1.5数学归纳法 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数学归纳法的原理与应用，通过回顾数列公式引出与正整数命题证明的问题，借助多米诺骨牌游戏类比，搭建从旧知到新知的学习支架，清晰呈现数学归纳法的步骤与注意事项。 其亮点在于融入数学史（如欧几里得、阿基米德等），结合“归纳—猜想—证明”思维，通过数列、等式、整除等多样典例，培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（抽象能力）。学生能提升逻辑推理，教师可直接利用丰富资源高效教学。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 数列 第5节 数学归纳法 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解数学归纳法的原理. 2、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 1、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 1、了解数学归纳法的原理. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、等差数列的通项公式：__________________ 2、等比数列的通项公式:__________________ an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 3、等差数列的前n项和公式:_______________________________ 4、等比数列的前n项和公式:__________________________________ Sn = =na1+d Sn = 在这四个公式中：n∈____，即这些都是与_______数有关的命题， 那么，怎么证明它们对每一个正整数都成立呢？ N* 正整 3 新 知 引 入 韦 达 多米诺骨牌游戏是我们小时候经常玩的游戏。只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……. 要使多米诺骨牌能全部倒下需要什么条件呢？ 1、第1块骨牌能倒下； 2、任意一块骨牌倒下都能把下一块 骨牌推倒。 从多米诺骨牌游戏中，我们获得了一种证明与正整数命题有关的方法。 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 数学归纳法 第一步：证明当取第一个值n0（n0是一个确定的正整数，如n0=1或2等）时，命题成立； 第二步：假设当时，命题成立，证明当时，命题也成立. 第三步：下结论. 注意：1、 2、 在用数学归纳法证明时，两个基本步骤缺一不可. 用数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题. 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 数学归纳法 第一步：证明当取第一个值n0（n0是一个确定的正整数，如n0=1或2等）时，命题成立； 第二步：假设当时，命题成立，证明当时，命题也成立. 第三步：下结论. 注意：3、 4、 第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础。其中n0不一定是1. 第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，在第二步的证明n=k+1中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 6 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 归纳法可分为：________________、__________________ 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫_______________。体现了由特殊到一般，是数学发现的重要方法； 归纳法 完全归纳法 不完全归纳法 完全归纳法得出的结论是可靠的,数学归纳法是一种完全归纳法; 不完全归纳法得到的结论并不可靠,这种方法并不能作为一种论证的方法,但它是发现数学规律的一种重要手段。 7 学 习 新 知 拉格朗日 我们常用不完全归纳法去发现“规律”,即提出猜想, 再用数学归纳法去判断所发现的“规律”是真是假. 不完全归纳法与数学归纳法经常结合使用. 所谓的“归纳—猜想—证明”正是这种思想方法的充分体现. 例如：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。显然，这个结论是_________的，这里用的就是____________归纳法。 错误 不完全 8 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、用数学归纳法证明：首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和公式为Sn=na1+d. 证明：（1）当n=1时，左边 = S1 = a1 ，右边 = 1×a1+d = a1 ∴等式成立 （2）假设当n=k(k≥1)时，等式成立，即Sk= ka1+d成立 那么，当n=k+1时，Sk+1 = Sk+ak+1 = [ka1+d]+{a1+[(k+1)-1]d} = (k+1)a1+[+k]d = (k+1)a1+ d = (k+1)a1+ d 这就是说，当n=k+1时等式也成立 根据（1）（2），可知等式对于任意正整数n都成立。 数学归纳法证明数列问题 9 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为的等差数列，那么，= ① 对任何都成立. 证明：（1）当时， 左边，右边= , ∴①式成立. （2）假设当()时， ①式成立，即ak=a1+(k-1)d 根据等差数列的定义，有 于是 ， 即当时， ①式也成立. 由（1）（2）可知， ①式对任何都成立. 10 典 例 引 路 狄利克雷 例2、证明1+2+3+…+n = (n∈N*) 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，即 1+2+3+…+k= 那么，1+2+3+…+k+(k+1)= + (k+1) = 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都成立。 数学归纳法证明等式问题 11 同 步 练 习 黎 曼 练2、用数学归纳法证明: 当n≥2,n∈N*时,(1-)…(1-)=. 证明:(1)当n=2时,左边=1- ,右边= , ∴n=2时等式成立. (2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立, 即(1-)(1-)(1-)…(1-) = , 那么当n=k+1时, (1-)(1-)(1-)…(1- )[1- ] = ·[1-]= . ∴当n=k+1时,等式也成立. 根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立. 12 典 例 引 路 华罗庚 例3、用数学归纳法证明：（1+α）n≥1+nα(其中α＞-1,n∈N+) 证明：（1）当n=1时，左边=1+α，右边=1+α，命题成立 （2）假设当n=k(k≥1)时，命题成立，即（1+α）k≥1+kα 那么，当n=k+1时，因为α＞-1，所以1+α＞0 根据假设知，（1+α）k≥1+kα,所以 （1+α)k+1=(1+α)k(1+α) ≥(1+kα)(1+α) = 1+(k+1)α+kα2 因为kα2≥0,所以1+（k+1)α+kα2≥1+(k+1)α 从而（1+α）k+1≥1+(k+1)α 这表明，当n=k+1时命题成立 根据（1）（2），该命题对于任意正整数n都成立。 数学归纳法证明不等式问题 13 同 步 练 习 陈景润 练3、用数学归纳法证明2n+2＞n2(n≥3,n∈N*)． 证明：（1）n=3时，10＞9，不等式成立； （2）假设n=k(n≥3,n∈N*)时不等式成立，即2k+2＞k2； 当n=k+1时，左边 = 2k+1+2 = 2（2k+2）-2＞2k2-2； 右边 = (k+1)2 = k2+2k+1； ∵2k2-2-(k2+2k+1) = k2-2k-3 = (k-3)(k+1) ≥0； ∴2k2-2≥(k+1)2，k≥3，k∈N*； 即当n=k+1时，2k+1+2＞(k+1)2，不等式成立； 综上得，2n+2＞n2(n≥3,n∈N*)．． 14 典 例 引 路 柯 西 例4、用数学归纳法证明：34n+2＋52n+1能被14整除． 证明：(1)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝854＝14×61， ∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除． (2)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除． 那么当n＝k＋1时 34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2·34＋52k+1·52 ＝81·34k+2＋25·52k+1 ＝(25＋56)·34k+2＋25·52k+1 ＝25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2． ∵ (34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除， ∴ 34(k+1)+2＋52(k+1)+1能被14整除．即n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)、(2)可知, 34n+2＋52n+1能被14整除． 数学归纳法证明整除问题 15 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 例4、用数学归纳法证明：11n+1+122n-1(n∈N*)能被133整除． 解：①当n=1时，11n+1+122n-1=112+12=133能被133整除， 所以当n=1时结论成立； ②假设当n=k(k∈N*)时，11k+1+122k-1能被133整除， 那么当n=k+1时， 11k+2+122(k+1)-1 = 11k+1×11+122k-1×122 = 11k+1×11+122k-1×11-122k-1×11+122k-1×122 = 11(11k+1+122k-1)+133×122k-1 由假设可知11(11k+1+122k-1)+133×122k-1能被133整除， 即11k+2+122k+1能被133整除， 所以当n=k+1时结论也成立； 综上，11n+1+122n-1(n∈N*)能被133整除． 16 典 例 引 路 牛 顿 例5、平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数为:f(n)= 证明：（1）当n=2时，两条直线的交点只有1个，又f(2)= =1， 所以n=2时，命题成立； （2）假设n=k，k∈N*且k＞2时，命题成立， 即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)= , 那么，当n=k+1时，设增加的直线为m，除m以外其他k条直线的交点个数为f(k)= ,因为任意两条直线不平行，所以直线m与其他k条直线的交点个数为k，又任意三条不过同一点，所以上面k个交点两两不同，且与平面内其他的f(k)= 个交点也两两不同，从而k+1条直线共有f(k)+k个交点，f(k+1)=f(k)+k= +k= (k+1)[(k+1)-1] 所以当n=k+1时，命题成立. 综上，原命题成立. 数学归纳法证明几何问题 17 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2-n+2个区域． 证明：（1）当n=1时，1个圆将平面分为2个区域，12-1+2=2， 显然命题成立， （2）假设当n=k时，k个圆将平面分为k2-k+2个区域， 当n=k+1时，第(k+1)个圆Ck+1与前k个圆交于2k个点，这2k个点把这个圆分为2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成两部分， 因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分， 即k2-k+2+2k = k2+k+2 = (k+1)2-(k+1)+2， 即当n=k+1时，命题成立 根据数学归纳法可得：平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，这n个圆把平面分成了n2-n+2个区域. 18 典 例 引 路 傅里叶 例6、已知数列{an}满足an+1=,a1=0,试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明。 解：由an+1= ,a1=0,得 a2 = = = , a3 = = , a4 = = , a5 = = 归纳上述结果，可得猜想an= 下面用数学归纳法证明这个猜想 （1）当n=1时，左边=a1,右边=0，等式成立； （2）假设当n=k(k≥1)时，等式成立，即ak= 成立 那么，当n=k+1时，ak+1 = = = = 这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）（2）,可得猜想an= 对于任意正整数n都成立。 归纳 猜想 证明 19 同 步 练 习 洛必达 练6、已知数列{an},Sn是其前n项的和,对不小于2的正整数满足关系1-Sn=an-1-an. (1)求a1、a2、a3的值; (2)证明: {an}是等比数列. 解：(1) ∵S2=a1+a2, ∴1-(a1+a2)=a1-a2 ∴ a1= 同理可得：a2 = ,a3= (2)猜想an= ，现用数学归纳法证明如下: (Ⅰ)当n=1时,由上知命题成立. (Ⅱ)假设当n=k时命题成立,即ak = 当n=k+1时，∵1-Sk+1= ak-ak+1 , ∴1-(Sk+ak+1)=ak-ak+1 ∴1-Sk= ak ① ,同理有1-Sk+1= ak+1 ② 由①和假设得Sk=1- ，由②得1-（Sk+ak+1)= ak+1 ∴ak+1= (1-Sk) = 故当n=k+1时,命题也成立. 根据(Ⅰ)、(Ⅱ)可知,对一切 n∈N*,an= 成立. 所以{an}是等比数列. 20 全 课 总 结 第一步：证明当取第一个值n0（n0是一个确定的正整 数，如n0=1或2等）时，命题成立； 第二步：假设当时，命题成立， 证明当时，命题也成立. 第三步：下结论. 数学归纳法 21 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $