第10章 概率 真题演练-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

净器 (2)当a=16时，P(M)=号，事件N的情况有1(10,15)，(1,14)， (12,13),(13,12),共4种，所以P(N)=25 4 事件MN:“甲康复时 间为11天且甲、乙康复时间和为25天”的情况为(11,14).故 144 P(MM=25P(M0P()=5×2525≠P(MN,所以事件M,N 不相互独立。 17.解：(1)方案二被选择的可能性更大，理由：抛掷两枚质地均匀的骰 子，设向上的点数为(a,b),则共有36种情况，如下：(1,1)，(1,2)， (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5), (5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),其中两枚骰子 向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有：(1,1)，(1,2)，(2， 1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5 4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种情况，故选择方案一的概 率为8号，则选择方案二的概率为1号号，故方案二被选择 的可能性更大 (2)若选择方案一，甲获胜包括三类情况：①甲在前两局获胜，其概 率为号×号云②甲在销-局和第三局我，其率为子×× 号品③甲在第二局和第三局监，共率为号号品 因三类情况两两互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为、+)5 1244 125125 18.解：(1)由频率分布直方图得10a=1-10×(0.005+0.010×2+ 0.020+0.025),解得a=0.030.因为10×(0.005+0.010+0.020)= 0.35<0.5,0.35+0.030×10=0.65,所以中位数在区间[70,80)内，设 为x,则有10×(0.005+0.010+0.020)+0.030×(x-70)=0.5,解得x= 75,所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75. (2)设A=“任选一道题，甲答对”，B=“任选一道题，乙答对”，C “任选一道题，丙答对”，则由古典概型概率计算公式得P(A)= 品号PG=分所以有P=子P(国= 123 20 3 5P(C)=120 (i)记D=“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有D=A BUAB,且 有AB与AB互斥，因为每位同学独立作答，所以A,B相互独立，则A 与B,A与B,A与B均相互独立，所以P(D)=P(A BUAB)= 所以任选一道数学问题，甲、乙两位同学恰有一人答对的概率 (i)记E=“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则E=ABC,所 以P(E)=1-P(=1-P(aC)=1-P(国P(P(C)=1号×子× (-分）受每特a=0 9.解：()记事件A:“收到的所有数字都正确”，由已知α+B之 a=B可知a=B=子，所以P0= 3)29 4=16 (2)(i)由发送的数据为“100”可知，事件n(X)=0表示1传输错 误，且两个0传输都正确，所以P(n(X)=0)=(1-a)B2,事件 必修第二册·RJ n(X)=1包含以下两种情况； ①1传输正确，且两个0传输都正确，其概率为B2: ②1传输错误，且只有一个0传输正确，其概率为2(1-aα)B(1-B)= B(2a3-1),所以P(n(X)=1)=c32+B(2a3-1). 又P(n(=0):P(n(x0=1)=3:11,所以-B a82+B(2a8-1)11 即1-a)B.3 3 03o9-,整理得1B+3=20a6,把a=-B代人上式，化简 得20g2-19+3=0,解得日=子安B=号因为a48=,且0a<1, 1 3 0<8<1,所以2<a<1,2<6<1,所以B= (ⅱ)当发送的数据为“1100”，事件n(X)=2包含以下三种情况： ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为α22； ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，其概率 为2a(1-ox91p0=4(e)】 ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为(1-α)2(1- 2=(e号），所以Pa(x)=2)=(0)244p(g-）片 (e）广，令=0，则=a(子-a小，<a<1,从雨e (分6]所以pa(0=2)=2*4如(）+（号广 62-3+记到=62-3+e(分6]由=次函数的 性质可知)在（分名]上单调递地，所以八）的最大值为 (侣）品甲Pa(0=2)的是大值为品 128 第十章 真题演练 黑题 真题体验 1,B解析：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则 P(AUB)=P(A)+P(B)+P(AB)=1. P(A)=0.45,P(AB)=0.15,.P(B)=0.4.故选B. 2C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游 泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AUB,“该中 学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB, 则P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(AUB)=0.96 .P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=0.6+0.82-0.96=0.46, “该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 46%.故选C. 3.D解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有6+5+4+ 3+2+1=21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有(2,4)， (2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，故所求概率为 兴号故选D 4.C解析：从6张卡片中无放回随机抽取2张，共有(1,2)，(1,3)， (1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),（4,6),(5,6),共15种情祝，其中数字之积为4的倍 数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，6种情况，故概 率为6=2故选C 155 5.A解析：如图，从0，A,B,C,D5个点中任取 3点有{0，A,B,{0,A,C},{0,A,D},{0,B, C},{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D} {A,C,D,{B,C,D},共10种不同取法，3点共 线只有{4,0，C与{B,0,D}2种情况，由古典 概型的概率计算公式知，取到的3点共线的概 率为2人故选A 105 黑白题090 6.C解析：四人由随机抽签的方式确定出场次序，基本事件共有 24个：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙， 丁，乙)，（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙)，（乙，甲，丙，），（乙，甲 丁，丙)，（乙，丙，甲，丁），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，甲，丙），（乙，丁， 丙，甲)，（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），（丙，甲，乙，丁），（丙，甲， 丁，乙)，（丙，丁，乙，甲），（丙，丁，甲，乙），（丁，乙，丙，甲），（丁，乙 甲，丙)，（丁，丙，乙，甲），（丁丙，甲，乙），（丁，甲，乙，丙），（丁，甲 丙，乙)，其中事件“丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场”包含的 基本事件有8个：（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，丙，乙），（乙，丙，丁，甲）， (乙，丁，丙，甲)，(，乙，丙，甲)，（丁，丙，乙，甲），（丁，丙，甲，乙）， (丁，甲，丙，乙)，所以丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率 为8 7.A解析：用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主 题的所有结果如下表： 乙 1 4 甲 6 1 (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 2 (2,1)(2,2)(2,3)(2,4) (2,5)(2,6) 3 (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) 4 (4,1)(4,2)(4,3)(4,4) (4,5)(4,6) (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) 6 (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) 共有36个不同结果，它们发生的可能性相同，其中甲、乙抽到相同主 题的结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6个，因 此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率为6 名故陆 8.00s3 解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n, 6n,所以总数为15n,所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数 为3n; 乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n; 丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n. 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A,所以 P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05; 记“将三个盒子混合后任取一个球，是白球”为事件B, 9n-3 白球共有3n+3n+3n=9n(个)，所以P(B)=n=号故答案为 05, 9.5 解析：从6个标有不同数字的球中不放回地抽取3次，共有6× 5×4=120(种)情况，设前两个球上数字分别为a,b,第三个球上数字 为c,则a+b+e_a+b 32 ≤2，故12c-(a+b)1≤3，放-3≤2-(a+ b)≤3，故a+b-3≤2c≤a+b+3. 若c=1,则-1≤a+b≤5，且a,b≠1，则(a,b)为(2,3)，(3,2)，共有 2种情况， 若c=2,则1≤a+b≤7，且a,b≠2，则(a,b)为(1,3)，(1,4)，(1,5) (1,6),(3,4),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),共有10种情况 若c=3,则3≤a+b≤9，且a,b≠3，则(a,b)为(1,2)，(1,4)，(1,5)， (1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),(2,1),(4,1),(5,1),(6,1), (4,2),(5,2),(6,2),(5,4),共有16种情况， 若c=4,则5≤a+b≤11，且a,b≠4，同理共有16种情况， 若c=5,则7≤a+b≤13，且a,b≠5，同理共有10种情况 若c=6,则9≤a+b≤15，且a,b≠6，同理共有2种情况， 故m与n的差的绝对值不大于？时不同的抽取方法总数为2x(2+ 10-16-56放所求新率为瓷石故答案为子 参考答案 10.石号解析：依题意得，甲，乙两球都落入盒子的概率为分× 石，甲，乙两球都不落入盒子的概率为(1-了)×(1- 行）行则甲，乙两球至少有-个落人盒子的概率为1了子 1 1 11.解：(1)记事件D:甲连胜四场，由题意得甲只能是前四场全胜，则 1）41 P(D)= （2)16 (2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输 则四局内结束比赛的概率 P=Pa8)+4C4C))tnBM4)=4()）广- :需要进行第五场比赛的概率P=1-P=子 3 (3)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 记事件M:甲赢，记事件N:丙赢， 则甲赢的基本事件包括BCBC,ABCBC,ACBCB,BABCC,BACBC, BCACB.BCABC.BCBAC. ∴甲赢的概率P(M)= (）广x(）广品 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 丙赢的概率P(=1-2×3216 97 12.解：(1)由所给数据，计算该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概 率的估计值如表所示： 空气质量等级 123 概率的估计值0.430.270.210.09 (2②)一天中到该公园毁炼的平均人次的估计值为0×(10×20+ 300x35+500×45)=350. 专题探究8数学文化与探究创新 黑题专题强化 1.D解析：C选项，因为1A1=22,所以(2+t-2)2+(1--1)2=8,解 得1=±2，因为AB.0i>0,所以(t,-t)·(2,1)=2-t=>0,故1=2，所 以B(4,-1),C正确；B选项，A3=(4-2,-1-1)=(2,-2),将点 B(4,-1)绕点A逆时针旋转写得到点P,则市=(2号 2血亏2如于2号）(1v万，万-1)，设Pm,期 (m-2,n-1)=(1+5,5-1),所以m-2=1+3,n-1=3-1,解 得m=3+3,n=√3，则点P的坐标为(3+3,3)，B正确；A选项， B=(3+√3,5)-(4，-1)=(5-1,5+1)，故1B1= √(3-1)+(3+1)7=22，A正确：D选项，B在A方向上的投影 向量为励.应.--15+0x2,2x2,-2=(-1,1, IABI IABI √4+4 √4+4 D错误. 2.ABD解析：设角A,B,C所对的边长为a,b,c.由三角形的面积公式 可得5uc之i血A=宁A,所以msA=，由余弦定理，可得 1 +c2-a2=2,所以62+c2=3,故A正确；由Sac三2 bcA=m4 2 又62+e2=322bc=05所以c081≥2 3,所以anA= /1-cos2A】 COs2A √1√所以5≤原当仅当6时 √5 取等号，故B正确；设AB,AC边上的中点分别为E,F,在AB上取一 点M,在AC上取一点N,如图，由两点间线段最短可得MW≤ME+EF+ 黑白题091第十章 真题演练 黑题 真题体验 限时：40min 考点1随机事件的概率及其性质 6.*(2024·全国甲文)某独唱比赛的决赛阶 1.(全国高考)若某群体中的成员只用现金 段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一 支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金 次，出场次序由随机抽签确定.则丙不是第一 支付的概率为0.15，则只用非现金支付的概 个出场，且甲或乙最后出场的概率是( 率为 ( B. A.0.3 B.0.4 1 D. C.0.6 D.0.7 C.3 2 2.*(全国高考)某中学的学生积极参加体育 7.*(2023·全国乙文)某学校举办作文比 锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳， 赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取 一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽 60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳， 到不同主题的概率为 ( ) 则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占 该校学生总数的比例是 ( 2 D.3 1 A.62% B.56% 8.**(2023·天津)甲、乙、丙三个盒子中装有 C.46% D.42% 一定数量的黑球和白球，其总数之比为5： 考点2古典概型 4：6.这三个盒子中黑球占每盒总数的比例分 别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一 3.**(全国高考)从2至8的7个整数中随机 个球，取到的三个球都是黑球的概率 取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 为 ;将三个盒子混合后任取一个球， ( 是白球的概率为 2 D 9.*★(2024·全国甲理)有6个相 2 同的球，分别标有数字1,2,3,4， 频讲解 4.*(全国高考)从分别写有1,2,3,4,5,6的 5,6,从中无放回地随机取3次，每次取1个 6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的 球记m为前两次取出的球上数字的平均值， 2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n ( 之差的绝对值不大于。的概率为 A. 5 B. 2 3 C. 考点3事件的相互独立性 5 D. 10.*(天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的 5.*(全国高考)设O为正方形ABCD的中 心，在0，A,B,C,D中任取3点，则取到的3点 概率分别为)和？假定两球是否落人盒子 共线的概率为 ( 互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率 为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒 5 A. D. 子的概率为 必修第二册·RJ黑白题152 11.#(全国高考)甲、乙、丙三位同学进行羽 考点4用频率估计概率 毛球比赛，约定赛制如下： 12.*(全国高考)某学生兴趣小组随机调查了 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先 某市100天中每天的空气质量等级和当天到某 比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者 公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单 与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮 位：天)： 空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩 锻炼人次 余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰， (200, (400, 另一人最终获胜，比赛结束 空气质量 [0,200 400 600] 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛 等级 双方秋鞋的薇率都为了 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 (1)求甲连胜四场的概率； 6 8 (2)求需要进行第五场比赛的概率； 3(轻度污染) (3)求丙最终获胜的概率 4(中度污染) 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4的概率； (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估 计值（同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表) 第十章黑白题153