上分专题01 用向量法研究三角形的性质-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

上分专题01用向量法研究三角形的性质 命题密钥 三角形“四心”指的是三角形的重心、内心、外心和垂心，用平面向量的工具性作用，求解 “四心”问题，减少了繁琐的推理论证在高考中，三角形“四心”问题较少直接考查，更多地作 为题目的某一个步骤出现 考点觉醒 ·基础知识 重心 三条中线的交点，重心将中线划分为2：1的两条线段 内角平分线的交点（三角形内切圆圆心），内心到 内心 三角形各边距离相等 三角形“四心”的 定义及性质 外心 各边的垂直平分线的交点（三角形外接圆圆心）， 外心到三角形各顶点距离相等 垂心 三条高线的交点 ●“四心”的重要性质及推论 重要性质：已知0为△ABC内任意一点，则有SAROC·OA+SA4oc·0B+SAAOE·OC=0. 若点0为重心 0+0B+0元=0 若点0为内心 a·0A+b·0B+c·0C=0 推论 若点0为外心 sin2A·OA+sin2B·OB+sin2C·OC=0 若点0为垂心 tanA·OA+tanB.OB+tanC·O元=0 ●拓展内容 若点0为重心 pi=(pi+P店+P元) 常见向 量表示 若点0为外心 AdA店=引AB 0A.0B=0B.0元=0元.0A 若点0为垂心 A+BC=0B+CA=Oc+ 黑白题·上分秘籍01 实战演练 题组1三角形的中线与重心 题组3 三角形的外心 1.*(2025·江苏南通高一月考)在△ABC7.**(2025·山东临沂高一月考)在△ABC 中，点D为AB的中点，点O为△ABC的重 中，设AC2-AB=2AM.BC,那么动点M的 心，则04+0B= 轨迹必通过△ABC的 () A.CO B.OD A.垂心 B.内心 C.2C0 D.2D0 C.外心 D.重心 2.整(2024·广东广州高一期中)在△ABC8.整(2025·江苏常州高一期中)设0是 中，∠A=120°，AB·AC=-3,点G是△ABC △ABC的外心，点D为AC的中点，满足 的重心，则IAG1的最小值是 ( 心=m-mAC,meR,若1B1=2,则 5 D △ABC面积的最大值为 3.禁(2025·浙江丽水高一期末)过△ABC A.2 B.4 重心G的直线1与边AB,AC交于点P,Q,且 C.42 D.8 AP=AAB(0<A<1),A0=μAC,直线1将 题组4三角形的高线与垂心 △ABC分成两部分，分别为△APQ和四边 9.*★*(2025·辽宁沈阳高一期末)在△ABC 形PQCB,其对应的面积依次记为S,和S2, 所在平面内一点P满足：PA·PB=PA· 号的最大的 P心=P.P元，则点P是△ABC的() A.重心 B.垂心 题组2三角形的角平分线与内心 C.外心 D.内心 4.**(2025·河南新乡高一月考)若△ABC 10.接(2025·江苏南京高一月考)如图， 的三边为a,b,c,有a04+b0B+c0元=0，则 △AOB为等腰直角三角形，OA=1,OC为斜 O是△ABC的 ( 边AB上的高，点P在射线OC上，则AP· A.外心 B.内心 OP的最小值为 () C.重心 D.垂心 5.#(2025·河北承德高一月考)在△ABC 中，∠BAC为直角，∠BAC的平分线AD交 BC于D,且有AD=AC+tAB若AB=8, 则AD= A.-1 B.、1 8 6.幸(2025·云南昆明高一期中)在△ABC 中，AB=1,BC=2,CA=√3，I是△ABC的内 C、1 4 n 心，则向量AI在向量BA上的投影向量 11,整设H是△ABC的垂心，且4HA+5HB+ 为 6HC=0,则cos∠AHB= 02 数学|必修第二册·RJ上分秘籍 上分专题01用向量法研究三角形的性质 1.A解析：如图，连接CD,因为点O为△ABC的重心，则O为CD的三 等分点，且C0=20D,所以0i+0成=20=Cd. 2.B解析：设BC的中点为D,点C是△ABC的重心，衣-子 子×子-号（硒花再令=，=6，侧则.花 6120=-3c=6,d=号（前2+2店.花+d) 马(c24-6)≥g(2w-6)=子成≥有，当且仅当6=c=6 时取等号.故选B. 3.子解析：直线1过△BC的重心G,与边AB,4C交于点P,Q,且 产d.动花侧端合是台如周准接0 并延长交BC于D,过B作BE∥AD,过C作CF∥AD,分别交直线1于 E,F.根据重心的性质可知AG=2GD,不妨设AG=2,GD=1,由 EaG得△Mro△--竖-=22 cr/aca40eca0r60-gls622 :DG是梯形BEFC的中位线，BE+CF=2DG2-2A+2-2=2台 }+上=3.根据三角形面积公式可得c.8,s:: S△APQ S1 号AB:AC:sinL.BAG 1 2.。丛，根据基本不等式+ =3≥ 1 S1+S2 1、人即≤}当且仅当A=子时取等号，、 ≤ 1≤9 s9S2≤、二的最大值为、5 上≤ 41 E P (第3题) (第4题) 4.B解析：在AB,AC上分别取点D,E,使得-，店_ 6,则 1A1=1A应1=1.以AD,AE为邻边作平行四边形ADFE,如图，则四边 形AD℉E是菱形，且市=市+花_应，花。 +6,AF为LBAC的平分 线.aOi+b0i+c0元=0，a.Oi+b.(Oi+)+c·(Oi+A心)=0， 即(a6+e)o+6+e花=0，动=+in花- 点（但）立A0F三点美线，即0在G的 atb+c\c 必修第二册·RJ 参考答案 平分线上.同理可得O在其他两角的平分线上，.0是△ABC的 内心. 5.6万解析：如图，过点D作DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于 点P,则励=花+访=花+市，所以破-花，即花=子武 应因瓷号8品贺把周为新C24 a,因此=所以=-（衣： ）(（仔恋）6+前+衣.应n 由此得AD=62. B (第5题) (第6题) 6.1,5成解析：如图所示，以A为坐标原点，，A心所在的方向为 x轴，y轴建立平面直角坐标系. 设△MBC的内切圆的半径为，则}(1+2+3)=x1x5,解得 ）,威(-10向在向量成上的没影感底 1B12 1-√3 2 7.C解析：设BC的中点是0，A它-A应=(A心+A)·(A花-A)= 2Ad.B武=2Ai.B武，即(Ad-A)·B武=Md.B武=0，所以Md1 B武，所以动点M在线段BC的中垂线上，故动点M的轨迹必通过 △ABC的外心. 8.B解析：如图，因为0是△ABC的外心，点D 为AC的中点，所以D0⊥AC.设AC边上的高为 BH,则BH∥0D,设B=入Oi,则B应=-AmA店+ 子An花-Am威+子m(成-a威=n威+ 子m成又么，日，C三点共线，放日Am+ 子m=1,即m=1,所以励=-应+子花，1耐1 3 √。衣元-6成 故5c=分成11威1=子1衣1·√462 令V6a-=名-(Cp-32)2+2,因此当d2= 32,即1A=42时，S6Aac的最大值为g×32=4. 9.B解析：因为P.成=P.P元，则p.P-P,P元=0，所以P, (P-P心)=0，所以P.C=0,所以PA⊥CB,同理可得PB⊥AC, PC⊥AB,故点P是△ABC的垂心. 黑白题096 10.B解析：由A币=0币-0i,设10币1=t,t≥0，则A.0币=0-0. 亦r-1m子r-受-(）”日所以当子时， 市.0取得的最小值为8 1 图解折：a是6c的垂6i1成府配戒。 (成-成)=0成.成=成.成同理可得成.成=成.成，故 .成=丽.成=H成.i:4i+5丽+6屁=0,42+ 5成，成+6成成=0成·应=普2同理可求得成· 成子威m人m成店芹网： 应1诚，sLAB= 破.成士 脉阿小w2之A0=异即s乙A8=巴 11 上分专题02平面向量中的最值或取值范围问题 1.D解析：B=xB+yB武=xB+4yB励，由A,E,D三点共线可得x+ =1,且0%0所以·子-（任）e+4=9女空= 龙y 92√空三94当收产即32时 7=14 等号成立 M D 0 (第1题) (第2题) 2D解析：如图，由于0亦号可成+A成，在0A的反向延长线上取点 C,使得0C=号0A,过c作C30B,分别交0M和AB的延长线于点 DB,则CD=号0B,CB=号0B,要使得点P落在指定区域内，则点P 应落在DE上.当点P在点D处时，市=-}d+}O成，当点P在点 3 E处时，耐号成，所以入的取值范周是（行，号）】 3.A解标：设=市店花 A前3，j广= 14花14 ,则1i训=1，j=1,且(1》= ∠BAC=60°，所以(i+j)2=1+1+2×1×1×c0860°=3=A产，即Ai= 号+}花因为市=破+子市-成=：+花访 +衣d,所以市-+}衣+号应+}花-(+时）应 花曲等和线性质得0了每得<古 1 4号解折：如图，延长40交BC于点D,设d-k,则市- 会花因为D在BC上，所以安+公=1，即=mtn,所以长的最大值 为号设△A6C外接圆的半径为R,所以k-动。R ,当k最 1A1R+10i 大用D数，0Lc时大值断以高子受 R 参考答案 弓，此时△MBC是等腰三角形，∠B0D=子∠B0C=LA,所以 osA=cs∠B0D=0D.1 R3 (第4题) (第5题) 5.A解析：由正八边形的对称性可知O成.A+O成，A=-0.市+ 0O市.A市=A市.(O成-O)=A市.A店，易知正八边形的每个内角为 (8=2)×180°=135，设市与成的夹角为9，则市.店=1市1· 8 1A1cos日，所以当1AP1cos0最大时，A市·AB取得最大值；当 |A1cos最小时，A币.A取得最小值如图，过点C作CT垂直AB的 延长线于点T,过点H作HS垂直BA的延长线于点S,可知当P在线 段CD上时，1A市1cos日取得最大值，A1cos0=AB+BCco945°=2+ 2,此时市.A店=(2+2)×2=4+22.当P在线段GH上时， 1A1cos取得最小值，此时1A1c0s0=AHcos135°=-2，此时A市. A店=(-√2)x2=-22,故A.A的取值范围为(-22,4+22). 6.C解析：如图，以C为原点建立平面直角坐标系，易知A(-2,1), B(0,1),F(0,-1),E(-1,-2),H(1,0),L(1,2) 当点P在线段AB上运动，设P(x,1),其 中-2≤x≤0，所以E=(2,2),F市=(x,2), 则E.F序=2x+4.因为-2≤x≤0，所以E· F市e[0,4].当点P在线段BL上运动，设 D P(x,y)(0≤x≤1)，则B脉=(x,y-1),B= (1,1),且B㎡∥屁，则x=y-1,故P(x,x+1) (0≤x≤1,1≤y≤2)，F=(x,x+2),则E扇.=4x+4.因为0≤x≤ 1,所以E.F巾e[4,8],综上，E.F币的取值范围为[0,8]. 7.ACD解析：对于A,B,因为点M为AB的中点，所以A.B=P· 成-（成+）·（成+）=成-}恋，其中迹为定值，所以 A巾.B的取值范围由1PM1的大小决定又点P为直线1上一动点， 所以当PM⊥l时，P1取到最小值，无最大值，故.B有最小值， 无最大值，则A正确，B错误； 对于c,花.成=d.=(威+)·（成+）=， 市.励-，成=（成+）·（成+）=-}恋，所以 A花.B武-A市.B励=C-D.由题图可知C办-D>0,所以A花. B武A市.B励，故C正确； 对于D,若(A花+E)·(B成+E)=A花.B成+(A花+B成)·E亦+E= A花.B成+2M应.E市+E=A.B应，则2M应.E成+E中=0，所以 1E1=-21M市1cos(M应，E),所以cos(M正，E<0.因为点F在直线 1上，所以这样的点F只有一个，所以D正确 8.2解析：M是边BC的中点，N是线段BM的中点，因为=(+ 衣=子(aw),成：子（+动，所以=}+=破 (}迹+证)-？+在△MBc中，因为∠B4C=石，所以 △4C的面积为分成×成X血名-1a11=店，所以 黑白题097