上分专题03 余弦定理、正弦定理的应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题课堂 上分专题03 余弦定理、正弦定理的应用 命题密钥 解三角形是高考中的热点问题，其着重考查三角形中的边角转化，以及利用正、余弦定理 处理平面图形中边、角与面积的能力， 在考试中，题型涵盖选择题、填空题及解答题，多与三角恒等变换综合考查，基础题及中 档题均可出现，如2025年全国二卷第5题、2025年全国一卷第11题 考点觉醒 ●基础知识 已知R为△ABC外接圆半径，则 a=2RsinA,b=2Rsin B,c=2Rsin C 正弦定理 sin A= 2R,sin B=b a RmG元 a:b:c=sin A:sin B:sin C 公式常 a2+b2-c2 见变形 余弦定理 cos A=b2+c2-a2 2bc,cos B=a'+e2-b2 2ac cos C= 2ab a2=b2+c2-2bc·cosA=(6+c)2-2bc-2bc·cosA(其余同理) 已知r为△ABC内切圆半径，R为△ABC外接圆半径，则 面积公式 -absin C=br=in Asin Bsin Cah SSA、AAS、ASA 正弦定理 条件中包含齐次式 正、余弦定 理的选择 SSS、SAS、SSA 余弦定理 条件中含有余弦或出现a2,b2,c2 ●解三角形中的最值与取值范围问题 在△ABC中，已知a与角A,求bc或b+c2最值时，常利 基本不等式 用正、余弦定理角化边，写出关于bc和b+c的恒等式 常用 再利用基本不等式求解 方法 将所求的式子转化为只含有一个角的三角函数形式， 角函数性质 结合角的范围，进一步确定所求式子的范围 06 数学|必修第二册·RJ 实战演练 1.**(2025·浙江宁波高一期末)在△ABC4.禁(2025·浙江嘉兴高一期末)记△ABC 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 3,c=2,且a-1=√3cosC,则sinA= B= △4BC的面积为20，且+02=0a,点M在 其内部，满足△MAB,△MAC,△MBC的面积 A.6+v2 2 B. 之比为1：1：3.若BM=4,则CM=（) 4 2 C.6-2 A.4 B.6 1 4 0 C.43 D.63 2.*(2025·福建厦门高一期中)如图，在平 5.转（多选）(2025·四川雅安高一月考)已 面四边形ABDC中，AB=2√7，CD=4, 知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a, ∠ABC=30°，AC⊥CB,∠BDC=120°，则DB 的长为 b,c,p= ( 2(a+b+c),则△ABC的面积S= A.1 B.√3 √p(p-a)(p-b)(p-c),这个公式为海伦公 C.2 D.5 式，是以古希腊数学家海伦的名字命名的.下 北 北 列结论正确的是 () A.若△ABC内切圆的半径为r,则p=(p a)(p-b)(p-c) (第2题) (第3题) B.若△ABC不是正三角形，则△ABC的面 3.**(2025·江苏连云港高一期中)一船在 积S满足4√3S<a2+b2+c2 海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方 C.△ABC的面积S=√c2-(A正·AG2 位角为北偏东α，前进m千米后在B处测得 该岛的方位角为北偏东B,已知该岛周围 D.若b+c=6,a=4,则△ABC面积的最大值 n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继 为25 续东行，若该船没有触礁危险，则α，B满足 6.禁(2025·河北石家庄高一月考)如果锐 的条件为 角△ABC的外接圆圆心为O,则点O到 Dmcos acos B>nsin(a-B); △ABC三边的距离之比为 () 2mcos acos B<nsin(a-B); A.sin A sin B:sin C ③<tana-tanB; B.cos A:cos B cos C B ④m>tana-tanB C.sin 2:sin 2 sin 2 A.①③ B.②③ A B C.①④ D.②④ D.cos 2:cos cos 2 黑白题·上分秘籍07 7.整（多选）(2025·福建福州高一期末)在11.格(2025·河北邯郸高一期中)某景区为 △ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, 了吸引游客，计划建设一个五边形区域 b,c,已知a,b,c为连续正整数，且a<b<c,则 ABCDE的游览区，如图所示，其中三角形区 下列说法正确的是 () 域ABE为观赏区，四边形区域BCDE为游 A.存在唯一的△ABC,使得C=2π 乐场活动区，AB,BC,CD,DE,EA,BE为游 览区的主要道路（不考虑宽度），且∠BAE= B.存在唯一的△ABC,使得C-=习 60°，∠EBC=90°，∠BCD=120°，DE= C.存在唯一的△ABC,使得3A+B=T 1003m,BC=CD=1003 3m. D.不存在△ABC,使得sin Bsin C=cosB· (1)求四边形BCDE的面积； cos C+cos3 (2)求游览区的主要道路的总长度的最 大值. 8.*(2025·江苏南通高一期中)在△ABC 巾，已知合号则Ac的形 状为 9.#(2025·山东淄博高一期末)在锐角 △ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且a2-2 abcos C=(b-c)2,b=sinB,则△ABC 的中线BD的最大值为 10.禁(2025·广东深圳高一期中)△ABC的 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC 所在平面内有一点D满足AD=2DB,且 CD=2. (1)若∠ACB=60°，求△ABC面积的最 大值： (2)若∠CDB=120,当C取得最小值时， BC 求BD的值 08数学|必修第二册·RJ平方得0心=0+210i1·101cos0+0,即(4-t)2=4+2× 24,解得cos0=2-2因为：e[1,3],所以cm0=2-2e [-1,1],故0i,0夹角的余弦的最小值为-1. 上分专题03余弦定理、正弦定理的应用 1.D解析：在△ABC中，由a-1=√3cosC,得a=1+√5cosC,而B= 号=2，由正弦定理品AC得nC(1+5amC) 2m4=2sn(c+号）nC+万msC,整理得血CsC=ousC因 此asC=0或mC=1解得C=号A=石，所以加A=子 2.A解析：在△ABC中，AB=2√7，∠ABC=30°，AC⊥CB,可得 BC=ABCs LABC=2 2 =√21.在△BCD中，CD=4,∠BDC= 120°，BC=√2I,由余弦定理可得BC2=CD2+BD2-2CD·BD· 1 cos∠BDC,即21=16+BD2-2x4BDx(2),即BD2+4BD-5=0,解 得BD=1(负值已舍去)，即BD的长为1. 3.C解析：由题意可知∠MAB= 2 -a,∠AMB=a-B,如图，过点M 作MC⊥AB于点C,设CM=x,根据正弦定理可得 in(a-B) BM BM ,所以BM=mcos& sin(a-β) .又因为x=BM·cosB= cos a' mcos acos B >n时设有触礁危险，即mcos acos B>nsin(a-B),故①正 sin(a-B) 确； m、sin(a-B) =tana-tanB,④正确. n cos acos B 4北 +北 B B D (第3题) (第4题) 4.B解析：如图，延长AM交BC于D,因为△MAB,△MAC的面积之比 为1：1，所以D是BC的中点.因为△MAB,△MAC面积之和与 △MBC面积之比为2：3，所以AM=2 AD2a2 又因为cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以 =0. 2A0分2A0 a 又因为-，求得0=名。，所以D=号40=-C, 则BLCM.又△ABC的面积为20，所以SAC= 5 SAABG 12= M:a,解得CM=6 5.ABD解析：因为△ABC内切圆的半径为，所以S=2(a+b+c)·r pr.又S=√p(p-a)(p-b)(p-c),所以pr=√p(p-a)(p-b)(p-c),整 理得2p=(p-a)(p-b)(p-c),A正确； a2+62+c2-43S=262+2c2-2bccos A-23 bcsin A=2(62+e2)- 4c血(4+石）≥2(B2+2)-4c=2(6-e2≥0.当且仅当△4Bc 参考答案 是正三角形时，等号成立，所以当△ABC不是正三角形时，4√5S<a2+ b2+c2,B正确. △MBC的面积s=子nA=子c·V个-m万=子c: √小-（士-(，G不正商： 因为b+c=6,a=4,所以p=2（a+6+c)=5,则§ Vpp-a0-b0p-Q=v55-65-o≤5.5-+5-c=25.当 2 且仅当b=c=3时，等号成立，D正确. 6.B解析：如图，设外接圆半径为R,连接OA,OB, OC,在三角形ABC中，a,b,c的对角分别为A,B, C,设点O到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别 为de,db,da 0 由锐角△ABC知cosC,cosB,cosA均为正数， 由外接圆知乙A0B=2∠C,所以SAm=宁2. =R2im2C=R2 sin Coos C.同理：SAOC=R2 sin Bo3B, sinLAOB=2 SAROC?=R2 sin Acos A,所以S AAOR:SAAOC:S△B0c=sin Ceos C: sin Bcos B:sin Acos A.由正弦定理得c:b:a=sinC:sinB:sinA, 所以SAA0B:SAAOC:SABOC=ceos C:bcos B:acos A.. 又S AAOB:S△Aoc:S△Boc=cd。:bd,:ada,所以cd。:bd,:ad。= ccos C:bcos B:acosA,所以d。:d6:d。=cosC:cosB:cosA. 7.BCD解析：设a=n-1,b=n,c=n+1,且n≥3，neZ, 若存在唯一的△ABC,使得C=红，则sC=a+6.2 2ab “-a子条得n=子又子不为整数故不存在 2n(n-1) △4BC,使得C=,故A错误 若存在唯-的△ABc,使得C=受则需满足a2+62=,即(a=1)2+ n2=(n+1)2,解得n=4或n=0(舍去)，故B正确； 若存在唯一的△ABC,使得3A+B=π.因为A+B+C=T,所以C=2A,所 以i血C=im2A,即i血C=2 sin Acos A,即c=2a.6+c-a2因此6e2 2bc a(b2+c2-a2),即(b-a)c2=a(b2-a2),所以c2=a(b+a),所以 (n+1)2=(n-1)(2n-1),解得n=5或n=0(舍去)，故C正确； 若存在△ABC,使得血mC=nBomC+em分，即om号 sin Bsin C-cos Bcos C=-cos(B+C)=cosA.又0<A<T,0<C<T,所以 =A,即C=3A,所以inC=sim3A,即sinC=sin(2A+A),即 3 sin C=sin 2Acos A+cos 2Asin A,Ep sin C=2sin Acos2A+cos 2Asin A, 即sinC=sinA(4cos2A-1),即n+1=(n-1)4· (4(aa-1少2)°-]化筒有2-3n2-6n+16=0,整理得 2n(n+1) (n2-n-8)(n-2)=0.又n≥3，n∈Z,即n2-n-8=0,由求根公式可得 n=1+33 Z,故无解，D正确. 2 8.等腰三角形或直角三角形解析：在△ABC中，由asiA a2+c2-62s 品及余弦定里，利高g整理得血一A sin Bcos B,sin 2A=sin 2B.m 0<2A<2T,0<2B<2m,0<2A+2B<2m, 因此24=2B或21+2B=,所以A=B或4+8=受，即△ABC为等腰 三角形或直角三角形. 黑白题099 9.92 16 解析：a2-2 abc=c2-2aba+-c=2-2=(6-e2= 2ab b2+c2-2bc,即2b2=2bc→b=c,即B=C.又b=sinB,所以a= 血A,e=如C又BD为AAC的中线所以励：（成，d,办 子（ai+2=(e+a2+2amB)=（(ng+(m-2B)+ 2a2)mBg)(528+22B） 2 g(-4as28-om2845)=[(m2B+日）广8] 又△ABC为锐角三角形，所以2Be（7,m),o2B∈(-1,0)， 即cam2B=名时，励 92 10.解：(1)因为∠CDA+∠CDB=T,所以cos∠CDA+cos∠CDB=0.因为 市=2成，所以4D=2 ，BD=号，所以D02AC 2CD·AD CD2+BD2-BC=0,即 -=0,所以4+ 2CD·BD 2x2x 2e 3 2x2×3 (台）广-+82(5）广-2s=0,所以+212+子 因为c2=a2+b2-2 abcos LACB=a2+b2-ab,所以b2+2a2-12+ 子断ugg-12号 因为62,4a2、 智号≥后号质似2-子6行所以 ah≤6，当且仅当-40即6=2a=2w5时，等号成立 33 因为Sacn∠4CB=月e,所以△ABC商积的最大 值为 (2)因为∠CDB=120°，所以∠CDA=60°，在△CDB中，利用余弦定 理得，CB2=CD2+BD2-2CD·BD·co8120°，即a2=4+ (分）‘-2x2x宁xm120=4+号台 9T3 同理，在△C0A中利用余弦定理得62=4+（子）】 2 -2×2×3c× c0s60°=4+ 所以 44c24e 934c2-12c+36 4422 c2+6c+36 93 4c2+24c+144-36c-108 =4- 36(c+3) =4- 36(c+3) = c2+6c+36 2+6c+36 (c+3)2+27 (c*3427因为c*3)+27 4- 36 tc+3≥2√/(c+3).27 =63,所以当且 c+3 c+3 仪当43号即：=35-时等号成立.此时学取最小值同合取 最小值，即2品取得最小值，此时，B0=了=厅-1 1 11.解：(1)如图，连接BD,在△BCD中，由余弦 定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos120°= ()(）广-2x( (）-1060,则80=10m×8c=cD,c ∠CDB=∠CBD=180°-120 =30° 2 必修第二册·RJ 又∠EBC=90°，∴.∠EBD=60°.在△EBD中，BD=100m,DE= 1005m,∠EBD=60,由正弦定理可得1005- 100 sin60。sin LBED' 六sinBED=-2又0°<LBED<150,则∠BED=30°， 1 LBDE=90°，BE=√BD2+DE=200(m),Sa8co=2× 1005×1005×5_2500,3 3 32 3 (m2),SAE=号×100x100万9 505(m2)SE=SAcn+5ABe-2505+500,/5. 3 17503(m2)- 3 (2)设∠ABE=a(0°<a<120°)，由∠BAE=60°，得∠AEB=120°-a. 在△ABE中，由正弦定理有。AB AE BE sin LAEB=sin LABE sinL BAE 3,AB=4003 BE200400W5 又：in L BAE万 in(120°-a),AE= 3 848+AE:g5n(120-)+m 400/5 3 3 -sin a= 3°(sin120°casa-eos120°sina+sina）=40sin(a+30).又0°< 4003 a<120°，.30°<a+30°<150°，当a+30°=90°，即a=60°时，AB+AE取 得最大值40m又BC+CD+DB+BE=1005,1005+105+200= 3 3 3°+200m,则AB+BC+CD+DE+EA+BE≥60+5005， 500w3 3°，所以 游览区的主要道路的总长度的最大值为60+5005) 3 m 上分专题04计算几何体体积的常用方法 1.B解析：如图所示，因为在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AC=6,所 以A0=7AC=3.因为AB=AD=25,所以B0=√AB2-A02= √(23)2-32=5.因为BD=2B0=25, D' 则SABCD=2 子x4 ACx BD=2x6x25= 1 65.因为A'0⊥平面ABCD,所以A'0= Di0--7 √4)2-A02=√(13)2-32=2，该平 行六面体的体积V=S。ABc0×4'0=125. 2.D解析：因为圆锥的底面半径为2dm,母线长为2√5dm,所以高为 √(25)2-22=4(dm).当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面 的高度恰好为圆锥的高的了，所以液面的半径为1血，此时液体的 体积为V=号(P+241x2)x2-14(dm)； 3 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒 立的圆维，设圆锥的底面半径为，加，高为A血，则有冬分， 即6=2，此时减体的体积为y号行，由子.1得 7,所以h=27. 3.D解析：因为AA1⊥底面ABC,AA1C平面ACC,A1,所以平面 ACC1A1⊥底面ABC,所以∠C1CA即为CC1与底面ABC所成的角，为 45°.因为A1C1=A41=1,所以AC=1+1=2.根据棱台的概念，可知 合格且=反，质以-空因为上G,质以 黑白题100