10.1.3 古典概型-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.解：(1)甲未中靶：A (2)甲中靶而乙未中靶：A∩B,即AB. (3)三人中只有丙未中靶：A∩B∩C,即ABC (4)三人中至少有一人中靶：AUBUC. (5)三人中恰有两人中靶：(ABC)U(ABC)U(ABC) 黑题应用提优 1.C解析：因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北 四个方向前进，每个方向一人，所以事件“甲向南”与事件“乙向北” 能同时发生，也能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向北 是非互斥事件 2.C解析：从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空 间2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}. 其中事件A包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个 事件B包含的样本点有(1,3)，(2,4)，共2个. 所以事件AUB包含的样本点有(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3， 4),共5个； 事件A∩B包含的样本点有(2,4)，共1个. 3.B解析：如图所示，集合E表示事件A,集合F表示事件B,对于 选项A,因为EUF不是全集，所以选项A错误；对于选项B,C,EU C,F=I,即AUB是必然事件，所以选项B正确：对于选项C,C,E∩C,F 不一定是空集，即A与B可以同时发生，所以选项C错误；对于选项 D,C,E∩C,F不一定是空集，即A与B不一定互斥，所以选项D错误 4.B解析：ABC+ABC+ABC+ABC是指三个事件都不发生或只发生 一个，因此事件A,B,C最多一个发生，选B. 5.ABC解析：对A:事件A与事件D二者不可能同时发生，交集为空 集，故A正确； 对B:对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生.事件B和事件E 满足两个特点，故B正确： 对C:CUD表示至多参加一种科普活动，即为事件E,故C正确； 对D:C∩E表示只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故 D错误 6.AUAB解析：因为只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加 工，所以事件“产品不合格”包括第一道工序加工不合格和第一道工 序加工合格而第二道工序加工不合格，所以事件“产品不合格”可以 表示为AUAB. 7.4解析：事件ABC表示参加数学兴趣小组且参加语文兴趣小组，但 不参加英语兴趣小组，故表示的区域为4.故答案为4. 8.解：(1)A∩B∩C={2025年或2025年前出版的中文版的数学书}. (2)在“图书室中所有数学书都是2025年后出版的且为中文版”的 条件下，才有A∩B∩C=A. (3)是，A=B意味着图书室中的书除数学书以外都是中文版的，而且 所有的中文版的书都不是数学书，同时A=B又可化成B=A,因而也 可解释为图书室中所有的数学书都不是中文版的，而且所有不是中 文版的书都是数学书. 10.1.3古典概型 白题基础过关 1.D解析：概率是千分之一，是指事件发生的可能性为千分之一，每 次发生都是随机的，每一次可能发生，也可能不发生，1000次中有可 能发生1次. 2.D解析：投篮命中率只是一个比例关系，在实际过程中，并不是严格 按照百分比得分，故A错：投篮的命中率只是说明投中的可能性的大 小，与实际结果没有直接关系，故B错；掷一枚质地均匀的硬币，下一 次出现反面向上的概率与试验次数无关，概率是0.5，故C错，D对. 故选D. 3.D解析：在①中，由随机试验的定义知，试验中所有可能出现的基本 参考答案 事件只有有限个，故①正确：在②中，由随机试验的定义知，每个基本 事件出现的可能性相等，故②错误：在③中，由随机试验的定义知，每 个基本事件出现的可能性相等，故③正确；在④中，基本事件总数为 ,随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公 式知P(4)=长，故④正确故选D. n 4.B解析：对于A,“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性， 故A错误；对于B,任取一球的概率相同，均为，故B正确；对于 C,基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误：对于D,由于射击运 动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中 0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误 5.B解析：抛掷一枚骰子，共有6种可能出现的结果，正面向上的点数 大于3的结果有3种，因此出现“正面向上的点数大于3”的概率为 3 1 6=2 6.C解析：将2,3,4这3个数组成一个没有重复数字的三位数的情况 有234,243,324,342,423,432，共6种，其中偶数有234,324,342， 432,共4种，所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为4=2 -3 7.D解析：点P的坐标可能为(-1，-1)，(-1,0)，(-1,1)，(0，-1)， (0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),其中在第一象限的有(1,1)， 则点P落在第一象限的概率为。 8.C解析：不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19，随机选取两个 不同的数共有28种情祝，其中和等于30的有11+19,13+17这两种 情况，所以所求概率为号六 9.D解析：设高一年级的3名学生为a,b,c,高二年级的2名学生为 1,2,则从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演包含的基本事件 有(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,c),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2), (1,2),共10个，其中这2名学生来自不同年级有(a,1),(a,2),(b, 1),(b,2),(c,1),(c,2),共6个，所以这2名学生来自不同年级的 车为合号 10.B解析：由题图可知有0根阳线的有一卦，1根阳线的有三卦，2根 阳线的有三卦，3根阳线的有一卦，记1根阳线的分别为a,b,c,2根 阳线的分别为A,B,C,3根阳线的为3，从八卦中任取两卦，不需要 考虑两卦的顺序，将样本点两两合并，一共有3728（种）取法，其 中满足阳线之和为4的有(a,3),(b,3),(c,3),（A,B),(A,C), (B,C),共6种，故两卦中阳线之和为4的概率P=,6=3 2814 11,。解析：由题意可知基本事件的总数为64，只有一面涂漆的有 4×6=24(个)，有两面涂漆的有2×12=24（个），有三面涂漆的有 8个，所以至少有一面涂漆包含的基本事件的个数为24+24+8=56， 所以从中任取一块，则这1块至少有一面涂漆的概率为56-7. 648 ·解析：若方程x2+ax+b=0没有实数根，则△=a2-4b<0.一枚骰 子连续抛掷两次，得到的点数依次为a,b,记为(a,b),所有可能共 36种，其中满足题意的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，（1,4)，(1,5)，(1， 6),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3 6),(4,5),(4,6),共17种.故使得关于x的方程x2+ax+b=0没有 实数根的概率为号 13.解：(1)设甲公司的3款无人机为a1,a2,a,乙公司的2款无人机为 b1,b2,丙公司的1款无人机为c,则样本空间2={a1a2,a1a3,a1b1, a1b2,ac,aza3,a2b1,a262,azc,a361,a362,a3c,6162,b1c,b2c (2)由已知可得A={a1b1,a1b2,a1c,a2b1,a2b2,a2c,a3b1,a3b2, 黑白题081 93 ac,则P(A)=i55 (3)由已知可得B={a1a2,a1a3,a1b1,a1b2,a2a3,a2b1,a2b2,a3b1, 102 a5b2,b1b2,则P(B)=15亏 14.解：(1)若标签的选取是不放回的，则样本空间21={(1,2)，(1， 3),(1,5),(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,5),(5,1), (5,2),(5,3),共12种等可能情形，满足m+m>5的有{(1,5)， (2,5),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3)1,共6种情形，所以满足m+n> 61 5的概率P1=122 (2)若标签的选取是有放回的，则样本空间22={(1,1)，（1,2)， (1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3), (3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5)},共16种等可能情形，满 足m<n的有{(1,2)，(1,3)，（1,5)，(2,3)，(2,5)，(3,5)}，共6种 情形，所以满足m<n的概率P2=168 63 黑题 应用提优 1.BC解析：由题知，掷两枚硬币有正正，反反，正反，反正，共4个基本 事件A=4,P=4,P=2P1+P=P,A+P+P=1故 选BC. 2.ABC解析：列表如下： 和 3 4 5 6 6 10 9 11 6 > 9 101112 P(点数之和为1)=0，P(点数之和为2)=P(点数之和为12)=36 P(点数之和为3)=P(点数之和为11)= 18,P(点数之和为4)= P(点数之和为10)= 2P(点数之和为5)=P(点数之和为9)= 1 9 P(点数之和为6)=P(点数之和为8)=名P(点数之和为7)= 6, 所以不公平，7班被选到的概率最大.故选ABC. 3.B解析：由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为(1， 1),(1,2),(1,3),（1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,3),(6,4), (6,5),(6,6),共36种情况，两次抽奖奖金之和为200元包括三种 情况：①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为(1,3)，(3， 41 ),(1,1),(3,3),概率为B=36g②第-一次中-等奖，第二次 中三等奖，其包含的情况为(6,5)，(6,4)，(6,2)，概率为P=3 3 2③第-次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为(5,6)。 31 (4,6),(2,6),概率为B,=362,所以该顾客两次抽奖后获得奖 金之和为200元的概率为P=P1+P2+P=18 46解折：设四个人的编号为1,23,4， 由题意知，所有事件共有24=16（种）， 当站起来的人编号为(1)，(2)，(3)，(4)，(1,3)，(2,4)时满足题意， 再加上没有人站起来的可能有1种，共7种情况， 必修第二册·RJ 没有相邻的两个人站起来的概率为16 5.解：(1)将三个红球记为r1,”2,3,一个黄球记为y,从中不放回地依 次随机摸出3个球，该试验的基本事件空间2={(r1,2,3),(r1,"3, 2),(2,1,3）,(2,3,1),(3,12),(3,2,1),(1,3,y),(1, y,r3）,（r3,r1y),(r3,y,r),(y,r1,r3）,（y,r3,r1）,(r2,r3,y）,(r2 y,3),(r3,2y),(3y,2）,(y,2,3),（y,3,2）,(1,2y）,(r1, y,2),(2,1y),(2y,1),(y,1,2),(y,2,1),共有24个基本 事件，设“第一次摸到红球”为事件A,则A={(1,2,r3),(r1,r3, r2),(r2,r1,r3),（r2,t3,r1),（t3,r1r2),（r3,t2,r1）,(r1,r2,y）,（t1, y,r2）,(r2,r1,y),(T2,y,T1),(T1,3,y）,(r1,y,r3),(T3,r1,y),（T3, y,),(23y）,(2y,r3),(r3,2,y),(r3,y,2),共有18个基本 事件，所以P(A8=子，即第一次摸到红球的概率为3 41 (2)设“第二次摸到红球”为事件B,则B={(r1,2,3),(r1,3,2), (r2,r1,r3),(r2,T3,r1),(t3,t1,2),（r3,t2,t1),(t1,r2,y),(t2,r1 y),(y,1,T2),(y,T2,T1),(1,T3,y),(T3,r1,y）,(y,T1,3),(y,r3, 1),(23y）,(3,2y),(y,2,3),(y,3,2)},共有18个基本事 件，所以P风®份号子即第二次提到红球的展家为子设 “第三次摸到红球”为事件C,则C={(r1,2,r3),(r1,r3,r2),(r2,1, T3）,（r2r3,r1),(r3,r1,r2),(r3,r2,r1),(r1,y,r2),（r2,y,r1),(y, T1,r2）,(y,r2,T1),(r1y,r3),(T3,y,r1),（y,T,r3),(y,T3,T1),(T2, y,3),(3y,2),(y,2,3),(y,3,2)},共有18个基本事件，所以 P(C)=n(C183 (44,即第三次摸到红球的概率为子 (3)因为P(A)=P(B)=P(C),即第一、二、三次摸到红球的概率相 同，所以抽签中签的概率与抽签顺序无关 压轴挑战 B解析：甲、乙获胜的关键是要看老师擦去哪个数，注意2,3,4，·， 2024中有1011个奇数，1012个偶数 ①若老师擦去的是奇数，则乙一定获胜 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后 剩下两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，故乙胜 ②若老师擦去的是偶数，则甲一定获胜 理由如下：设老师擦去的是2m,则将余下的数配成1011对，每对数由 一奇-一偶的相邻两数组成：(2,3)，(4,5)，…，（2m-2,2m-1),（2m+ 1,2m+2),…,(2023,2024) 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下 两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜 甲我鞋的概华为8品 四方法总结 古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本 事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树状图等帮助计数 10.1.4概率的基本性质 白题■ 基础过关 1.BCD解析：选项A,由对立事件的性质P(A)+P(A)=1知，P(A)= P(A)不一定正确：由对立事件的概念得A+A=2,即P(A+A)= P(2)=1,B正确；由对立事件的性质P(A)+P(A)=1知，P(A)=1- P(A),故若P(A)=1,则P(A)=0,C正确：由对立事件的概念得AA= ⑦，即P(AA)=P(O)=0,D正确.故选BCD. 2.C解析：对于A:当A,B为两个互斥事件时，才有P(AUB)=P(A)+ P(B),当事件A,B不互斥时，P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B),A 选项错误；对于B:当事件A,B,C两两互斥，且AUBUC=2时，才有 P(A)+P(B)+P(C)=1,所以B错误；对于C:当A,B为互斥事件时， P(A)+P(B)=P(AUB)≤1，C选项正确；对于D:由概率的性质可 黑白题08210.1.3古典概型 白题 基础过关 限时：40min 题组1随机事件的概率 4.*(2025·山东济南高二月考)下列试验中 1.*（2025·广东珠海高二月考)对于概率是 是古典概型的是 ( 千分之一的事件，下列说法正确的是( A.在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是 A.概率太小，不可能发生 否发芽 B.1000次中一定发生1次 B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球 C.1000人中，999人说不发生，1人说发生 除颜色外完全相同，从中任取一球 D.1000次中有可能发生1次 C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在 2.*下列说法中正确的是 ( 圆内任意一点都是等可能的 A.一个篮球运动员投三分球的命中率是 D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果 10%,则当他投10个三分球时必然要投进 为命中10环，命中9环，…，命中0环 1个 题组3古典概型的概率 B.一个篮球运动员投三分球的命中率是5.·(2025·广东深圳中学高一期末)将一枚 10%,则当他投了9个球均未投进时，第 质地均匀的骰子抛掷一次，则出现“正面向上 10个球一定投进 的点数大于3”的概率为 () C.掷一枚质地均匀的硬币，连续出现了5次 1 B. 正面向上，则下一次出现反面向上的概率 2 定大于0.5 1 C.3 D.6 1 D.掷一枚质地均匀的硬币，连续出现了5次 正面向上，则下一次出现反面向上的概率 6.*(2025·广东珠海高二月考)用2,3,4这 3个数组成没有重复数字的三位数，则事件 仍然等于0.5 “这个三位数是偶数”发生的概率为（) 题组2古典概型的特征 3.·下列关于古典概型的说法中正确的是 1 1 .3 b.2 ( 2 ①试验中所有可能出现的基本事件只有有 C.3 D. 4 限个； 7.*(2025·天津河北区高一期末)已知集 ②每个事件出现的可能性相等； 合A={-1,0,1},点P的坐标为(x,y),其中 ③每个基本事件出现的可能性相等； x∈A,y∈A,则点P落在第一象限的概率为 ④基本事件的总数为n,随机事件A若包含 () 个基本事件，则P(A)= A.G B. 3 A.②④ B.③④ C.①④ D.①③④ c.g 1 D. 第十章黑白题131 8.(2025·吉林长春高一期末)我国数学家12.*(2025·湖北武汉高一月考)把一枚骰 陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界 子连续抛掷两次，得到的点数依次为α，b,则 领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的 使得关于x的方程x2+ax+b=0没有实数根 偶数可以表示为两个素数的和”，如40=3+ 的概率为 37.在不超过20的素数中，随机选取两个不同 13.*（2025·湖南常德高一期末)在一次无 的数，其和等于30的概率是 人机展会上，有三家公司参与了展销活动， 4府 C.H 甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了 2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购 9.*(2025·江苏南京高一期末)某校文艺部 货商准备从中任选2款， 有5名学生，其中高一年级有3名、高二年级 (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写 有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文 出样本空间； 艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为 (2)记事件A=“恰有一款是甲公司的”，求事 ( 件A发生的概率； A B. (3)记事件B=“没有丙公司的”，求事件B 发生的概率 10.*(2025·辽宁鞍山高一期末)如图是易 书中的八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、 兑八卦)，每一卦由三根线组成（一表示 根阳线，一一表示一根阴线)，从八卦中任取 两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是 14.*人A教材变式（2025·广东广州高一期 乾 末)一个盒子中装有标号为1,2,3,5的4张 坎水 标签，依次随机选取两张标签，用数组(m,n) 表示可能的结果，其中m表示第一次取出的 坤 标签上的数字，n表示第二次取出的标签上 地 的数字 4、3 3 B. 14 C. 28 D.3 6 (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空 11.*如图，把一个体积为64cm3、表面涂有灰 间2，并求m+n>5的概率； 漆的正方体木块锯成64个体积为1cm3的 (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空 小正方体，从中任取一块，则这1块至少有一 间22，并求m<n的概率. 面涂漆的概率为 必修第二册·RJ黑白题132 黑题 应用提优 限时：30min 1.*(多选)掷两枚硬币，若记出现“两个正5.接(2025·江苏南京高一期末)一个袋子里 面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为 有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红 P1,P2,P3,则下列判断中，正确的是（ 球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出 A.P1=P2=P3 B.P1+P2=P3 3个球 C.P1+P2+P3=1 D.P1+P2+2P3=1 (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸 2.(多选)某年级有12个班，现要从2班到 到红球的概率； 12班中选1个班的学生参加一项活动，有人 (2)分别求第二次、第三次摸到红球的概率； 提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选 (3)从求解的结果可以得出一个什么基本 几班，针对这种选法下面说法不正确的有 事实？ A.公平，每个班被选到的概率都为 2 平，每个班被选到的授率 C.不公平，6班被选到的概率最大 D.不公平，7班被选到的概率最大 3.*（2025·湖北荆州高二月考)某商场开 展20周年店庆购物抽奖活动(100%中奖)，凡 购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方 式是在电脑上设置一个包含1,2,3,4,5,6的 6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后， 滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘 上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则 压轴挑战 获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于 禁(2025·江西宜春高一期末)一 4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该 场数字游戏在甲、乙之间进行，老师 数字出现其他情况，则获得三等奖，奖金为 在黑板上写出2,3,4，…，2024共2023个正整 50元现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金 数，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人 之和为200元的概率为 轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个 A C.2 D.2 数，然后甲再擦去一个数)，如此下去，若最后 4.装四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放 剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜； 着完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬 否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则， 币若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬 甲获胜的概率是 ( ) 币正面朝下，则这个人继续坐着，那么没有相 1011 1012 A. C.1013 D.1014 2023 B. 2023 2023 2023 邻的两个人站起来的概率为 第十章黑白题133