7.2 离散型随机变量及其分布列 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.2 离散型随机变量及其分布列 【基础巩固】 1．下列是离散型随机变量的是（ ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 2．已知随机变量服从分布，且，则（ ） A． B． C． D． 3．若随机变量的分布如下表： 则的值为（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 4．一袋中装有个白球和个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A． B． C． D． 6．已知随机变量服从两点分布，．若，则__________． 7．若随机变量的分布列为 则当时，实数的取值范围是______. 8．一袋中装有编号为的个大小相同的球，现从中随机取出个球，表示取出的最大号码. (1)求的概率; (2)求的分布列. 【能力拓展】 9．甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时．视为平局，当两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜．重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜局或平局次时停止，记游戏停止时局数为次，则（ ） A． B． C． D． 10．已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（ ） A． B． C． D． 11．某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则_________． 【素养提升】 12．已知一个大盒子内装有个黄乒乓球，个白乒乓球． (1)甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时， （ⅰ）求乙在第次恰好摸到白乒乓球的概率； （ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列． (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过个黄乒乓球排在一起的概率为，若，求的最小值． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 离散型随机变量及其分布列 【基础巩固】 1．下列是离散型随机变量的是（ ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【解析】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 2．已知随机变量服从分布，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】且，解得. 故选：D 3．若随机变量的分布如下表： 则的值为（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【解析】因为，解得，所以. 故选B. 4．一袋中装有个白球和个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令表示前个球为白球，第个球为红球， 此时， 则． 故选：A． 5．（多选）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 6．已知随机变量服从两点分布，．若，则__________． 【答案】0.44 【解析】由题意可得． 故答案为： 7．若随机变量的分布列为 则当时，实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】由分布列知，， ，而， 所以. 故答案为： 8．一袋中装有编号为的个大小相同的球，现从中随机取出个球，表示取出的最大号码. (1)求的概率; (2)求的分布列. 【答案】见解析 【解析】(1)依题意， (2)的可能取值为， 则，，， 故的分布列为： 【能力拓展】 9．甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时．视为平局，当两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜．重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜局或平局次时停止，记游戏停止时局数为次，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】甲乙每次掷股子次，若两人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率， 若甲胜，则结果有，，，，，，，，，种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 局数为次后停止游戏，若次全平局，概率为； 若平局次，则最后次不能是平局， 另外次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局次，则一方胜负，且负的次只能在前次中， 概率为， 所以． 故选：D. 10．已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于服从两点分布，且， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 11．某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则_________． 【答案】 【解析】资金的分布列为 奖金的分布列为 则. 故答案为：. 【素养提升】 12．已知一个大盒子内装有个黄乒乓球，个白乒乓球． (1)甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时， （ⅰ）求乙在第次恰好摸到白乒乓球的概率； （ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列． (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过个黄乒乓球排在一起的概率为，若，求的最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)（i）由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为. （ii）根据游戏规则，的取值可能为， ； ； ； ； 所以的分布列为 (2)整理乒乓球时，要使得至少个黄球相邻，则有“黄黄—黄黄—黄黄”，“黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”种情况. 可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上. 所以“黄黄—黄黄—黄黄”有种排法； “黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”均有种排法，总共种； “黄黄黄黄黄黄”有种排法. 不超过个黄球排在一起的情况只能为“黄黄—黄黄—黄黄”与“黄黄黄—黄黄黄”两种情况， 所以，即有， 解得或（舍去），所以的最小值为. 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $