精品解析：云南省/丽江市华坪县第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

云南省华坪县第一中学2025-2026学年上学期期末考试 高二 数学 （考试时间：120分钟；满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 2. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种10排塔松，第1排栽种6棵，第2排比第1排多栽种2棵，第3排比第2排多栽种4棵，···，第n排比第n－1排多栽种棵且，则第10排栽种塔松的棵数为（ ） A. 90棵 B. 92棵 C. 94棵 D. 96棵 4. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包含边界）的动点，则的最小值为（ ） A. -1 B. C. D. 5. 直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（ ） A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，但不过圆心 C. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点 6. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 7. 已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（ ） A B. C. D. 8. 若圆与双曲线渐近线相切，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（     ） A. C的离心率为2 B. C. 的面积为 D. 的周长为18 10. 若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（ ）． A. 1 B. 3 C. 0 D. 4 11. 已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是（ ）． A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，平行六面体中，，，，，则的长为______． 13. 二项式的展开式的二项式系数和为256，则等于______． 14. 近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、紫、黑、绿五种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法．（用数字作答） 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 已知 （1）已知角终边过点，求的值； （2）若，且，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，E，F，G分别为PA，BC，CD的中点． （1）证明：平面PBC． （2）求直线EC与平面EFG所成角的正弦值． 17. 已知直线，圆 （1）若，求直线l截圆M所得弦长; （2）已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 18. 数列的前项和为，且满足；递增的等差数列满足，． （1）求数列、的通项公式； （2）若是、的等比中项，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知且是上的奇函数，且. （1）求的值； （2）设.求的解析式，并求其值域； （3）在（2）条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省华坪县第一中学2025-2026学年上学期期末考试 高二 数学 （考试时间：120分钟；满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，即，所以充分性成立；当时，即可得到，所以必要性成立. 故选：C 2. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，双曲线的离心率， 因为是减函数，所以当时，，所以，所以，故选B. 考点：双曲线的几何性质. 【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题. 3. 现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种10排塔松，第1排栽种6棵，第2排比第1排多栽种2棵，第3排比第2排多栽种4棵，···，第n排比第n－1排多栽种棵且，则第10排栽种塔松的棵数为（ ） A. 90棵 B. 92棵 C. 94棵 D. 96棵 【答案】D 【解析】 【分析】利用相加相消法，再结合等差数列求和公式得解. 【详解】设第排栽种的塔松的数量为 由题意知， 所以 故选：D． 4. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包含边界）的动点，则的最小值为（ ） A. -1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】表示点与点连线的斜率， 由题图可知，过点且与以为圆心，为半径的半圆（轴右侧）相切的一条切线的斜率最小， 设切线方程为，即， 由，解得（舍去）或， 所以的最小值是. 故选：B. 5. 直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（ ） A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，但不过圆心 C. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心与直线l的关系判断作答. 【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：， 而圆的圆心为，半径为，于是得圆心在直线l上， 所以直线l与圆相交，过圆心. 故选：A 6. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得. 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 7. 已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐个选项进行验证即可判断. 【详解】时，，时，，时，，故ACD错误； 令，解得，故不是数列中的项. 故选：C 8. 若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出渐近线方程，由圆心到渐近线距离等于半径，得到方程，求出. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心，半径为2， 由对称性，圆心到渐近线的距离， 由题意得，故， 所以离心率. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（     ） A. C的离心率为2 B. C. 的面积为 D. 的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线方程可得，由，可得，据此可得题中所涉线段长度，即可判断选项正误. 【详解】如图所示，不妨设在第一象限，由双曲线可得， 则，由于，得，， 由于，， 所以， 故，可得，故， 而，故， 由，得，所以的离心率； 由以上分析可知，在中，，，， 故， 的周长为． 故选：ABD 10. 若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（ ）． A. 1 B. 3 C. 0 D. 4 【答案】AB 【解析】 【分析】利用直线垂直的充要条件列出方程，计算即得. 【详解】因，且，则的斜率必存在， 故，即， 化简得，解得或． 故选：AB． 11. 已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是（ ）． A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据即可作差得，进而可判断为等比数列，根据等比通项以及求和公式即可求解. 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，． 故选：ACD． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，平行六面体中，，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】选择为空间的一组基，将用基向量表示，再利用向量数量积的运算律即可求得的长. 【详解】平行六面体中，，，， ， 如图，，则 ． ． 故答案为：. 13. 二项式的展开式的二项式系数和为256，则等于______． 【答案】8 【解析】 【分析】由二项式的二项式系数和为列方程，计算即得. 【详解】依题意，解得． 故答案为：8. 14. 近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、紫、黑、绿五种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】 先考虑区域所种农作物的种数，然后依次分析区域、区域所种农作物的种数，对区域与区域所种农作物的颜色是否相同进行分类讨论，确定区域所种农作物的种数，利用分类加法和分步乘法计数原理可得结果. 【详解】区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择. ①若区域和区域所种的农作物颜色相同，则区域有种选择； ②若区域和区域所种的农作物颜色不同，则区域有种选择，区域有种选择. 综上所述，共有种不同的种法. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法： （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 已知 （1）已知角的终边过点，求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再根据三角函数的定义即可求解； （2）根据平方关系求出，再根据商数关系求出. 【小问1详解】 因为角的终边过点，则， 所以 【小问2详解】 法一：， 由得，， 因为，所以， 又且， 所以，故. 由，解得， 所以. 法二：， 由得，， 联立，解得或， 又因为，所以， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，E，F，G分别为PA，BC，CD的中点． （1）证明：平面PBC． （2）求直线EC与平面EFG所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面PBC． （2）利用向量法求得直线EC与平面EFG所成角的正弦值． 【小问1详解】 由于平面，平面，所以， 而四边形是正方形，所以两两相互垂直. 以原点，建立如图所示空间直角坐标系. ， ， 设平面法向量为， 则，故可设， 由于平面，所以平面PBC． 【小问2详解】 ，，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线EC与平面EFG所成角为， 则. 17. 已知直线，圆 （1）若，求直线l截圆M所得的弦长; （2）已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 【答案】（1）4 （2），或 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可求圆心到直线l的距离，再利用圆的弦长公式即可求解； （2）根据直线方程可得定点坐标，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，即可解k，从而得切线方程. 【小问1详解】 当时，直线， 圆M的圆心为，半径为3， 则圆心M到直线l距离为， 则直线l截圆M所得的弦长为； 【小问2详解】 由得，所以定点， 由题意得切线的斜率存在， 则设切线的方程为，即， 所以， 解得， 故所求切线方程为，即或 18. 数列的前项和为，且满足；递增的等差数列满足，． （1）求数列、的通项公式； （2）若是、的等比中项，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由得，两式作差得出该数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；设递增的等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于的方程，解出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得； （3）利用数列单调性的求出数列的最大值，即可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 当时，，解得； 当时，，可得， 相减即有，即为， 所以，数列是首项和公比都为的等比数列，故. 设递增的等差数列的公差为，则， 因为，，即，整理得，解得或（舍去）， 则． 【小问2详解】 由是、的等比中项，可得， ， ， 相减可得 ． 化简可得． 【小问3详解】 不等式对一切正整数恒成立，即为恒成立． 由， 当时，；当时，，即， 可得数列从第二项起单调递减，即有最大值为， 则，整理得，解得或， 即实数的取值范围为． 19. 已知且是上的奇函数，且. （1）求的值； （2）设.求的解析式，并求其值域； （3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2），值域为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据可求得，代回解析式验证可知满足题意；由可求得的值； （2）根据（1）中结论可整理得到，并由得其定义域；结合基本不等式和不等式的性质可求得的值域； （3）结合的对称性可得的对称中心，由对称性可求得，根据不等式有解可得，由此可得的取值. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，，解得：； 当时，， 则，满足为奇函数； ，，又且，； 综上所述：，. 【小问2详解】 由（1）得：， ， ，，定义域为， . ，， （当且仅当时取等号），， ，，的值域为. 【小问3详解】 由题意知：， ， ； 为奇函数，图象关于中心对称， 图象关于中心对称，， ； 若存在正整数，使不等式有解，则， ，解得：， 存在正整数或，使不等式有解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $