第10章 专题探究7 概率与统计的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题探究7概率与统计的综合应用 黑题 专题强化 限时：40min 1.*(2025·辽宁朝阳高一期末)为加强科学2.*(2025·四川达州高一期末)某校要定制 教育，某校按照上级要求，开展了科学知识与 高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考 科技创新比赛.该校将经过初选脱颖而出的 身高选择校服规格.据统计，高一年级男生需 10名学生平均分为甲、乙两组，进行加强测 要不同规格校服的频数如下表所示 试，要求每组的5名学生每个人在单位时间内 校服 做竞赛题目若干，将每名学生做对题目的个 160 165 170 175 180 合计 规格 数统计如下表： 频数 20 120 180 100 30 450 甲组 5 5 6 9 10 (1)请用平均数、中位数、众数中的一个量来 乙组 5 6 7 8 代表该校高一年级男生所需校服的规格， (1)分别求出甲、乙两组学生在单位时间内做 并讨论用上表中的数据估计全国高一年 对题目个数的平均数及方差，并由此分析 级男生校服规格的合理性. 这两组的水平； (2)现有3套不同规格的校服，将3件上衣 (2)按照上级要求，学校将从甲、乙两组中做 (分别用A,B,C表示)，3件裤子（分别用 对题目超过7个的学生中随机抽取2名 1,2,3表示，其中A1,B2,C3分别表示一 学生，若两人做对题目的个数之和不少于 套)，分别装入6只大小、材质相同的黑色 19个，则授予该校获得科学教育先进校称 袋子中.如果从中随机取出2只袋子，记 号，求该校获得科学教育先进校的概率 事件M=“取出袋子里面一件是上衣，一 件是裤子，但不是一套”，求P(M) 第十章黑白题145 3.(2025·河南濮阳高一期末)为了测试不4.禁(2025·山东省实验中学高一月考)为弘 同抗干扰手段对无人机抗干扰性能的影响， 扬“中华优秀传统文化”，某中学在校内对全 某科研机构对100架某型号的无人机设置不 体学生进行了一次检测，规定分数≥80分为 同的参数，在相同的干扰环境下试飞，发现这 优秀，为了解学生的测试情况，现从2000名 些无人机的正常飞行时长（单位：分）均分布 学生中随机抽取100名学生进行分析，按成绩 在区间[5,65]内，现将这100个飞行时长数 分组，得到如下频数分布表， 据按[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)， 分数[50,60)[60,70)[70,80)[80,90 [90,100 [45,55),[55,65]分成6组并整理，得到如下 频数 5 35 30 20 10 频率分布直方图. ↑频率/组距 频率/组距 0.040 0.035 0.035 0.030 0.025 0.025 0.020 0.020 0.010- 0.015 0F-- 0.010-----↓----- 0 0.005- 5152535455565正常飞行 0 时长/分 5060708090100分数 (1)求图中a的值； (1)在图中作出这些数据的频率分布直方图； (2)该科研机构计划按正常飞行时长从长到 (2)估计这次测试的平均分和中位数； 短的顺序，检测分析前30%的无人机的相 (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不 关参数，若某架无人机的正常飞行时长为 低于70分的学生中抽取6人，再从这6人 42分，判断该无人机能否被检测到； 中任意抽取3人参加这次考试的质量分 (3)若该科研机构从正常飞行时长在[45,65] 析会，试求成绩在[70,80)的学生至多 内的无人机中，按比例用分层随机抽样的 有2人被抽到的概率. 方法抽取6架，再从这6架中随机抽取 2架做进一步研究，求在[45,55)和 [55,65]内各抽取一架的概率 必修第二册·RJ黑白题146 5.（2024·黑龙江哈尔滨高二期末)某校后 在[80,100]之间的会给“好评”，已知学 勤服务中心为监控学校食堂的服务质量情 生都会根据自己的感受独立地给出评价 况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽 不会受到其他因素的影响，试估计本周校 样调查，每次调查的具体做法是随机调查 长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂 50名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务 服务质量的概率 质量进行评分，师生根据自己的感受从0到 100分选取一个分数打分，根据这50名师生 对食堂服务质量的评分绘制频率分布直方图 下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分 结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据 分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100] ↑频率/组距 0.028 0.022 0.018 004 0 405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本 的众数 (2)学校规定：师生对食堂服务质量评分的平 均分不得低于75分，否则将进行内部整 顿.用每组数据的中点值代替该组数据， 试估计该校师生对食堂服务质量评分的 平均分，并据此回答食堂是否需要进行内 部整顿。 (3)该校每周都会随机抽取3名学生和校长 共进午餐，每次校长都会通过这3名学生 了解食堂服务质量，校长的做法是让学生 在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如 果出现“差评”或者“没有出现好评”，校 长会立即责成后勤分管副校长亲自检查 食堂服务质量情况.若以本次抽取的50名 师生样本频率分布直方图作为总体估计 的依据，并假定本周和校长共进午餐的学 生中评分在[40,60)之间的会给“差评”， 评分在[60,80)之间的会给“中评”，评分 第十章黑白题147100件产品的平均利润为15元/件；乙分厂加工100件产品的总利润 为28×(90-20)+17×(50-20)+34×(20-20)-21×(50+20)= 1000(元)，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件.故 厂家应选择甲分厂承接加工任务 专题探究7概率与统计的综合应用 黑题专题强化 1.解：(1)依题中的数据可得x甲= 5×(5+5+6+9+10)=7,z=5× ×[(5-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+ 1 (5+6+7+8+9)=7,sm= (10-7)2]=22 =5=44,2=5×灯(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+ (9-7)2]=2,x甲=x2,品>2，.两组学生的总体水平相同，甲组 中学生的水平差异比乙组大 (2)甲、乙两组中做对题目超过7个的学生共有4名，记4名学生为 a,b,c,d,他们对应的分数为8,9,9,10，样本空间2={(a,b),(a,c), (a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共包含6个样本点，若两人做对题目 的个数之和不少于19个，则对应的样本点共2个，即为(b,d),(c, 2 d),故所求概率P=6=3 2.解：(1)由表格中的数据可知，平均数为x= 160×20+165×120+170×180+175×100+180×30 450 =170,中位数为 第225个数据和第226个数据的平均数，即为170，众数为170，由于 全国各地的高一年级男生的身高存在一定的差异，所以用一个学校 的数据估计全国高一年级男生的校服规格不合理. (2)样本空间为2={AB,AC,A1,A2,A3,BC,B1,B2,B3,C1,C2,C3, 12,13,23},共15个基本事件，其中，事件M包含的基本事件为 2,A3,B1,B3,C1,C2,共6个基本事件，故P(M)= 2 15=5 3.解：(1)由题意知(a+0.025+0.020+0.035+0.010+a)×10=1,解得a= 0.005 (2)按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前30%的无人机，即 求70%分位数.在频率分布直方图中，前3组的频率之和为(0.005+ 0.025+0.020)×10=0.5,前4组的频率之和为0.5+0.035×10=0.85> 0.7,所以70%分位数位于[35,45)内.设70%分位数为x,则0.5+ x-35 10 ×0.35=0.7,解得x≈40.7.因为42>40.7，属于前30%，故能被检 测到. (3)正常飞行时长在[45,55)，[55,65]内的频率分别为0.1,0.05，则 抽取6架时在[45,55)，[55,65]内的应分别抽取4架、2架.设在 [45,55)内的4架分别为a1,a2,a3,a4,在[55,65]内的2架分别为 b1,b2,在[45,55)和[55,65]内各抽取一架为事件A,则该试验的样 本空间2=1(a1,a2),(a1,a3）,(a1,a4),（a1,b1),（a1,b2), (a2,a3）,(a2,a4),(a2,b1）,(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),（a3,b2), (a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)},n(2)=15,A={(a1,b1),（a1,b2), (a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2)},n(A)=8, 所以P(A)=n(A、8 n(2)15 4.解：(1)如图所示 ↑频率/组距 0.040-- 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 5060708090100分数 (2)55×0.005×10+65×0.035×10+75×0.030×10+85×0.020×10+95× 0.010×10=2.75+22.75+22.5+17+9.5=74.5(分)，估计这次测试的平 均分为74.5分.由频率分布直方图可知，中位数左边和右边的面积相 必修第二册·RJ 等，均为2，设申位数在70-80之间的宽度为，则有0.05×10+ 0.035×10+0.030x=0.5,整理得0.4+0.03x=0.5,x=3,70+2)= 3 1 73了，所以估计这次测试的中位数为33 (3)根据题意，从[70,80)中抽取3人，记为A1,A2,A3,[80,90)中抽 取2人，记为B1,B2,[90,100]中抽取1人，记为C,从中任意抽取 3人：(A1,A2,A3),(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A2,C),（A1,A3 B1),(A1,A3,B2),(A1,A3,C),(A1,B1,B2),(A1,B1,C),(A1,B2, C),(A2,A3,B1),（A2,A3,B2),（A2,A3,C),(A2,B1,B2),（A2,B1, C),(A2,B2,C),(A3,B1,B2),（A3,B,C),（A3,B,C),(B1,B2 C),共20种，其中在[70,80)的学生3人都被抽到的有(A1,A2,A3) 共1种，所以成绩在[70,80)的学生至多有2人被抽到的概率P=1- 119 2020 5.解：(1)由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1,解得a 0.006.该组数据的众数在分数为[70,80)这一组，取中点值75，即众 数为75. (2)由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分x=45× 0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022× 10+95×0.018×10=76.2(分).因为76.2>75，所以食堂不需要进行内 部整顿。 (3)由题图可知，[40,60)，[60,80)，[80,100]这三组的频率分别为 0.1,0.5,0.4.用频率估计概率，即差评、中评、好评的概率分别为0.1， 0.5,0.4.以本次抽取的3名学生，让学生在“差评、中评、好评”中选择 一个作答，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到 其他因素的影响，记3名学生分别为甲、乙、丙设本周校长不会责成 后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件记为A,则A事件即 为甲好评乙丙中评、甲乙好评丙中评、甲丙好评乙中评、乙好评甲丙 中评、乙丙好评甲中评、丙好评甲乙中评、甲乙丙都好评， 即P(A)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.4×0.5+0.4×0.4×0.5+0.4×0.5×0.5+ 0.4×0.4×0.5+0.4×0.5×0.5+0.4×0.4×0.4=0.604, 所以P(A)=1-P(A)=1-0.604=0.396.即本周校长会责成后勤分管 副校长亲自检查食堂服务质量的概率为0.396. 第十章章末检测 1.B解析：对于A,中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市 明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误；对于B,明天郊区降 雨概率为70%，降雨的可能性较大，如果不带伞出门很可能会淋雨， 故B正确；对于C,不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故 C错误；对于D,降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及 有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨 量，故D错误故选B. 2.B解析：若A,B互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到 P(A)+P(B)=1,故条件是必要的；若试验基本事件含3种及以上， 其中A,B表示概率为2的两个不同事件，则A,B不互为对立事件， 此时P(A)+P(B)=2+21,故条件不是充分的。 3.C解析：对于A,因为B,C不一定互斥，所以由P(B)+P(C)=1得 不到C与B相互对立，错误；对于B,若ACB,则P(AB)=P(A)= 0.3,错误；对于C,若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)= 0.15,则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.5-0.15=0.65,正 确；对于D,若事件A与B相互独立，则A,B相互独立，则P(AB)= P(A)·P(B)=(1-0.3)×0.5=0.35,错误 4.C解析：因为甲、乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是】 ，所以甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为1- 2 (3(号) 3 5.B解析：观察20组随机数，其中有116,812,730,217,109,361,284， 黑白题088