8.4.1 平面-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1平面 白题 基础过关 限时：20min 题组1点、直线确定平面 A.D1,0,B三点共线，且OB=2OD 1.·(多选)(2025·河南郑州高一期中)下列 B.D1,0,B三点共线，且OB=30D1 关于平面的说法正确的是 ( C.D1,0,B三点不共线，且OB=20D1 A.平面面积可以为4cm2 D.D,O,B三点不共线，且OB=3OD B.A∈a,B∈a,A∈a,B∈a→aCa 6.*如图，若直线1与平面相交于点0，A, C.三点确定一个平面 B∈l,C,D∈，且AC∥BD,则O,C,D三点的 D.两条平行直线只能确定一个平面 位置关系是 2.*(2024·广东佛山高一期中)下列条件不 D 能确定一个平面的有 ( A.一条直线和直线外一点 B.对边相等的四边形 C.两条相交直线 (第6题) (第7题) D.两条平行直线 3.*空间5点，其中有4点共面，这5个点最 7.*(多选)(2025·河北承德高一月考)如 多可以确定 个平面. 图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与 题组2点共线、线共点 平面ABD1的交点为M,O为线段B,D1的中 4.*(2025·山东青岛高一月考)在空间四边 点，则下列结论正确的是 () 形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取E, A.A,M,0三点共线 F,H,G四点，如果EF与GH能相交于点P, B.M,0,A1,A四点共面 那么 ( C.B,B1,O,M四点共面 A.点P不在直线AC上 D.A,O,C,M四点共面 B.点P必在直线BD上 8.*如图，已知A,B,C,D,E是空间五个点， C.点P必在平面ABC内 且线段CE,AC和BD两两相交，求证：A,B,C, D.点P必在平面ABC外 D,E这五个点在同一平面内， 5.(2024·山西朔州高二月考)如图，在正 方体ABCD-AB,C,D1中，E为棱D1C1上的靠 近D,的三等分点.设AE与平面BB,D,D的交 点为0，则 ( D. D 第八章黑白题069 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 白题 基础过关 限时：20min 题组1空间中直线与直线的位置关系 行”“相交”或“在平面内”) 1.·(2025·山东济宁高一月考)若直线a和 题组3空间中平面与平面的位置关系 b是异面直线，a在平面a内，b在平面B内， 6*若三个平面两两相交，有三条交线，则下 c是平面与平面B的交线，则下列命题正确 列命题中正确的是 的是 ( A.三条交线为异面直线 A.c与a,b都相交 B.三条交线两两平行 B.c与a,b都不相交 C.三条交线交于一点 C.c至少与a,b中的一条相交 D.三条交线两两平行或交于一点 D.c至多与a,b中的一条相交 7.(2025·河南郑州高一期中)三个平面会把 2.(2025·安徽合肥高一月考)如图，点N 空间分割成 个部分（写出所有结果）. 为正方形ABCD的中心，点E在平面ABCD 8.*如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，E,F 外，M是线段ED的中点，则下列各选项中两 分别为A1B1,B1C1的中点.求证：平面ACC1A1 条直线不是异面直线的为 与平面BEF相交 A.AB与DE B.BC与EN C.CD与BM D.BM与EN 3.*已知a,b是异面直线，直线c平行于直线 a,那么直线c与b的位置关系是 题组2空间中直线与平面的位置关系 4.·若一直线l上有两点到一个平面α的距离 都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是 A.直线l在平面α内 B.直线l与平面α相交或平行 C.直线l与平面α相交 D.直线l平行平面a 5.在三棱台ABC-A,BC1中，AB1与平 面ABC的位置关系是 ,A41与平面 BCC,B1的位置关系是 ,AC与平 面ACC,A1的位置关系是 .（填“平 必修第二册·RJ黑白题070B.因为0A=2,LA0C=牙，所以00'=0'A=1,所以该几何体中球冠 的高0'A=1,故B正确； C,该儿何体的体积是球缺体积加圆维体积，所以V=于×(，5)2×1+ 子×1x(3x2-1)=8,放c正确； D.该几何体的表面积为球冠表面积加圆锥侧面积，所以S=2π×2× 1+m×√3×2=(4+2√5)m,故D正确. 9.695π-43解析：设圆锥底面圆的半径为r,母 线长为l,高为h, 由题意知，侧面展开图的弧长l=2r,.l=2r,∴.圆 锥的高h=√-7=√3， 由其轴截面的面积为}×2h=月2=95，解得 3,则h=3√5，l=6,故其母线长为6 1 如图，设正四棱柱的高为1，所以圆锥体积为V圆=3mh= 3 Tx 32×35=3×35π=9√5π. 由正四棱柱底面边长α=√2，则正四棱柱的底面对角线的长为2， 半长为1，由图可得 以 ×35=25,故正四 3 棱柱的体积为V正四棱柱=a2h1=45. 所以该儿何体的体积为V侧锥一V正四校柱=9√3π-45. 10.3(√2-1)解析：设四分之一球形封闭几何体的半径为R,如图， 正方体的棱长a满足(V2a)2+ a =R2,因为a=2,所以R=3, 2/ 3 内切球半径r满足（√互+1）r=R,所以r= =3(2-1). 2+1 11.解：(1)在题图②中，设圆锥的底面圆半径为1，则2mr=2×2×2m, 解得r=1. 因为在题图①中，点B,C三等分半圆，所以在题图②中，点A,B,C 为圆锥的底面圆周的三等分点，则△ABC为等边三角形，所以 BC im600=2r=2,所以BC=√3. 又因为点M,N分别是0B,OC的中点，所以MV子G= 2 (2)因为SAMc= 2x5xw3x3=3 2 4,圆锥的高A=V22-。 1 V3,所以V棱练0-ABc=3XS△ABc Xh=?X, V三校锥M-ACN= V3发eo子×三起Ao4 2 E子V三按0-c 3 ,即四面体ACMN的体积为. (3)连接BN,CM交于点P,连接OP并延长OP交BC于点E,则三 棱锥M-ABC与三棱锥N-ABC公共部分即为三棱锥P-ABC. 因为点M,N分别是OB,OC的中点，所以E为BC的中点，且PE= 号0B,所以Vnc-行Vox=子，所以三棱锥M-AC 与三棱锥N-ABC公共部分的体积为4 参考答案 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1平面 白题 基础过关 1.BD解析：根据平面的定义，平面是向四周无限延展的，故无法确定 平面面积，A错误； 由基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面上，那么这条直 线在这个平面内，可得若A∈a,B∈a,A∈，B∈，则aCa,B正确； 当三点共线时，过此三点的平面有无数个，C错误； 由推论，经过两条平行直线，有且仅有一个平面可得D正确 2.B解析：对选项A,经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故A 能确定一个平面. 对选项B,对边相等的四边形，对边有可能异面，不能确定一个平面， 故B不能确定一个平面. 对选项C,经过两条相交直线有且只有一个平面，故C能确定一个 平面. 对选项D,经过两条平行直线有且只有一个平面，故D能确定一个平 面.故选B. 3.7解析：由题意空间中有5个点，其中有4个点在同一平面内，要使 确定的平面最多，则没有任何三点共线，同一平面内的4个点一定能 两两连线，最多可连6条线，由三点确定一平面知任意一条线加上第 5个点都会形成一个平面，因此有6个平面，再加上4点确定的平面 总共是7个平面. 4.C解析：如图，在空间四边形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上 有Ee平面ABC,F∈平面ABC,则直线EFC平面ABC, 同理，直线GHC平面ADC,因为EF,GH能相交于点P,即P∈EF, P∈GH,所以P∈平面ABC,P∈平面ADC.而平面ABC∩平面 ADC=AC,于是有PEAC,A不正确，C正确，D不正确；又直线AC与 BD没有公共点，即点P不在直线BD上，B不正确 (第4题) (第5题) 5.B解析：如图，连接AD1,BC1,BD1,BE. 0e直线AE,AEC平面ABC,D1,.OE平面ABC,D1. 又：OE平面BB1D1D,平面ABC1D1∩平面BB1D1D=BD1,OE直 线BD1,D1,O,B三点共线. .△AB0Cp△ED10,.OB:OD1=AB:ED1=3:1,.OB=3OD1.故 选B 6.共线解析：如图，因为AC∥BD,则AC与BD确定一个平面B,而C, Dea,所以anB=CD.又lna=0,即0ea,而lCB,则有0eB,于是 得0∈CD,所以0，C,D三点共线 7.ABD解析：因为AA1∥CC1,所以A,A1,C1,C四点共面因为M∈A1C,所 以M∈平面ACC,A1.又M∈平面AB,D1,所以点M在平面ACC,A1与 平面AB,D1的交线上.同理，O,A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的 交线上，所以A,M,0三点共线，M,0,A1,A四点共面，故选项A, B正确； 连接BD,B,B1,O三点均在平面BB1D1D内，而点A不在平面 BB,D1D内，所以直线AO与平面BB1D1D相交且点O是交点，所以 黑白题043 点M不在平面BB1D1D内，即B,B1,O,M四点不共面，故选项 C错误： 点M在直线A1C上，点O在直线A1C1上，所以A,O,C,M四点都在 平面ACC1A1内，所以A,0,C,M四点共面，故选项D正确. 8.证明：设CA∩BD=M,CE∩BD=N,.CA∩CE=C,.CA,CE确定一个 平面. .M∈CA,∴.M∈同理N∈，∴.直线MN,即直线BDC, ∴.B∈a,D∈a,∴.A,B,C,D,E这五个点在同一平面内. 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 白题基础过关 1.C解析：对于A,如图①，b∥c,a,c相交，故A错误； ① ① 对于B,若c与a,b都不相交，而c,a共面且c,b共面，故c∥a,c∥b, 则a∥b,与a,b异面矛盾，故B错误； 对于D,如图②，c与a,b都相交，故D错误； 对于C,结合A,B可得c与a,b中至少一条相交 2.D解析：在正方形ABCD中，AB∥CD,所 以D在平面ABCD内，D不在直线AB上 又E不在平面ABCD内，所以AB与DE 异面： 因为BCC平面ABCD,N在平面ABCD 内，N不在直线BC上，又E不在平 面ABCD内，所以BC与EN异面； D 因为CDC平面ABCD,B在平面ABCD内，B不在直线CD上，又M不 在平面ABCD内，所以CD与BM异面； 如图，连接BD,BE,MW,因为点N为正方形ABCD的中心，又M是线 段ED的中点，所以MN∥BE,所以B,M,N,E在平面BDE内，所以 BM与EN不是异面直线. 3.异面或相交解析：显然直线c,b不可能平行，否则，由c∥a,知a∥ b,与a,b是异面直线矛盾，根据异面直线定义可知， 设平面a,当a丈a,bCa,c∥a,且cta,如图①所示，此时c与b为异 面直线； 当a￠a,bCa,c∥a,且cCa时，如图②所示，此时c与b相交 所以c与b的位置关系是异面或相交 4.B解析：结合题意，要使一条直线1的两点到一个平面a的距离为 1,则由线面位置关系可得，当1∥α时，可满足题意；当1与相交时， 在平面的异侧各有一个点可满足题意；当1Cα时，无法满足题意.故 直线1与平面相交或平行. 5.平行相交在平面内解析：结合三棱台结构知，A1B1∥平 面ABC,AA1与平面BCC1B1相交，ACC平面ACC1A1· 6.D解析：三个平面两两相交，有三条交线，三条交线两两平行或交于 一点.如三棱柱的三个侧面两两相交，交线是三棱柱的三条侧棱，这 三条侧棱是相互平行的；但有时三条交线交于一点，如长方体共顶点 的三个面两两相交，交线交于一点，此点就是长方体的顶点.故选D. 7.4或6或7或8解析：若三个平面两两平行，如图①，则把空间分割 成4个部分：若三个平面中恰有两个平面平行，第三个平面与它们相 交，或者三个平面相交于同一条直线，如图②③，则把空间分割成 必修第二册·RJ 6个部分：若三个平面两两相交，如图④，则把空间分割成7个部分 如图⑤，三个平面把空间分割成8个部分 ⑤ 8.证明：因为在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，所以AA1与BE不平 行，则AA1,BE的延长线相交于一点，设此点为G,所以G∈A41,G∈ BE.又AA1C平面ACC,A1,BEC平面BEF,所以G∈平面ACC,A1, G∈平面BEF,所以平面ACCA1与平面BEF相交 8.4阶段综合 黑题阶段强化 1.A解析：假设AC,BD不是异面直线，则AC,BD在同一平面内， 设AC,BD都在平面a内，则A,B,C,D四点都在平面a内，所以直 线AB,CD也都在平面α内，与已知AB,CD是两条异面直线矛盾，所 以假设不成立，直线AC,BD一定是异面直线. 2.D解析：因为直线B1C1,CC1C平面BCC1B1,CFC平面BCC1B1,所 以直线CC1,B,C1与直线CF共面.又因为E,F分别是A1D1,BC1的 中点，所以直线CF∥直线DE,所以CF与DE为共面直线：由直线CF 与直线AE不同在任意一个平面内，可知直线CF与直线AE互为异 面直线 3.ABD解析：如图，把正方体的平面展开图还原成正方体如图， 在正方体中，AB∥NM,所以四边形ABMN为平行四边形，则BM 与AN平行，故A正确：由异面直线定义可得，AF与BM是异面直线， 故B正确：AF与CN是异面直线，故C错误：由异面直线定义可得 BN与DE是异面直线，故D正确. (第3题) (第4题) 4.A解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，不妨设三条两两异面 的直线为A1D1,BB1,CD, 令PEA1D1,作平面PP1BB1过BB1,则过P与BB1相交的直线都在 平面PP,BB,内，作平面PP2CD过DC,则过P与DC相交的直线都 在平面PP2CD内，平面PPBB1与平面PP2CD不平行且不重合，有 且仅有一条公共直线，所以直线1只有1条： 5.4 解析：如图，延长DF,交AB的延长线于点Q,连接EQ,EQ与PB 的交点即为G. 理由如下：设D,E,F共面a,因为AB∩DF=Q,所以Q∈a,Q∈平 面PAB, 黑白题044