10.1.3古典概型课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章概率 10.1.3古典概型 10.1.3古典概型 教学目标 1. 理解古典概型及其概率计算公式 2. 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事 件数及事件发生的概率 重点：古典概型的概念以及利用古典概型求解随机 事件的概率 难点：运用古典概型计算概率 教学重、难点 伍 延伸拓展 肆 课堂小结 录 目 当 堂 训 练 壹 新课导入 新 课 导 入 问题引入 口袋内装有2红2白除颜色外完全相同的4个球，4人按顺序摸球，摸 到红球为中奖，如何计算各人中奖的概率? 我们通过大量的重复试验发现：先抓的人和后抓的人的中奖率是一 样，即摸奖的顺序不影响中奖率，先抓还是后抓对每个人来说是公平的。 大量的重复试验 费时，费力。 对于一些特殊的随机试验，我们可以根据试验结果的 对称性来确定随机事件发生的概率。 贰 讲授新知 讲授新知 1、投掷一枚均匀的硬币，出现“正面朝上"和“反面朝上” 的机会相等吗? 2、抛掷一枚均匀的骰子，出现数字"1"、 “2”、"3"、 “4"、"5"、"6”的机会均等吗? 3、转动一个十等分(分别标上数字0、1、 ..、9)的转盘， 箭头指向每个数字的机会一样吗? 这些试验有什么共同特点? (1).试验的所有可能结果只有有限个，且每次试验只出现其中的一个结果； (2).每一个试验结果出现的可能性相同。 把具有上述两个特征的随机试验的数 学模型称为 (古典的概率模型) 每个可能的结果称为基本事件。 讲授新知 考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和B 发生的可能性大小? (1)一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式，从中 随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”; 对于问题(1)班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机 选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型. 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大 小.因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量. 显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生” 包含18个样本点.因此，事件A发生的可能性大小为 讲授新知 (2)抛掷一枚硬币3次，事件B= “恰好一次正面朝上”; 用1表示硬币“正面朝上",用0表示“反面朝上”,则试验的样本空间 Q={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0) , (0,0,1),(0,0,O)}. 共8个样本点，每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型. 事件B 发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包 含的样本点中所占的比例大小，因此，可以用事件包含的样本点数与样本 空间包含的样本点数的比值来度量. 因为B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, 所以事件B发生的可能性 大小 范例应用 古典概型的概率计算公式： 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含 其中的k个样本点，则定义事件A的概率 例1.单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D 四个选 项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正 确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率 是多少? 【解析】试验有选A、选B、选C、选D共四种可能结果，试验的样本空间 可以表示为Ω={A,B,C,D}. 考生随机选择一个答案，表明每个样本点 发生的可能性相等，所以这是一个古典概型. 设M=" 选中正确答案",因为正确答案是唯一的，则n(M)=1, 所以，考生随机选择一个答案，答对的概率 如果是多选呢? 在多选题中有15个可能结果，试验的样本空间可以表示为 Q={A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD, BCD, 范例应用 范例应用 例2.抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能 出现的基本结果. (1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； (2)求下列事件的概率： A= “两个点数之和5" ; B= “两个点数相等”; C=“I 号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数” . 该试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}, 其中共有36 个样本点. 由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因 此这个试验是古典概型. 因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}, 所以n(A)=4, 从而 因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1), (5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}, 所以n(C)=15, 从而 因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}, 范例应用 所以n(B)=6, 从而 范例应用 例3.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不 放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率： (1)A=“第一次摸到红球”; (2)B= “第二次摸到红球”; (3)AB= “两次都摸到红球” . 【解析】将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5. 第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第 二次摸球时都有4种等可能结果，将两次摸球的结果配对，组成20种等可 能结果. 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 X (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2, 1) X (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3, 1) (3,2) × (3,4) (3,5) 4 (4, 1) (4,2) (4,3) X (4,5) 5 (5, 1) (5,2) (5,3) (5,4) X 范例应用 范例应用 (1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1,2行), 即A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)}, 所以 (2)第二次摸到红球的可能结果有8种(表中第1,2列), 即B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5, 2)}, 所以 (3)事件AB 包含2个可能结果，即AB={(1,2),(2,1)}, 所 叁 当 堂 训 练 当 堂 训 练 1. 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为 一 组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数能构成 一 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，共有如下10个不同的结果： (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4, 5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5), 其中勾股数只有(3,4,5),所以所求概率 组勾股数的概率为 A. B. D. ( ) ● 2. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个 点的距离不小于该正方形边长的概率为 如图可知从5个点中选取2个点的全部情况有(O, A),(O,B),(O,C),(O,D),(A,B),(A,C), (A,D),(B,C),(B,D),(C,D), 共10种. 选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有(A,B),(A,C), (A,D),(B,C),(B,D),(C,D), 共6种. 故所求概率为 当 堂 训 练 设3只测量过某项指标的兔子为A,B,C, 另2只兔子为a,b, 从这5 只兔子中随机取出3只共有10种取法，分别为(A,B,C),(A,B,a), (A,B,b),(A,C,a),(A,C,b),(A,a,b),(B,C,a),(B, C,b),(B,a,b),(C,a,b), 其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A,B,a), (A,B,b),(A,C,a),(A,C,b),(B,C,a),(B,C,b) 因此所求的概率为 3. (2019 · 高考全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项 指标 .若从这5只免子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A. C. D. ( ) 4. 同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a,b, 则方程2x²+ax+b=0 有两个不相等实数根的概率为 ( ) A. C. D. 因为方程2x²+ax+b=0 有两个不相等实数根，所以△=a²-8b>0, 又同 时投掷两个骰子，向 上的点数分别记为a,b, 该事件共包含36个样本点， 满足a²-8b>0 的有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(5,1),(5,2),(5, 3),(4,1),(3,1)共9个样本点， 概率 肆 课堂小结 求古典概型概率的步骤 (1)判断所给概率模型是否为古典概型. (2)算出样本点的总数 n. (3)算出事件A 包含的样本点个数m. (4)算出事件A 的概率，即 在运用公式计算时，关键在于求出m,n. 在求n 时，应注意这n 种结果必须 是等可能的，在这一点上比较容易出错. 课堂小结 课后作业 P238 练 习 $$