BF,所以DA-D=子，所以=三楼锥0-4C6 V?V三楼锥F-ACE F用了，所以3北，=2，所以A错误，C正确： DH 2 又Sa4Cm=5SaMc,且ED=2PB,所以兰-V三装E4C_ED 了2V三楼推r-ABC FB 2,所 以V1=2V2.又3V1=2V3,所以V3=3V2,所以B错误，D正确. E D H A - B B (第4题) (第5题) 5.C解析：如图，把几何体补全为长方体，则A,E=A,H= 1,AM1=√3，所以该几何体体积为V长方体4BCD-411CP1 4V三校能14，m=2x2xW3-4x1 *2x1x1xw3=105 31 6,8石解折：设内切圆半径为，两圆维的体积都为=号%= 6 3×m×12×2=2 m,则其公共部分为%=2× 4T,π 该正方体剩余部分的体积为V=2-2×V1+,=8- 87m 6 上分专题05空间几何体的截面问题 1.A解析：对于B:如图①，当PQ的延长线与线段B'C'(除端点外)相 交于点F时，延长PQ交CC的延长线于点D,连接AD交A'C'于点 E,连接EF,此时过点A,P,Q作正三棱柱的截面为四边形APFE(当 Q在线段B'C'(除端，点外)时裁面也为四边形)，故B正确； ② 3 对于A:当PQ的延长线与线段CC、BC(除B点外)相交（或点Q在 线段CC、BC(除B点外)上时)截面为三角形.结合B选项可知，截 面为三角形或四边形，不可能为五边形，故A错误； 对于C:如图②，取CC1的中点Q,连接PQ,AQ,又P为线段BB'的中 点，所以AP=AQ,所以△APQ为等腰三角形，故C正确； 对于D:如图③，取BC的中点Q,连接AQ,PQ,因为三棱柱ABC-A'B'C 为正三棱柱，所以AQ⊥BC.又BB'⊥平面ABC,AQC平面ABC,所以 参考答案 BB'⊥AQ.又BC∩BB'=B,BC,BB'C平面BB'CC,所以AO⊥平面 BB'CC.又PQC平面BB'CC,所以AQ⊥PQ,所以△APQ为直角三角 形，故D正确， D解析：如图①，延长BP交CG,于点R,则CC,即R为 CC1的中点，连接QR,取A,B1中点H,连接BH,则BH∥QR,所以 B,H,Q,R四点共面，故梯形QRBH即为截面图形，BH=BR=2QR= 2W5,QH=√17. 如图②，记BH边上的高为h,BN=x,则RB2-BN2=Q- (BH-QR-BN)2=h2→(25)2-x2=(17)2-(25-5-x)2=h2,解 得=45 h=205所以S形=分(QR+BHh=)x35× 5 2√/105 =3√21 D O C ① ② 3.D解析：如图①所示，过点A,作A,H⊥AC于点H,因为A,C,=42, AC=62,所以AH=√2，则四棱台的高为AH,则四棱台的体积为 ×(446+4x6)x4,n=76厘，解得4H=V五，所以按长 1 3 为AA1=√22+2=2W6. D. 4 ① ② 如图②所示，过点D1作D1F⊥AD于点F,过点A,作A1G⊥AD于点 G,由对称性可知DF=AG=6,牛=1，GF=A1D=4,所以AF=6-1=5 因为DD1=AA1=26,所以D1F=√24-I=√23，所以AD1= √25+23=45.同理CD1=AD1=43,如图①，分别在棱CD,DD1上 取中点M,N,连接EN,EM,MN,则平面EMN即为平面a,NE=MN= 1 2AD1=25,ME=2AC=32,所以截面多边形的周长为43+32 故选D. 4.专万解折：如图，将四面体ABCD补成长方体，设长方体的长、 宽、高分别为a,b,c 1a2+b2=AB2=4, 根据长方体面对角线的性质可得{a2+c2=AD2=6,三式相加得 b2+c2=AC2=6, 2(a2+b2+c2)=4+6+6=16,则a2+b2+c2=8. 分别求解可得c2=4,b2=2,a2=2,即a=√2，b=√2，c=2.因为四面 体ABCD的体积V等于长方体体积减去四个等体积的三棱锥体积 长方体体积”=ac=2x2x2=4.一个三棱锥的体积三ac2 x反x反x2=子四个三棱维体积4=4号-号，所以四面 1 体ABCD的体积V="-4W,=43=子 84 因为平面EFGH∥AB,平面EFGH,∥CD,平面ABCn平面EFCH=EF, 平面ABC∩AB=AB,根据面面平行的性质可知EF∥AB,同理 黑白题101 HC∥AB,EH∥CD,FG∥CD,所以四边形EFGH是平行四边形 设® 0<).则g1由△4△4CD,可得码怨 x因 AC 为CD=2,所以EH=2x由△CEFn△CMB,可得5=Cg=1-x因 为AB=2,所以EF=2(1-x). 因为a=√万，b=√2，补成的长方体上、下底面为正方形，可得AB1 CD,所以∠HEF=90°，则EG2=EH+HG2=EH+EF2 将EH=2x,EF=2(1-x)代入可得EGC2=(2x)2+[2(1-x)]2=4x2+ 4(1-2x+x2)=8x2-8x+4 令y=8x2-8x+4,0<x<1,这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴 28分当=时，y取得最小值，m=8x()”-8× -81 为x= 1 2 +4=2,所以EGmn=√2. B B C (第4题) (第6题) 5.A解析：过球心的截面为一个圆环，外半径为2，内半径为1，其面积 为S1=π(22-12)=3π；设球心到不过球心的任意非圆面的截面的距 离为d,则该截面的面积S2=π[(22-d2)-（12-d2)]=3π，所以 S1=S2 6.B解析：由对称性，可知球心与正四面体重心重合，由于球与正四面 体的每个面所在平面的交线都为一个面积为9π的圆，故每个面的交 线为半径为3的圆 设球心为0，H为△BCD的中心，则AB=6v6,故B= 66 2im60 6V2,故AH=√AB2-HB2=12. 设球心到任意面的距离为h,则由等体积法可得h V三棱维A-BCD= 1 3X4SMACD 1,SABCD·HA1 4· S△ACD =4A=3, 如图，连接球心与任意面中心，则连线长为3，且连线垂直该面，再连 交线圆上一点与球心（即为球的半径），由勾股定理得球的半径为3 2,则表面积为4r·(32)2=72m. 7.[2m,4m]解析：如图，设△BDC的中心为01，球0的半径为R,连 接0，D,00,0E,0B,则0，D=3×号m号=5,40，= √/AD2-D012=3. 在Rt△O01D中，R2=3+(3-R)2,解得R=2.因为BD=3BE,所以 DE=2. 在△DB0,中，0，E=√3+4-2xW5×2xc0 T =1,所以0E= 6 √01E2+00,7=2. 过点E作圆0的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时 截面圆的半径为r=√22-(2)=2，最小面积为2π； 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π. 所以截面圆面积的取值范围是[2π，4π]. A 必修第二册·RJ 上分专题06空间几何体的内切球 与外接球问题 1.B解析：如图，△SAB是该圆锥的轴截面，H为线段AB的中点，O为 球0的感心，作0CLs,垂足为C,则如∠0心-S阳 因为△SAB为等边三角形，所以BS=2BH,所以OCB班1 OS BS 2' 所以OS=20C=4,所以SH=6,所以BS=2BH=4W3, 那么该圆锥的表面积为·(25)2+×45mx45=36m 2.A解析：如图，设两球半径分别为R,r,球心O1和02在正方体体对 角线AC上，过O1,O,分别作AD,BC的垂线，垂足分别为E,F, 由图可得A01+0,O2+02C=AC,即W3r+(r+R)+√3R=√3(3+√3)， (5+1)(R+r)=3(5+1),所以R+r=3, 4 4 故两球体积之和为V=子π(R+r)=子m(r+R)(R2-+广)= 4m[(R+r)2-3rR]=4π[32-3R(3-R)]=4m(3R2-9R+9), 由二次函数性质可知：当且仅当R=r)时，V有最小值9m (第2题) (第3题) 3.32m 3 解析：设正八面体内切球半径为R,给正八面体标出字母如图 所示，连接AC和BD交于点O,因为EA=EC,ED=EB,所以EO⊥AC, EO⊥BD.又AC和BD交于点O,AC,BDC平面ABCD,所以EO⊥平 面ABCD,所以O为正八面体的中心，所以O到八个面的距离相等，距 离即为内切球半径设内切球与平面EBC切于点H,所以OH⊥平面 EBC,所以OH即为正八面体内切球半径，所以R=OH, 因为正八面体的棱长为4，所以EB=EC=BC=4,OB=OC=2W2,E0= VE®082a,所以swac*号c·√-（分c了安 4×√16-4=45，SA0Bc=4. 因为VE袋s城=VE袋-了XSao版xB0=了x5axc×0H,所以 O1=26,即R=26,所以正八面体内切球的表面积为4mR2=32分 3 4.子解折：设甲圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为R， 可得R1+r1=2h,又由(R1-T1)2=(2h)2-h2=3h2,即R1-r1=√5h,联 ,(R1+r1=2h, 立方程组 (R1-r1=5h 可得代=子2，R=子公，所以甲圆台 5 的体积为V=3π(+R1+)·h=子h,设乙圆台的上底面圆 的半径为r2,下底面圆的半径为R2,可得R2+r2=3h. 黑白题102