第十六章 二次根式（单元自测·基础卷）数学新教材沪科版八年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十六章 二次根式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 2．（本题4分）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题4分）最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（本题4分）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（本题4分）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 8．（本题4分）已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（本题4分）当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 10．（本题4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）比较大小：_____． 12．（本题5分）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 13．（本题5分）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 14．（本题5分）如图，将按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是___________． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）计算： (1)； (2)． 16．（本题8分）计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 17．（本题8分）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 18．（本题8分）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 19．（本题10分）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 20． （本题10分）喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 21．（本题12分）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 22．（本题12分）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 23．（本题14分）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十六章 二次根式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 2．（本题4分）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题4分）最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（本题4分）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（本题4分）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 8．（本题4分）已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（本题4分）当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 10．（本题4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）比较大小：_____． 12．（本题5分）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 13．（本题5分）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 14．（本题5分）如图，将按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是___________． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）计算： (1)； (2)． 16．（本题8分）计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 17．（本题8分）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 18．（本题8分）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 19．（本题10分）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 20．（本题10分）喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 21．（本题12分）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 22．（本题12分）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 23．（本题14分）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十六章二次根式基础通关（参考答案) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A C c 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11.> 12.1≤x≤3 13.a-2b 1435 三、解答题（共9小题，共90分） 15.(8分) 【详解】()解：原式=25-V5=V5 (4分) (2)解：原武=25-6=5-4=1.(8分) 16.(8分) 【详解】(1)解：r=V5+1.y=V5-1 .x+y=5+1+5-1=25,9y=V5+5-1=2 2+y+y2=(x+y川2-y=25-2=10:(4分) (2)解：：x=V5+1.y=V3-1 y-x=5-1-3+=-2,x+y=25, .（y+x(y-x)=25x-2=-45 (8分) 115 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(8分) 【详解】()解：a=3-V5,b=3+5 a+b=3-5+3+5=6,h=(6-5X3+5=9-5=4,4分) (2)由(1)得：a+b=6,ab=4, a+B2-3ab=a+b-5ab=6-5×4=16 (3)a的小数部分是x, x=3-V5 :b的整数部分是y, :对 x-=3-5|3-5-53+5=9-65+5-15-55=-115.（2分) 18.(8分) 【详解】解： 4 .42=16>13 4>3 .4-13>0 40 4 .3-13、1 ->- 4 4.(8分) 19.(10分) 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】1)解：(N2-V2+1=V2-P=2-1=1, 则2- 的有理化因式是V5+1, 3 33+V6 33+6_33+6-3+6. 3-V63-63+69-63 故答案为： 2+13+6 ；(3分) T=n+1-n 1 (2)解：根据题意得：对于任意的正整数n,有√n+1+√n 1 1 1 则V2+i+5+V2+4+5++00+99 =√2-+√3-2+4-3)++io0-99 =√100-1 =10-1 -9 故答案为：9：(6分) 3)解：设0=v2023-V2022b=V2024-V2025 √2023-√2022√2023+√2022 则a=V2023-V2022= 1 √2023+√2022 V2023+√2022， √2024-V20232024+√2023 1 b=√2024-√2023 √2024+V2023 √2024+√2023， 由于V2024+V2023>V2022+V2023 1 则2023+V202>V2024+V2023,即。 "a>b' 因此V2023-V2022>V2024-V223 (10分) 315 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(10分) 【详解】解：依题意， 1=0.5m,g=9.,8ms,不取3.14， 则7=2x3.14× 0.5 5 =6.28× 9.8 =628xV0 ≈628×316≈14171s V98 14 14 :一分钟=60s, .60÷1.417≈42， 即该座钟在一分钟内大约发出42次嘀嗒声.(10分) 21.(12分) 【详解】(1)解：V4=43.50=5V5 ∴栽去的两块正方形木料的边长分别为45cm和5V2cm, 故答案为： 4N5.55,3分) (2)解：由(1)可得，大正方形的边长为4W5+52cm 剩余木料（阴影部分）的面积=45+5V2-48-50=406cm；（8分) (3)解：：45≈4x1.,732≈6.9.52*5x1,414=71 .4×1.5<6.9,7<7.1, 最多可以裁出4+4=8块这样的木条， 故答案为：8.(12分) 22.(12分) 【详解】解：（4)04-2W5=1+3)-2x3=P+5-2x1×V5=1-V5: ②a+b±2ab=a'+b'±2axb=a±bj'(a≥0，b≥0： 故答案为：①5,1：@6：6：(4分) 4/5 学科网 单元速记·巧练 ww6O掌科网0M处好课 www.zxxk.com 知识归纳梳理上测试瑰固提升 2)9+24=(2+7)+22x7=V2°+V7°+2x2x万=2+V万列：(8分) (3)设小正方形的边长为cm,大正方形的边长为cm, 根据题意得：=5，y=32-65=27-5=35-, .x=5.y=3W5-5 剩余部分的面积为：2g=2xv5×35-)=65-10.（12分) 23.(14分) 痒解)解：由题意得y2x+2x*之纪26 2x 2x 6 6 当且仅 2x=2x时，即=2，函数有最小值26， 故答案为526。（4分) (2)解：“y=x2-2x+9? 1x2-2x+9 9 =x-2+2 x, =x+9-2≥2,9 1 由题意得：yx 。9-2=4,即s1 4 0 当且仅当x=时，即x=3时，函数有最大值子：(14分) %o 5/5 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十六章 二次根式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（本题4分）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴二次根式的被开方数需满足非负条件，即， 解得． 3．（本题4分）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的除法运算及二次根式有意义的条件，需根据二次根式除法法则（，）及相关性质逐一判断各选项，即可解题． 【详解】解：A选项：，故A错误，不符合题意； B选项：，故B正确，符合题意； C选项：，故C错误，不符合题意； D选项：二次根式中被开方数不能为负数，与无意义，推导过程错误，故D错误，不符合题意； 故选：B． 4．（本题4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解 ：A 、是最简二次根式； B、 的被开方数含分母，不是最简二次根式； C、 的被开方数9是能开得尽方的因数，化简后为3，不是最简二次根式； D 、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 故选A． 5．（本题4分）最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式．根据同类二次根式的定义，它们的根指数和被开方数均相同，据此列方程组求出的值，即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，则， ∴， 故选：C． 6．（本题4分）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 7．（本题4分）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【分析】根据题意可知，，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】因为，， 所以原式． 8．（本题4分）已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的大小比较，先计算，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为整数， ∴的最大值为； 故选：C 9．（本题4分）当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：C． 10．（本题4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）比较大小：_____． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，掌握通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小关系是解题的关键． 【详解】解：计算 ，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 12．（本题5分）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，利用完全平方公式对原式进行变形是解此题的关键． 先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． 13．（本题5分）为有理数，且为无理数，的一个有理化因式是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式． 根据有理化因式的定义，两个根式的积不含有根号时互为有理化因式． 【详解】解：∵，为有理数， ∴为有理数，的有理化因式是． 故答案为：． 14．（本题5分）如图，将按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是___________． 【答案】 【分析】根据所给排列方式，依次求出与所表示的数即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知，表示的数为． 又∵第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，…，第n排有n个数， ∴前n排数的总个数为：． 当时，， 则， ∴截止到第15排从左向右的第7个数，共有112个数． 又∵这列数是按照的顺序排列的， 则， ∴表示的数为， ∴与表示的两数之积是． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 16．（本题8分）计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可得，，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 17．（本题8分）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 18．（本题8分）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． 将两数相减，差与比较大小，从而得到原数的大小． 【详解】解：． ， ， ， ， ． 19．（本题10分）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式的有理化因式、化简计算以及大小比较，熟练掌握有理化因式是解题的关键． （1）利用平方差公式求有理化因式和分母有理化即可； （2）通过有理化将每个项转化为差的形式，利用望远镜求和计算即可； （3）通过有理化将差值转化为倒数形式，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：， 则的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：对于任意的正整数，有， 则 故答案为：； （3）解：设、， 则， ， 由于， 则，即， 因此． 20．（本题10分）喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 【答案】42次 【分析】本题考查了二次根式的应用，先理解题意，再代入数值到，求出，再结合一分钟，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，取， 则， ∵一分钟， ∴， 即该座钟在一分钟内大约发出次嘀嗒声． 21．（本题12分）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据算术平方根的定义解答即可求解； （）求出大正方形的边长，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可； （）求出和的近似值，进而即可求解； 本题考查了算术平方根的应用，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴裁去的两块正方形木料的边长分别为和， 故答案为：，； （2）解：由（）可得，大正方形的边长为， ∴剩余木料（阴影部分）的面积； （3）解：∵，， ∵，， ∴最多可以裁出块这样的木条， 故答案为：． 22．（本题12分）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 23．（本题14分）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【答案】(1)， (2)，最大值为 【分析】本题考查二次根式的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）把原函数化成，再利用题中的方法即可得到解答； （2）由题意可得，从而得到，并得到时，y有最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， 当且仅当时，即，函数有最小值， 故答案为． （2）解：， ， 由题意得：，即， 当且仅当时，即时，函数有最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $