8.3 简单几何体的表面积与体积 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.3 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：45min 1.*（2025·山东青岛高一期中)将一个半径5.*（多选）(2025·安徽准南高一月考)某球 为2cm的金属球熔化后，先浇俦成6个半径 形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可 为1cm的小球，再把剩余材料铸成1个正方 装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球 体，则该正方体的棱长大约为 ( 形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克 A.1.5 cm B.2 cm 力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆 C.2.5 cm D.3 cm 柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为 2.(2025·河北邢台高一期中)一口古井的 R,球形巧克力的半径为r,每个球形巧克力的 形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其 体积为V,包装盒的体积为V,则（) 水面面积大约为4m,水深3m,丰水时节水 面面积大约为9m2,水深5m,则枯水时节的 水量大约为 ( A.个 21 4如3 43 B. A.R=3r B.R=4r C.V2=9V1 D.2V2=27V D.7m3 6.**（多选)(2025·福建宁德高一月考)“端 3.*如图，平行四边形ABCD,AB=2,BC=1, 午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入 ∠ABC-写，以AB所在直线为轴，其他三边旋 世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午 节食俗之一.全国各地的粽子包法各有不同. 转一周所围成的几何体的表面积是( 粽子可包成高为26cm,底面边长为6cm 的正三棱锥状的三角粽，也可做成底面半径 为号m,高为6cm(不合外充)的圆柱状竹筒 棕.现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径 为6cm的半球的体积（参考数据：√2π≈ A.25πB.3√5πC.45π D.3 4.44),则 （) A.这两碗馅料最多可包三角粽35个 4.*(2025·江西抚州高一期末)已知圆锥的 B.这两碗馅料最多可包三角粽36个 7 顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为 8 C.这两碗馅料最多可包竹筒粽21个 D.这两碗馅料最多可包竹筒粽20个 且该圆锥的母线是底面半径的√2倍，若△SAB 7.*(2025·黑龙江哈尔滨高一月考)已知圆 的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为( 台O01的上下底半径分别为1cm,2cm,高为 A.40m B.(40+40W2)T 3cm.光源点A沿该圆台上底面圆周运动一 C.402π D.(40+802)T 周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角 第八章黑白题067 线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为 面上，下底面落在圆锥底面内，则几何体E的 体积为 A.52πcm2 B.5√3πcm2 10.整(2025·山西吕梁高一期末)如图，若一 C.10√2Tcm2 D.103T cm2 个棱长为2的正方体内接于四分之一球形封 8.整（多选）(2025·山西太原高一期中)球面 闭几何体（正方体的两个面分别在两个半圆 被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆 面上，另外两个顶点在曲面上)，则四分之一 叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的 球形封闭几何体的内切球的半径为 段叫做球冠的高.球体被平面截下的一部分 叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面 的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺 是旋转体，可以看作是球冠和其底所在的圆 11.碧(2025·山东泰安高一期中)如图①，设 面所围成的几何体.如图①，一个球面的半径 半圆的直径为4，点B,C三等分半圆， 为R,球冠的高是h,球冠的表面积公式 点M,N分别是OB,OC的中点，将此半圆以 是S=2πRh,与之对应的球缺的体积公式 OA为母线卷成一个圆锥（如图②）.在图②中 是V=号(3R-A).如图②，已知点C是 完成下列各题： (1)求圆锥中线段MW的长； 以AB为直径的圆上的点，∠AOC= 3,扇 (2)求四面体ACMN的体积； (3)求三棱锥M-ABC与三棱锥N-ABC公共 形40C的面积为7，将扇形40c笑直线B 部分的体积 旋转一周得到一个几何体，则下列结论正确 的是 ① ② R ① ② A.该几何体是一个球缺 B.该几何体中球冠的高为1 口谈几何体的体积为 D.该几何体的表面积为(4+2√3)π 9.*(2025·江苏南通高一月考)已知圆锥的 轴截面面积为93，侧面展开图为半圆，则其 母线长为 ；在此圆锥内部挖去 个正四棱柱，形成几何体E,其中正四棱柱的 底面边长为√2，上底面的四个顶点在圆锥侧 必修第二册·RJ黑白题068于正方体表面积减去三个半径为2的}圆，再加上2为半径的 日球面，则5=62-3 4m22+ 8×4×m×22=24-m. 15.行解析：由题意可知以线段CD的垂直平分线为旋转轴旋转一周 得到的几何体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个半径为1的 23mx13=4 半球，所以体积为Tx12×2-1x4 16.C解析：设两球的半径分别为R,1,4rR2-4m2=48m→R2-2= 12,(R+r)(R-T)=12.又2mR+2mr=12m→r+R=6,R-r=2.故 选C. 四方法总结 球的截面的性质： (1)球心和截面圆圆心的连线垂直于载面： (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足 关系式d=√R2-2 17.C解析：因为球0的一截面的面积为2π，所以截面圆的半径为2 又因为球心到该截面的距离为2，所以球的半径为√2+4=√6，所以 球的表面积为4πR2=4×T×6=24π. 重难聚焦 18.A解析：设球的半径为R,因为子R3=45,所以R=3 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱的高为23. 设正三棱柱底面边长为a, 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径，所以=】 ,所以a=6,所以正三棱柱的表面积为3x6x25+2x子x6x6× √3 2=545 19.125m 解析：设该圆锥的底面半径为r,高为h.由扇形圆心角为 48 25π，半径为5，得圆锥底面圆周长为2r=的”×5，解得r=1 5 因为扇形半径为√5，所以2+h2=5,所以h=2.易知球心0在圆锥的 高所在的直线上.设球0的半径为R,则2+(h-R)2=R2,即12+(2- R2=公，解得=至所以球0的体积为子（子）广-2器 125π 8.3阶段综合 黑题 阶段强化 1.B解析：设正方体的棱长为acm,则a3+6×4 x1P=子nx2,解得 38正-2 a=√3 2.B解析：作正四棱台的中截面，如图所示，AB,DC,FE分别为丰水、 枯水、井底的水面边长，则AB=3,CD=2,GH=2,H=3. 因为品光治后所以小=1，=宁质以格水时节的水量为 专（E+Dc2+BPDC)x3= 4m3 E B (第2题) (第3题) 必修第二册·RJ 3.B解析：作出旋转体如图所示. 过点D作AB所在直线的垂线，垂足为E,AB=CD=2,BC=AD=1, 3 ∠AC=∠DM6=牙，则A=子，DE 2 即底面圆的半径，为行则圆E的周长为1=2-5， 圆锥侧面展开图的半径为R=AD=1,上下两个圆锥的侧面积为 S=S2=m·ED:AD=TX21=3T】 2 几何体的侧面展开图是一个矩形，S3=2πh=2π× 3 ·AB=2√3T,所 以几何体的表面积为S=S1+S2+S3= 3m5π+25=35m. 2 2 4.C解析：母线SA,SB所成角的正弦值为 ( 设圆 雏的母线长为，则P.压=5，解得1=45， 2 8 故底面半径r= 45=20,故该圆锥的侧面积为l=20× √ 4wW5π=40W2π. 5.AD解析：由题图知R=3r,故A正确，B错误；易知包装盒的高 为2，放=Rx2=18m2,又K=子r,所以2，=27Y,放C赞 误，D正确 6.AC解析：两碗馅料的体积为2× 1.4 2×3mx63=288m(cm3), 11 正三棱锥的体积为3×2×6x35×2,6=18,5(cm),即-个正三 棱锥状的三角粽的体积为18√2cm3, 因为288π÷18√2=8√2π≈35.52，所以这两碗馅料最多可包三角粽 35个，故A正确，B错误； 一个圆柱状竹筒粽的体积为 312 2 ,2×6= 2m(cm3),因为288m 2 2m≈21.33，所以这两碗馅料最多可包竹简棕21个，故C正确， D错误 7.A解析：如图，光线在圆台内部扫过的面积为圆锥P0,PO1的侧面 积令0A=1cm,01B=2cm,设0P=mcm,0,P=ncm,则OP 0,P 1 ∫n+m=3, 2{n=2m, m=1则AP=1+1=2,BP=√22+2= 1n=2, 2W2,∴.圆锥P0,P01的侧面积的和为S=T×1×W2+T×2×2V2= 5W2π(cm2). h 0 6 E (第7题) (第8题) 8.BCD解析：A.易得将扇形AOC绕直线AB旋转一周得到的几何体 是组合体，下方为一个倒置的圆锥，上方为球缺，故A错误； 如图，过点G作B的垂线，垂足为0，因为扇形0AC的面积为、 且乙A0G=号所以号·04=204=R=2 黑白题042 B.因为0A=2,LA0C=牙，所以00'=0'A=1,所以该几何体中球冠 的高0'A=1,故B正确； C,该儿何体的体积是球缺体积加圆维体积，所以V=于×(，5)2×1+ 子×1x(3x2-1)=8,放c正确； D.该几何体的表面积为球冠表面积加圆锥侧面积，所以S=2π×2× 1+m×√3×2=(4+2√5)m,故D正确. 9.695π-43解析：设圆锥底面圆的半径为r,母 线长为l,高为h, 由题意知，侧面展开图的弧长l=2r,.l=2r,∴.圆 锥的高h=√-7=√3， 由其轴截面的面积为}×2h=月2=95，解得 3,则h=3√5，l=6,故其母线长为6 1 如图，设正四棱柱的高为1，所以圆锥体积为V圆=3mh= 3 Tx 32×35=3×35π=9√5π. 由正四棱柱底面边长α=√2，则正四棱柱的底面对角线的长为2， 半长为1，由图可得 以 ×35=25,故正四 3 棱柱的体积为V正四棱柱=a2h1=45. 所以该儿何体的体积为V侧锥一V正四校柱=9√3π-45. 10.3(√2-1)解析：设四分之一球形封闭几何体的半径为R,如图， 正方体的棱长a满足(V2a)2+ a =R2,因为a=2,所以R=3, 2/ 3 内切球半径r满足（√互+1）r=R,所以r= =3(2-1). 2+1 11.解：(1)在题图②中，设圆锥的底面圆半径为1，则2mr=2×2×2m, 解得r=1. 因为在题图①中，点B,C三等分半圆，所以在题图②中，点A,B,C 为圆锥的底面圆周的三等分点，则△ABC为等边三角形，所以 BC im600=2r=2,所以BC=√3. 又因为点M,N分别是0B,OC的中点，所以MV子G= 2 (2)因为SAMc= 2x5xw3x3=3 2 4,圆锥的高A=V22-。 1 V3,所以V棱练0-ABc=3XS△ABc Xh=?X, V三校锥M-ACN= V3发eo子×三起Ao4 2 E子V三按0-c 3 ,即四面体ACMN的体积为. (3)连接BN,CM交于点P,连接OP并延长OP交BC于点E,则三 棱锥M-ABC与三棱锥N-ABC公共部分即为三棱锥P-ABC. 因为点M,N分别是OB,OC的中点，所以E为BC的中点，且PE= 号0B,所以Vnc-行Vox=子，所以三棱锥M-AC 与三棱锥N-ABC公共部分的体积为4 参考答案 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1平面 白题 基础过关 1.BD解析：根据平面的定义，平面是向四周无限延展的，故无法确定 平面面积，A错误； 由基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面上，那么这条直 线在这个平面内，可得若A∈a,B∈a,A∈，B∈，则aCa,B正确； 当三点共线时，过此三点的平面有无数个，C错误； 由推论，经过两条平行直线，有且仅有一个平面可得D正确 2.B解析：对选项A,经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故A 能确定一个平面. 对选项B,对边相等的四边形，对边有可能异面，不能确定一个平面， 故B不能确定一个平面. 对选项C,经过两条相交直线有且只有一个平面，故C能确定一个 平面. 对选项D,经过两条平行直线有且只有一个平面，故D能确定一个平 面.故选B. 3.7解析：由题意空间中有5个点，其中有4个点在同一平面内，要使 确定的平面最多，则没有任何三点共线，同一平面内的4个点一定能 两两连线，最多可连6条线，由三点确定一平面知任意一条线加上第 5个点都会形成一个平面，因此有6个平面，再加上4点确定的平面 总共是7个平面. 4.C解析：如图，在空间四边形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上 有Ee平面ABC,F∈平面ABC,则直线EFC平面ABC, 同理，直线GHC平面ADC,因为EF,GH能相交于点P,即P∈EF, P∈GH,所以P∈平面ABC,P∈平面ADC.而平面ABC∩平面 ADC=AC,于是有PEAC,A不正确，C正确，D不正确；又直线AC与 BD没有公共点，即点P不在直线BD上，B不正确 (第4题) (第5题) 5.B解析：如图，连接AD1,BC1,BD1,BE. 0e直线AE,AEC平面ABC,D1,.OE平面ABC,D1. 又：OE平面BB1D1D,平面ABC1D1∩平面BB1D1D=BD1,OE直 线BD1,D1,O,B三点共线. .△AB0Cp△ED10,.OB:OD1=AB:ED1=3:1,.OB=3OD1.故 选B 6.共线解析：如图，因为AC∥BD,则AC与BD确定一个平面B,而C, Dea,所以anB=CD.又lna=0,即0ea,而lCB,则有0eB,于是 得0∈CD,所以0，C,D三点共线 7.ABD解析：因为AA1∥CC1,所以A,A1,C1,C四点共面因为M∈A1C,所 以M∈平面ACC,A1.又M∈平面AB,D1,所以点M在平面ACC,A1与 平面AB,D1的交线上.同理，O,A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的 交线上，所以A,M,0三点共线，M,0,A1,A四点共面，故选项A, B正确； 连接BD,B,B1,O三点均在平面BB1D1D内，而点A不在平面 BB,D1D内，所以直线AO与平面BB1D1D相交且点O是交点，所以 黑白题043