上分专题04 计算几何体体积的常用方法-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

上分专题04计算几何体体积的常用方法 是课 命题密钥 近三年的高考中，空间几何体的体积作为常考内容，多以选择题或填空题出现，偶尔也会 在解答题中作为一个小问出现 几何体体积的命题形式多样，其中直接求解几何体体积的题目难度不高，着重考查对于 基本公式及基础知识的掌握，如2024年新课标I卷的第5题；部分题目可能涉及复杂空间图 形的体积求解，或将几何体体积作为条件出现，与空间角与空间距离结合，难度偏高，如 2025年北京卷第14题，2024年新课标Ⅱ卷第7题！ 考点觉醒 ·基础知识 几何体 体积公式 柱体 V=Sh 锥体 台体 (5+sM 球体 33 ●常用方法 公式法 直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可 等体积 等体积变换法一般情况下针对三棱锥的体积问题，通过“换底” 变换法 使新底面所对应的高简单易求 把不规则的几何体分割成规则的几何体，再利用体积计 分割法 算公式求解 割补法 把不规则的几何体补成规则的几何体，常见的补形有： ①将正四面体补形成正方体； 补形法 ②将对棱相等的三棱锥补形成长方体； ③将三条棱两两垂直的三棱锥补形成长方体： ④将台体补形成锥体等 黑白题·上分秘籍09 实战演练 题组1公式法 4.(多选)如图，四边形ABCD为正方形， 1.(2025·安徽合肥高一期末)已知在平行 DL平面ABCD,FB/∥ED,ED=)AB=2FB, 六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=23,AC= 记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分 6,AA'=√J13,AC∩BD=0,且A'0⊥平面 ABCD,则该平行六面体的体积为 别为V,V2,V3,有如下的结论，其中正确的是 A.126 B.123 () C.46 D.43 A.V=V3 B.V2=V3 2.*(2025·浙江宁波高一期末)如图，一个 C.2V3=3V D.V3=3V2 底面半径为2dm,母线长为2,5dm的圆锥 题组3割补法 形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥 5.*(2025·湖北武汉高一月考)如图，该几 底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度 何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行 的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正 恰好为圆维的高的2，则当圆锥的顶点在桌 方形的四个顶点在下底面的射影点为下底 面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高 面正方形各边的中点.若下底面正方形边长 度为 为2，“四角反棱台”高为√3，则该几何体体 积为 () 6 20 A.23+ B. 3 A.7 dm B.2 dm 103 C. D.20 C.3 dm D.27 dm 3 题组2等体积变换法 3.*(2025·福建莆田高一期中)如图，在三 棱台ABC-A,BC1中，AA1⊥底面ABC, AB⊥AC,CC1与底面ABC所成的角为 45°，AB=√2，A1C1=AA1=1,则三棱锥A1- (第5题) (第6题) B1BC的体积为 ( 6.如图，实心正方体ABCD-A1B1C,D1的棱 √2 A. B 2 长为2，其中上、下底面的中心分别为R,Q D. 2 6 12 若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个 圆锥以R为顶点，以正方形A,B,C,D1的内切 B 圆为底面，另一个圆锥以Q为顶点，以正方 D 形ABCD的内切圆为底面，则该正方体剩余 部分的体积为 (第3题) (第4题) 10数学1必修第二册·RJ9.92 16 解析：a2-2 abc=c2-2aba+-c=2-2=(6-e2= 2ab b2+c2-2bc,即2b2=2bc→b=c,即B=C.又b=sinB,所以a= 血A,e=如C又BD为AAC的中线所以励：（成，d,办 子（ai+2=(e+a2+2amB)=（(ng+(m-2B)+ 2a2)mBg)(528+22B） 2 g(-4as28-om2845)=[(m2B+日）广8] 又△ABC为锐角三角形，所以2Be（7,m),o2B∈(-1,0)， 即cam2B=名时，励 92 10.解：(1)因为∠CDA+∠CDB=T,所以cos∠CDA+cos∠CDB=0.因为 市=2成，所以4D=2 ，BD=号，所以D02AC 2CD·AD CD2+BD2-BC=0,即 -=0,所以4+ 2CD·BD 2x2x 2e 3 2x2×3 (台）广-+82(5）广-2s=0,所以+212+子 因为c2=a2+b2-2 abcos LACB=a2+b2-ab,所以b2+2a2-12+ 子断ugg-12号 因为62,4a2、 智号≥后号质似2-子6行所以 ah≤6，当且仅当-40即6=2a=2w5时，等号成立 33 因为Sacn∠4CB=月e,所以△ABC商积的最大 值为 (2)因为∠CDB=120°，所以∠CDA=60°，在△CDB中，利用余弦定 理得，CB2=CD2+BD2-2CD·BD·co8120°，即a2=4+ (分）‘-2x2x宁xm120=4+号台 9T3 同理，在△C0A中利用余弦定理得62=4+（子）】 2 -2×2×3c× c0s60°=4+ 所以 44c24e 934c2-12c+36 4422 c2+6c+36 93 4c2+24c+144-36c-108 =4- 36(c+3) =4- 36(c+3) = c2+6c+36 2+6c+36 (c+3)2+27 (c*3427因为c*3)+27 4- 36 tc+3≥2√/(c+3).27 =63,所以当且 c+3 c+3 仪当43号即：=35-时等号成立.此时学取最小值同合取 最小值，即2品取得最小值，此时，B0=了=厅-1 1 11.解：(1)如图，连接BD,在△BCD中，由余弦 定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos120°= ()(）广-2x( (）-1060,则80=10m×8c=cD,c ∠CDB=∠CBD=180°-120 =30° 2 必修第二册·RJ 又∠EBC=90°，∴.∠EBD=60°.在△EBD中，BD=100m,DE= 1005m,∠EBD=60,由正弦定理可得1005- 100 sin60。sin LBED' 六sinBED=-2又0°<LBED<150,则∠BED=30°， 1 LBDE=90°，BE=√BD2+DE=200(m),Sa8co=2× 1005×1005×5_2500,3 3 32 3 (m2),SAE=号×100x100万9 505(m2)SE=SAcn+5ABe-2505+500,/5. 3 17503(m2)- 3 (2)设∠ABE=a(0°<a<120°)，由∠BAE=60°，得∠AEB=120°-a. 在△ABE中，由正弦定理有。AB AE BE sin LAEB=sin LABE sinL BAE 3,AB=4003 BE200400W5 又：in L BAE万 in(120°-a),AE= 3 848+AE:g5n(120-)+m 400/5 3 3 -sin a= 3°(sin120°casa-eos120°sina+sina）=40sin(a+30).又0°< 4003 a<120°，.30°<a+30°<150°，当a+30°=90°，即a=60°时，AB+AE取 得最大值40m又BC+CD+DB+BE=1005,1005+105+200= 3 3 3°+200m,则AB+BC+CD+DE+EA+BE≥60+5005， 500w3 3°，所以 游览区的主要道路的总长度的最大值为60+5005) 3 m 上分专题04计算几何体体积的常用方法 1.B解析：如图所示，因为在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AC=6,所 以A0=7AC=3.因为AB=AD=25,所以B0=√AB2-A02= √(23)2-32=5.因为BD=2B0=25, D' 则SABCD=2 子x4 ACx BD=2x6x25= 1 65.因为A'0⊥平面ABCD,所以A'0= Di0--7 √4)2-A02=√(13)2-32=2，该平 行六面体的体积V=S。ABc0×4'0=125. 2.D解析：因为圆锥的底面半径为2dm,母线长为2√5dm,所以高为 √(25)2-22=4(dm).当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面 的高度恰好为圆锥的高的了，所以液面的半径为1血，此时液体的 体积为V=号(P+241x2)x2-14(dm)； 3 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒 立的圆维，设圆锥的底面半径为，加，高为A血，则有冬分， 即6=2，此时减体的体积为y号行，由子.1得 7,所以h=27. 3.D解析：因为AA1⊥底面ABC,AA1C平面ACC,A1,所以平面 ACC1A1⊥底面ABC,所以∠C1CA即为CC1与底面ABC所成的角，为 45°.因为A1C1=A41=1,所以AC=1+1=2.根据棱台的概念，可知 合格且=反，质以-空因为上G,质以 黑白题100 △4，G为直角三角形，所以S6=号x1×号-是 1 24,所以 1 1x2x1-2 V三棱输-8，BC,=V三棱输B-48,41=3S64181G,×1M1=3×4X1=12 4.CD解析：如图，设BD∩AC=G,连接EG,DF,交点为H,分别延长 EG,FB交于点I,则根据题意可得G为DB的中点，又FB∥ED,从而 可得DE=BL又DE=2BF,所以DA-D=子，所以=三楼锥0-4C6 V?V三楼锥F-ACE F用了，所以3北，=2，所以A错误，C正确： DH 2 又Sa4Cm=5SaMc,且ED=2PB,所以兰-V三装E4C_ED 了2V三楼推r-ABC FB 2,所 以V1=2V2.又3V1=2V3,所以V3=3V2,所以B错误，D正确. E D H A - B B (第4题) (第5题) 5.C解析：如图，把几何体补全为长方体，则A,E=A,H= 1,AM1=√3，所以该几何体体积为V长方体4BCD-411CP1 4V三校能14，m=2x2xW3-4x1 *2x1x1xw3=105 31 6,8石解折：设内切圆半径为，两圆维的体积都为=号%= 6 3×m×12×2=2 m,则其公共部分为%=2× 4T,π 该正方体剩余部分的体积为V=2-2×V1+,=8- 87m 6 上分专题05空间几何体的截面问题 1.A解析：对于B:如图①，当PQ的延长线与线段B'C'(除端点外)相 交于点F时，延长PQ交CC的延长线于点D,连接AD交A'C'于点 E,连接EF,此时过点A,P,Q作正三棱柱的截面为四边形APFE(当 Q在线段B'C'(除端，点外)时裁面也为四边形)，故B正确； ② 3 对于A:当PQ的延长线与线段CC、BC(除B点外)相交（或点Q在 线段CC、BC(除B点外)上时)截面为三角形.结合B选项可知，截 面为三角形或四边形，不可能为五边形，故A错误； 对于C:如图②，取CC1的中点Q,连接PQ,AQ,又P为线段BB'的中 点，所以AP=AQ,所以△APQ为等腰三角形，故C正确； 对于D:如图③，取BC的中点Q,连接AQ,PQ,因为三棱柱ABC-A'B'C 为正三棱柱，所以AQ⊥BC.又BB'⊥平面ABC,AQC平面ABC,所以 参考答案 BB'⊥AQ.又BC∩BB'=B,BC,BB'C平面BB'CC,所以AO⊥平面 BB'CC.又PQC平面BB'CC,所以AQ⊥PQ,所以△APQ为直角三角 形，故D正确， D解析：如图①，延长BP交CG,于点R,则CC,即R为 CC1的中点，连接QR,取A,B1中点H,连接BH,则BH∥QR,所以 B,H,Q,R四点共面，故梯形QRBH即为截面图形，BH=BR=2QR= 2W5,QH=√17. 如图②，记BH边上的高为h,BN=x,则RB2-BN2=Q- (BH-QR-BN)2=h2→(25)2-x2=(17)2-(25-5-x)2=h2,解 得=45 h=205所以S形=分(QR+BHh=)x35× 5 2√/105 =3√21 D O C ① ② 3.D解析：如图①所示，过点A,作A,H⊥AC于点H,因为A,C,=42, AC=62,所以AH=√2，则四棱台的高为AH,则四棱台的体积为 ×(446+4x6)x4,n=76厘，解得4H=V五，所以按长 1 3 为AA1=√22+2=2W6. D. 4 ① ② 如图②所示，过点D1作D1F⊥AD于点F,过点A,作A1G⊥AD于点 G,由对称性可知DF=AG=6,牛=1，GF=A1D=4,所以AF=6-1=5 因为DD1=AA1=26,所以D1F=√24-I=√23，所以AD1= √25+23=45.同理CD1=AD1=43,如图①，分别在棱CD,DD1上 取中点M,N,连接EN,EM,MN,则平面EMN即为平面a,NE=MN= 1 2AD1=25,ME=2AC=32,所以截面多边形的周长为43+32 故选D. 4.专万解折：如图，将四面体ABCD补成长方体，设长方体的长、 宽、高分别为a,b,c 1a2+b2=AB2=4, 根据长方体面对角线的性质可得{a2+c2=AD2=6,三式相加得 b2+c2=AC2=6, 2(a2+b2+c2)=4+6+6=16,则a2+b2+c2=8. 分别求解可得c2=4,b2=2,a2=2,即a=√2，b=√2，c=2.因为四面 体ABCD的体积V等于长方体体积减去四个等体积的三棱锥体积 长方体体积”=ac=2x2x2=4.一个三棱锥的体积三ac2 x反x反x2=子四个三棱维体积4=4号-号，所以四面 1 体ABCD的体积V="-4W,=43=子 84 因为平面EFGH∥AB,平面EFGH,∥CD,平面ABCn平面EFCH=EF, 平面ABC∩AB=AB,根据面面平行的性质可知EF∥AB,同理 黑白题101