8.3.2 第2课时 球的表面积和体积 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第2课时　球的表面积和体积 导学 球的表面积与体积 从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展成平面图形．那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长．理论上，只要取得圆内接正多边形的边数越多，圆周率越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思想． 运用上述思想能否计算球的表面积和体积？ [提示]　可以． 求球的表面积和体积需要什么条件？ [提示]　已知球的半径即可． ◎结论形成 1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 2．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．(　　) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(　　) (3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝S.(　　) (4)球的半径变为原来的2倍，其体积变为原来的4倍．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．半径为1的半球的表面积为(　　) A．π　　　　　　　　 B．2π C．3π D．4π 解析　由球的表面积公式可得 S半球＝×4π×1＋π×12＝3π. 答案　C 3．若棱长为1的正方体的各棱都与一球面相切，则该球的体积为(　　) A. B. C. D. 解析　由题意知球的半径r＝， 则V球＝πr3＝π×＝π.故选B. 答案　B 4．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的(　　) A．2倍 B．2倍 C.倍 D．3倍 解析　设原球的半径为R，表面积扩大 2倍，则半径扩大倍，体积扩大 2倍． 答案　B 一个球的表面积是16π，则它的体积是(　　) A．64π　 　　　　　　　 B. C．32π D.π [解析]　设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝πR3＝π. [答案]　D 求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．　 [触类旁通] 1．将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为________． 解析　V小球＝·π·13＝π， V大球＝πR3， 依题意πR3＝π×2＝π， ∴R3＝2，∴R＝. 答案　 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　) A. cm3 　 B． cm3 C. cm3 　 D． cm3 [解析]　如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42， ∴R＝5.∴V球＝π×53＝π(cm3)． [答案]　A 球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.　 [触类旁通] 2．一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是(　　) A．12π cm3 B．36π cm3 C．64π cm3 D．108π cm3 解析　设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示． 在Rt△OO1A中，O1A＝ cm， OO1＝2 cm， ∴球的半径R＝OA ＝ ＝3(cm)， ∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)． 答案　B 有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积． [解析]　设正方体的棱长为a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r1＝a，r1＝， 所以S1＝4πr＝πa2. (2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②， 所以有2r2＝a，r2＝a， 所以S2＝4πr＝2πa2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③， 所以有2r3＝a，r3＝a， 所以S3＝4πr＝3πa2. [母题变式] 若将例3改为“一个长方体的顶点均在同一个球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3.”则此球的表面积为________． 解析　长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π. 答案　14π [素养聚焦]　借助球的切、接等问题，把直观想象和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 常见几何体与球的切、接问题的解决策略 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等． (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．　 [触类旁通] 3．球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比为________． 解析　如图，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆O1. 设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R； OB＝＝R， SO＝OB·tan 60°＝R·＝3R， ∴V球＝πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3， V锥＝π·(R)2·3R＝3πR3， ∴V球∶V柱∶V锥＝4∶6∶9. 答案　4∶6∶9 知识落实 技法强化 (1)球的表面积和体积． (2)简单几何体的表面积和体积公式的应用． (3)球与空间几何体的切接问题. 球的切接问题常常将空间问题转化为平面问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$