第6章 5.2 平面与平面垂直-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

因为几何体ABF-CDE是直三棱柱，所以 AF⊥AC,EF∥AC且EF=AC,所以FI∥AM 且FI=AM,所以四边形AMIF为平行四边 形.又AF⊥AC,所以AMIF为矩形，所以 EF⊥MK 又EF⊥GH,MKC平面KIG,GHC平面 KIG,MK∩GH=L,所以EF⊥平面KIG. 又KGC平面KIG,所以EF⊥KG 又因为KG⊥MK,EFC平面ACEF,MKC平面ACEF,EF∩MK=I,所以KG⊥ 平面ACEF,所以点G到平面ACEF的距离等于线段KG的长度，设为h. 因为AF⊥BF,所以在R△ABF中，AF=BF=a,所以AB=√a2+a2= V2a,设∠FAB=0,则sing= 2 因为四边形AMIF为矩形，所以MI∥AF. 又因为几何体BDG-ACH是直三棱柱，所以AB∥HG,且HG=AB=√2a, 所以∠KG=∠FAB=0,1G=2a 2 又因为KG⊥平面ACEF,IKC平面ACEF,所以KG⊥K,所以sinB= sm∠kMG-C=h,即A-2 1G2 √2 =二解得A=,所以点G到平面ACBF 2 的距离是？ 5.2平面与平面垂直 白题 基础过关 1.BD解析：由二面角的定义，可知A说法不正 确，D说法正确； 由a,b分别和一个二面角的两个面垂直，知a,b 都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别 m 作a,b的平行线，分析知B正确： C中，如图，平面a,B,y两两垂直，过B,y的交 线m作可绕m旋转的半平面，显然二面角 a-l-B的两个半平面a,B分别垂直于y-m-入的 两个半平面入，y,但二面角y-m-入的大小无法确定，故C说法 不正确. 四易错提醒 L.二面角的大小与垂足在棱上的位置无关，一个二面角的平面角有 无数个，它们的大小是相等的. 2.构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角 的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内 角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可.前两个要素决定了 二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直. 3.当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°：当二面 角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°，所以 二面角的平面角0的取值范围是0°≤0≤180 2.B解析：由题可知，在正方体ABCD-A,B1C1D1中，BC⊥平面 CDD,C,由CD1C平面CDD1C,所以BC⊥CD1,又BC⊥CD,所以二 面角D-BC-D的平面角为LDCD.因为cD=DD,则∠DCD,=牙 3.C解析：如图，在平面B内过点A作AE⊥1，并取AE=BD=4,连接 CE,DE,所以AE∥BD,四边形AEDB为矩形，∠CAE即为二面角 &-I-B的平面角，l⊥AC,l1AE,AC∩AE=A,ACC平面ACE,AEC平 面ACE,所以I⊥平面ACE,CEC平面ACE,故I⊥CE,又四边形AEDB 为矩形，所以AB∥ED,所以CE⊥ED 在直角三角形CED中，DE=AB=2,CD=√4I,所以CE= JCD2-DE2=37」 在三角形CEA中，AC=3,AE=4,CE=√37，由余弦定理得cos∠CAE= AC2+AE2-CE232+42-371 24C·AE2×3×4 2 又∠CE∈(0，).所以∠C= 参考答案 B E 4.AB解析：对于A,因为lC平面B,则平面内只要是平行于1的直 线，都平行于平面B,故A正确；对于B,在平面B内作直线1的垂 线m,则m上平面a,则m垂直于平面a内的任意直线，故平面a内 已知直线必垂直于直线m,以及与m平行的无数条直线，故B正确： 对于C,平面α内垂直于两平面交线1的直线才垂直于平面B,故 C错误：对于D,过平面α内，且在交线1外的一点作交线1的垂线，则 此垂线必垂直于平面B,故D错误. 5.C解析：因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC BC⊥BD, 所以BD⊥平面ABC,即B正确，不符合题意： 因为ACC平面ABC,所以BD⊥AC,即A正确，不符合题意； 因为AB=AC,O为线段BC的中点， 所以BC⊥AO,同理可得AO⊥平面BCD,即D正确，不符合题意： 因为BD⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以BD⊥AB, BD∩CD=D,BD,CDC平面BCD,若AB⊥CD,则AB⊥平面BCD. 显然B,O不重合，故C错误，符合题意. 6.2解析：取AB的中点E,连接DE,CE.因为△ADB是等边三角形，所 以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面 ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE.因为AC2+ BC2=AB2,且AC=BC=√2，得DE=√3，EC=1,在Rt△DEC中，CD= /DE2+CE2=2. EA 7.证明：(1)由A41∥CC1,A41￠平面BCC1B1,CC1C平面BCCB1,所 以AA1∥平面BCC1B1. 又因为AA1C平面ABB,A1,平面ABB,A1∩平面BCC,B1=BB,所 以AA1∥BB1.同理：AA1∥DD1,所以BB1∥DD1, 所以B,B1,D1,D四点共面. (2)在菱形ABCD中，AC⊥BD,又因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,且 平面AAC,C∩平面ABCD=AC,BDC平面ABCD,所以BD⊥平 面AA1C1C. 因为AA1C平面AACC,所以BD⊥AA1,由(1)有AA1∥DD1,所以 BD⊥DD1: 8.C解析：对于A,由a⊥a,a∥b,得b⊥a,而b⊥B,则a∥B,A不是； 对于B,∥B,a,b分别是平面a,B内互相垂直的异面直线，满足 aCa,bCB,a⊥b,B不是： 对于C,由a∥b,aB,得b1B,又bCa,则a⊥B,C是； 对于D,由αnB=a,b⊥a,bCB,得二面角a-a-B的平面角可以是锐 角、直角，也可以是钝角，D不是 9.B解析：.PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,.PA⊥BC,又AB⊥BC, PA∩AB=A,∴.BC⊥平面PAB,又ANC平面ABP,∴.BC⊥AN,又 ,AN⊥PB,BC∩PB=B,AN⊥平面PBC,又PCC平面PBC,∴.AWI PC,又：PC⊥AS,AS∩AN=A,.PC⊥平面ANS,又PCC平面PBC, .平面ANS⊥平面PBC,.A选项正确，不符合题意. 由上述分析可知：BC⊥平面PAB,而BCC平面PBC,.平面PAB⊥平 面PBC,故C选项正确，不符合题意. 由上述分析可知：PA⊥平面ABC,PAC平面PAC,.平面ABC⊥平面 PAC,故D选项正确，不符合题意.从而可知B选项错误，符合题意 10.证明：因为PD⊥底面ABCD,AMC平面ABCD,所以PD⊥AM.又 PB⊥AM.PB∩PD=P,PB,PDC平面PBD,所以AM⊥平面PBD.因 为AMC平面PAM,所以平面PAM⊥平面PBD. 11.解：条件①②，结论③： 因为AD∥CF且AD=CF,故四边形ACFD是平行四边形，故CA∥ FD.因为FD⊥BE,所以CA⊥BE,又CA⊥DE,BEODE=E,BE,DEC 黑白题081 平面ABED,所以CA⊥平面ABED.而CAC平面ACFD,故平面： 因为AB⊥平面BCD,BC,BD,CDC平面BCD,所以AB⊥BC,AB⊥ ABED⊥平面ACFD: BD,AB⊥CD.因为AC⊥CD,AC∩AB=A,所以CD⊥平面ABC.因为 条件①③，结论②： BCC平面ABC,所以CD⊥BC,所以∠ABD=∠ABC=∠ACD= 因为AD∥CF且AD=CF,故四边形ACFD是平行四边形，故CA∥ ∠BCD=90°，所以此四面体的四个面均为直角三角形，所以此四面体 FD,由FD⊥BE,AD∥BE可得FD⊥AD.因为平面ABED⊥平面 为“整懦”，所以B正确： ACFD,平面ABED∩平面ACFD=AD,FDC平面ACFD,所以FD⊥平 如图②，过B作BE⊥AC于E,因为平面ABC⊥平面ACD.平面ABC∩ 面ABED,而EDC平面ABED,所以FD⊥ED.因为CA∥FD,故CA⊥DE: 平面ACD=AC,BEC平面ABC,所以BE⊥平面ACD.因为CDC平 若条件②③，结论①： 面ACD,所以BE⊥CD.因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥BC,AB⊥ 由于AD∥CF且AD=CF,故四边形ACFD是平行四边形，故CA∥ BD,AB⊥CD,结合AB∩BE=B,可知CD⊥平面ABC,所以CD⊥BC, FD,若CA⊥DE,则DF⊥DE,由于平面ABED⊥平面ACFD,无法推 CD⊥AC,所以∠ABD=∠ABC=∠ACD=∠BCD=90°，所以此四面体 导DF⊥平面ABED,不能推出DF⊥BE. 的四个面均为直角三角形，所以此四面体为“鳖隅”，所以C正确.故 四重难点拨 选BC. 垂直关系之间的相互转化： 4.B解析：如图，过点N作NH⊥AB,垂足为H,连接MH,MB. 而MN⊥AB,MN∩HN=N,MN,HNC平面MNH,则AB⊥平面MNH. [平面儿何的定理 又MHC平面MNH,则AB⊥MH,又平面ABCD⊥平面ABEF,平面 ABCD门平面ABEF=AB,MHC平面ABCD,则MH⊥平面ABEF,HNC 线线垂直 平面ABEF,于是MH⊥NH,而HN=HB,因此Rt△BHM≌Rt△NHM, 垂直的荆定定理 即MB=MN=2, 面面 则点M的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆弧，所以DM的最小值为 线面垂直的定 的 DB-2=22-2 线面垂直面面垂直的性质定理 面面垂直 面面垂直的判定定理 黑题 应用提优 1.B解析：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线.则这条 直线垂直于这个平面，若m⊥n,且m⊥I,但如果直线l与n不相交 则不能得到m⊥B,从而不能推出α⊥B,故充分性不成立： 5.AB解析：对A:如图①，在BC上任取一点D,过点D作DE⊥AC于 如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 点E,作DF⊥AB于点F,因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平 一个平面，若a⊥B,由于ax∩B=l,mCa,m⊥l,则m⊥B,又nCB,所 面ABC=AC,DEC平面ABC,所以DE⊥平面PAC,又PAC平面PAC 以m上n,故必要性成立. 所以DE⊥PA,同理DF⊥PA.又DE∩DF=D,所以PA⊥平面ABC 所以“m⊥n”是“α⊥B”的必要不充分条件 故A正确： 2.A解析：如图，设BC的中点为E,连 对B:由PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,当BC⊥AB时，BC⊥平面PAB. 接AE,DE,过点A作AF⊥ED,垂足为F, 又BCC平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB,故B正确： 因为△ABC,△DBC均为等边三角形， 对C:由PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,当PC⊥AB时，可知AB⊥平面 故AE⊥BC,DE⊥BC,故∠AED为二面 PAC,则AB⊥AC, 角A-BC-D的平面角 如图②，过点A作AH⊥BC于点H,连接PH,则∠PHA为二面角P- 又AE∩DE=E,AE,DEC平面AED,故BC BC-A的平面角， ⊥平面AED,而AFC平面AED,故BC ⊥AF. m∠PHA=PAPA、V AH AC 3 ,故LPHA ,故C错误； 6 又AF⊥ED,DE∩BC=E,DE,BCC平面BCD,故AF⊥平面BCD,则 对D:当BC⊥AB时，过点A作AT⊥PB于点T,又BC⊥PA,AB,PAC 点A到平面BCD的距离为AF=6 平面PAB,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,则BC⊥AT,从而AT⊥平 2 面PBC,则点A到平面PBC的距离为AT, 又△ABC为等边三角形，边长为2，故E=2×s血了=5，故在 当AB=2时，A7=62 3>3,故D错误 6 Rt△AFE中，sin∠AEF= 证后号，则∠ABF=子即∠AED= AF2√2 4 3.BC解析：将所给几何体放置于如图①所示的正方体中，则AB,BC, BD两两垂直，而此时四面体ABCD中，△ACD为等边三角形，此四面 体不是“鳖臑”，所以A错误： 在正方体中，平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD⊥平面ABC,结合四 面体ABCD中△ACD为等边三角形，所以此四面体不是“鳖踞”，所以 ① ③ D错误； 6.√5：2解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,25， 5 5 ∴.C0s0= 254V2gs8=2 ,.cosa:cosB=√5：2 29 1.2 帮折：刻图，当点N为照的中点时.即平面C 平面AA,CC.设AC1中点为D,连接DM,DN.因为D,M分别为 AG,AC的中点，所以DM/CC,且DM=)CC又因为N为B,的 必修第二册·BS黑白题082 中点，所以DM∥BN且DM=BN,所以四边形DMBN是平行四边形. 所以BM∥DN.又因为AB=BC,M为AC的中点，所以BM⊥AC.又因 为三棱柱是直棱柱，所以平面ABC⊥平面ACC,A,,平面ABC∩平 面ACC1A1=AC,所以BM⊥平面ACC1A1,所以DN⊥平面ACC,A1·又 因为DNC平面AC,N,所以平面AC,N1平面ACC,A.故答案为2 8.①③解析：对于①，由正方体的性质可得A,D1⊥平面A4P.又因 为AD,C平面D1A,P,所以平面AA,P⊥平面DA,P,即①正确： 对于②，当P是A,B的中点时，易得AP= √ 2,AD1=2,D,P= 1 3 VAD+P=√1+2=√2，满足AP+D,P=MD,此时 ∠APD1是直角，所以②错误； 对于③，连接D1C,DC1,如图所示 D 由正方体可知DC,⊥D1C,且BC⊥平面 DCC,D1,DC1C平面DCC1D1,所以BC⊥ DC1. 又D COBC=C,D1C,BCC平面ABCD1 所以DC1⊥平面A1BCD1.又DPC平 面A,BCD1,所以DC1⊥D,P,即③正确. 故答案为①③. 9.证明：(1)因为AB=√2AC=√2BC,所以AB2=AC2+BC2,所以AC⊥BC. 因为平面ACD⊥平面ABC,且平面ACD∩平面ABC=AC,BCC平 面ABC,所以BC⊥平面ACD. 因为CDC平面ACD,所以BC⊥CD. 因为CD⊥AB.ABC平面ABC,BCC平面ABC,且AB∩BC=B,所以 CD⊥平面ABC. (2)因为AE=BE,且F为线段AB的中点，所以EF⊥AB. 因为平面ABC⊥平面ABE,且平面ABC门平面ABE=AB,EFC平 面ABE,所以EF⊥平面ABC. 又因为CFC平面ABC,所以EF⊥CF 由(1)可知CD⊥平面ABC,则CD∥EF,CD⊥CF, 因为AE=√3，MF=2AB=2,且EF⊥AB,所以EF=√AE2-AF产=3， 因为CD=3,所以四边形CDEF是矩形. 10.(1)证明：，三棱柱ABC-A1B,C1为直三棱柱，∴，BB1⊥AB, BB1⊥A1B1 BB1=2BA=2B1A1,点Q是线段BB1的中点，.BA=BA1= BQ=BQ, ÷△ABQ,△A,B,Q为等腰直角三角形，故∠AQB=∠AQB1=4 ∠40A,=,即A,Q101 在直三棱柱ABC-A,B,G,中，∠B1C=7,AB⊥AC,M,上AC :AB∩AA1=A,AB,AA1C平面ABB1A1,.AC⊥平面ABB1A1· :A1QC平面ABB1A1,.AC⊥A1Q :QA∩AC=A,QA,ACC平面QAC,∴.A1Q⊥平面QAC AQC平面QA1C,.平面QAC⊥平面QA1C. (2)解：，四边形BCC,B,为矩形，点Q是线段BB1的中点， .QC=Q01. :LC0G=3△0CC,为等边三角形，故0C=QC,=CC,= BB1=2AB=2. 由题意得，B0⊥BC,BQ=BB,=1,BC=√QC-QB- 4-I=3 参考答案 :∠B4G=号AC=V3可=2 B 如图，过C1作C1D上平面QAC,垂足为D,连 接QD,C1A. 由(1)得，平面QAC⊥平面QA,C1,C,∈平 面QA:C1,.平面QAC∩平面QA1C1=QD. :A1C,∥AC,ACC平面QAC,A1C￠平面 QAC,.A,C1∥平面QAC,.C1到平面QAC 的距离等于A1到平面QAC的距离. A1Q⊥平面QAC,CD⊥平面QAC,.A1Q=C,D,A1Q∥C1D. :QDC平面QAC,C,D⊥QD,.四边形C,AQD为矩形，故 QD=A1C1=AC=2,QD∥AC1∥AC. 由AC⊥平面ABB,A1,QAC平面ABB1A1,.AC⊥QA,故QD⊥QA. 由AC⊥QA,A,C1∥AC得A1C1⊥QA, 由(1)知，AQ⊥QA,AQ∩A1C1=A1,A1Q,A1C1C平面QAC1, QA1平面QA1C· C,QC平面QA,C,.QA1C,Q,故∠C,QD为二面角C,-QA-C 的平面角， 在△BA1Q中，BQ=3BB,=AB,=1,BQ1A1B,A1Q= C1D=√2 由C,D⊥QD,QD=C,D=√2，得△C,QD为等腰直角三角形，即 ∠C,QD= 41 .二面角C,-QA-C的平面角的正弦值为sin π√2 4-2 压轴挑战 (1)证明：如图，连接BD交AC于O, 连接ON 因为AD∥BC,BC=2AD,所以根据相 似的性质可得BD.BC OD AD 2 因为直线MB∥平面ACN,MBC平 -“0F 面MBD,平面ACV∩平面MBD=ON, 所以n/o,测器品 2,所以MN=2ND. (2)解：如图，取AD的中点E,AC的中点F,连接ME,EF,MF 因为△MAD为等边三角形，所以不妨设MA=AD=MD=6,则ME= 33,ME⊥AD. 因为平面MAD⊥平面ABCD,平面MAD∩平面ABCD=AD,MEC平 面AMD,所以ME⊥平面ABCD.因为EF,ACC平面ABCD,所以ME⊥ EF,ME⊥AC 又因为E,F分别为AD,AC的中点，所以EF∥CD, 而AC⊥CD,所以AC⊥EF,又ME∩EF=E,ME,EFC平面MEF,则AC⊥ 平面MEF因为MFC平面MEF,所以AC⊥MF, 所以∠MFE是二面角M-AC-D的平面角，即∠MFE=a. 设fm则ma源3e3..科e15 过N作NH∥ME交AD于H,连接CH,由于ME⊥平面ABCD,所以NHI 平面ABCD,则∠NCH为直线CN与平面ABCD所成的角，即 LNCH-0.NI E/DE1c2m 因为cos∠ADC=GDm m /8m2+3 A03,所以CH=√4m+1-2x2mx兮√3 NH 则tan0= √3 HC /8m2+3√8m2+3 3 3 因为me[1,√3]，所以tan0= √8m2+3 [] 故tan0的取值范围为 「33√/111 311 黑白题0835.2 平面 白题 基础过关 题组1二面角 1.*(多选)下列说法中正确的是( A.两个相交平面组成的图形叫做二面角 B.异面直线a,b分别和一个二面角的两个面 垂直，则a,b所成的角与这个二面角的平 面角相等或互补 C.一个二面角的两个半平面分别垂直于另 一个二面角的两个半平面，则这两个二面 角的大小关系为相等或互补 D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的 位置没有关系 2.*(2025·江苏南京高一期末)如图，在正 方体ABCD-A,B,C,D1中，二面角D,-BC-D 的平面角的大小为 ( D B A. 6 n 3.*(2025·山东青岛高二月考)如图，二面 角a-l-B的棱上有两点A,B,线段BD与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直 于棱1，若AB=2,AC=3,BD=4,CD=√41，则 二面角-l-B的平面角的大小为 T T 2 5π A. B. C D. 6 3 6 必修第二册·BS 与平面垂直 限时：40min 题组2平面与平面垂直的判定 4.*人A教材习题（多选）(2025·湖北武汉高 一月考)平面垂直于平面B,且∩B=l,下 列命题正确的是 () A.平面内一定存在直线平行于平面B B.平面内已知直线必垂直于平面B内无数 条直线 C.平面α内任意一条直线必垂直于平面B D.过平面α内任意一点作交线1的垂线，则 此垂线必垂直于平面B 5.*如图，在四面体ABCD中，AB=AC,BC⊥ BD,平面ABC⊥平面BCD,O为线段BC的中 点，则下列判断错误的是 ( A.AC⊥BD B.BD⊥平面ABC C.AB⊥CD D.AO⊥平面BCD 6.*(2025·山东济南高一期中)如图所 示，A,B,C,D为空间四点，在△ABC中， AB=2,AC=BC=√2，等边三角形ADB以AB 为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时， CD= 黑白题132 7.*(2025·江苏南通如皋中学高一月考)如 图，在六面体ABCD-AB,C,D1中，AA1∥CC1, 平面AA,C,C⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱 形.求证： (1)B,B1,D1,D四点共面； (2)BD⊥DD· 题组3平面与平面垂直的判定 8.*(2025·浙江宁波高一期末)已知直线a, b与平面a,B,则能使α⊥B成立的充分条件是 () A.a⊥，b⊥B,a∥b B.aCa,bCB,a⊥b C.a∥b,a⊥B,bCa D.x∩B=a,b⊥a,bCB 9.*如图，AC=2R为圆O的直径，∠PCA= 45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上 不与点A,C重合的点，AS⊥PC于S,AN⊥PB 于N,则下列不正确的是 A.平面AWS⊥平面PBC B.平面ANS⊥平面PAB C.平面PAB⊥平面PBC D.平面ABC⊥平面PAC 第六章 10.*(2025·山东济宁高一月考)如图，四棱 锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面 ABCD,M为BC的中点，且PB⊥AM.证明：平 面PAM⊥平面PBD. 题组4垂直关系的相互转化及综合应用 11.*如图，在五面体ABCDEF中，AD∥ CF.AD=CF=CA=2.BE=EF=4.LCFE- 试从以下三个命题中选两个作为条件，剩下 一个作为结论，可以让推理正确，请证明你 的推理 ①FD⊥BE;②CA⊥DE;③平面ABED⊥平 面ACFD. 黑白题133 黑题 应用提优 1.*已知a,B是两个平面，m,n,l是三条直 线，且a∩B=l,mCa,nCB,m⊥l,则“m⊥n” 是“a⊥B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.*(2025·江苏南通高一月考)如图，边长 为2的两个等边三角形ABC,DBC,若点A到 平面BCD的距离为5则二面角AC-D的 平面角的大小为 T T A. B. C.m D. 6 3 2 (第2题)》 (第3题)》 3.**(多选)《九章算术》是我国古代的数学名 著，书中对几何学的研究比西方早一千多年， 在该书中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱称为“堑堵”：将底面为矩形， 一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”；将 四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖 臑”，如图，下列选项中，可以判定该四面体是 “鳖臑”的有 A.AB,BC,BD两两垂直 B.AB⊥平面BCD,且AC⊥CD C.AB⊥平面BCD,且平面ABC⊥平面ACD D.平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD⊥平 面ABC 4.*(2025·安微安庆高一月考)如图，正方 形ABCD和正方形ABEF的边长均为2，且它 们所在的平面互相垂直，点N在线段BF上运 必修第二册·BS 限时：45min 动，点M在正方形ABCD内运动，MN=2,且始 终保持MW⊥AB,则DM的最小值为（) A2-1B.22-2C.3 D.3 5.整（多选）(2025·江苏苏州高三月考)已知 三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,平面 PAB⊥平面ABC,PA=1,AC=√3，则() A.PA⊥平面ABC B.当BC⊥AB时，平面PBC⊥平面PAB C.当PC⊥AB时，二面角P-BC-A的平面角 的最小值为8 D.当BC⊥AB时，点A到平面PBC的距离小 3 6.*如图所示，若边长为4和3与边长为4 和2的两个矩形厅在的平面互相垂直， 则c0sa:cosB= 7.*(2024·广东江门高一月考)如图，在直 三棱柱ABC-A,B,C,中，M为棱AC的中 点.AB=BC,AC=2,AA1=√2.N∈BB1,使得平 面4C,N⊥平面A4,CC,则B B 黑白题134 8.**如图，在棱长为1的正方体中，点P是线 段A,B上一动点（不与A,B重合），则下列命 题中： ①平面AAP⊥平面D,A,P; ②∠APD,一定是锐角； ③DC1⊥DP; 真命题有 (填序号) D 9.(2025·湖北十堰高一期末)如图，在多 面体ABCDE中，AE=BE=√13，AB=√2AC= √2BC=4,CD⊥AB,平面ACD⊥平面ABC. (1)证明：CD⊥平面ABC. (2)已知CD=3,平面ABC⊥平面ABE,F是线 段AB的中点.证明：四边形CDEF为矩形 第六章 10.整(2025·广东深圳高一期中)如图，在直 三棱往ABC-AB,C巾，∠B1C-日， BB,=2BA,点Q是线段BB,的中点. (1)求证：平面QAC⊥平面QA,C1; (2)若∠G,0=写4B=1,求二面角G-01 C的平面角的正弦值. 压轴挑战 禁(2025·江苏徐州高一月考)如图，在四棱 锥M-ABCD中，AD∥BC,AC⊥CD,BC=2AD, △MAD为等边三角形，平面MAD⊥平面ABCD, 点N在棱MD上，直线MB∥平面ACN. (1)证明：MW=2ND; (2)设二面角M-AC-D的平面角为ax,直线CW 与平面ABCD所成的角为0，若tana的取 值范围是[3,33]，求tan0的取值范围 B 黑白题135