7.2.2 复数的乘、除运算-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

7.2.2 复数 白题 基础过关 题组1复数的乘法运算 1.·(2025·江苏淮安高一期末)i为虚数单 位，I(2+i)il的值为 ( A.√5 B.5 C.2 D.4 2.*（2025·江西赣州高一期末)复数 225(1+2i)的虚部为 ( A.-1 B.1 C.2 D.-2 3.*★(2025·黑龙江哈尔滨高一月考)使复 数（√3+i)”为纯虚数的最小自然数n是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2025·湖南长沙高一月考)设z三 2021+bi(i为虚数单位)，若z·z=20292 则实数b= 题组2复数的除法运算 2 5.·(2025·福建三明高一期末)复数z= 1-i 的共轭复数为 A.1-i B.1+i C.2-2i D.2+2i 6.*★(2025·河南南阳高一期末)若复数z满 足i·z=1-2i,则z在复平面内对应的点位于 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.*(2025·河北邯郸高一期中)已知a∈ R,复数1=a+3i,云，=2+i,若为纯虚数，则 32 的虚部为 32 题组3复数范围内实系数一元二次方程的根 8.*(2025·福建福州高一期中)已知3+2i 是关于x的方程x2+px+q=0(p,9∈R)的一个 复数根，则p= A.-6 B.-4 C.4 D.6 必修第二册·RJ 的乘、除运算 电子错题本 限时：30min 9.(2025·江苏无锡高一期末)已知一元二 次方程x2+px+5=0的两个虚根分别为x1,x2, 且满足1x1-x2=4,则实数p的值为 题组4复数的综合运算 10.*(2025·安徽阜阳高一月考)若复数z=2+ i,其中是虚数单位，则(。-)·=（(） A.-2 B.4 C.3 D.-4 11.*(多选)(2025·陕西榆林高一期中) 若1,2是复数，则下列说法错误的是() A.若1z,|=1,则+z1∈R 21 B.若z=z3,则z1=z2 C.若∈R,l,≠0，则∈R 22 D.若2+z=0,则z1=z2或z1=-2 12.*(2024·河北衡水高一期末)已知复 数a1=1+mi,a2=2+3i(m∈R): (1)若m=-1,且(2-3i)z1+a2=x+y1,求实数 x,y的值； (2)若为纯虚数，且z=,-i·云2，求复数2 22 的模 黑白题048 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2025·广东东莞高一月考)如图，在复6.接(2025·广东深圳高一期中)设α和B是 平面内，复数1,2对应的向量分别是0A,0, 关于x的方程x2-4x+m=0的两个虚数根，若 则复数名1·2对应的点位于 α，B,-1在复平面内对应的点构成直角三角 A.第一象限 形，则实数m= B.第二象限 7.整(2025·河南周口高一期末)对任意一个 C.第三象限 非零复数z,定义集合：M2={ω1w=2m-1, D.第四象限 nEN. 2.★（多选）(2025·广东惠州高一月考)已知 (1)设4是方程x+1=2的一个根，试用列举 复数z的虚部大于0，且满足z·z=1,z+ 法表示集合M。; z+|z1=0,则 ( (2)若复数w∈M,求证MCM A.z+z+1=0 =1 C.z2+z-1=0 D.z3-1=0 3.**(2025·福建福州高一期中)若x2+1可 分解因式为(x-z1)(x-z2),且(z1-z2)i>0,则 复数的虚部为 A.1 . 1 C.-1 4.“(2025·山东菏泽高一月考)若2+2ai1 1+i =x+ yi(a,x,y∈R),且xy>1,则实数a的取值范 围是 A.(-∞，-√2)U(√2，+0) B.(-∞，-2)U(2,+0) C.(√2，+0) D.(2,+0) 5.*(多选)(2025·山西太原高一期中)已知 复数1,2,83是方程(z-i)(z2-2i)=0的三个 互不相同的复数根，则下列结论正确的是 压轴挑战 ( 禁已知k+2个两两互不相等的复数名1,22， A.复数1,2,3的实部之和为0 4 B.复数a1,2,2的虚部之积为-1 …,之k,01,02满足01-02= ,若1w-2a1∈ 201-2 C.复数a1,2,3的模长之和为3 11,3}(其中j=1,2;a=1,2,…,k), D.复数1,2,23的积为2 则正整数k的最大值为 第七章黑白题0490Z,0Z2是复数1,2所对应的向量，10Z1=lz11,10Z21=121, 当0Z,0Z,不共线时，平行四边形0Z2ZZ1对角线所成向量0立= 0z+0Z2, .向量0Z是复数1+2所对应的向量，101=l31+2l, .在△0Z,Z中，由“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之 差小于第三边”的性质可得，1z11+121=10Z1+10Z21=10Z1+ 1Z121>102=11+21,11z11-1z211=110z1-10z211=110Z1- 1Z1Z1<1021=lz1+2l,1lz1-l211<x1+a21<1l+a21,当且仅 当0Z,0Z2共线且方向相同时，la1+21=a11+1z21, 当且仅当0Z,0Z2共线且方向相反时，11+21=11a11-211,综上所 述，1川a11-lz211≤1z1+z21≤lz11+lz21 重难聚焦 7.A解析：设z在复平面内对应的点为(x,y）,即z=x+yi(x,yeR),因 为1z+1-i1=1z1,即1(x+1)+(y-1)i1=1x+i1,可得 √(x+1)2+(y-1)2=√x2+y2,整理得x-y+1=0. 8.A解析：设-2i,2i,1在复平面内对应的点 4 分别为Z1,Z2,Z3,因为1z+2i1+1z-2i1=4, 且1Z122=4,则复数z对应的点Z的轨迹 为线段Z1Z2,如图所示. 故1z-1|的最小值问题可理解为：动点Z在 0Z 线段21乙2上移动，求1ZZ31的最小值，故只 需作Z3Z01Z122,交线段Z1Z2于点Z0, 则1Z3Zo1即为所求的最小值1，故1z-1I的 -2 最小值是1. 9.√5+1解析：满足Iz=1的复数z所对应的点在以坐标原点为圆心 1为半径的圆上，1z-2-i的几何意义为z所对应的点到点P(2,1)的 距离，因为10P1=√22+17=5，所以z-2-i的最大值为5+1. 黑题应用提优 1.A解析：设复数z=a+bi,a,b∈R,则共轭复数z=a-bi,因为z+z= 43点列猫方程如《侣的的求据孩方程组得 0=2所以复数=2+1 0b=1. 在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，横坐标2>0，纵坐标1>0，所以 该点在第一象限. 2.C解析：复数名1=1+2i,2=a+4i,则1a1+21=1名1+1z21台 √(a+1)2+36=5+√2+16台a+8=√5a2+80,解得a=2,所以 “a=2”是“1a1+2|=zl+l2”的充要条件. 3.A解析：因为名1=-3-i,所以点A(-3,-1).因为点A与点B关于直 线y=x对称，所以B(-1,-3),22=-1-3i,所以1z1+21=1-4-4il= √(-4)2+(-4)2=42. 4.A解析：设z=x+yi(x,y∈R),则z-2-4i=(x-2)+(y-4)i,所 以1z-2-4i1=√(x-2)2+(y-4)7=1,即(y-4)2=1-(x-2)2,所以 (y-4)2≤1，可得-1≤y-4≤1，解得3≤y≤5，当z的虚部取最小值 时，即当y=3时，则(x-2)2+(3-4)2=1,解得x=2,故z=2+3i. 5.ABC解析：复数z1=2-2i在复平面内对应的点为P1(2,-2), 故A正确； 复数1=2-2i,所以云1=2+2i,故B正确； 设2=x+yi(x,yeR),则1z2-il=lx+yi-il= √2+(y-1)2=1,即复数2在复平面内对应的 点到(0,1)的距离为1，所以2在复平面内对应 的点P2的轨迹为以(0,1)为圆心，以1为半径 的圆，如图， 又z1-2|表示的是复数z1和2在复平面内对 应的两点之间的距离，即IP1P21. 而IP1P2I的最大值是IPCI+r= √(2-0)2+(-2-1)2+1=√13+1：1P1P21的最 参考答案 小值是1P1C1-r=√13-1.所以1z1-221的最大值为√13+1，最小值为 √13-1，故C正确，D错误.故选ABC. 6.3+32解析：由题得a1+z2=3+3i,∴.f(1+z2)=f(3+3i)=3+ 13+3il=3+32.故答案为3+35. 7.√10解析：由题意可设z2=a+bi(a<0,b>0),z2对应的向量为 (a,b),1对应的向量为(1,2)，由旋转性质得2和1模相等，且它 们对应的向量垂直，则4+6=5解得a=-2, a+2b=0, 3=-2+i,.a1-z2=(1+2i)-(-2+i)=3+i,1z1-21=√10. 8.外心解析：设z对应点为P,且z-11=lz-2=lz-31,根据向量减 法的几何意义知P=P1=P元1，即P到三角形三个顶点的距离 相等，所以z在复平面内对应的点为△ABC的外心 9.解：(1)依题意，12=(m2-m)+(m2-2)i,而名1-2在复平面内对应 的点位于第三象限，则m-m<0,解得0<m<1,所以m的取值范围 m2-2<0, 为(0,1) (2)依题意，0A=(m2+m,m2-1),0B=(2m,1),由0.0品=0，得 2m(m2+m)+m2-1=(m+1)2(2m-1)=0,解得m=2 或m=-1, 1 33 而m=-1时，A(0,0)为原点，不符合题意，因此m= 2=44i, 2=1-i,所以11-21= 1,1.2 4+4=4 7.2.2复数的乘、除运算 白题 基础过关 1.A解析：因为(2+i)i=-1+2i,所以1(2+i)i1=1-1+2i1= w√（-1)2+22=√W5. 2.B解析：i2025(1+2i)=i06x4+1(1+2i)=i(1+2i)=-2+i,虚部为1. 四重难点拨 复数乘方运算的周期性：4=1. 3.C解析：因为(W3+i)=2+23i,(5+i)°=2(1+3i)(√3+i)=8i, 因此使得复数（√5+i)°为纯虚数的最小自然数n是3. 4.±180解析：因为z·z=1z12,所以20292=20212+b2,所以b2= 20292-20212=(2029+2021)(2029-2021),62=32400,解得b= ±180. 四重难点拨 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数模的平方， 22(1+i) 2+2i_2+2i=1+i,所以2= 5.A解析：因为复数z白(1)(1+n)1-2 1-i. 6.C解析：z= 1-2_-21)1=-2-1，所以z在复平面内对应的点为 2 （-2,-1),位于第三象限. ,解析：由2=2+i,得，=2-i,所以4=a+31)(2+ z2(2-i)(2+i) 2a3a+61因为为纯虚数所以2a-3=0,即a=},所以 21 4=（a+6)i3 3 32 5 ，所以的虚部为 2 8.A解析：因为3+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p,9eR)的一个复 数根，所以(3+2i)2+p(3+2i)+q=0,整理得5+3p+q+(12+2p)i=0,而 p,9∈R,故p=-6,q=13. 9.2或-2解析：因为一元二次方程x2+x+5=0的两个虚根x1,2为 共轭虚根，所以可设x1=a+bi,x2=a-bi(其中a,beR).所以由根与 系数的关系可得+，=2a=-p, (x1x2=a2+b2=5. 而1x1-x2|=12bil=4,解得b=±2， 0土. 所以当a=1时，p=-2;当a=-1时，p=2.故实数p的值为2或-2. 黑白题031 10B据折=2，放可得=2，（日） ·z=z·z-1=4-2-1=4 11.BCD解析：A:设a1=a+bi,a,beR,由|z11=1,得a2+b2=1,1+ =2aeR,故A正确： 31 atbi=atbit a-bi a2+b2 当4=1=子受时，满足但放B错误： C:当a1=1+i,2=1-i时，满足2=(1+i)(1-i)=2eR,但= 32 1+i(1+i)2 1(1-)(1+igR,故C错误； D:当a=1,2=i时，满足子+=0，但≠2，故D错误 12.解：(1)若m=-1,则x1=1+mi=1-i, (2-3i)z1+z2=x+y1,.(2-3i)(1-i)+2+3i=1-2i=x+y1, 可得x=1,y=-2. （a-0径别23为地数。 +3m0可得m=-名 2 (2m-3≠0， 21-i(2-31)=-23, 8 .z=z1-i·z2=1- 3 黑题 应用提优 1.A解析：由题意0i=(2,-1),02=(1,1),1=2-i,2=1+i.复 数z1·z2=(2-i)(1+i)=3+i所对应的点(3,1)位于第一象限. 2.ABD解析：设复数z=x+1,x,yeR,且y>0,则z=x-1,z+z= 2,11=家+行，由a=1且+11=0，得， 解 2x+√2+=0， x=2 方程得 所以复数=1+3 2+21对于A:+标+1=0正确， =2 13. 22 13 22 -13 2+2 =1,正确 15-1+51-1=-2,错误： 对于C:2+z-1=22122 对（名）八()1-（日）小 ()1=1-1-0,正 3.D解析：因为2+1=2-(-1)=2-2=(x+i(x-i),若1i,则 (2=-i, 名=2i,所以(31-)i=22=-2<0,不符合题意；若1则 (z2=i, 21-2=-2i,所以(a1-z2)i=-22=2>0,符合题意；所以1=-i,2=i, 所以么1。-i(1-) 品品宁了，所以复数的虚部 为 A解析：因为1=x+yi(a,,yeR),所以2+2ai=(x+yi)(1+ yi.所以2a解将气行1因为>1.所以。-1>1 (y=a-1. 解得a<-√2或a>√2. 必修第二册·RJ 5.ABD解析：因为(z-i)(z2-2i)=0,其三个不同的复数根为i,1+i, -1-i, 因为三个根的实部分别是0,1，-1，三个实部之和为0，故A正确： 因为三个根的虚部分别是1,1，-1，三个虚部之积为-1，故B正确； 根据模长定义，1名1|+|21+131=√2+√2+1下+ √(-1)2+(-1)2=1+2√2，故C错误 名1223=i(1+i)(-1-i)=1-2=2,故D正确 6.13解析：设a=a+bi,a,b∈R,由实系数一元二次方程虚根成对定理 可得B=a=a-bi,由根与系数的关系可得a+B=2a=4,6=a2+b2=m, 整理得a=2,m=b2+4, 设a,B,-1在复平面内对应的点分别为A(2,b),B(2,-b),C(-1, 0),则C=(3,b),C3=(3,-b), 可知A,B关于x轴对称，又复平面内，B,-1对应的点构成直角三 角形，则CA1CB,即Ci.C=9-b2=0,解得b2=9, 所以m=b2+4=13. 7.（1）解：由+1=2，得2-2x+1=0, F2(1+),02= 2(1-), 当a时= a al 当a,=2(1-)时，吲=-i,吟1=（a)_(-i) √ 层品云}=业 综上-经40，经10，受01} (2)证明：weM,存在meN,使得w=2m-1.于是对任意neN, w2m-1=z(2m-1)(2n-1) 由于(2m-1)(2n-1)是正奇数，a2m-1∈M,M二M, 压轴挑战 5解析：设01=a+bi,w2=c+di(a,b,c,deR), 4,所以（西-2）· 因为西1-250102 (w1-02)=4,即[(a-c)-(b-d)i]· [(a-c)+(b-d)i]=4,化为(a-c)2+ (b-d)2=4,故01，w2对应平面内距离为2 的点，如图中F,G, 因为02.1e{1,3引，所以z。与01,02对应点的距离为1或3，即构成 了点A,B,C,D,E共5个点，故k的最大值为5. 7.2阶段综合 黑题 阶段强化 1.B解析：z=1+5)(1+) -a=-a-2+3i.因为复数z的实部与虚部互 (1-i)(1+i) 为相反数，所以-a-2+3=0,即a=1,所以z=-3+3i,所以复数z在复 平面上对应的点为(-3,3)，在第二象限故选B. 2D解折：设：=a+h(a,beR),则=a-(a,beR),则云号 a+bi,a-i_(a+bi)(1-i)+(a-b)1+=a+b=1,所以b=1-a, 1+i1-i (1+i)(1-i) 则a1o=v22} 所以：1的最小值为号故选D 3.AC解析：设1=a+bi,2=c+di(a,b,c,deR),则=a-bi,=c-di, 对于A中，1-a2=(a-c)+(b-d)i,-2=(a-c)+(d-b)i,所以z1-2 与1-22不能恒成立，所以A符合题意； 对于B中，由11-21=√(a-℃)2+(b-d)2,11-21= 黑白题032