第6章 5 垂直关系 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§5阶段综合 黑题阶段强化 1.C解析：若m∥a,不妨设m在a内的投影为m',则m∥m', 对于选项A:若m∥a,m上n,则n上m',结合线面垂直判定定理可 知，n不一定垂直a,n可能与a平行，也可能斜交，故A错误； 对于选项B:若m∥a,B⊥，此时m与B可能相交、平行或m在B上， 故B错误： 对于选项C:因为n⊥a,m'Ca,则n⊥m',又m∥m',从而m⊥n,故 C正确； 对于选项D:因为m∥α，m⊥B,则m'⊥B,又m'C,结合面面垂直判 定定理可知，B⊥α，故D错误. 2.A解析：如图所示，过点F作FP⊥AC于点P,过点P作PM⊥BC 于M,连接PE,FE,FC. PEPE 则a=∠EFP,B=∠FEP,y=∠FMP,tana= FP FP-AB≤1，amB=PE PE≥1，amyE=amB,所以a A FPFP (第2题) (第3题) 3.D解析：如图，连接AF,CG 因为F,G分别是EB和AB的中点，所以FG/EA且FG=之EA,又因 为EA垂直于平面ABC,所以FG⊥平面ABC,B正确： 因为ABC平面ABC,所以FG⊥AB,又因为△ABC是正三角形，所以 CG⊥AB.因为FG∩CG=G,FG,CGC平面CFG,所以AB⊥平面CFG, 又因为FCC平面CFG,所以FC⊥AB,C正确： 因为EA=AB=2DC,DC垂直于平面ABC,所以FG∥DC且FG=DC 所以四边形FGCD是平行四边形，FD∥GC,又因为CCC平面ABC FDt平面ABC,所以FD∥平面ABC,A正确； 由EA=AB和F为EB中点可知AF⊥BE,假设平面EBC⊥平面EAB, 又AFC平面EAB,平面EBC∩平面EAB=EB,则AF⊥平面EBC. 因为BCC平面EBC,所以AF⊥BC,又因为EA⊥平面ABC,BCC平 面ABC,所以EA⊥BC.因为AF∩EA=A,AF,EAC平面EAB,所以 BC⊥平面EAB. 因为ABC平面EAB,所以AB⊥BC,与△ABC是正三角形矛盾，所以 平面EBC与平面EAB不垂直，D错误 4.D解析：正方体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=AD=AB=2,E,F分别 为所在线段的中点， 对于A,因为AA1⊥底面ABCD,又BFC平面ABCD,所以AA1⊥BF 若AE⊥BF,又AA,∩AE=A,且都在平面AAD,D内，则BF⊥平 面AA1D1D,又ADC平面AA1D1D,所以BF⊥AD,显然BF⊥AD不成 立，因而AE⊥BF不成立，故A错误； 对于B,同A分析，若AE⊥BF,得BF⊥AD,所以BF⊥BC,显然不成 立，因而AE⊥BF不成立，故B错误： 对于C,连接AF,EF,如图①所示 D E D B ① ② 因为EF⊥平面ABCD,BFC平面ABCD,所以EF⊥BF 若AE⊥BF,因为AE∩EF=E,且都在平面AEF内，所以BF⊥平 必修第二册·BS AEE,由AFC平面AEF,所以AF LBF,则LCFB=LDFM=4 然不成立，因而AE⊥BF不成立，故C错误： 对于D,取BC的中点G,连接AG,EG,如图②所示 因为EG⊥平面ABCD,BFC平面ABCD,所以EG⊥BF 又因为BC=FC、1 AB-RC=2,可得∠BAG=LCBP,又因为LCBA=LBCF= 7,所以AGLBF,AGEG=G,且都在平面AEG内，所以BF1平 面AEG.因为AEC平面AEG,所以AE⊥BF,故D正确. 5.ABD解析：因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，所以线段AB是直 径，BC,AD都是母线，又E是底面圆周上异于A,B的一点，于是 得AE⊥BE,而BC⊥平面ABE,AEC平面ABE,则BC⊥AE. 因为BC∩BE=B,BC,BEC平面BCE,所以AE⊥平面BCE.因为CEC 平面BCE,所以AE⊥CE,A正确；同理，BE⊥DE,B正确； 点D不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE,DE是两条 不同直线，若DE⊥平面BCE,因为AE⊥平面BCE,与过一点有且只 有一条直线垂直于已知平面矛盾，C不正确； 因为AE⊥平面BCE,AEC平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCE, D正确. 6.B解析：如图，取正方体的上底面的各边中点E,F,D, G,H,过P作PM⊥AB,于点M,作PN⊥B1C1于 点N,则PM⊥平面ABB1A1,PN⊥平面CBB1C1,AM,H BMC平面ABB,A1,则PM⊥AM,PM⊥BM, ∠AMB=,同理可得∠BNC=B. 由于D1N=CW=√C1C2+C1N7,A1N=BN=√B1B2+B1N2,A1D1= BC,因此△BCN≌△A1D1N,故∠BNC=∠A1ND1=B, 同理可得∠AMB=∠C1MD1=a, 因此只需要在正方形AB1C1D1内考虑≥B,即∠C1MD1≥ LA,D1,等价于P到HF的距离比到EG的距离大，所以P在如图 所示的阴影范围内， 7.4v2解析：如图①，设AC∩BD=0,显然0是AC的中点，因为平 面ABCD∩=A,C到的距离为4，所以0到a的距离为2，而B到a 的距离为2， 因此BO∥a,即DB∥a,设平面ABCD∩a=L,所以BD∥1.因为四边 形ABCD是正方形，所以AC⊥BD: 又AA1⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以AA1⊥BD,又AA1∩ AC=A,AA1,ACC平面A1AC, 所以BD⊥平面A1AC,因此有1⊥平面A1AC,而1Ca,所以平面 A1AC⊥平面，平面A1AC∩平面a=l,A∈l, 所以C,A1在平面α：的投影E,F与A共线， 显然CE=4,A1F=26,AC=√2b,AA1=b,AA1⊥AC,如图②所示. ② 由∠ECA+∠CAE=∠CAE+∠A1AF→∠ECA=∠A1AF,coS∠ECA= CE AF 1624 ACinAF=,由co2LECA+sn2LAMF=1→2+=1曰 b=42(负值舍去). 8.(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，A411平面A1B1C1,.三棱柱 为直三棱柱，.CC1⊥A,F,又AB=AC,F为B1C1中点，.A1F⊥B,C1 又CC1nB1C=C1,CC1C平面BC1CB,B,C1C平面B,C,CB, A1F⊥平面B1C,CB.B1EC平面B1C,CB,A1F⊥B,E. (2)解：在平面BB,C1C内，过点B1作直线I∥EF,过点F作FM⊥1 于点M,如图， :l∥EF,l文平面A1EF,EFC平面A1EF,.I∥平面A,EF,即直线L 黑白题084 上任意一点到平面AEF的距离等于点B,到平面A,EF的距离 由(1)知，A,F⊥平面B,C,CB,又MFC平面BC1CB,.A1F⊥MF :L∥EF,FM⊥I,.MF⊥EF,且AF∩EF=F,A1F,EFC平面A1EF MF⊥平面AEF,即点B1到平面A1EF的距离等于线段MF的长 度，则MF=√2T 7 由条件可知：LMBP=LEFC,BP=CF=?3,设CE=a 21 MF 7 CE ∴sinMB1F= BF= 27 3 27,且sm∠BPG,- EF 27 ,解得a=1,∴.CE:EC1= 7 √3 3 /a2+ 2 B 9.(1)证明：在三棱台ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1,AB=2A41= 2A1B1=2BB1=2, 在等腰梯形ABB,A,中，cos∠4BB,之（AB-A1B) 1 BB, 2 由余弦定理得AB=AB2+BB-2AB·BB1 cosLABB1=3, 则AB2=AB+BB,即AB1⊥BB1, 而平面ABB1A1⊥平面BCC,B1,平面ABB1A1∩平面BCC1B1= BB1,AB1C平面ABB141, 所以AB1⊥平面BB1C1C. (2)解：过B1作B1H⊥AB,垂足为H,如图①. 因为AB1⊥平面BCC1B1,又BCC平面BCC1B1,所以AB1⊥BC, 又BA⊥BC,BA∩AB,=A,BA,AB1C平面ABB1A1,所以BC⊥平 面ABB1A1,B1HC平面ABB1A1,得BC⊥B1H, 又AB∩BC=B,AB,BCC平面ABC,则B1H⊥平面ABC,∠B1AB 为AB,与平面ABC所成角，LB,AB=9=?,因此LB,B= 30°，所以AB1与平面ABC所成角为30°. ② ③ (3)解：三棱台ABC-A,B1C1侧棱AA1,BB1,CC1延长线交于一点P 由(1)得△PAB为正三角形，由BC⊥平面ABB1A1,BCC平面ABC 得平面ABC⊥平面PAB,取AB中点N,则PW⊥AB,而平面ABC∩平 面PAB=AB,PNC平面PAB,则PN⊥平面ABC,作FE∥PN交CN于 E,则FE⊥平面ABC,而ABC平面ABC,则AB⊥FE,作ED⊥AB于D, 连接FD,ED即FD在平面ABC上的投影，如图②： 又DE∩FE=E,DE,FEC平面DEF,则AB⊥平面DEF 又FDC平面DEF,于是AB⊥FD,∠FDE为二面角F-AB-C的平 面角， 参考答案 若存在F使得LFDE= 61 设FE=√3t,则DE=3 DE ND EF CE BD EF DE BD ND 'BC NB'PN CN NB'PN'BC-NB'NE=1, 2 即131，解得15气，PN=3,CN=VBN+BC=5,PC 2 20,6c因t5票器号am <CC,=√2，所以存 5 4w2 在满足题意的点F,CF= 5 压轴挑战 ACD解析：对于A,在矩形ABCD中，因为M,N为AD的三等分点， 故MN=号AD,同理BP=号BC=号4D,面MN∥BP,故四边形BPV 为平行四边形，故BM∥PN,同理PN∥DQ. 在直角三角形ABM中，AB=√3，AM=1,故tan∠AMB=√3， 而∠AMB为锐角，故∠AMB=60°，同理∠DAC=30°，故∠AKM=90°，故 BM⊥AC,故PN⊥AC,同理QD⊥AC, 故在三棱锥F-ABC中，有PG⊥AC,NG⊥AC,而NG∩PG=G,NG,PGC 平面NGP,故AC⊥平面NGP,故A正确； 对于B,因为BK∥PG∥QO,所以∠PGM即为直线MG与OQ所成角， 又NG⊥BK,所以NG⊥PG,且PG⊥AC,AC∩NG=G,AC,NGC平面FAC, 则PG1平面FAC因为NMGc平面FMC,所以PGLMG,即∠PGM=受 即直线MC与0Q所成角为号，故B错误： 对于C,当二面角F-AG-B的平面角为时，在平面NGP中，过N 作NT⊥PG,垂足为T,连接BT,如图，由A的分析可得NG⊥AC,PG 1AC,故∠PGN为二面角F-AC-B的平面角，放∠PGN=,故 ∠TGW= 2-2AWx53 3,故7N=Gwx5.1 1=1,其中BG=AB=√3，AG=1为 2AC=万，故∠BCA=60,故LBGP= 30°，所以∠BGT=150°，故BT2=BG2+GT2-2BG·GTcos∠BGT=3+ 1 x3×24 √519 4+2x2 因为ACL平面PNG,而ACC平面ABC,故平面ABC1平面PNG,而平 面ABC∩平面PNG=PT,PTC平面PNG,故NT⊥平面ABC.因为BTC平 面ABC,故NTBT,故P=BT+TN2=4+4=2,故BN=2兰，放 C正确： M T B... G-0 C 对于D,由A的分析可得OG⊥PG,OG⊥OF,故OG为PG与OF的公垂 线，故直线OF上的点到直线PG的最短距离为即为OG= D正确. §6简单几何体的再认识 6.1柱、锥、台的侧面展开与面积 白题 基础过关 1,A解析：设圆锥的母线为【，底面半径为r,侧面展开图扇形的圆心角 为a,则a=60°=3， 因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，所 黑白题085§5阶段综合 子错题本 黑题 阶段强化 限时：45min 1.*(2025·福建厦门高一期中)已知m,n表4.*★(2025·广东惠州高一月考)已知正方 示两条不同的直线，α，B表示两个不同的平 体ABCD-A,B1C,D,中，E,F分别为所在线段 面，则下列结论正确的是 ( 的中点，则满足AE⊥BF的图形为 A.若m∥a,mLn,则n⊥ B.若m∥，B⊥a,则m∥B C.若m∥a,nL,则m⊥n D D.若m∥a,m⊥B,则a∥B 2.*（2025·浙江宁波高一月考)如图，已 A B 知正三棱柱ABC-A,B,C1,AC=AA1,E,F分别 D 是棱BC,A,C1上的点.记EF与AA1所成的角 为a,EF与平面ABC所成的角为B,二面角 F-BC-A的平面角为Y,则 ( 5.*(多选)如图，四边形ABCD是圆柱的轴 截面，E是底面圆周上异于A,B的一点，则下 面结论中正确的是 ( A.AE⊥CE A.a≤B≤y B.B≤a≤Y B.BE⊥DE C.B≤y≤a D.a≤Y≤B C.DE⊥平面BCE 3.*(2025·江西南昌高一期末)如图，已知 △ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平 D.平面ADE⊥平面BCE 面ABC,且EA=AB=2DC,F,G分别是EB 6.#(2025·浙江金华高一期末)已知正方 和AB的中点，则下列结论错误的是() 体ABCD-AB,C,D,的棱长为1，点P是上底 面AB,C,D,1内的一个动点设平面ADP与平面 BCP所成的二面角的平面角为a,平面ABP与平 面CDP所成的二面角的平面角为B,若aα≥B,则 下图中阴影部分表示P点轨迹的是( A.FD∥平面ABC B.FG⊥平面ABC ☒☒ C.FC⊥AB D.平面EBC⊥平面EAB 必修第二册·BS黑白题136 7.(2025·浙江嘉兴高一期中)如图，已知9.(2025·山东泰安高一期中)如图，已知 棱长为b的正方体ABCD-A,B,CD,顶点A 三棱台ABC-A,B,C,中，平面ABB,A,⊥平面 在平面内，其余顶点都在平面α同侧，且顶 BCC,B1,△ABC是以B为直角顶点的等腰直 点A1,B,C到平面a的距离分别为26,2,4， 角三角形，且AB=2AA1=2A1B1=2BB1=2. 则b等于 (1)证明：AB1⊥平面BB,C,C. (2)求直线AB,与平面ABC所成角的大小 (3)在线段CC,上是否存在点F,使得二面角 F-AB-C的平面角的大小为石？若存在， 求出线段CF的长；若不存在，请说明理由， 8.*★(2025·河北邢台高一月考)如图，在三 棱柱ABC-A1B,C1中，AA1⊥平面A1B,C1, AB=AC,F是BC1的中点，点E在棱CC1上. (1)证明：A1F⊥B1E; (2)若∠BAC=120°，AA1=2AB=2,且点B1到 平面A即的距离为，求B:B心 压轴挑战 的值. 禁（多选）(2025·江苏徐州高一 期末)如图①，在长方形ABCD 视频讲解 中，AB=√3，AD=3,M,N为AD的三 等分点，P,Q为BC的三等分点，连接BM,PW, QD,分别交AC于点K,G,O.如图②，将△ACD 沿AC翻折至△ACF,形成三棱锥F-ABC,则 A.ACL平面PGW B.当C1BK时，直线MC与O0所成的角为号 二面角F-AC-B的平面角为 BN=②2 2 D.直线OF上的点到直线PG的最短距离为3 第六章黑白题137