第10章 概率 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第十章 章 (时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.*气象台预报“本市明天中心城区的降雨概 率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些 信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是 ( A.整个城市明天的平均降雨概率为50% B.明天如果住在郊区不带伞出门将很可能 淋雨 C.只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会 有降雨 D.如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城 区多 2.·(2025·江苏徐州高二月考)设A,B为同 一试验中的两个随机事件，则“P(A)+P(B)= 1”是“事件A,B互为对立事件”的 】 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 6. D.既不充分也不必要条件 3.(2025·山东青岛高一期末)已知事件A, B,C满足：P(A)=0.3,P(B)=0.5,则下列结 论正确的为 A.若P(B)+P(C)=1,则C与B相互对立 B.若ACB,则P(AB)=0.5 C.若事件A与B相互独立，则P(AUB)=0.65 D.若事件A与B相互独立，则P(AB)=0.15 4.*(2025·河北石家庄高二月考)端午节是 我国传统节日，甲、乙2人端午节期间来无锡旅 游的概率分别是兮，子，假定2人的行动相百之 间没有影响，那么甲、乙2人端午节期间至少有 必修第二册·RJ黑影 末检测 子错题本 总分：150分) 1人来无锡旅游的概率为 ( 2 .5 2 5 15 *(2025·福建厦门高一月考)进入8月份 后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温 橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内 最高气温将升至37摄氏度以上)，在今后的 3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概 率是？用计算机生成了20组随机数，结果如 下，若用0,1,2,3,4,5表示高温橙色预警，用6， 7,8,9表示非高温橙色预警，则今后的3天中 恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是 () 116785812 730 134452125689 024169 334217109361908284 044147318 027 3 A.5 .2 13 D. 20 *★(2025·四川雅安高一月考)两名同学在 一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果 出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这 一结果的试验是 ↑频率 40% 30% 20% 10% 0200400600次数 A.抛一枚硬币，正面朝上的概率 B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C.转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的 概率 D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取 一个球恰好是蓝球的概率 日题148 7.*(2025·湖南湘潭高一月考)在二行四列 1 的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对 面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和 4点，只能向右或向下翻动).开始时，骰子如图 ①那样摆放，朝上的点数是3，最后翻动到如图 ②所示位置现要求翻动次数最少，则最后骰子 朝上的点数为1的概率为 ① A. R D.G 8.整抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事 件A=“n次中既有正面朝上又有反面朝上”， B=“n次中至多有一次正面朝上”.下列说法正 确的是 A.当n=2时，P(AB)=P(B) B.当n=2时，P(AB)=P(A)P(B) C.当n=3时，P(AB)=P(A)P(B) D.当n=3时，P(A+B)=P(A)+P(B) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分 9.*(2025·湖南邵阳高一期末)某饮料厂商 开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的 6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖” “二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”.甲从新 开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲 没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事 件C表示“甲中奖”，则 A.事件A和事件B是对立事件 B.事件A和事件C是对立事件 C.P(B+C)=P(C) D.P(BC)=P(C) 第十章黑 0.**(2025·四川成都高二期中)某平台现 要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首 先对这6种不同的脐橙（数量均为1）进行标 号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有 放回地随机取两次，每次取一个脐橙，记第 一次取出的脐橙的标号为a1,第二次为a2, 设A= 哈]，英中表示不短过：的及大盘 数，则 A.P(a,+a,=5)=4 1 B.事件a1=6与A=0互斥 C.P(a1>a)=12 D.事件a2=1与A=0对立 1.转(2025·福建福州高一期末)甲、乙两人 参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在 每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对 且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本 轮平局.已知每轮中甲答对的薇率为子，乙答 对的概率为了，且每轮活动中甲，乙答对与否 互不影响，各轮活动也互不影响，则以下说 法正确的是 ( A.每轮活动中，甲获胜的概率为4 B.每轮活动中，平局的概率为 12 C.甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 144 5 D.甲至少获胜两轮的概率为 2 E、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.*用木块制作的一个四面体，四个面上分 别标记1,2,3,4.重复抛掷这个四面体 100次，记录每个面落在桌面上的次数如表 所示，如果再抛掷一次，请估计标记3的面落 白题149 在桌面上的概率为 四面体的面 2 3 4 频数 19 23 22 36 13.(2025·湖北武汉高一期末)某工厂生 产的零件需要经过两道质量检测工序合格后 方可认定零件合格，第一道检测工序检测合 格的概率为0.8，第二道工序检测合格的概率 为0.7，则一个零件不合格的概率为 14.整(2025·江西南昌高一期末)甲、乙、丙 组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其 中一人猜一个成语，活动共进行三轮，每人 猜一火已知甲猜对乙未猜对的概率为分，乙 猜对丙未猜对的概率为4，丙和甲都猜对的 概率为。，在每轮活动中，三人猜对与否互不 影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对 的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 15.*（13分)(2025·江西上饶高一月考)现 有7名志愿者.其中志愿者A1,A2,A3通晓日 语，B1,B2通晓俄语，C1,C2通晓韩语，从中 选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名， 组成一个小组 (1)求A1被选中的概率； (2)求B,和C,不全被选中的概率 必修第二册·RJ黑 6.**（15分)(2025·山东德州高二月考)已 知X,Y两组各有5位病人，他们服用某种药 物后的康复时间（单位：天）记录如下： X组：10,11,12,13,14， Y组：12,13,15,14，a. 假设所有病人的康复时间相互独立，从X,Y 两组随机各选1人，X组选出的人记为甲，Y 组选出的人记为乙， (1)如果a=8,求甲的康复时间比乙的康复 时间长的概率； (2)如果a=16,事件M:“甲康复时间为 11天”，事件N:“甲、乙康复时间之和为 25天”，事件M,N是否相互独立？ 7.*（15分)(2025·湖南衡阳高一期末) 甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲 获胜的概率为5，乙获胜的概率为了，且各局 比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选 择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜， 比赛结束)；方案二：五局三胜制（先胜3局 者获胜，比赛结束) (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷 两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向 上的点数，若两枚骰子向上的点数之差 的绝对值不大于1，则选择方案一，否则 选择方案二.试判断哪种方案被选择的 可能性更大，并说明理由 (2)若选择方案一，求甲获胜的概率 白题150 18.#(17分)(2025·天津一中高一期末)1 “数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送 给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更 好地培养学生创新精神和实践能力，激发学 生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活 动.在活动中，共有20道数学问题，满分 100分.在所有的答卷中随机抽取100份作为 样本，将样本的成绩分成六段：[40,50)， [50,60),…,[90,100],得到如图所示的频 率分布直方图. ↑频率/组距 0.025 0.020 0.010 0.005 0405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中α的值，并估计该 校全体学生这次数学成绩的中位数 (2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞 赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答 对了8道，丙同学答对了n道，假设每道 数学问题难度相当，被答对的可能性都 相同 ()任选一道数学问题，求甲、乙两位同 学恰有一人答对的概率； (ⅱ)任选一道数学问题，若甲、乙、丙三 个人中至少有一个人答对的概率为 2 5 求n的值 第十章黑 9.(17分)(2025·安微芜湖高二月考)数 据传输包括发送与接收两个环节.在某数据 传输中，数据是由数字0和1组成的数字串， 发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数 字1时，收到的数字是1的概率为ax(0<a< 1),收到的数字是0的概率为1-a;发送数字 0时，收到的数字是0的概率为B(0<B<1), 收到的数字是1的概率为1-B.假设每次数 字的传输相互独立，且α+B=2 (1)当α=B时，若发送的数据为“10”，求收 到的所有数字都正确的概率 (2)用X表示收到的数字串，将X中数字1 的个数记为n(X),如X=“1011”,则 n(X)=3. (i）若发送的数据为“100”，且 P(n(X)=0):P(n(X)=1)=3:11, 求β； (iⅱ)若发送的数据为“1100”，求 P(n(X)=2)的最大值. 白题151100件产品的平均利润为15元/件；乙分厂加工100件产品的总利润 为28×(90-20)+17×(50-20)+34×(20-20)-21×(50+20)= 1000(元)，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件.故 厂家应选择甲分厂承接加工任务 专题探究7概率与统计的综合应用 黑题专题强化 1.解：(1)依题中的数据可得x甲= 5×(5+5+6+9+10)=7,z=5× ×[(5-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+ 1 (5+6+7+8+9)=7,sm= (10-7)2]=22 =5=44,2=5×灯(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+ (9-7)2]=2,x甲=x2,品>2，.两组学生的总体水平相同，甲组 中学生的水平差异比乙组大 (2)甲、乙两组中做对题目超过7个的学生共有4名，记4名学生为 a,b,c,d,他们对应的分数为8,9,9,10，样本空间2={(a,b),(a,c), (a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共包含6个样本点，若两人做对题目 的个数之和不少于19个，则对应的样本点共2个，即为(b,d),(c, 2 d),故所求概率P=6=3 2.解：(1)由表格中的数据可知，平均数为x= 160×20+165×120+170×180+175×100+180×30 450 =170,中位数为 第225个数据和第226个数据的平均数，即为170，众数为170，由于 全国各地的高一年级男生的身高存在一定的差异，所以用一个学校 的数据估计全国高一年级男生的校服规格不合理. (2)样本空间为2={AB,AC,A1,A2,A3,BC,B1,B2,B3,C1,C2,C3, 12,13,23},共15个基本事件，其中，事件M包含的基本事件为 2,A3,B1,B3,C1,C2,共6个基本事件，故P(M)= 2 15=5 3.解：(1)由题意知(a+0.025+0.020+0.035+0.010+a)×10=1,解得a= 0.005 (2)按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前30%的无人机，即 求70%分位数.在频率分布直方图中，前3组的频率之和为(0.005+ 0.025+0.020)×10=0.5,前4组的频率之和为0.5+0.035×10=0.85> 0.7,所以70%分位数位于[35,45)内.设70%分位数为x,则0.5+ x-35 10 ×0.35=0.7,解得x≈40.7.因为42>40.7，属于前30%，故能被检 测到. (3)正常飞行时长在[45,55)，[55,65]内的频率分别为0.1,0.05，则 抽取6架时在[45,55)，[55,65]内的应分别抽取4架、2架.设在 [45,55)内的4架分别为a1,a2,a3,a4,在[55,65]内的2架分别为 b1,b2,在[45,55)和[55,65]内各抽取一架为事件A,则该试验的样 本空间2=1(a1,a2),(a1,a3）,(a1,a4),（a1,b1),（a1,b2), (a2,a3）,(a2,a4),(a2,b1）,(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),（a3,b2), (a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)},n(2)=15,A={(a1,b1),（a1,b2), (a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2)},n(A)=8, 所以P(A)=n(A、8 n(2)15 4.解：(1)如图所示 ↑频率/组距 0.040-- 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 5060708090100分数 (2)55×0.005×10+65×0.035×10+75×0.030×10+85×0.020×10+95× 0.010×10=2.75+22.75+22.5+17+9.5=74.5(分)，估计这次测试的平 均分为74.5分.由频率分布直方图可知，中位数左边和右边的面积相 必修第二册·RJ 等，均为2，设申位数在70-80之间的宽度为，则有0.05×10+ 0.035×10+0.030x=0.5,整理得0.4+0.03x=0.5,x=3,70+2)= 3 1 73了，所以估计这次测试的中位数为33 (3)根据题意，从[70,80)中抽取3人，记为A1,A2,A3,[80,90)中抽 取2人，记为B1,B2,[90,100]中抽取1人，记为C,从中任意抽取 3人：(A1,A2,A3),(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A2,C),（A1,A3 B1),(A1,A3,B2),(A1,A3,C),(A1,B1,B2),(A1,B1,C),(A1,B2, C),(A2,A3,B1),（A2,A3,B2),（A2,A3,C),(A2,B1,B2),（A2,B1, C),(A2,B2,C),(A3,B1,B2),（A3,B,C),（A3,B,C),(B1,B2 C),共20种，其中在[70,80)的学生3人都被抽到的有(A1,A2,A3) 共1种，所以成绩在[70,80)的学生至多有2人被抽到的概率P=1- 119 2020 5.解：(1)由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1,解得a 0.006.该组数据的众数在分数为[70,80)这一组，取中点值75，即众 数为75. (2)由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分x=45× 0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022× 10+95×0.018×10=76.2(分).因为76.2>75，所以食堂不需要进行内 部整顿。 (3)由题图可知，[40,60)，[60,80)，[80,100]这三组的频率分别为 0.1,0.5,0.4.用频率估计概率，即差评、中评、好评的概率分别为0.1， 0.5,0.4.以本次抽取的3名学生，让学生在“差评、中评、好评”中选择 一个作答，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到 其他因素的影响，记3名学生分别为甲、乙、丙设本周校长不会责成 后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件记为A,则A事件即 为甲好评乙丙中评、甲乙好评丙中评、甲丙好评乙中评、乙好评甲丙 中评、乙丙好评甲中评、丙好评甲乙中评、甲乙丙都好评， 即P(A)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.4×0.5+0.4×0.4×0.5+0.4×0.5×0.5+ 0.4×0.4×0.5+0.4×0.5×0.5+0.4×0.4×0.4=0.604, 所以P(A)=1-P(A)=1-0.604=0.396.即本周校长会责成后勤分管 副校长亲自检查食堂服务质量的概率为0.396. 第十章章末检测 1.B解析：对于A,中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市 明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误；对于B,明天郊区降 雨概率为70%，降雨的可能性较大，如果不带伞出门很可能会淋雨， 故B正确；对于C,不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故 C错误；对于D,降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及 有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨 量，故D错误故选B. 2.B解析：若A,B互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到 P(A)+P(B)=1,故条件是必要的；若试验基本事件含3种及以上， 其中A,B表示概率为2的两个不同事件，则A,B不互为对立事件， 此时P(A)+P(B)=2+21,故条件不是充分的。 3.C解析：对于A,因为B,C不一定互斥，所以由P(B)+P(C)=1得 不到C与B相互对立，错误；对于B,若ACB,则P(AB)=P(A)= 0.3,错误；对于C,若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)= 0.15,则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.5-0.15=0.65,正 确；对于D,若事件A与B相互独立，则A,B相互独立，则P(AB)= P(A)·P(B)=(1-0.3)×0.5=0.35,错误 4.C解析：因为甲、乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是】 ，所以甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为1- 2 (3(号) 3 5.B解析：观察20组随机数，其中有116,812,730,217,109,361,284， 黑白题088 147,318,027共10组数据表示3天中恰有2天发布高温橙色预警信 号，因此所求概率P=202 101 6.D解析：根据题统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率 约为了，选项A,范一枚硬而，出现正面朝上的概率为了，故此选项 不符合题意：选项B,掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为石 故此选项不符合题意；选项C,转动如题图所示的转盘，转到数字为 奇数的概率为子，故此选项不符合题意；选项D,从装有2个红球和 1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为？，故此选项符 合题意 7.B解析：从开始题图①位置到最后题图②位置共有4种走法，其结 果分别为：右右右下，点数2朝上；右右下右，点数1朝上；右下右右， 点数5朝上；下右右右，点数1朝上， 故最后骰子朝上的点数为1的概率P= 21 4=2 8.C解析：由题意可知，抛掷一枚质地均匀的硬币，正面、反面朝上的 概率均为？，且事件A=n次中均为正面朝上或均为反面朝上”，则 r=(）广+（2则P=1-Pa=1 P(B)= 1 一次正面朝上”，则P(AB)=n× 2n 11 33 21 B:若n=2,则P(A)=1-2=2P(B)=2=4P(AB)=2=2 可得P(AB)≠P(B),P(AB)≠P(A)P(B),故选项A和B错误；对于 41 选项C和D:若n=3,则P(A)=1- P(B)== 1 P(AB)=- ,可得P()=P(aP(B),P(A+)=P()+ r到-P代=号号名，即PA)P)+P(,故 选项C正确，选项D错误 9.BC解析：因为AUB表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能 获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，A选项错误； 事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件 C互斥且和事件为全集，事件A和事件C是对立事件，B选项正确； 又因为BCC,所以P(B+C)=P(C),C选项正确；P(BC)=P(B), D选项错误. 10.BC解析：由题知，从中有放回地随机取两次，结果有（记为a1a2): 11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41, 42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66, 共36种，若a1+a2=5,此时取1,4或2,3，所以P(a1+a2=5)=36 4 与放A轴误者a6则A[侣]=1恒酸立所以与0 斥，故B正确；P(a1>a2)= 5+4+3+2+1=5 36 2,放C正确；当a=3, 2=2时，A=[]=1,此时事件0，=1与A=0均未发生，所以事 La2」 件a2=1与A=0不对立，故D错误 11.ABD解析：对于A,若甲获胜，则意味着每轮活动中甲答对，乙 21 答错，由对立事件的概率公式得乙答错的概率为1-子3，而甲 对的概率为：，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，由独 事件概率公式得甲获胜的概率为兮×？}，故A正确， 对于B,若两人平局，则意味着每轮活动中甲、乙都答对或甲、乙都 参考答案 错，由对立事件的概率公式得甲答错的概率为1-子=，由独 立事件概率公式得甲，乙都答对的概率为号×弓，甲，乙都 1 咨错的概率为？×(=而甲乙都答对和甲，乙都答错两个事 件互示，曲互示事件版率公式餐早局的版率为宁+日一名故 B正确； 对于C,乙胜-轮为乙答对且甲答错，概率为号×石，由驱意 得各轮活动互不影响，即每轮甲、乙的胜负情况相互独立，则由独立 事件概率公式得①第一轮甲胜，二三两轮乙胜概率为；×。义 11 ,1x1×1=1 石4，②第二轮甲胜，一、三两轮乙胜概率为石×4×64 ③第三轮甲胜，一、二两轮乙陆既率为石×行×所以甲胜 一轮且乙胜两轮的微率为江这西收c结风， 对于D,若甲至少获胜两轮，则甲胜三轮或甲胜两轮，①若甲胜三 轮，概率为 仔）广话②若甲胜两轮，则可能是一、二两轮，二 三两轮。一、三两轮3斧楷汉，则甲胜两轮的概半为3x(任)广~ 子4，而甲胜两轮与甲胜三轮互斥，可得甲至少获胜两轮的概率 39 为做D正晚 12.Q2解析：标记3的面落在桌面上的频率为0=0,2，放其概率 的估计值为0.22. 13.0.44解析：由第一道检测工序检测合格的概率为0.8，第二道工序 检测合格的概率为0.7，且第一道检测工序和第二道检测工序之间 相互独立，则一个零件不合格的概率P=（1-0.8)×0.7+0.8×(1- 0.7)+(1-0.8)×(1-0.7)=0.44. 14.12 解析：设事件A=“甲猜对”，事件B=“乙猜对”，事件C=“丙猜 P(AB)=P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)=3, 对，由题意，得P(BG=P(BP(C=P((1-P(C)=,解 1 P(CA)=P(C)P(A)=-8. 1 P(A)=2, 1 得P(B)=3故乙、丙都猜对的概率为P(BC)=P(B)P(C)=2 ro-. 15.解：(1)由题意从7名志愿者中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者 各1名，有(A1,B1,C1),（A1,B1,C2),（A1,B2,C1),(A1,B2,C2), (A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),（A2,B2,C2),(A3,B1, C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),共12种等可能情 况，A1被选中的情况有(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A,B2,C1), (41,B2,C2),共4种，故A被选中的概率为P(A1)=12=3 4 (2)志愿者B1和C,不全被选中的对立事件为B1和C1全被选中， B1和C1全被选中情况有(A1,B1,C1),(A2,B1,C),(A3,B1,C1), 共3种，放志愿者B,和C不全被选中的概率为1多} 16.解：(1)如果a=8,从X,Y两组随机各选1人，样本空间2={(x,y) xe{10,11,12,13,141,ye{12,13,15,14,8},共有25种，甲的康 复时间比乙的康复时间长的情况有{(10,8)，(11,8)，(12,8)， (13,12),(13,8),(14,12),(14,13),(14,8)},共有8种，所以概 黑白题089 净器 (2)当a=16时，P(M)=号，事件N的情况有1(10,15)，(1,14)， (12,13),(13,12),共4种，所以P(N)=25 4 事件MN:“甲康复时 间为11天且甲、乙康复时间和为25天”的情况为(11,14).故 144 P(MM=25P(M0P()=5×2525≠P(MN,所以事件M,N 不相互独立。 17.解：(1)方案二被选择的可能性更大，理由：抛掷两枚质地均匀的骰 子，设向上的点数为(a,b),则共有36种情况，如下：(1,1)，(1,2)， (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5), (5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),其中两枚骰子 向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有：(1,1)，(1,2)，(2， 1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5 4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种情况，故选择方案一的概 率为8号，则选择方案二的概率为1号号，故方案二被选择 的可能性更大 (2)若选择方案一，甲获胜包括三类情况：①甲在前两局获胜，其概 率为号×号云②甲在销-局和第三局我，其率为子×× 号品③甲在第二局和第三局监，共率为号号品 因三类情况两两互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为、+)5 1244 125125 18.解：(1)由频率分布直方图得10a=1-10×(0.005+0.010×2+ 0.020+0.025),解得a=0.030.因为10×(0.005+0.010+0.020)= 0.35<0.5,0.35+0.030×10=0.65,所以中位数在区间[70,80)内，设 为x,则有10×(0.005+0.010+0.020)+0.030×(x-70)=0.5,解得x= 75,所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75. (2)设A=“任选一道题，甲答对”，B=“任选一道题，乙答对”，C “任选一道题，丙答对”，则由古典概型概率计算公式得P(A)= 品号PG=分所以有P=子P(国= 123 20 3 5P(C)=120 (i)记D=“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有D=A BUAB,且 有AB与AB互斥，因为每位同学独立作答，所以A,B相互独立，则A 与B,A与B,A与B均相互独立，所以P(D)=P(A BUAB)= 所以任选一道数学问题，甲、乙两位同学恰有一人答对的概率 (i)记E=“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则E=ABC,所 以P(E)=1-P(=1-P(aC)=1-P(国P(P(C)=1号×子× (-分）受每特a=0 9.解：()记事件A:“收到的所有数字都正确”，由已知α+B之 a=B可知a=B=子，所以P0= 3)29 4=16 (2)(i)由发送的数据为“100”可知，事件n(X)=0表示1传输错 误，且两个0传输都正确，所以P(n(X)=0)=(1-a)B2,事件 必修第二册·RJ n(X)=1包含以下两种情况； ①1传输正确，且两个0传输都正确，其概率为B2: ②1传输错误，且只有一个0传输正确，其概率为2(1-aα)B(1-B)= B(2a3-1),所以P(n(X)=1)=c32+B(2a3-1). 又P(n(=0):P(n(x0=1)=3:11,所以-B a82+B(2a8-1)11 即1-a)B.3 3 03o9-,整理得1B+3=20a6,把a=-B代人上式，化简 得20g2-19+3=0,解得日=子安B=号因为a48=,且0a<1, 1 3 0<8<1,所以2<a<1,2<6<1,所以B= (ⅱ)当发送的数据为“1100”，事件n(X)=2包含以下三种情况： ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为α22； ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，其概率 为2a(1-ox91p0=4(e)】 ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为(1-α)2(1- 2=(e号），所以Pa(x)=2)=(0)244p(g-）片 (e）广，令=0，则=a(子-a小，<a<1,从雨e (分6]所以pa(0=2)=2*4如(）+（号广 62-3+记到=62-3+e(分6]由=次函数的 性质可知)在（分名]上单调递地，所以八）的最大值为 (侣）品甲Pa(0=2)的是大值为品 128 第十章 真题演练 黑题 真题体验 1,B解析：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则 P(AUB)=P(A)+P(B)+P(AB)=1. P(A)=0.45,P(AB)=0.15,.P(B)=0.4.故选B. 2C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游 泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AUB,“该中 学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB, 则P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(AUB)=0.96 .P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=0.6+0.82-0.96=0.46, “该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 46%.故选C. 3.D解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有6+5+4+ 3+2+1=21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有(2,4)， (2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，故所求概率为 兴号故选D 4.C解析：从6张卡片中无放回随机抽取2张，共有(1,2)，(1,3)， (1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),（4,6),(5,6),共15种情祝，其中数字之积为4的倍 数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，6种情况，故概 率为6=2故选C 155 5.A解析：如图，从0，A,B,C,D5个点中任取 3点有{0，A,B,{0,A,C},{0,A,D},{0,B, C},{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D} {A,C,D,{B,C,D},共10种不同取法，3点共 线只有{4,0，C与{B,0,D}2种情况，由古典 概型的概率计算公式知，取到的3点共线的概 率为2人故选A 105 黑白题090