6.3.1 平面向量基本定理-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 白题 基础过关 限时：25min 题组1平面向量基本定理的理解 的三边AB,BC,CA的四等分点，如果AB=a, 1.*（多选)若e1,e2是平面内两个不共线的向 AC=b,以下向量表示正确的是 量，入，私是实数，下列说法正确的是( A.若入，满足入e1+e2=0,则入==0 B.对于平面内任意一个向量a,使得a=入e,+ e2成立的实数入，u有无数对 C.入e1+ue2可以表示平面内的所有向量 2 B.Qi=-3a41 4+b 2 D.当入，取不同的值时，向量入e1+ue2可能 表示同一向量 C. D.BC=a-b 4 2.(2025·江西景德镇一中高一期中)若 5.*已知e1,e2是平面内两个不共线的向量， {e1,e2}是平面内的一个基底，则下列四组向 a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,用向量a 量中不能作平面向量的一个基底的是( 和b表示c,则c= A.{e1-e2,e2-2e1} 题组3利用平面向量基本定理求参数 B.e--zej 6.*如图所示，平面内的两条相交直线OP 和OP,将该平面分割成四个部分I,Ⅱ，Ⅲ， C.{2e2-3e1,6e1-4e2} V(不包括边界).若0=a0P+b0P2,且点P D.{e1+e2,e1+3e2} 落在第Ⅲ部分，则实数a,b满足 。() 题组2用基底表示向量 P 3.·(2025·广东广州高一期末)如图，向量 0 a-b等于 ( A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 e D.a<0,b<0 i e 7.*(2024·浙江宁波高一期末)在梯形 ABCD中，AB∥CD,且AB=mDC(m>0),若 AC=AAB+AD(入，u∈R),则 () A.-4e1-2e2 B.e1-3e2 A.入tu=m B.m=1 C.-2e1-4e2 D.3e1-e2 C.入=m D.u=入m 4.*苏教教材变式（多选)(2025·江苏无锡高 8.*在平行四边形ABCD中，A正=4F元，B配= 一期中)如图所示，已知P,Q,R分别是△ABC 2 EC,AE=a AB+bAF,a-b= 第六章黑白题013 黑题 应用提优 限时：45min 1.设点O是口ABCD两条对角线的交点，下 4.*★ 向量a,b,c在正方形网格中的位置如图 列组合中：①AD与A店；②DA与B元，③CA与DC; 所示.若向量入a+b与c共线，则实数入= ④0D与O店，其中可作为表示口ABCD所在平 面所有向量的基底的是 A.①② B.①③ c.①④ D.③④ 2.（多选)(2025·陕西西安高一期中)“赵 A.-2 B.-1 C.1 D.2 爽弦图”是中国古代数学的经典成果，它是由 5.**(多选)(2025·江西景德镇一中高一期 四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成 末)如图，在四边形ABCD中，BC=2AD,E为 的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦 CD的中点，BE与AC交于点F,BD与AC交 图”，用四个三角形和一个小的平行四边形拼 于点G,设AB=a,AD=b,则下列结论正确的是 成一个大平行四边形，其中E,F,G,H分别是 线段DF,AG,BH,CE上靠近D,A,B,C的三等 A而动 分点，则 B.G=F元 D.若BF=Aa+b,则2入-u=-1 A.花-=9亦+3 6.*★(2025·云南文山高一月考)在△ABC 10 10 中，1BC1·GA+1AC1·G+1AB1·G元=0，其 中G是△ABC的重心，则△ABC的形状是 3.(2025·河南驻马店高一月考)如图所 A.直角三角形 B.等腰三角形 示，平面内有三个向量0A,0B,0元，0A与0B的 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 夹角为120°，0A与0C的夹角为150°，且 7.*(2024·山东青岛高一月考)直线1上有 11=10=1,10d1=5,若成=A0+ 不同的三点A,B,C,0是直线1外一点，对于 向量0A=(1-cosx)0B+sin&0C(&是锐角) uOC(入，h∈R),则A+u= 总成立，则= 8.*(2025·江苏苏州高一期中)在△ABC内 部（不包括边界）有一点M,满足3AM=2AB+ xAC,请写出一个满足题意的实数x的值： A.1 B.-1 C.-4 D.-5 (只要填写一个即可) 必修第二册·RJ黑白题014 9.**(2025·江西南昌高一期中)设e1,e2是不11.禁(2025·江苏苏州高一期中)如图，在 共线的非零向量，且a=e1+2e2,b=e1-e2: △ABC中，M是线段BC上一点，且满足 (1)证明：{a,b}可以作为一个基底； BM=2MC,点P满足AP=3PM,过P的一条 (2)若向量c=e1+3e2,试用基底{a,b}表示c. 直线I分别交线段AB,AC于点E,F.设AE= xAB,AF=yAC,其中x,y∈(0,1).记AB=a, AC=b. (1)试用a,b表示AP; (2)求x+2y的最小值； (3)若直线1交CB的延长线于点G,并 有MB=BG,求x的值 y 10.接如图，已知△ABC,求证：△ABC的三条 中线AD,BE,CP相交于一点G,且AG_BC AD BE CG 2 第六章黑白题0153π2π-π 999 因此2=A正.i=(A花+B武+C+D成)·=A店.i+B元.+C.+ Dx2cm222x2co 0 6.1-6.2阶段综合 黑题阶段强化 1,A解析：因为A成=AA花-B励，所以A成+B励=A=AA花.又>1，A,A心 有公共点，所以A,C,D三点共线，所以充分性成立；若A,C,D三点共 线，则存在实数k≠0使得A市=kA心，即A店=kA心-Bi,当k≤1时明显 不满足A>1,所以必要性不成立.即“A店=入A心-B(A>1)”是“A,C, D三点共线”的充分不必要条件 2.C解析：四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，LDCG+ ∠GCE=180°，即D,C,E三点共线，AB=EF,CD=FG,AB∥DC∥ HF,即1A=1E,C=F元，A与F供线，ABD正确； 对于C,若Bi与E共线，则必有∠BDC=∠HED,即∠CCE= 2∠BDC=2∠HED,该条件不一定成立，如∠GCE=90°时，∠HED≠ 45°，故Bi与E共线不一定成立，故选C. 3D解析：由已知得市=号(+恋)=子(3应+花)=之应 }花设动-A动，所以证花，又C0,E三点共线，所 以品=1，解得A=2,所以市=子*花-子×}+ 成-成又成-威+花-衣-}应，AB=月，4c=1,所 以d.成=（任脑：4花）·（成）4衣+名应 花迹=名应.花名.花则感花=6动 E元，故t=6. 4.AC解析：对于A选项，向量a,b,c都是单位向量，a-b-√2c=0,则 a-b=√2c,所以1a-b1=21cl=√2，A对； 对于B选项，在等式1a-b1=√21c1两边平方可得a2-2a·b+b2= 2c2,即2-2a·b=2,则a·b=0,则a1b,所以1a+b12=a2+2a·b+ b2=2,故1a+b1=2,B错； 对FC选现图为ar=0则：-经。子所以a=(）小 ae+(）b.所以1ae=(受)a+(-经）b° (+)）ca…+(-2)6=()）+(-）°=3， 故1a+b+cl=3,C对； 对于D选项abe=ab-(停。空）-()+（经）b, 若a+6e与b共线，则存在AeR,使得a+b-c=Ab,即(1-受） 参考答案 a+(1号）b=b,可得a=[(2A-(3+221b,即a/B,这与 a⊥b矛盾，假设不成立，D错. 5.C解析：由题意得，1ml=1n1=1,Im+xn1=√(m+xn)了= /x2+2xm·n+1=√/(x+m·n)2+1-(m·n)2, 4m·ns 当=m·n时，有最小值，即-m·n=5 4,则m在n 上的投影向量为m:m. 4n. 6.ACD解析：如图，连接EP,FP,EQ,FQ,因为E,F,P,Q分别为AB, CD,AC,BD的中点，所以FP∥AD∥EQ,EP∥BC∥FQ,FP=EQ= AD,P=FQ=BC,则四边形POE是平行四边形，即直线BF 1 一定过PQ的中点，故C正确； 侧成-+成：之（市+=子（花+动+店-花）=之（店- D心)，则A选项正确： 成-成+成子（市-），则成，成（市+）·（市-） (动-)=子×(32-4)=子则B选项结误： D.P戒=P克+E或，E亦=E+E或，则P+E中=(P克+E或)2+(E+E)2= 2P记+2E=PF2+FQ2+QE2+EP2,故D正确. (第6题) (第7题) 7.9解析：如图，取AB的中点T,连接MT,NT,由圆的性质，得 MT⊥AB,NT⊥AB.AB为两个圆的公共弦，从而圆心M,N在弦AB上 的投影为AB的中点，进而AM,A在A店上的投影向量的模能够确定， 所以由向最的投影定义可得.店：·=之=号， 成子号成..9 8子解折：因为平面向最a,be均为事零向量，a6=ac=, 且la+c+2bl=klal,所以kIal2=la+c+2b1la|≥la·a+c·a+2b· a=子a2,即≥子，所以k的最小值为子 9.5解析：因为△AB,C1,△B1B,C2,△B,B,C是三个边长为1的等 边三角形，所以△AB1C2为等腰三角形，∠AB1C2=120°，∠AB,C3= 60°，所以∠C2AB3=30°，AC2=√3， 延长AC2,B3C3交于点D,如图所示，易知LD=90°， C B 所以AC2⊥BC,故AC2·BC=0,所以m:=AC·AP.=AC·(AB+ a)=G瓜+G·瓜=5x3xm刘+0=号，所以m+ 黑白题007 空 10.(1)证明：连接PA,PB,如图， B A花=成.Pi+P克=2P吃，.4D=Pi+P市=2P吃，即2D币=P成刻 (2)解：A店=2D元，4应=E克，.D元=E,则四边形DEBC为平行四边 形，DE∥CB,(DA,C)=∠ADE,DE=CB=3. 由2亦成得，耐1=号成1，即DP=号BC=1,由.成- 1Di·1D1,得cosLADE.DA1·1C1=1Di·1D1, .cos LADE=1 .IPQIin=DP.sin LADE=1x 2222 3 3 1.解：()10P,=10P,=号1AB1=子，〈0,0)=号 10P+0P21=√/(0p+0P)2=√ō+20p·0p2+0= a元a正5(9）-成成- () 所以》：若台，当=2=1时取到最大 } (3)0丽·00=(o元+cP)·(od+c0)=o心+o元.Cp+0元. 网.可号g6g.古。高 同理得网元号名。g。+片是 18 元成}装6g专德 =-6+618 所以g(ij,k)=2 1,3(+jtk)-(可+k+k) 18 令F(k)=-1,3-ik+3(》-变 2 18 当=1时，0s=P2=子3 当=1=2或者=2J=1时，F()=号 当i=2wj=2时，F(k)m=F(1)=2+1859 1.71 综上，g(j,k)的最大值为9 1 压轴挑战 -22解析：要使(e1-e2)·e3的值最小，需e1-e2模最大，且与e3夹 角为m,故当e2,e3同向，且e2,e1反向时，(e1-e2)·e3=le1-e21· Ie3 Icos T=-2,可取得最小值-2； 设e1+e2+e3=-e4,即e1+e2+e3+e4=0,又e1,e2,3均为单位向量， 若e1,e2共线，则e1,e2,e3,e4首尾相连成一条线段，则此时e1+e2与e3 共线，不符合题意，所以e1,e2不共线，则e1,e2,e3,e4首尾相连形成一 个菱形，即e1=-e3,e2=-e4, 必修第二册·RJ 因为xe1tye2+ze3=0,x+y+z=2025,所以ye2=-xe1-ze3=(z-x)e1,则 202 y=z-x=0→x=z= 5,所以++=2 2 x+y x+z y+z 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6,3.1平面向量基本定理 白题 基础过关 1.AC解析：若A0,则61=片，从而向量61,6共线这与c, 不共线相矛盾，则入=0，同理可得4=0，故A正确； 由平面向量基本定理可知入，4唯一确定，故B不正确： 平面内的每个向量a可表示成Ae1+ue2的形式，反之也成立，故 C正确： 结合向量加法的平行四边形法则易知，当入e1和e2确定后，其和向 量Ae1+e2便唯一确定，故D不正确. 2.C解析：对于A,设存在唯一的实数入使e1-e2=入(e2-2e1)= Ae,-2e1,则1此方程无解，故e,-62,-2G,能作为平面 11=-2λ」 向量的基底，故A不符合题意； 对于B,设存在唯一的实数A使白6：=A(6,之4）=A0,- 1=入， 2e2,则 1入，此方程无解，故{e-e2,e122}能作为平 -1=-2 面向量的基底，故B不符合题意； 对于C,由6e1-4e2=-2(2e2-3e1),所以2e2-3e1与6e1-4e2共线 故2e2-3e1,6e1-4e2}不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于D,设存在唯一的实数入使e1+3e2=(e1+e2)=Ae1+Ae2,则 =入，此方程无解，故e+e2,1+3e2能作为平面向量的基底，故D 3=入， 不符合题意. 3.B解析：由图可知：a=01,b=0i,所以a-b=0-0=B=e1-3e2 b e 4.BC解析：由已知可得BC=AC-AB=b-a,故D错误； 因为P,Q,R分别是△ABC的三边AB,BC,CA的四等分点，由Q币 励-成耐成-(0o)=之0，放A错误： 破-硫-=花+成-+(-a)=a+,放 4 B正确； 成=破-花}+6，故c正确 5.a-2b解析：设c=xa+yb,则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)= (3x-2)e1+-2x)e2,则有32=7解得=1，因此c=4-2h y-2x=-4, ly=-2, 故答案为a-2b. 6.B解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0,b<0.故选B. 7.D解析：如图，因为A=mD心，所以D心= D 1破，所以衣=市+成=市+1破因为A花 入AB+μA⑦（入，u∈R),A店，A⑦不共线，所以 1 入= m'所以u=Am,故选D. u=1, 黑白题008