专题05 勾股定理逆定理及其应用【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年八年级数学下册（人教版2024）

专题05 勾股定理的逆定理及其应用 （重难点题型专训） 【知识考点 勾股定理的逆定理及其应用】 1.勾股定理的逆定理 （1）定义：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫作勾股定理的逆定理. （2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤： ①找：找出三角形三边中的最长边； ②算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； ③判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 2.勾股定理的逆定理的实际应用 运用勾股定理的逆定理解决实际问题 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 已知 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联系 两者都与三角形的三边有关系. 【重难点常考题型概览】 【题型01】判断三边能否构成直角三角形 【题型02】在网格中判断直角三角形 【题型03】图形上与已知两点构成直角三角形的点 【题型04】利用勾股定理的逆定理求解 【题型05】勾股定理的逆定理实际应用 【题型06】勾股数规律问题探究 【题型07】勾股定理及其逆定理的综合求解 【题型08】勾股定理及其逆定理的综合应用 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】判断三边能否构成直角三角形 【例1】（2024-2025八年级下·湖北十堰·期中）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．7，24，26 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【解答】解：A.， ∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意； B. ， ∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意； C. ， ∴该选项三个数据能构成直角三角形，故符合题意； D. ， ∴该选项三个数据不不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、∵，∴，能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，，∴，不能构成直角三角形，符合题意． 故答案为：D． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·云南临沧·期末）已知四组数据：①；②；③；④．以每组数据分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的组数有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形三边关系， 对于每组数据，先判断是否能构成三角形（任意两边之和大于第三边），再判断是否满足勾股定理． 【解答】解：①，故不能构成直角三角形； ②，故能构成直角三角形； ③，不能构成三角形； ④，故能构成直角三角形； ∴能构成直角三角形的组数为②和④， 共2组， 故选：C． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答． 【解答】解：∵， ∴， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意． 故选：C． 【题型02】在网格中判断直角三角形 【例2】（2024-2025八年级上·福建漳州·阶段练习）如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理分别求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【解答】解：边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上， ， ， 且， 为等腰直角三角形， 故选：C． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·全国·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，得到，推出，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，结合，即可求解． 【解答】解：如图，在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由图可知，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ，即 故答案为：． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【解答】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据（1）可得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【解答】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理和网格的特点可得，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可得， ∴． 【题型03】图形上与已知两点构成直角三角形的点 【例3】（2023-2024八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【解答】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 【变式3-1】（2022-2023八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【解答】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 【变式3-2】（2023-2024八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解． 【解答】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    【变式3-3】点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标． 【答案】点的坐标为或 【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点P坐标 【解答】设点的坐标为，分两种情况： ①当点为直角顶点时，点在轴正半轴， 作轴于，轴于，轴于，如图所示： 由勾股定理，得， 即，解得， ∴点的坐标为． ②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示： 由勾股定理，得， 即，解得， ∴点的坐标为． 综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或． 【点评】本题的关键是分类讨论点P的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式． 【题型04】利用勾股定理的逆定理求解 【例4】（2024-2025八年级下·陕西商洛·期末）在中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 通过计算可得，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，据此即可求． 【解答】解：，，， ∴， ， 为直角三角形，且． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（ ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，作交于点，根据角平分线性质定理得到，再由等面积法求出，作点关于的对称点，则在点在上，则，过点作交于点H，那么，故当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值，再由等面积法即可求解． 【解答】解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又 是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 【变式4-2】（2025-2026八年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的中线，先由勾股定理逆定理得出该三角形为直角三角形，得出最短边为，从而可得最短边的一半为，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解答】解：∵，，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∵， ∴， ∴最短边为， ∴最短边的一半为， 故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为， 故答案为：． 【变式4-3】（2024-2025八年级下·河北唐山·期中）已知的三边． (1)求证：是的最长边； (2)求证：是直角三角形； (3)直接写出一组满足的三边长，其中含正整数12． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12，35，37 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用、整式混合运算和乘法公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是关键． （1）分别证明，，即可证明结论； （2）根据勾股定理的逆定理进行证明即可； （3）当时，即，求出此时即可． 【解答】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 综上可知，是的最长边； （2）∵，， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：当时，即， 则此时， ∴的三边长为12，35，37． 【题型05】勾股定理的逆定理实际应用 【例5】（2024-2025八年级下·福建厦门·月考）如图，台风“海葵”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．海港C受台风影响吗？为什么？ 【答案】海港受台风影响，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用，由勾股定理逆定理可证明为直角三角形，且．过点作于点D，由等面积法可求出，即说明海港受台风影响． 【解答】解：海港受台风影响，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，且． 过点作于点D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴海港受台风影响． 【变式5-1】（2024-2025八年级下·陕西商洛·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 【答案】是从村庄到河边最近的路，见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和垂线段，由已知条件可知，进而得到，根据点到直线的距离垂线段最短即可得到结论． 【解答】解：是从村庄到河边最近的路． 证明：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 是从村庄到河边最近的路． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一些数学知识和方法．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】沿北偏西（或西北）方向航行 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 求出的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向． 【解答】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵“龙腾”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行， ∴， ∴“海天”号沿北偏西（或西北）方向航行． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·吉林松原·期中）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【解答】（1）解：，， ， 是直角三角形，； （2）设米，若点恰好在边的垂直平分线上， 则米， 米， 在中，， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 【题型06】勾股数规律问题探究 【例6】（2025-2026八年级上·陕西咸阳·期中）观察以下的等式，等式左边为直角三角形两直角边长的平方和，等式右边为直角三角形斜边长的平方，现有一个一条直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数（满足图中等式关系），则这个直角三角形的周长为（   ） A．56 B．82 C．112 D．144 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，勾股数，根据题干等式得到其规律是解题的关键． 根据给定的等式模式，直角三角形三边可表示为 、 和 ，其中 为整数．已知一条直角边为 14，分别令 和 求解 ，从而得到直角三角形三边长度，进而计算周长，即可解题． 【解答】解：∵ 等式模式为 （的整数）， 且一条直角边为 14， 情况一：令 ， 解得 ， 则另一条直角边为 ，斜边为 ， 三边为 14， 48， 50，满足勾股定理， 周长为 ． 情况二：令 ， 解得 ， 非整数，不符合勾股数为整数的要求． 综上所述，这个直角三角形的周长为 112， 故选：C． 【变式6-1】（2024-2025八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【答案】（19，180，181） 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 【变式6-2】（2025-2026八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键： （1）证明，即可； （2）由（1）将分解为，由（1）得到与，可以构成勾股数，进行求解即可． 【解答】（1）解：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-3】（2025-2026八年级上·广东清远·期中）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． 【答案】（1）是勾股数，见解析；（2）是勾股数，见解析；（3）是勾股数，见解析 【分析】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方； （1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）根据勾股数的定义得出，推出的成立即可； （3）得到即可得到这是一组勾股数． 【解答】解：（1），，（k是正整数）， ， ，，是一组勾股数； （2）a，b，c是一组勾股数， ∴，，（k是正整数）也是一组正整数， ， ， ∴，，（k是正整数）也是一组勾股数； （3）表示大于1的整数， 由，，得到、、均为正整数； 又， 而， ， 、、为勾股数． 【题型07】勾股定理及其逆定理的综合求解 【例7】（2024-2025八年级下·四川南充·期末）如图，在中，，，，是上一点，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 由勾股定理的逆定理，可得，根据勾股定理可得，从而可得的长． 【解答】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴的长为． 【变式7-1】（2025-2026八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【解答】（1）证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； （2）解：， ． 【变式7-2】（2023-2024八年级下·广东中山·期中）如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【解答】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴ 【变式7-3】（2024-2025八年级下·湖北恩施·月考）如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理得出，进而解答即可． 【解答】（1）证明：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的周长． 【题型08】勾股定理及其逆定理的综合应用 【例8】（2025-2026八年级上·陕西咸阳·期末）如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点O的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O，，B三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理可得，利用勾股定理可得的长，再求出的长即可得到答案． 【解答】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 答：池水看起来变浅了． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·山东聊城·月考）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车不符合安全标准，见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理；利用勾股定理求出，由，可得，则和不垂直，该车不符合安全标准． 【解答】解：该车不符合安全标准； 在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴，即和不垂直， ∴该车不符合安全标准． 【变式8-2】（2024-2025八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离，． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道长． (2)求证：． 【答案】(1)供水点到喷泉需要铺设的管道长为； (2)见详解． 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键，要注意勾股定理逆定理的格式． （1）在中，先利用勾股定理求出，从而求出，再在中，利用勾股定理求出； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据斜边所对的角是直角从而得到． 【解答】（1）解：由题意可知：， 在中，， ， ， 在中，， ， 供水点到喷泉需要铺设的管道长为； （2）证明：，，， ， 是直角三角形，． 【变式8-3】（2023-2024八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)的长度为 (2)共需花费元 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解． 【解答】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴的长度为． （2）解：已知，，， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∴空地的绿化的面积为， ∵平均每平方米空地的绿化费用为元， ∴绿化这片空地共需花费（元）， ∴共需花费元． 【特训01】拓展培优强化 1.（2025-2026八年级上·福建·期末）如图，四边形，，，，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理及逆定理，解题关键是通过构造全等三角形，将求线段的长度转化为直角三角形的边长计算． （1）根据勾股定理求出即得； （2）延长，过点作，垂足为点，证明；得，得，即得． 【解答】（1）解：在中，， ； ， ． （2）解：如图，延长，过点作，垂足为点， ； ， ， ， ， ； ， ， ； ， ， ， ． 2.（2025-2026八年级上·重庆北碚·期末）已知的三边分别是a、b、c． (1)若，且a、b、c都是正整数，求周长的最大值． (2)若，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)25 (2)等腰三角形或直角三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、平方的非负性、三角形三边关系及因式分解的应用． （1）先将已知等式通过完全平方公式变形，再根据平方的非负性求出a、b的值，最后根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出周长的最大值； （2）先对已知等式进行移项，然后通过因式分解将等式变形，再根据因式分解的结果判断的形状． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴且， 解得，， 根据三角形三边关系，可得，即， ∵c是正整数， ∴c的最大值为12， ∴周长的最大值为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴， ∴或， 当时，，此时是等腰三角形； 当时，，此时是直角三角形， ∴是等腰三角形或直角三角形． 3．（2023-2024八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【解答】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 4.（2023-2024八年级下·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 5.（2024-2025八年级下·山西运城·阶段练习）定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”． 请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数． (2)如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握各性质是解题的关键． （1）设，，，根据类勾股三角形的特征，把代入运算求解即可． （2）设，，，利用角的等量代换证出，得到，利用等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理列式求解即可． 【解答】（1）解：设，，， ∵是“类勾股三角形”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：设，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴为“类勾股三角形”． 6.（2023-2024八年级下·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【解答】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 7．（2024-2025八年级下·广西来宾·期中）【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 【答案】（1）；（2）米；（3）20米或14米或25米 【分析】（1）先利用勾股定理，由，，算出的长；再通过勾股定理逆定理，结合，，判断是直角三角形；最后将四边形拆分为和，分别用直角三角形面积公式计算后求和 ． （2）先根据勾股定理，由米，米，算出；再用勾股定理逆定理，结合米，米，判断是直角三角形；接着算出的长，最后依据三角形面积的两种不同表示方法（ ），求出 ． （3）分三种等腰三角形情况讨论：当时，直接用算；当时，先算，再确定，进而得；当时，设未知数，利用勾股定理列方程求解，再算 ． 【解答】（1）解：（1）由题意可得：． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． （2）∵， ∴， ∴（米）． ∵米，米，米， ∴． ∴是直角三角形，且， ∴，是直角三角形， ∵米，米， ∴米． ∵， ∴． ∴， 解得米． （3）①当时，如图2，点在的位置， ∴米． ∴米． ②当时，如图2，点在的位置， ∵米，米，， ∴（米）． 由题意可得：（米）． ∴（米）； ③当时，如图2，点在的位置， 设，则． ， ∴， 解得，即． ∴（米）． 综上可知，的长为20米或14米或25米． 【点评】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式以及等腰三角形的分类讨论，熟练掌握勾股定理及其逆定理，灵活运用三角形面积公式，准确进行等腰三角形分类讨论是解题的关键． 【特训02】直通中考真题 1．（2024·江西鹰潭·中考真题）若的三条边，，满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理，掌握以上定理是解题的关键． 根据因式分解，利用等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理即可求解． 【解答】解：由得， 当时，，此时的形状是等腰三角形； 当时，，此时的形状是直角三角形； ∴的形状是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 2．（2024·河北沧州·中考真题）在中，，，，D为中点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． 先证明，再利用勾股定理可得，从而可得答案． 【解答】解：如图： ∵，，， ∴，， ∴ ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【解答】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点评】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 4．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【解答】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 5．（2024·上海·中考真题）如图，在中，，，，P为边上一动点（不与端点重合），，，垂足分别为E、F，M为的中点，设的长为x，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，得出四边形是矩形，求出，求出，即可得出答案． 【解答】解：如图所示，连接． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，M为中点， ∴， ∵当时，值最小， ∴此时， ∴， ∴，即 当P和C重合时，， ∵P和B、C不重合， ∴，即 ∴，即 故答案为：． 6．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①②/②① 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【解答】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 7．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 【答案】(1) (2)①四边形是矩形，理由见解析；② 【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可； （2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解． 【解答】（1）解：∵是等腰三角形，，， ∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，， 故答案为：； （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②过点作于点， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 8．（2024·云南丽江·中考真题）如图，在直角三角形，． (1)求的长． (2)试判断的形状． (3)求出四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)直角三角形 (3)36 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长， （2）然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （3）利用（2）的结论，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【解答】（1）解：，，， ； （2）解：是直角三角形， ，， ，， ， 是直角三角形； （3）解：，，，，，， 四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为36． 9．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    【答案】见解析 【分析】根据勾股定理可得，结合题意与网格的特点分别作图即可求解． 【解答】解：如图所示，    如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形， 如图②，，，则，则是等腰直角三角形， 如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形， 【点评】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 勾股定理的逆定理及其应用 （重难点题型专训） 【知识考点 勾股定理的逆定理及其应用】 1.勾股定理的逆定理 （1）定义：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫作勾股定理的逆定理. （2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤： ①找：找出三角形三边中的最长边； ②算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； ③判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 2.勾股定理的逆定理的实际应用 运用勾股定理的逆定理解决实际问题 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 已知 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联系 两者都与三角形的三边有关系. 【重难点常考题型概览】 【题型01】判断三边能否构成直角三角形 【题型02】在网格中判断直角三角形 【题型03】图形上与已知两点构成直角三角形的点 【题型04】利用勾股定理的逆定理求解 【题型05】勾股定理的逆定理实际应用 【题型06】勾股数规律问题探究 【题型07】勾股定理及其逆定理的综合求解 【题型08】勾股定理及其逆定理的综合应用 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】判断三边能否构成直角三角形 【例1】（2024-2025八年级下·湖北十堰·期中）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．7，24，26 【变式1-1】（2024-2025八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·云南临沧·期末）已知四组数据：①；②；③；④．以每组数据分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的组数有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【变式1-3】（2024-2025八年级下·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型02】在网格中判断直角三角形 【例2】（2024-2025八年级上·福建漳州·阶段练习）如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式2-1】（2024-2025八年级上·全国·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【题型03】图形上与已知两点构成直角三角形的点 【例3】（2023-2024八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【变式3-1】（2022-2023八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（2023-2024八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标． 【题型04】利用勾股定理的逆定理求解 【例4】（2024-2025八年级下·陕西商洛·期末）在中，，，，求的度数． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（ ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【变式4-2】（2025-2026八年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为 ． 【变式4-3】（2024-2025八年级下·河北唐山·期中）已知的三边． (1)求证：是的最长边； (2)求证：是直角三角形； (3)直接写出一组满足的三边长，其中含正整数12． 【题型05】勾股定理的逆定理实际应用 【例5】（2024-2025八年级下·福建厦门·月考）如图，台风“海葵”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．海港C受台风影响吗？为什么？ 【变式5-1】（2024-2025八年级下·陕西商洛·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，由于某种原因，由到、由到的路现在均不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一些数学知识和方法．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【变式5-3】（2024-2025八年级下·吉林松原·期中）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【题型06】勾股数规律问题探究 【例6】（2025-2026八年级上·陕西咸阳·期中）观察以下的等式，等式左边为直角三角形两直角边长的平方和，等式右边为直角三角形斜边长的平方，现有一个一条直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数（满足图中等式关系），则这个直角三角形的周长为（   ） A．56 B．82 C．112 D．144 【变式6-1】（2024-2025八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【变式6-2】（2025-2026八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【变式6-3】（2025-2026八年级上·广东清远·期中）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． 【题型07】勾股定理及其逆定理的综合求解 【例7】（2024-2025八年级下·四川南充·期末）如图，在中，，，，是上一点，，求的长． 【变式7-1】（2025-2026八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【变式7-2】（2023-2024八年级下·广东中山·期中）如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 【变式7-3】（2024-2025八年级下·湖北恩施·月考）如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【题型08】勾股定理及其逆定理的综合应用 【例8】（2025-2026八年级上·陕西咸阳·期末）如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点O的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O，，B三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 【变式8-1】（2024-2025八年级下·山东聊城·月考）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 【变式8-2】（2024-2025八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离，． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道长． (2)求证：． 【变式8-3】（2023-2024八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【特训01】拓展培优强化 1.（2025-2026八年级上·福建·期末）如图，四边形，，，，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 2.（2025-2026八年级上·重庆北碚·期末）已知的三边分别是a、b、c． (1)若，且a、b、c都是正整数，求周长的最大值． (2)若，判断的形状并说明理由． 3．（2023-2024八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 4.（2023-2024八年级下·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 5.（2024-2025八年级下·山西运城·阶段练习）定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”． 请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数． (2)如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”． 6.（2023-2024八年级下·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 7．（2024-2025八年级下·广西来宾·期中）【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 【特训02】直通中考真题 1．（2024·江西鹰潭·中考真题）若的三条边，，满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．（2024·河北沧州·中考真题）在中，，，，D为中点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 3．（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 5．（2024·上海·中考真题）如图，在中，，，，P为边上一动点（不与端点重合），，，垂足分别为E、F，M为的中点，设的长为x，则x的取值范围是 ． 6．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 7．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 8．（2024·云南丽江·中考真题）如图，在直角三角形，． (1)求的长． (2)试判断的形状． (3)求出四边形的面积． 9．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    学科网（北京）股份有限公司 $