全书综合检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

全书综合检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.6.*(2025·福建龙岩高一期中)有一个底面 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚 目要求的 度)，该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容 1.·（2025·福建福州高一期末)若复数z满 器口的距离为1.现将一个半径为R的小球放 足z(1-i)=2,则z的虚部为 ( 入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢 A.1 B.-1 C.i D.-i 出容器，则R的最大值是 ( 2.·(2025·河南南阳高一月考)中国古代科 A.2 B.√2 C.22 D.3 举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明 7.*（2025·四川雅安高一 代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比 月考)如图，P是以AB为直 例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷 径的半圆和△ABC围成的区 录取人数为 ( ) 域内一动点（含边界）， A.150 B.110 C.70 D.20 若AB=4,AC=3,且AB⊥AC,则PA·PC的最 3.·(2025·山东东营高一期末)已知平面向 大值为 量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则a+3b= A.8 B.12 C.18 D.24 ( 8.接(（2025·黑龙江哈尔滨高一月考)在 A.(-5,-10) B.(-4,-8) △ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c, C.(-3,-6) D.(-2,-4) 已知b=2,且c0s2B+c0sB=1-cos(A-C),当 4.*(2025·吉林长春高一期中)已知，B为 a+2c取得最小值时，△ABC的最大内角的余 平面，A,B,M,N为点，a为直线，下列推理 弦值是 中错误的是 A.A∈a,A∈B,B∈a,B∈B,则aCB B.I D.、② B.M∈a,M∈B,N∈a,N∈B,则直线MNCa, 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 直线MNCB 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， C.A∈a,A∈B,则αx∩B=A 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 D.A,B,M∈a,A,B,M∈B,且A,B,M不共线， 选错的得0分 则a,B重合 9.*(2025·安徽合肥高一期中)已知复数z= 5.*(2025·广东广州高一期末)对于一个古 1+3i,则 ( 典概型的样本空间2和事件A,B,C,D,用IAI A.lz-1-2il=i 表示事件A中的样本点个数.若I21=60, B.复数z1=2+3i,则<z1 1AI=30,1B1=10,1C1=20,1D1=30, C.复数：在复平面内所对应的点位于第一 1AUB1=40,IA∩C1=10,IAUD1=60,则( 象限 A.A与B对立 B.A与D不对立 D.复数z是方程x2-2x+10=0在复数范围内 C.C与D互斥 D.A与C相互独立 的一个解 全书综合检测黑白题157 10.*(2025·山东菏泽高一月考)在△ABC 方向沿水平线CE飞行50m到达D处时，测 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+ 得塔底A的俯角为75°，则该座小山的海拔 b):(a+c):(b+c)=9:10:11,则下列结 为 m;古塔AB的塔高为 m. 论正确的是 C D E 30975 A.sin A sin B:sin C=a:b c=4:5:6 45 B B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6,则△4BC外接圆半径为8,7 14.（2025·辽宁大连高一期末)已知正四 棱台ABCD-AB1C,D1中，AB=2A,B1,其侧面 11.整(2025·江苏盐城高一月考)如图，正方 积为9，MN为侧面AA,B,B的中位线，若该棱 形ABCD的中心为O,边长为4，将其沿对角 线AC折成直二面角D'-AC-B,设M为AD 内切球半径为则二面角A,-MN-C位的 的中点，N为BC的中点，则下列结论正确的 余弦值为 有 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 15.*(13分)(2025·江苏南京高一期中)已 知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的 A.点A到平面MON的距离为2,6 对边，且bcs4Y 3 asin B=0. (1)求A; 4 B.三棱锥D'-ABC的外接球体积为 3 (2)若c=3,且△ABC的面积为 2,求 C.直线MN与平面ABC所成角的正弦值 △ABC的周长， 为后 D.三角形MON沿直线MN旋转一周得到的 旋转体的表面积为5π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.*(2025·吉林长春高一期末)若z=1+i, 其中i是虚数单位，则(+）· 13.*(2025·陕西咸阳高一月考)如图，用无 人机测量一座小山的海拔与该山最高处的 古塔AB的塔高，无人机的航线与塔AB在同 一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为 500m,在C处测得塔底A(即小山的最高处) 的俯角为45°，塔顶B的俯角为30°，向山顶 必修第二册·RJ黑白题158 16.*(15分)(2025·广东广州高一期中)已17.*(15分)(2025·山东烟台高一期末)如 知m=e1te2,n=3e1-e2,其中e1,e2是夹角为 图，在多面体ABCDEF中，面ABFE为矩 霄的单位向亚 形，AD∥BC,AD⊥AB,AD=AE=2,AB=BC= 1,DF=3. (1)当入=2时，求m与n夹角的余弦值： (1)求证：平面ABFE⊥平面ABCD: (2)若m与n夹角为钝角，求入的取值范围. (2)设G为FD中点，求证：CG∥平面ABFE. G 全书综合检测黑白题159 18.接(17分)(2025·河南鹤壁高一期末)为19.禁(17分)(2025·江苏常州高一期末)如 探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生 图，在正四棱锥P-ABCD中，所有棱长均为 长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组： a,点Q是底面ABCD内任意一点，点Q到侧 对照组（不添加药物）和实验组（添加药物）， 面PAB,PBC,PCD,PDA的距离分别为d1, 饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的 d2,d3,d4 体重增加量（单位：g),这些小白鼠的体重增 (1)若点R是棱PC的中点，求异面直线BR 加量都在(0,30]内，按照(0,5]，(5,10]， 与PA所成角的正弦值； (10,15],(15,20],(20,25],(25,30]分组， 得到如下频率分布直方图。 (2)若d444,≠0且山+d= 3a,求d,d, ↑频率/组距 的最大值； 0.060------- (3)记PQ与侧面PAB,PBC,PCD,PDA所成 0.040 0.030 0.020 的角分别为a,B,Y,8,求cos2a+ 0.010 cos23+cos2y+cos28的值 051015202530小白鼠体 对照组 重增加量g ↑频率/组距 888 88 0.015 051015202530小白鼠体 实验组 重增加量g (1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数 (每组以该组所在区间的中点值为代表) 及中位数； (2)求a的值及实验组中体重增加量不大 于20g的小白鼠的只数； (3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只 小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠 体重增加量均超过20g”,事件B表示 “2只小白鼠仅有1只体重增加量不超 过25g”,求P(A),P(B),并判断A,B是 否相互独立， 必修第二册·RJ黑白题160得一班的平均分低于二班的平均分，故D错误 10.C解析：元=1X10+2x20+3x40+4x10+(5+6+7+8)×5=3.4,样本偏 100 度反应数据偏离方向与程度，由题图可得，有比较多的小于样本均 值元=3.4的数据，当右侧有长尾时，受极端值影响，b3= （x->0,而样本方差6，>0，则月，=>0，故选C 1001 62 11.(1)解：根据题意列举第二次排序时所有可能的a1,a2,a3及相应的 X的值列表如下 a1,a2,a3 X 1,2,3 0 1,3,2 2 2,1,3 2 2,3,1 4 3,1,2 4 3,2,1 4 (2)证明：任取样本点a∈AUB,则aA且a主B,因此a∈A∩B,故 AUBCA∩B,任取样本点b∈A∩B,则b￥A且bB,因此bE AUB,故A∩BCAUB,因此AUB=A∩B. (3)解：由1)可得P(X=0)=6P(X=2)=号，P(X=4)=,设 1 甲在第一轮测试中得分为X1,在第二轮测试中得分为X2,事件D: 表示甲在第i轮被评为一级品酒师(i=1,2),则P(D1)=P(D2)= P(X1=0,X2=2)+P(X1=2,X2=0)+P(X1=2,X2=2)=P(X1= 0)·P(X2=2)+P(X1=2)·P(X2=0)+P(X1=2)·P(X2=2)= 11 +宁x行号号因比P)=P(U,)1 6x3+3×- P(DUD)=1-P(DnD)=1-P(D)P(D)=17x7=32 99811 全书综合检测 1.A解析：由意可得：己2=1+，则：的壶部为1 2.D解析：由于分层抽样比为11：7：2，则200个人中，中卷录取人 数为20x号-20 3.A解析：因为a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,所以m+4=0,m=-4, a+3b=(1,2)+3(-2,-4)=（-5,-10). 4.C解析：对于A,由A∈a,A∈B,B∈a,BeB,根据直线上有两个点在 平面内，则这条直线在这个平面内，可得aCB,所以A正确；对于B, 由M∈&，M∈B,N∈a,N∈B,根据直线上有两个点在平面内，则这条 直线在这个平面内，可得直线MNC,直线MNCB,所以B正确；对 于C,由A∈a,A∈B,则平面a和平面B是一条经过点A的直线，所以 C不正确；对于D,由A,B,M∈，A,B,M∈B,且A,B,M不共线，根据 过不共线的三点唯一确定一个平面，可得α，B重合，所以D正确。 5.D解析：由题意可得P(A)= 2,P(B)= 6,P(C)=子，P(D)= 号，PAUB=子PAnG=G,P4um=L 对于A,因为P(4UB)=P()+P(B)=子<1，所以A与B互斥但不 对立，故A错误； 对于B,因为P(AUD)=P(A)+P(D)=1,若P(A∩D)=0,则此时A 与D对立，故B错误； 对于C,当A与D对立时，所以IC∩DI=IC∩A1=IC1-IA∩C1=20- 0=10,P(CnD)三60，所以C与D不互斥，故C错误 对于D,因为P(A∩C)=P(A)·P(C),所以A与C相互独立，故 D正确 参考答案 6.D解析：要使小球全部在水面下，且水没有溢出容器，只需小球的体 积不大于容器利会的容积，由题意知小球体积为=子心，容器利 余的容积为V=T×22x1=4π，由3πR3≤4π得R≤5. 7.C解析：如图，取AC中点M,连接PM,取AB中点O,连接MO并延 长交半圆于一点，则Pi.P元=(PM+Mi)·(PM+Md)=(PM+MA)· (PM-MA)=PM2-MA2. 因为4C-=3,所以ni.n店=2-} 若P为△ABC围成的区域内一动点（含边界），当P与B重合时PM 取到最大值，成=√冬16-万 若P为以AB为直径的半圆区域内一动点（含边界），此时1P1≤ 9 2=,9+4+2=5+2=号，当P为直线0M与半圆的交 2 等号成立. 因为名所成.成威-？？18，故元 的最大值为18. C 8.C解析：因为cos2B+cosB=1-c0s(A-C),即1-cos2B=cosB+ cos(A-C),2sin2B=-cos (A+C)+cos (A-C)=2sin Asin C. 即sin2B=sin Asin C,由正弦定理可得b2=ac=4,又因为a+2c≥ 2√a×2c=42,当且仅当a=2c=2√2时，等号成立，若a+2c取得最 小值，则a=22,b=2,c=2,此时最大角为角4，osA=b2+c2-c2- 2be 4+2-8:三，所以△ABC的最大内角的余弦值是三 2×2×W24 4 9.CD解析：对于A,Iz-1-2i1=11+3i-1-2i=il=√02+1卫=1，A错 误：对于B,复数不能比大小，B错误：对于C,复数z在复平面内对应 的点是(1,3)，位于第一象限，C正确；对于D,方程x2-2x+10=0,其 中4=4-40=-36=(6)2，方程的两根为2生6i=1±31，D正确. 2 (a+b=9x, 10.ACD解析：对于A,因为在△ABC中，所以a+c=10x,解得 b+c=11x, (a=4x, b=5x,所以根据正弦定理知sinA:sinB:sinC=a:b:c=4: c=6x, 5:6,故A正确；对于B,易知角C为最大角，则cosC= 1t2-g0,因为ce0,m),所以ce(0,号），所以 2·4x·5x 8 角C为锐角，故△ABC是锐角三角形，故B错误；对于C,易得角A 为最小角，则0A36+2516=所以cs24=2ms2A-1上 2·6x·5x 1 T】 ,即cos24=osC,又A,Ce(0,2),所以24e(0,m),所 以2A=C,故C正确；对于D,设外接圆的半径为R,则由正弦定理 得2R=c、二6解得R=8),放D正确 sin C 37 8 11.AC解析：对于A,如图①，作MH⊥AC于H,由VM-Oc= Veom=Y-a,所以子×反x2=号A·So,又My- 黑白题093 2M0·No 、1 VM+HN=25,所以cas∠MON=M02+N02-M2 27 o,,_3所以S△oMN=2X2K2A2-Y3,所以A到平面 1 2 0MW的距离A=2226 后=3，所以A正确；对于B,由于0A=0C= OB=OD',所以0为三棱锥D'-ABC的球心，半径为OA=2N2,外接 球体积为号(2)=64，所以B错误：对下C,因为m1AG 于H,则MH⊥平面ABC,所以∠MNH即为直线MW与平面ABC所 成的角，M0=MA=ON=2,M0⊥MA,所以MH=√2，且H为OA中 点，所以NH=√/OW2+OH2-20N·OHcos.∠NOH=√10，所以 品号血∠MH=名5所以c正确； tan LMNH=2_V5 √66 ② 对于D,如图②，过0作OT⊥MN于T,则旋转体表面积是以OT为 底面半径，以TM为高的圆锥的侧面积的两倍，因为cos∠MON= 子，所以∠M0N=,所以01=1,7W=5,OM=2, 所以旋转体的表面积为S=2m×1x2=4π，所以D错误. 122i解折：曲：=1，则=1i所以(+）=(1+)1 议=（3+3）水1-0=2- 13.(475-253) 503 3 解析：如图，在△ACD中，CD=50m, ∠ACD=45°，∠ADC=105°，∠CAD=30°，由正弦定理得 AC sin LADC sm∠C4 Din4CD又sin105°=sin75°=si血(45°+30)= CD AD 2 32、16+2 222-1 4,所以AC=50xY6+V2即AC=25(6+2)m 14 2 延长AB交CE于H,则AH=ACsi血∠ACD=25(6+2)× 2 25(5+1)m,又无人机飞行的海拔高度为500m,所以该座小山的 海拔为500-25（√3+1）=(475-25√5)m.在△ABC中，∠ACB=45°- 30°=15，LABc=120,又sm∠ACB=im(45-30)=2x5 22 x=62,由正弦定理有B AC 229 4 im15oin120,得到4B= 25(6w2)x6-2_50 ③ 4 3(m. C DH 3075 D 150 (第13题) (第14题) 必修第二册·RJ 14骨解新：由正四发台A0Cn-4,BGD内切降半径为号.可 知棱台的高为√2，设A,B1=a,则AB=2a,故侧面的高即斜高为 [1（2a-)+(2)2=√/年a2+2,正四棱台侧面为等腰 形，核台侧面积为9，故宁(2ao0?2子 解得a=1,即 棱台上底长为1，下底长为2，斜高为子，设上底边A8,中点为 E,MN中点为F,CD中点为G,连接EF,FG,EG,如图，由于正四棱 台侧面为等腰梯形，MW为侧面A4,B,B的中位线，则EF⊥MN; 又MN∥AB,AB∥CD,AB=CD,故MN∥CD,连接MD,且在正四棱 台ABCD-A1B1C1D1中，有MD=NC,故四边形MNCD为等腰梯形 故FG⊥MN,则∠EFG即为二面角A1-MN-C的平面角，在等腰梯形 BCC1B1中，B1B= cos∠B,BC=2 (2-10 10 10,即NBC=Vo 10 2 √/1 ,故在△BNC中，NC=√BC2+BN2-2BC·BNcos∠NBC= 4 √4(）2x 4x0=√8，则在等腰梯形MNCD 中，w=号，√图汀设k分别 为AB,C,D1的中点，则四边形EKCH为等腰梯形，EK=1,HG=2, 2x(2-1) 则cos∠EHG= 3 3,在△EHG中，BG: 2 3 1 QE严+HG2E班·HGcoLEG3)+4-2x7×2X3 万在△ErG中，BG=T,E 2 2,3 一之 EF2+GF2-GE2 (()() √57 2EF·GF 2x3x57 ,则二面 44 角A1-MN-C的余弦值为- v57 171 15.解：(1)因为sA-nB=0,由正孩定理得血BosA 3in4sinB=0,因为B∈(0，m,可得simB>0,所以cosA- √ 3inA=0,若c0sA=0,则sinA=0,不合题意，故csA≠0，所以 mA=5又因为Ae(0,),所以A=号 (②)因为△6C的面积为35，可得血4-5，可得灰=6，又 因为c=3,所以b=2,由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A,可得a2=4+ g-2x2x3x-7,所以a=万，所以△ABc的周长为a+bc=7+5. 16.解：(1)根据题意，当入=2时，m=2e1+e2,e1,42是夹角为的单位 向量，所以1ml-√m2-√(2e1+e2)7=√4e+4e1e2+e= A√4+4s牙+1=万.又因为n=30,-6,所以1n1=V厅- V3e1-e=√9e-6e,·e+eg-√9-6cwT+1=7.又m 黑白题094 n=(2e1te2)·(3e1-e2)=6ete1·e2-e=6 +cos -1=6+1 3 2 111 m·n 211 ,所以s(m,m）=m1:m万.万4，即响量m与n夹 角的余弦值为日 (2)根据题意，因为m与n的夹角为钝角，所以m·n<0且m,n不 共线，所以m·n=3Ae+(3-A)e1·e2-e<0,且入≠-3，即3+(3- A)0sT-1<0,所以A<- 3 5且入≠-3，故入的取值范围为 {入A<-5A≠-3} 17.证明：(1)如图，连接AF,四边形ABFE为矩形，且AB=EF= 1,AE=2,.AF=VAE2+EF=/5 AD=2,FD=3,.DF2=AD2+AF2,即AD⊥AF 又AD⊥AB,且AB∩AF=A,AB,AFC平 面ABFE,.AD⊥平面ABFE, .'ADC平面ABCD, .平面ABFE⊥平面ABCD, (2)如图，连接BE,设BE∩AF=M,连 G 接MG,易知点M为AF中点， :点G为FD中点，.MG∥AD,且MG= ------》 A 2 AD=1. B 又.AD∥BC,BC=1,.MG∥BC,且MG=BC,则四边形BCGM为平 行四边形，即CG∥BM. .·BMC平面ABFE,且CG丈平面ABFE,·.CG∥平面ABFE. 18.解：(1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数为(2.5×0.010+7.5× 0.020+12.5×0.030+17.5×0.040+22.5×0.040+27.5×0.060)×5=19.因 为(0.010+0.020+0.030+0.040)×5=0.5，所以估计对照组小白鼠体 重增加量的中位数为20. (2)由(0.015+0.025+a+0.045+0.050+0.030)×5=1,得a=0.035,估 ! 计实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠只数为(0.015+0.025+ 0.035+0.045)×5×40=24. (3)由题意知，从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超 过20g的概率为0.5，超过25g的概率为0.3，从实验组中随机抓取 1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.4，超过25g的概率为 0.15,所以P(A)=0.5×0.4=0.2,P(B)=0.3×(1-0.15)+(1-0.3)× 0.15=0.36,P(A)P(B)=0.2×0.36=0.072,P(AB)=0.3×(0.4- 0.15)+(0.5-0.3)×0.15=0.105,因为P(AB)≠P(A)P(B),所以A, B不相互独立， 19.解：(1)连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接OR,DR,如图① 四棱锥P-ABCD为正四棱锥，∴.O为线段AC,BD中点 ,点R是棱PC的中点，.OR∥PA,∴，异面直线BR与PA所成角即 为直线BR与RO所成角， 又正四棱锥所有棱长均为a,由对称性知BR=DR= 2a,0R1 ② 0B,且OB=2 a,sin _BRO= B2a√6 BR万=3，即异面直线R与 2@ PA所成角的正弦值为 3 .00 ① ② 参考答案 (2)如图①，连接PO,四棱锥P-ABCD为正四棱锥，.P0⊥平 面ABCD.设点P到平面ABCD的距离为h,·在正四棱锥 P-ABCD中，所有棱长均为a,四个侧面的正三角形的面积均为 分心×如60=。，底面正方形的面积为，义A √-（受-空。，依题意可得m=a+版+ m+m,子=行PB·4+SA版·山+ 子5w4+了md,即公×-原d+话+h+d0. 26 解得d1+d2+d3+d4= 3 a. 城0且+名=5女*=5≤ (色)-（怎）户名，当且仅当4=4=时取等 号，dd,的最大值为石2 (3)如图②，设平面PAB与PCD的交线为I,P∈I,P'∈L,过点Q作 平面P'MN使得PP'⊥平面P'MN. (说明：即过点Q作MN∥BC交AB于，点M,交DC于点N,再在平面 PAB内作MP'⊥AB,连接P'N,则AB⊥MN.又MN∩MP'=M, MN,MP'C平面PMN,.AB⊥平面PMN.又AB∥CD,AB￠平面 PCD,CDC平面PCD,AB∥平面PCD.又平面PAB与PCD的交线 为PP',ABC平面PAB,∴AB∥PP',.PP⊥平面P'MN) 取MN中点为H,连接P'H,OH,因为AB⊥平面P'MN,ABC平 面ABCD, 所以平面ABCD⊥平面P'MN. 因为P-ABCD为正四棱锥，平面PAB与PCD的交线为l,P'∈l, 由对称性可得△PMN为等腰三角形，则P'H⊥MN, 又平面ABCD⊥平面P'MN,平面ABCD∩平面P'MN=MN,P'HC平 面P'MW,则P'H⊥平面ABCD, 又PO⊥平面ABCD,则P'H∥PO,又易得I∥平面ABCD,P∈l, P'El, 则PH=P0三2a,则p'M=VPP+MF与 +(-,-a, Pw4=0严a设0a=月4=（侣号。， (任m）月 设0H=n,同上方法可得+好= 子(gr） 而PQ2=0p2+02-tn2tm2,听++g+d=子p02 又PQ与侧面PAB,PBC,PCD,PDA所成的角分别为a,B,Y,δ， d3 则血a0血B观如Y0血 PQ' d+d+d+d好4 .sin2a+sin2B+sin2y+sin28 3’ .'cos 2a+cos 28+cos 2y+cos 26=1-2sin2a+1-2sin2B+1-2sin2y+ 1-2sin28 =4-2(ata8a7in0)=4弩-g 白题095