8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第八章 立体几何初步 8.1 基本 第1课时 棱柱、棱 白题 基础过关 题组1棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1.★（多选）(2025·四川南充高一月考)下列 命题正确的有 ( A.长方体是平行六面体 B.正四棱柱是正方体 C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四 棱锥 D.棱台的侧面是梯形 2.*(2025·河北邢台高一期中)下列命题正 确的是 () A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的 底面 B.所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥 C.所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定 是正四棱柱 D.棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 3.*(2025·安徽蚌埠高一月考)下列说法 中，正确的是 A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B.一个多面体至少有4个面 C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四 边形的多面体是棱柱 D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之 间的部分是棱台 4.(2025·陕西西安高一期中)已知某n棱锥 有m个面，k条棱，若3k=5m,则n= 5.(2025·福建泉州高一期中)以三棱台的 顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱 台分成 个三棱锥， 必修第二册·RJ 立体图形 锥、棱台的结构特征 限时：25min 题组2多面体的识别和判断 6.*(多选)(2025·河北承德高一期中)若空 间几何体A的顶点数和空间几何体B的顶点 数之和为12，则A和B可能分别是() A.三棱锥和四棱柱 B.四棱锥和三棱柱 C.四棱锥和四棱柱 D.五棱锥和三棱柱 7.*(2025·河南商丘高一期中)从长方体的 一个顶点出发的三条棱上各取一点E,F,G, 过此三点作长方体的截面，那么截去的几何 体是 () A.三棱柱 B.三棱锥 C.四棱柱 D.四棱锥 题组3多面体的平面展开图 8.·如图①②③中的平面图形沿虚线折叠还 原后的几何体分别是 A.棱锥、棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥、棱台 C.棱台、棱锥、棱柱 D.棱台、棱柱、棱锥 9.*★（2025·山东菏泽高一月考)在正三棱 柱ABC-A1B,C1中，AB=2AA1=2,N为A1C1的 中点，M为线段AA1上的点.则IMNI+IMBI的 最小值为 黑白题058 第2课时旋转体与简单组合体的结构特征 白题 基础过关 限时：25min 题组1旋转体的结构特征 5.*下图中的组合体的结构特征有以下几种 1.*(多选)(2025·黑龙江绥化高一月考)下 说法： 列说法中不正确的是 ( A.将正方形旋转不可能形成圆柱 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是 一个旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 ①由一个长方体挖去一个四棱柱构成； D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线 ②由一个长方体与两个四棱柱组合而成； 2.(多选)(2025·山东济宁高一月考)下列 ③由一个长方体挖去一个三棱柱构成； 命题中正确的是 () ④由一个长方体与两个三棱柱组合而成： A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球 其中正确的说法是 (填序号)》 的半径 B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积 题组3简单几何体的展开图问题和截面问题 相等 6.·如图所示的几何体是从一个圆 C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面 柱中挖去一个以圆柱的上底面为底 D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到 3.*下列关于球体的说法中，所有正确的序号 的几何体，现用一个平行于底面的平面去截这 是 ①球面是空间中到定点的距离等于定长的点 个几何体，则截面图形为 的集合； ②用一个平面去截一个球得到的截面是圆面； ⊙ ③一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的 曲面所围成的几何体是球； 7.*(2025·广东惠州高一期中)用一个平面 ④球的对称轴只有1条. 截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几 题组2简单组合体的结构特征 何体不可能是 （) 4.·(2025·四川广安高一期中)若正五边 形ABCDE的中心为O,以AO所在的直线为 A.长方体B.圆锥C.棱锥D.圆台 轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几 8.*如图，一圆柱体的底面周长为24cm,母 何体，则 ( 线为16cm,BC是上底面的直径.一只昆虫从 A.该几何体为圆台 点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,这只 B.该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单 昆虫爬行的最短路程是 组合体 C.该几何体为圆柱 D.该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单 组合体 第八章黑白题059则有2(a2+r2)(b2+r2)+2(a2-2)(62-2)=4(62-2)2, 化简可得a2=b2-22。 故-a2=2 2 四方法总结 有关共轭复数及模的常用性质： (（1)任意1，C,则场=场·西写 21 1 (2)任意z∈C,则1z=|引，·z=lz12 第七章 真题演练 黑题 真题体验 1.C解析：因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i,所以其虚部为1. 111i 2.A解析：因为=1+i,所以一1+1产-i 3.C解析：由题意得z=i(-1-i)=1-i.故选C 4.A解析：由z=5+i=→z=5-i,z+z=10,则i(z+z)=10i.故选A 5(1+3)=51-）=1-i故选C 5.C解析：2+)(2-分5、 6.C解析：因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+ita=2a+(1-a2)i=2,所以 2a=2,解得a=1.故选C (1-a2=0, 1.c解折：因为片什1日1，所以=11-故选C z-1z-1 1+1 第八章 立 8.1基本立体图形 第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征 白题基础过关 1.ACD解析：对于A,底面是矩形的直平行六面体是长方体，故 A正确. 对于B,正四棱柱要求底面为正方形且侧棱与底面垂直，但未限定侧 棱长度必须等于底面边长.若侧棱长度与底面边长相等，则为正方 体，否则仅为长方体因此，正四棱柱不一定是正方体，故B错误. 对于C,侧面均为相交于一点的三角形，底面为多边形的几何体为棱 锥，根据底面的边数，分为三棱锥、四棱锥等若某棱锥有一个面为平 行四边形，由棱锥定义可知，该面一定为棱锥的底面，因此有一个面 是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确， 对于D,棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到，原棱锥的侧面 为三角形，截后变为梯形，故D正确 2.D解析：对于A,正六棱柱中两个互相平行的平面可能是侧面」 则A错误； 对于B,正八面体的所有面都是三角形，则B错误： 对于C,底面是菱形的直四棱柱的所有侧面都是全等的矩形，则 C错误； 对于D,由棱台的定义可知棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一 点，则D正确： 3.B解析：正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点与底面中心的连 线垂直于底面，A错误； 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确； 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱 柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误： 用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面 参考答案 2-子，所以=2，所 8.A解析：因为=2+221)(1-4 以z-z=-i故选A. ==1-=1-2i,则z=1+2i.故 9.B解析：212 选B. 10.7-√5i解析：(5+i)·（5-2i)=5+√5i-25i+2=7-√5i.故答案 为7-√5i 1州折-侣2-4藏答案为 12.C解析：z=-1-i,1z=√(-1)2+(-1)2=2.故选C. 13.D解析：z在复平面内对应的点是(-1,3)，根据复数的几何意 义，z=-1+√3i,由共轭复数的定义可知，z=-1-√3i.故选D. 14.B解析：由i·2+2=2i可得，2=2+21=2+21，所以1z1= i √22+22=2W2. 15.A解析：因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,所以所求复数在复 平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限故选A. 16.C解析：2+2+2i3=2-1-2i=1-2i,则12+2+231=11-2i1= √12+(-2)2=√5.故选C. 17.0解析：先由题意，得3+=-i(3+1)=1-31,所以 3+i /12+(-3)7=√/10. 体几何初步 与截面之间的部分才是棱台，D错误 四易错提醒 1直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱；正棱柱是在直棱柱的基础上增 加了一个底面是正多边形的条件，即正棱柱一定是直棱柱 2.用平行于底面的平面去截棱柱，所得的截面与底面是全等的多边形 3.棱柱可以看成是一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何 体，平移起止位置的两个面就是棱柱的底面，多边形的边平移所形 成的面就是棱柱的侧面， 4,5解析：依题意，n棱锥的侧棱数为n,底面边数为n,则棱数k=2n,n 棱锥的侧面数为n,则面数m=n+1,而3k=5m,于是6n=5(n+1),所 以n=5. 5.3解析：如图，三棱台ABC-A1B1C1可分割成三棱锥A1-ABC,三棱 锥B-A1CC1,三棱锥C1-A1B1B,共3个 B B (第5题) (第7题) 6.AD解析：对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为 8个，所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意； 对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个，所以 两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意； 对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个，所以 两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意； 对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个，所以 两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意. 7.B解析：如图所示，截去的立体图形有四个面，且各面均为三角形 黑白题037 所以该几何体为三棱锥 8.B解析：由几何体展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，把展 开图沿虚线折叠还原后的几何体，分别为棱柱、棱锥、棱台.故选B. 9.√I0解析：将侧面ABB1A,沿A1A展开，使得侧面ABB,A1与侧 面ACC1A1在同一平面内， 如图，连接BN交M1于M,则IMNI+IMBI的最小值为此时的 IBNI,IBWI=√BB+B1=√T2+37=√I0, .IMNI+IMBI的最小值为√10 N 第2课时旋转体与简单组合体的结构特征 白题基础过关 1.ABD解析：对于A,将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆 柱，所以A错误； 对于B,当这两个平行截面与底面平行时正确，当这两个平行截面不 与圆柱的底面平行时，夹在圆柱的两个平行截面间的几何体就不是 旋转体，所以B错误； 对于C,圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，所以C正确； 对于D,通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误 2.ACD解析：对于A,根据球的特征，可知A项正确； 对于B,圆锥的轴截面为三角形，该三角形顶角的取值范围为(0 π)，显然面积不相等，故B项错误； 对于C,根据圆台的特征，可知C项正确； 对于D,圆锥所有的轴截面都是三角形，且腰长等于母线长，故 D项正确. 四重难点拨 1.圆柱、圆锥与圆台在结构上的相同点：它们都是由平面多边形旋转 形成的几何体，它们都有底面且底面都是圆面. 2圆柱、圆锥与圆台在结构上的不同点：圆柱和圆台都有两个底面， 而圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面圆的半径是相等的，园台的 两个底面圆的半径是不等的 3.它们之间能够相互转化，圆台是由圆锥截取得到的，圆台的上底面 扩大，使上、下底面圆的半径相等，就是圆柱，圆台的上底面缩为 个点，就是圆锥 3.①②③解析：对于①，球面是空间中到定点的距离等于定长的点的 集合，是正确的； 对于②，用一个平面去截一个球得到的截面是圆面，是正确的； 对于③，一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几 何体是球，是正确的： 对于④，球的每一条直径所在的直线都是对称轴，有无数条，故 ④错误. 4.B解析：由题意可知形成如图的几何体，该几何体是由圆台和圆锥 组合而成的简单组合体 0 5.①②解析：①：题图中组合体可以看成由一个长方体挖去一个四棱 柱构成.判断正确：②：题图中组合体可以看成由一个长方体与两个 四棱柱组合而成.判断正确：③④判断错误 6.C解析：用平行于底面的平面去截这个几何体，那么就相当于截了一个 圆柱，外加一个圆锥，形成的是两个圆，即圆环，并且圆环内部是实的，故 选C 7.D解析：对于A项，如图①，用平面ACD1截长方体，得到的截面是 三角形，故A项可能； 对于B项，如图②，用平面PAB截圆锥，得到的截面是三角形，故 必修第二册·RJ B项可能： D B D 61 ① ②@ 对于C项，三棱锥各个面为三角形：除三棱锥外，过棱锥底面不相邻 两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C项可能： 对于D项，圆台的截面不可能为三角形，故D项不可能 8.20cm解析：作出圆柱的侧面展开图如图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段AC时，爬行的路程最短，：圆柱体的底 1 面周长为24cm,D=2×24=12(m),最短路程为 √AD2+CD=√122+16=20(cm).故答案为20cm B B D 8.1阶段综合 黑题 阶段强化 1.CD解析：题图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台：题图②上、 下两个面不平行，所以②不是圆台：题图③是四面体：题图④上、下两 个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平 行，所以④是棱柱.故选CD 2.B解析：将平面图形折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻的平面 中三条线段是平行线，排除A,C:相邻平面只有两个是空白面，排除 D,故选B. 3.C解析：由正棱台的定义知四边形A1B1C1D1是正方形，O10是高， 则由正棱锥的定义知O-A,BC,D1是正四棱锥，①正确； 根据棱台的结构特征可知，在几何体C,D1D-B1A1A中，没有任何两 个平面平行，②错误； 将四棱台A1B,C,D1-ABCD侧棱延长交于一点P,即在几何体 A,C,D1-ACD中，侧棱延长交于点P,且上下底面平行，所以几何 体A1C,D1-ACD是三棱台，③正确. 4.BCD解析：对于A,截面中间是矩形，如果可能的话，那么一定是用 和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并且是从挖去四棱锥的那 部分剖开的，但此时剖面中间应该是一个正方形，因此选项A不可能 是截面；对于B,当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截 面正好通过四棱锥顶点，如图①，此时截面形状如选项B,故B可能 是该几何体的截面：对于C,当截面不经过底面一组相对棱的中点 处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，如图②中截面PDGH位置， 截面形状就会如选项C,故C可能是该几何体的截面；对于D,如图 ③，按图中截面AB1C,的位置去剖开正方体，截面就会如选项D,故 D可能是该几何体的截面.故选BCD, E 多H ① ② ③ 5.C解析：如图，0为正八棱锥 S-ABCDEFGH)底面外接圆的圆心，连 接OA,OB,OE,S0,由题意，得 3π ∠OAB= 8 ∠B=a,则号AB= 3π cos 8 SA·c0sax=0A·c0s 3TT SA 8 0A cos a 黑白题038