第十七章 一元二次方程及其应用（单元自测·基础卷）数学新教材沪科版八年级下册

命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十七章一元二次方程及其运用·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 6 7 8 9 10 0 0 B D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.1 12.有实数根 131±v5 2 14.1或5 三、解答题（共9小题，共90分） 15.(8分) 【详解】(1)解：x2-4x-12=0, .(x+2)x-6=0, ,x+2=0或x-6=0, x1=-2,x2=6;(4分) (2)解：(x-32=7x-21, (x-3)=7(x-3, .(x-3)2-7(x-3)=0, .x-10)(x-3)=0, .x-10=0或x-3=0, x=10,x2=3.(8分) 16.(8分) 【详解】(1)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，根的判别式为△=b2-4ac, 又：原方程为x2+(m+2)x+(2m-1)=0,其中a=1,b=m+2,c=2m-1, 1/7 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△=(m+2)2-4×1×(2m-1) =m2+4m+4-8m+4 =m2-4m+8 =(m-2)2+4, 无论m取何值，(m-2)2≥0， .(m-2)2+4≥4>0，即△>0 :无论m取何值，方程总有两个实数根；(4分) (2)解：“方程有一个根为1，将x=1代入原方程， .12+(m+2)×1+(2m-1)=0 即1+m+2+2m-1=0, 整理得3m+2=0, 解得m二2 3 将m=- 代入原方程，得+（号+小+2-0 化简为x2+4x-7 3- =0,两边同乘3得3x2+4x-7=0, 3 因式分解得(x-3x+7)=0, 解得x=1,x2三一3 :m的值为子另一个限为子(8分) 2 17.(8分) 【详解】(1)解：：x,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1x+m2+5=0的两实数根， .△=4m+1)2-4m2+5≥0， x1+x2=2(m+1,xx2=m2+5, m≥2， x1-1(x2-1=28,即xx2-(x1+x2+1=28, 2/7 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m2+5-2(m+1+1=28, 整理得m2-2m-24=0, 解得m1=6,m2=-4, :m22, .m的值为6；(4分) (2)解：当腰长为7时，则x=7是一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的一个解， 把x=7代入方程得49-14(m+1+m2+5=0, 整理得m2-14m+40=0, 解得m1=10,m2=4, 当m=10时，x+x2=2(m+1=22,解得x2=15,而7+7<15，不能构成三角形，故舍去； 当m=4时，x+x2=2m+1)=10,解得x2=3,则三角形周长为3+7+7=17； 当7为等腰三角形的底边时，则x=x2, “A=[-2(m+1]2-4×m2+5)=8m-16=0, .m=2, 方程化为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3, 则3+3<7，不能构成三角形，故舍去， 所以这个三角形的周长为17，(8分) 18.(8分) 【详解】解：可以，理由如下： 设AB=x米，则BC=(30+2-2x)=(32-2x米，根据题意得 x(32-2x=120, 解得x=6,x2=10, 当x=6时，32-2x=32-12=20>18,不符合题意，舍去， .x=10,即AB=10米.(8分) 3/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 19.(10分) 【详解】(1)证明：由题意可得： △=m2-4×1×2m-5 =m2-8m+20 =(m-42+4, :(m-42≥0， .(m-4)2+4≥4， :无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(5分) (2)解：：设x2+mx+2m-5=0的两个实数根为X1,为2， .x1+x2=-m,xx2=2m-5, x2+x3+4xx2=-5, (x+2）+2xx2=-5, (-m+2(2m-5)=-5, 整理可得m2+4m-5=0, 解得m=-5或m=1.(10分) 20.(10分) 【详解】(1)解：：方程7x2-11x+4=0中a=7,b=-11,c=4, .a+b+c=7+(-11)+4=0, .方程7x2-11x+4=0是“和谐方程”；(3分) (2)解：关于x的一元二次方程x2+bx+5=0是“和谐方程”， ∴.1+b+5=0, 解得：b=-6, 解方程x2-6x+5=0, 解得x=1,x2=5;(6分) (3)解：“关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0是“和谐方程”， 4/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .-1+b+c=0, .b=1-e, .b2-4c =(1-c)2-4c =c2-6c+1 =(c-3)2-8, (c-3)220, ∴.b2-4c≥-8， 即代数式b2-4c的最小值为-8.(10分) 21.(12分) 【详解】解：问题一： 设n为有理数， 已知方程x2-(3+1x+V3n-6=0有一个整数根， 令方程中一个整数根为m, 将m代入一元二次方程得：m2-V5+1m+5n-6=0, .m2-m-6-√5m+√5n=0, .m2-m-6-√5(m-n)=0, 由m为整数知：m2-m-6是整数， √5(m-n)一定是整数， .m-n是有理数， .m-n=0, .m=n· 故答案为：①(m2-m-6)-V3(m-n)=0;②m2-m-6.(4分) 问题二： 解法一：由x+a(x-15)-25=x+b)x+c得b+c-a+15)x+bc+25+15a=0. 5/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :x具有任意性， :多项式的一次项系数和常数项均为0， b+c=a-15 bc=-25-15a be+15(b+c+152=-25, 即(b+15)(c+15=-1×25=-5×5=1x-25, b+15=-1b+15=-5fb+15=1 +15=25或0+15=5或1c+15=2s 或 ,b+c=-6或b+c=-30或b+c=-54. 当b+c=-6时，-6=a-15, 解得a=9; 当b+c=-30时，-30=a-15, 解得a=-15; 当b+c=-54时，-54=a-15, 解得a=-39; b+15=-5 故答案为：③ (c+15=5:④ b+15=1 c+15=-25 ⑤当b+c=-30时，a=-15:⑥当b+c=-54时，a=-39.(8 分) 22.（12分) 【详解】(1)①解：当a=70,x=10时， 长方体纸盒的底面积为(a-2x)=(70-20)=2500cm2), 故答案为：2500；(3分) ②解：(a-2x)=3600, 当a=70时，（70-2x)=3600, x=5, 那么纸盒的高为5cm, 故答案为：5；(6分) 6/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)解：：折成的有盖纸盒的所有棱长之和为260cm, ∴.4x+4AB+4AD=260, .4x+2(a-2x+4a-2x=260, 当a=70时， 4x+2(70-2x+470-2x=260, 解得：x20, 4B=x70-40)=151cm: AD=70-40=30(cm, .纸盒的体积为15×30×20=9000(cm).(12分) 23.(14分) 【详解】解：任务1：：每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出1件，乙店一天可多售出2件， ·.甲店每天的销售量为：(30+a)件， 乙店每天的销售量为：(20+2b)件. 故答案为：(30+a),(20+2b)(6分) 任务2：设每件衬衫下降x元时，两家分店一天的盈利额相等， :两家分店下降的价格必须相同， :.(30+x)35-x)=(20+2x)(40-x), 整理得：x2-55x+250=0, 解得：x=5,2=50 :要保证两家分店都不亏损， x2=50不符合题意，舍去， .x=5, 答：每件衬衫下降5元时，两家分店一天的盈利额相等，(14分) 717 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十七章 一元二次方程及其运用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 故选：C． 2．（本题4分）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 3．（本题4分）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解： ∵原方程为， ∴移项得， ∴， ∴整理得 ． 4．（本题4分）一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．不能确定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】先计算判别式的值，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式为， ∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．（本题4分）若方程的两根分别为，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，可得出、的值，代入求值即可． 【详解】解：∵对于一元二次方程， 若方程两根为，， 则 ，， 本题方程为 ，可得 ，，， ∴ ，， ∴ . 6．（本题4分）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知， 当时，，即， 当时，，即， ∴时，． 7．（本题4分）等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．8 C．8或10 D．16或6 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到可能的边长，再结合等腰三角形性质与三角形三边关系，筛选出符合条件的边长组合，进而计算周长确定答案． 【详解】解：解方程得，或， ①若腰长为2，底边长为4， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此情况舍去； ②若腰长为4，底边长为2， ∵，，满足三角形三边关系， ∴该三角形的周长为， 综上，只有周长为10． 【点睛】注意分类讨论的思想． 8．（本题4分）如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 9．（本题4分）某快递公司2023年“双十一”与2025年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件．设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的等量关系为：最终年份投递件数 = 初始年份投递件数年平均增长率的增长次数次方，2023年到2025年共增长2次，据此列方程即可． 【详解】解：设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为，根据题意，得 ． 10．（本题4分）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）若是方程的一个根，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：由是方程的一个根， 将代入方程得：， 解得． 12．（本题5分）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】有实数根 有实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并判断其符号．先确定一元二次方程的系数a，b，c；再代入根的判别式公式进行计算；最后根据的符号判断根的情况． 【详解】解：对于方程， ，，， ， ． 故该一元二次方程有实数根． 故答案为：有实数根． 13．（本题5分）对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 【答案】 【分析】根据定义的运算规则，将 代入公式，得到关于 的方程，然后解该一元二次方程． 本题考查了新定义计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由定义，， 所以 ． 给定 ， 因此 ， 即 ． 解得． 故答案为：． 14．（本题5分）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 16．（本题8分）探究题：已知一元二次方程 ． (1)求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，另一个根是 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式（判断方程根的个数）及一元二次方程的解（已知根求参数），解题的关键是熟练掌握判别式的计算公式及“方程的根满足方程等式”的性质． （1）计算方程的判别式，将其化简为关于的代数式，证明该代数式恒大于等于； （2）将根代入原方程，解关于的一元一次方程，再将的值代入原方程，求解另一个根． 【详解】（1）∵ 对于一元二次方程（），根的判别式为, 又∵ 原方程为，其中，，, ∴ , ∵ 无论取何值，, ∴ ，即. ∴ 无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵ 方程有一个根为，将代入原方程, ∴ . 即, 整理得, 解得. 将代入原方程，得, 化简为，两边同乘得, 因式分解得, 解得，. ∴ 的值为，另一个根为. 17．（本题8分）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)m的值为6 (2)这个三角形的周长为 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系，等腰三角形的定义．掌握一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式和对等腰三角形恰当分类是解题的关键． （1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）分类讨论：若时，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【详解】（1）解：，是关于的一元二次方程的两实数根， ， ，， ∴， ，即， ， 整理得， 解得，， ， 的值为6； （2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得， 解得，， 当时，，解得，而，不能构成三角形，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， ∴， ∴， 方程化为，解得， 则，不能构成三角形，故舍去， 所以这个三角形的周长为． 18．（本题8分）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【答案】可以，米 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．设,表示出的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：可以，理由如下： 设米，则米，根据题意得 ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，即米． 19．（本题10分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算得出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据，并结合完全平方公式，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ∵， ∴， ∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵设的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理可得， 解得或． 20．（本题10分）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)， (3)代数式的最小值为 【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可； （2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可； （3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 21．（本题12分）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【答案】①；②；③；④⑤当时，；⑥当时， 【分析】（1）将去括号展开，然后整理成，再根据整数的性质，即得答案； （2）对于③和④，根据整数的性质，可得另两个结论或；对于⑤和⑥，将和，分别代入求解即可． 【详解】解：问题一： 设n为有理数， 已知方程有一个整数根， 令方程中一个整数根为m， 将m代入一元二次方程得：， ， ， 由m为整数知：是整数， 一定是整数， 是有理数， ， ． 故答案为：①；②． 问题二： 解法一：由得． 具有任意性， 多项式的一次项系数和常数项均为0， ， 即， 或或， 或或． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：③；④⑤当时，；⑥当时，． 22．（本题12分）某制盒厂用一块边长为的正方形纸板制作一个长方体盒子（纸板厚度及接缝处忽略不计）． (1)如果要做一个无盖的长方体盒子，可先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再把它折合起来（如图①所示）． ①如果，，那么长方体纸盒的底面积为______ ． ②如果，长方体纸盒的底面积为，那么纸盒的高为______ ． (2)如果要做一个有盖的长方体纸盒，可先在纸板四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，再把它折合起来（如图②所示）．若，折成的有盖纸盒的所有棱长之和为，则纸盒的体积为多少？ 【答案】(1)①2500    ②5 (2)纸盒的体积为 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，几何问题(一元一次方程的应用) 等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）①当，时，根据图形求出长方体纸盒的底面积； ②根据，将代入，求得； （2）根据折成的有盖纸盒的所有棱长之和为，得出．根据当时，求得，从而可求得，，从而可求得纸盒的体积． 【详解】（1）解：当，时， 长方体纸盒的底面积为， 故答案为：2500； 解：∵， 当时，， ∴， 那么纸盒的高为， 故答案为：5； （2）解：∵折成的有盖纸盒的所有棱长之和为， ∴， ∴， 当时， ∴， 解得：， ∴， ， ∴纸盒的体积为． 23．（本题14分）根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出件，每件盈利元 每天可售出件，每件盈利元 市场调查 每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出件，乙店一天可多售出件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量______件（用含的代数式表示）； 乙店每天的销售量______件（用含的代数式表示）． 任务2 总公司规定：在保证两家分店都不亏损的情况下，两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利额相等． 【答案】任务1：，；任务2：每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利额相等． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务：由每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出件，乙店一天可多售出件，即可得出结论； 任务：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利额相等，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务1：∵每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出件，乙店一天可多售出件， ∴甲店每天的销售量为：件， 乙店每天的销售量为：件． 故答案为：， 任务：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利额相等， ∵两家分店下降的价格必须相同， ∴， 整理得：， 解得：， ∵要保证两家分店都不亏损， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利额相等． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十七章 一元二次方程及其运用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题4分）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 4．（本题4分）一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．不能确定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．（本题4分）若方程的两根分别为，，则（　　） A． B． C． D． 6．（本题4分）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题4分）等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．8 C．8或10 D．16或6 8．（本题4分）如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（本题4分）某快递公司2023年“双十一”与2025年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件．设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）若是方程的一个根，则的值为_________． 12．（本题5分）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 13．（本题5分）对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 14．（本题5分）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 16．（本题8分）探究题：已知一元二次方程 ． (1)求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 17．（本题8分）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 18．（本题8分）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 19．（本题10分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，，若，求m的值． 20．（本题10分）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 21．（本题12分）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 22．（本题12分）某制盒厂用一块边长为的正方形纸板制作一个长方体盒子（纸板厚度及接缝处忽略不计）． (1)如果要做一个无盖的长方体盒子，可先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再把它折合起来（如图①所示）． ①如果，，那么长方体纸盒的底面积为______ ． ②如果，长方体纸盒的底面积为，那么纸盒的高为______ ． (2) 如果要做一个有盖的长方体纸盒，可先在纸板四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，再把它折合起来（如图②所示）．若，折成的有盖纸盒的所有棱长之和为，则纸盒的体积为多少？ 23．（本题14分）根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出件，每件盈利元 每天可售出件，每件盈利元 市场调查 每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出件，乙店一天可多售出件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量______件（用含的代数式表示）； 乙店每天的销售量______件（用含的代数式表示）． 任务2 总公司规定：在保证两家分店都不亏损的情况下，两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利额相等． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十七章 一元二次方程及其运用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题4分）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 4．（本题4分）一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．不能确定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．（本题4分）若方程的两根分别为，，则（　　） A． B． C． D． 6．（本题4分）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题4分）等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．8 C．8或10 D．16或6 8．（本题4分）如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（本题4分）某快递公司2023年“双十一”与2025年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件．设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）若是方程的一个根，则的值为_________． 12．（本题5分）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 13．（本题5分）对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 14．（本题5分）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 16．（本题8分）探究题：已知一元二次方程 ． (1)求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 17．（本题8分）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 18．（本题8分）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 19．（本题10分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，，若，求m的值． 20．（本题10分）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 21．（本题12分）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 22．（本题12分）某制盒厂用一块边长为的正方形纸板制作一个长方体盒子（纸板厚度及接缝处忽略不计）． (1)如果要做一个无盖的长方体盒子，可先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再把它折合起来（如图①所示）． ①如果，，那么长方体纸盒的底面积为______ ． ②如果，长方体纸盒的底面积为，那么纸盒的高为______ ． (2)如果要做一个有盖的长方体纸盒，可先在纸板四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，再把它折合起来（如图②所示）．若，折成的有盖纸盒的所有棱长之和为，则纸盒的体积为多少？ 23．（本题14分）根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出件，每件盈利元 每天可售出件，每件盈利元 市场调查 每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出件，乙店一天可多售出件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量______件（用含的代数式表示）； 乙店每天的销售量______件（用含的代数式表示）． 任务2 总公司规定：在保证两家分店都不亏损的情况下，两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利额相等． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $