7.2.1 复数的加、 减运算及其几何意义-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 白题 基础过关 限时：30min 题组1复数的加、减运算 6.*已知名1,2∈C,求证：11名11-|a211≤ 1.·（2025·江西萍乡高一期中)复数(4+i) 1z1+z21≤|z1|+|z21. （1+5i)的虚部为 A.-4 B.4 C.-4i D.4i 2.★*（多选）已知复数z在复平面上对应的点的 坐标为(-1,1)，则下列结论错误的是（ A.z+1是实数 B.z+1是纯虚数 C.z+i是实数 D.z+i是纯虚数 3.*(2025·浙江杭州高一期中)已知复 数名1=a2-3ai,2=-a+(a2+2)i,a∈R,若z1+a2 为纯虚数，则实数a的值为 题组2复数加、减运算的几何意义 4.·如图所示，在复平面内，复数1,2所对应 的点分别为A,B,则IAB1三 重难聚焦 题组3与复数的模有关的轨迹问题 7.**(2025·湖北武汉高一期末)复数z满 A.1z11-1z2 B.1z1I+|z21 足|z+1-il=|z1,若z在复平面内对应的点 C.1z1-z2 D.Iz1+z21 为(x,y),则 ( 5.★（多选）(2025·浙江温州高一月考)在复 A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 平面内有一个平行四边形OABC,点O为坐标 C.x+y+1=0 D.x+y-1=0 原点，点A对应的复数为z,=1+i,点B对应的 8.*(2025·江苏连云港高一期中)已知 复数为z2=1+2i,点C对应的复数为a3,则下 i为虚数单位，如果复数z满足|z+2i|+ 列结论正确的是 1z-2il=4,那么1z-11的最小值是( ( A.21-22=-i A.1 B.√2 B.点C位于第二象限 C.2 D.5 C.21+z3=22 9.**(2025·江西赣州高一月考)复数z满 足1z1=1,则1z-2-i1的最大值为 D.|z1-a31=1AC1 必修第二册·RJ黑白题046 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2025·安徽合肥高一期末)已知z+z=7.*(2025·安徽宣城高一期中)在复平面 4,z-z=2i,则复数z在复平面内所对应的点 内，向量0A对应的复数z1=1+2i,0A绕点0 位于 ( 逆时针旋转90°后对应的复数为2，则 A.第一象限 B.第二象限 1z1-z2|= C.第三象限 D.第四象限 8.籍(2025·广西柳州高一期末)已知复 2.*(2025·江西萍乡高一期中)已知复 数名1,2，在复平面内对应的点分别为A, 数a1=1+2i,z2=a+4i(a∈R,i为虚数单位)， B,C,且点A,B,C连接后构成三角形.若复 则“a=2”是“1z1+z21=1z11+|a21”的( 数z满足1z-名1=z-名21=z-231,则z在复平 A.充分不必要条件 面内对应的点为△ABC的 .(填“外 B.必要不充分条件 心”“重心”或“垂心”) C.充要条件 9.整(2025·广东广州高一月考)已知m∈ D.既不充分也不必要条件 R,复数z1=(m2+m)+(m2-1)i,2=2m+i. 3.**(2025·江西南昌高一月考)已知复 (1)若z,-z2在复平面内对应的点位于第三 数名，=-3-i,在复平面内，复数1,2对应的 象限，求m的取值范围； 点分别为A,B,且点A与点B关于直线y=x (2)设0为坐标原点，名1,2在复平面内对应 对称，则1z1+z2|= ( 的点分别为A,B(不与0重合)，若0A· A.42 B.2√/10 0B=0,求|z1-a21. C.22 D.√/10 4.**(2025·重庆巴蜀中学高一期中)已知 复数z满足1z-2-4i1=1,当z的虚部取最小 值时，z= A.2+3i B.2-3i C.-3+5i D.-3+3i 5.*(多选)(2024·广东深圳高一月考)已 知复数名1=2-2i(i为虚数单位)在复平面内 对应的点为P1,复数2满足Ia2-i=1,则下 列结论正确的是 A.点P,在复平面内的坐标为(2，-2) B.z1=2+2i C.1z1-z21的最大值为√13+1 D.1z1-a21的最小值为√5-1 6.设i为虚数单位，f(z)=z-3+1z, 若81=-2+4i,82=5-i,则f(a1+ 22）= 第七章黑白题047位于第二象限 2.C解析：复数-1+(1-a2)i在复平面内对应的点为(-1,1-a2),若其 在第二象限，则1-a2>0,解得-1<a<1. 四方法总结 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部 应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部 满足的方程（不等式）组即可. 3.C解析：由题意知z2对应的点为(1,1)，∴.1对应的点为(1，-1)，∴.1= 1-i. 4.4解析：复数z=-3+ai(a∈R)在复平面内对应的点的坐标为(-3，a),所 以√(-3)2+a2=a+1,即a2+9=(a+1)2,解得a=4 5.C解析：正方形0ABC,且Oi对应的复数为-1-3i,.0A=(-1,-3), C=(-1,-3),则B武=(1,3)，BC对应的复数为1+3i. 6.(4,-2)解析：因为BA对应的复数是1+2i,即BA=(1,2),BC对应的 复数为3-i,即B武=(3，-1)，所以A花=B武-B=(2,-3).又因为点A 对应的复数为2+i,即0i=(2,1),所以0元=0i+A元=(4，-2)，所以点 C的坐标为(4，-2) 7.D解析：由题意可得实部为-2，虚部为1，所以1z12=(-2)2+12=5. 8.BC解析：：|z1|=|z21,∴.√a2+4=4+1,解得a=±1.故选BC. 9.B解析：由题意可得，满足2<z<3的点的集合组成的图形是以原 点0为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环，则其面积为9π- 4T=5m 10.-1+3i(答案不唯一)解析：设z=a+bi,a,beR,因为复数z在复 平面内对应的点在第二象限，所以a<0,b>0. 又因为1z1=2,所以a2+b2=4,显然当a=-1,b=√3时，符合题意. 11.D解析：因为复数z=-1+2i,所以z=-1-2i,则z的共轭复数的虚 部为-2. 12.D解析：设z=a+bi(a,beR),则=a-bi,lzl=√a2+b2,因为= 宁：+3i,所以a-i=8+3,所 a=)+2,解得 2 -b=3, a=3,即z=5-3i, b=-3, 13.1解析：复数z=a+1+(a-1)i的共轭复数云=a+1-(a-1)i,依题 意，z=z,则a-1=-(a-1),所以a=1. 7.1阶段综合 黑题阶段强化 1.BCD解析：由条件可知，z=5-4i,C对，所以z的虚部为-4，A 错，1z1=√52+(-4)7=√4，B对，2对应的点的坐标为(5,4)，在第 一象限，D对. 2.B解析：由复数z=a+(a-2)i(a∈R)的虚部是实部的3倍，得a-2= 3a,解得a=-1,所以z=-1-3i,lzl=√(-1)2+(-3)7=√10. 3.A解析：设z=a+bi(a,beR),则z=a-bi.若A在第二象限，则a<0, b>0,则a<0,-b<0,所以B在第三象限. 反之亦成立，所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要条件. 4.D解析：设第一、二、三、四象限的点分别有a,b,c,d个.a,b,c,d均 为正数在复平面中，第一、四象限的点实部为正，第二、三象限的点 实部为负.已知实部为正数的复数比实部为负数的多，则可得a+d> b+c.在复平面中，第一、二象限的点虚部为正，第三、四象限的点虚部 为负.已知虚部为正数的复数比虚部为负数的少，则可得a+b<c+d.由 dedatd-(at)sbte(ddb b-d,所以db.即第二象限点比第四象限点少. 根据条件，无法判断a与b,b与c,a与c的大小关系。 5.D解析：因为a-2b=5,可得1z|=√a2+b2=√/5b2+20b+25=√5× √(b+2)2+1,所以当b=-2,a=1时，1z1取得最小值为5，可得z= 1-2i,此时z在复平面内对应的点的坐标为(1，-2)，位于第四象限. 必修第二册·RJ 2a2+3a=0, a=0或a=-2 6.0解析：由1>z2,得{a2+a=0,即a=0或a=-1,解得a=0. -4a+1>2a, 1 1[名7]解析：由两个复数相等可得{20 (4-m2=A+3sin0, 即4- (2os)2=A+3in0,化简可得A=4sm20-3in0=4m0-3)）与 名共中血9e1,当血0时A取得最小低A6 3 当sin0=-1时，入取得最大值，入mx=7,所以入的取值范围是 8.5解析：依题意，0Z=(1,3),0Z2=(3,-1),则10Z1=√2+3= √而，10Z1=√32+(-1)7=√10，而0Z.0Z2=3×1+(-1)×3=0, 则0元10元，所以△02，乙，的面积为？10记10记，1=之×√而× /10=5.故答案为5. 9.解：(1)由复数z1=a-2i,2=a+3i且1z2=V21z1l, 可得√a2+9=√2.√a2+4,即a2+9=2×(a2+4),解得a=±1， 又由2在复平面内所对应的点位于第一象限，所以a>0,故有a=1. (2)由复数1,2对应的向量分别是0i,0成，可得0i=(1,-2),0成 (1,3), 则0.0成=-5且10A1=√2+22=5,01=√2+32=0， 因为LAOB为Oi与0i的夹角， 可得c8LAOB=0耐·0i -5 1011015×√102 又因为LA0B∈[0，]，所以LA0B=4. 3 72复数的四则运算 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 白题 基础过关 1.A解析：依题意，(4+i)-（1+5i)=3-4i,其虚部为-4. 2.ACD解析：复数z在复平面上对应的点的坐标为(-1,1)，.复 数z=-1+i.:z+1=-1+i+1=i是纯虚数，故A项不正确，B项正确； z+i=-1+i+i=-1+2i不是实数，也不是纯虚数，故C,D项都不正确， 3.0解析：由题意，1=a2-3ai,2=-a+(a2+2)i,所以a1+2=a2-3ai- a+(a2+2)i=a2-a+(a2-3a+2)i.因为a1+2为纯虚数，所以 a2-a=0,解得a=0. a2-3a+2≠0， 4.C解析：因为0-0=BA,1与0A对应，2与0对应，所以1A1= IBAI=Iz1-221. 5.ACD解析：对于A,1-2=1+i-1-2i=-i,故A正确；对于B,由题意 得0(0,0)，A(1,1),B(1,2),因为四边形0ABC为平行四边形，则 0元=A店=(0,1)，所以C(0,1),所以3=i,点C位于虚轴上，故B错 误；对于C,D,如图，1,2，西对应的向量分别为0,0市，0元，则0+ 0元=0成，0i-0元=Ci,即1+=2，lz1-3=A花.故C,D正确， 41 (第5题) (第6题) 6.证明：如图，设复平面上的点Z1,Z2是复数z1,2所对应的点，∴.向量 黑白题030 0Z,0Z2是复数1,2所对应的向量，10Z1=lz11,10Z21=121, 当0Z,0Z,不共线时，平行四边形0Z2ZZ1对角线所成向量0立= 0z+0Z2, .向量0Z是复数1+2所对应的向量，101=l31+2l, .在△0Z,Z中，由“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之 差小于第三边”的性质可得，1z11+121=10Z1+10Z21=10Z1+ 1Z121>102=11+21,11z11-1z211=110z1-10z211=110Z1- 1Z1Z1<1021=lz1+2l,1lz1-l211<x1+a21<1l+a21,当且仅 当0Z,0Z2共线且方向相同时，la1+21=a11+1z21, 当且仅当0Z,0Z2共线且方向相反时，11+21=11a11-211,综上所 述，1川a11-lz211≤1z1+z21≤lz11+lz21 重难聚焦 7.A解析：设z在复平面内对应的点为(x,y）,即z=x+yi(x,yeR),因 为1z+1-i1=1z1,即1(x+1)+(y-1)i1=1x+i1,可得 √(x+1)2+(y-1)2=√x2+y2,整理得x-y+1=0. 8.A解析：设-2i,2i,1在复平面内对应的点 4 分别为Z1,Z2,Z3,因为1z+2i1+1z-2i1=4, 且1Z122=4,则复数z对应的点Z的轨迹 为线段Z1Z2,如图所示. 故1z-1|的最小值问题可理解为：动点Z在 0Z 线段21乙2上移动，求1ZZ31的最小值，故只 需作Z3Z01Z122,交线段Z1Z2于点Z0, 则1Z3Zo1即为所求的最小值1，故1z-1I的 -2 最小值是1. 9.√5+1解析：满足Iz=1的复数z所对应的点在以坐标原点为圆心 1为半径的圆上，1z-2-i的几何意义为z所对应的点到点P(2,1)的 距离，因为10P1=√22+17=5，所以z-2-i的最大值为5+1. 黑题应用提优 1.A解析：设复数z=a+bi,a,b∈R,则共轭复数z=a-bi,因为z+z= 43点列猫方程如《侣的的求据孩方程组得 0=2所以复数=2+1 0b=1. 在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，横坐标2>0，纵坐标1>0，所以 该点在第一象限. 2.C解析：复数名1=1+2i,2=a+4i,则1a1+21=1名1+1z21台 √(a+1)2+36=5+√2+16台a+8=√5a2+80,解得a=2,所以 “a=2”是“1a1+2|=zl+l2”的充要条件. 3.A解析：因为名1=-3-i,所以点A(-3,-1).因为点A与点B关于直 线y=x对称，所以B(-1,-3),22=-1-3i,所以1z1+21=1-4-4il= √(-4)2+(-4)2=42. 4.A解析：设z=x+yi(x,y∈R),则z-2-4i=(x-2)+(y-4)i,所 以1z-2-4i1=√(x-2)2+(y-4)7=1,即(y-4)2=1-(x-2)2,所以 (y-4)2≤1，可得-1≤y-4≤1，解得3≤y≤5，当z的虚部取最小值 时，即当y=3时，则(x-2)2+(3-4)2=1,解得x=2,故z=2+3i. 5.ABC解析：复数z1=2-2i在复平面内对应的点为P1(2,-2), 故A正确； 复数1=2-2i,所以云1=2+2i,故B正确； 设2=x+yi(x,yeR),则1z2-il=lx+yi-il= √2+(y-1)2=1,即复数2在复平面内对应的 点到(0,1)的距离为1，所以2在复平面内对应 的点P2的轨迹为以(0,1)为圆心，以1为半径 的圆，如图， 又z1-2|表示的是复数z1和2在复平面内对 应的两点之间的距离，即IP1P21. 而IP1P2I的最大值是IPCI+r= √(2-0)2+(-2-1)2+1=√13+1：1P1P21的最 参考答案 小值是1P1C1-r=√13-1.所以1z1-221的最大值为√13+1，最小值为 √13-1，故C正确，D错误.故选ABC. 6.3+32解析：由题得a1+z2=3+3i,∴.f(1+z2)=f(3+3i)=3+ 13+3il=3+32.故答案为3+35. 7.√10解析：由题意可设z2=a+bi(a<0,b>0),z2对应的向量为 (a,b),1对应的向量为(1,2)，由旋转性质得2和1模相等，且它 们对应的向量垂直，则4+6=5解得a=-2, a+2b=0, 3=-2+i,.a1-z2=(1+2i)-(-2+i)=3+i,1z1-21=√10. 8.外心解析：设z对应点为P,且z-11=lz-2=lz-31,根据向量减 法的几何意义知P=P1=P元1，即P到三角形三个顶点的距离 相等，所以z在复平面内对应的点为△ABC的外心 9.解：(1)依题意，12=(m2-m)+(m2-2)i,而名1-2在复平面内对应 的点位于第三象限，则m-m<0,解得0<m<1,所以m的取值范围 m2-2<0, 为(0,1) (2)依题意，0A=(m2+m,m2-1),0B=(2m,1),由0.0品=0，得 2m(m2+m)+m2-1=(m+1)2(2m-1)=0,解得m=2 或m=-1, 1 33 而m=-1时，A(0,0)为原点，不符合题意，因此m= 2=44i, 2=1-i,所以11-21= 1,1.2 4+4=4 7.2.2复数的乘、除运算 白题 基础过关 1.A解析：因为(2+i)i=-1+2i,所以1(2+i)i1=1-1+2i1= w√（-1)2+22=√W5. 2.B解析：i2025(1+2i)=i06x4+1(1+2i)=i(1+2i)=-2+i,虚部为1. 四重难点拨 复数乘方运算的周期性：4=1. 3.C解析：因为(W3+i)=2+23i,(5+i)°=2(1+3i)(√3+i)=8i, 因此使得复数（√5+i)°为纯虚数的最小自然数n是3. 4.±180解析：因为z·z=1z12,所以20292=20212+b2,所以b2= 20292-20212=(2029+2021)(2029-2021),62=32400,解得b= ±180. 四重难点拨 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数模的平方， 22(1+i) 2+2i_2+2i=1+i,所以2= 5.A解析：因为复数z白(1)(1+n)1-2 1-i. 6.C解析：z= 1-2_-21)1=-2-1，所以z在复平面内对应的点为 2 （-2,-1),位于第三象限. ,解析：由2=2+i,得，=2-i,所以4=a+31)(2+ z2(2-i)(2+i) 2a3a+61因为为纯虚数所以2a-3=0,即a=},所以 21 4=（a+6)i3 3 32 5 ，所以的虚部为 2 8.A解析：因为3+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p,9eR)的一个复 数根，所以(3+2i)2+p(3+2i)+q=0,整理得5+3p+q+(12+2p)i=0,而 p,9∈R,故p=-6,q=13. 9.2或-2解析：因为一元二次方程x2+x+5=0的两个虚根x1,2为 共轭虚根，所以可设x1=a+bi,x2=a-bi(其中a,beR).所以由根与 系数的关系可得+，=2a=-p, (x1x2=a2+b2=5. 而1x1-x2|=12bil=4,解得b=±2， 0土. 所以当a=1时，p=-2;当a=-1时，p=2.故实数p的值为2或-2. 黑白题031