第6章 5.1 直线与平面垂直-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§5垂直关系 5.1 直线与平面垂直 白题 基础过关 限时：45min 题组1直线与平面垂直的定义和性质 题组2直线与平面垂直的判定 1.*(多选)(2025·黑龙江大庆高一期中)若 6.*(多选)下列条件中能推出l⊥x的有 直线1与平面α垂直，则下列说法正确的是 ( ( A.直线1与平面α内一个三角形的两边垂直 A.直线l与平面α的所有直线都垂直 B.直线1与平面α内一个梯形的两边垂直 B.在平面α内存在与直线1异面的直线 C.直线l与平面α内无数条直线垂直 C.在平面α内存在无数条直线与直线1相交 D.直线l与平面α内任意一条直线垂直 D.在平面内存在与直线l平行的直线 2.*(2025·河南信阳高一期末)已知直线 7.*(2025·山东菏泽高一月考)如图所示， l∥平面a,点P∈，那么过点P且垂直于直 定点A和B都在平面内，定点P, 线1的直线 PB⊥a,C是平面a内异于A和B的动点，且 A.只有一条，且在内 PC⊥AC,则△ABC为 B.有无数条，一定在α内 C.只有一条，不在a内 D.有无数条，不一定在a内 3.*(2025·重庆万州区高一月考)在四棱锥 P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD A.锐角三角形 B.直角三角形 是菱形，PA=AB,则异面直线PB与CD所成 C.钝角三角形 D.无法确定 角的大小为 ( 8.*(2025·江苏苏州高一月考)如图，圆柱 A12 D. T O0中，AA'是侧面的母线，AB是底面的直径， C是底面圆上一点，则 ( 4.*如图，已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面 04 ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF= 0 C A.BC⊥平面A'AC B.BC⊥平面A'AB (第4题) (第5题) C.AC⊥平面A'BC D.AC⊥平面A'AB 5.**(2025·河北邢台高一月考)如图所示， 9.*平行四边形ABCD的对角线交点为O,点 已知平面ax∩平面B=l,EA⊥a,垂足为A, P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA= EB⊥B,垂足为B,直线aCB,a⊥AB,则直线a PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系 与直线l的位置关系是 是 必修第二册·BS黑白题128 10.*(2025·湖北武汉高一月考)如图，四棱13.*(2025·江西鹰潭高一期末)已知等边 锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形 △ABC边长为2，PC⊥平面ABC,且PC=√3， (1)若BP⊥平面ADP,求证：AD⊥平面ABP; 则，点C到平面PAB的距离为 (2)若=PB=子P,点E为P心的巾点，求 题组4直线与平面所成的角 14.·(2025·江苏镇江高一期末)如图，在正 证：AB⊥PC. 三棱柱ABC-AB,C1中，AB=AA1=2,则AB 与平面AA,C,C所成角的余弦值为（) A.10 B.6 4 2 15.*(2025·福建三明高一期中)如图，在正 四棱台ABCD-A,B,C,D1中，已知AB= 2,AA,=A,B,=1,则侧棱BB,与底面ABCD所 成角的正弦值为 ( 1 √2 A. B. 3 2 3 3 D. 3 2 D 题组3距离问题 D 11.*已知直线a平行于平面，且它们的距 离为d,则到直线a与到平面的距离都等 B (第15题) (第16题) 于d的点的集合是 ( ) 16.*(2025·江西宜春高一月考)《九章算 A.空集 B.两条平行直线 术》是我国古代数学名著，它在几何学中的 C.一条直线 D.一个平面 研究比西方早一千多年，书中将四个面均为 12.*在长方体ABCD-A,B,C,D1中，M,N分 直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体 别为C,D1,AB的中点，AB=4,则MN与平面 P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且 BCC,B,的距离为 PA=AB=BC=1,则直线PB与平面PAC所成 A.4 B.2√2 C.2 D.√2 角的大小为 第六章黑白题129 黑题 应用提优 限时：45mim 1.*(2024·河南郑州高一期中)设α是空间5.*（多选)如图，已知长方体ABCD- 中的一个平面，l,m,n是三条不同的直线，则 AB,C,D,过点A作平面ABD的垂线，垂足 下列说法正确的是 为点H.则以下命题中，正确的是 () A.若mC,nCa,l⊥m,l⊥n,则lL B.若mC,n⊥a,l⊥n,则l∥m C.若l∥m,m⊥，n⊥a,则l⊥n D.若l∥m,m∥n,l⊥x,则n⊥a 2.*（2025·四川广安高一月考)已知四棱 锥S-ABCD底面为正方形，SDL平面ABCD,则 A.点H是△A,BD的垂心 B.AH垂直平面CB,D C.AH的延长线经过点C D.直线AH和D,B是异面直线 6.*(2025·浙江宁波高一期末)在正方 体ABCD-A,B,C,D,中，M是棱AB的中点， N是四边形ACC,A,内一点（包含边），则直 A.SB⊥SC 线MN与平面ACC,A,所成角的正弦值的取值 B.SD⊥AB 范围是 C.SA⊥平面ABCD D.SA∥平面SBC B. 3.(2025·山西太原高一月考)已知四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方 C 5, D 形，PA=PB=2,PC=PD=√3，则直线CD到平 7.*★(2025·山东菏泽高一月考)如图，PA1 面PAB的距离为 ( A.6© 矩形ABCD,有下列结论：①PB⊥BC,②PD⊥ 69 6 B. 3 CD,③PD⊥BD,④PA⊥BD.其中正确的 C②3 D.②3 是 (填序号) 6 3 4.**(2025·广东深圳高一月考)长方体的 条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的 角分别为a,B,y,则 A.cos2a+cos2B+cos2y=2 8.**(2025·江西赣州高三期中)已知正四棱 B.cos2a+cos'B+cos2y=1 锥S-ABCD的各棱长均为2，E是棱SB的中 C.sin2a+sin'B+sin2y=2 点，动点P满足PB⊥SA,则PE+PC的最小值 D.sin2a+sin2B+sin2y=3 为 必修第二册·BS黑白题130 9.*(2025·黑龙江哈尔滨高一期中)如图，11.(2025·重庆沙坪坝区高一期末)如图， 已知矩形ABCD,过点A作SA⊥平面ABCD,再 在五面体ABCDFE中，EA⊥平面ABCD, 过点A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作 AB⊥AD,AD∥BC,AD∥EF,AB=AD=AE=4, EF⊥SC交SC于点F. BC=3,M,N分别为BE,CF的中点，连 (1)求证：AF⊥SC: 接AM,MN,ND. (2)若平面AEF交SD于点G,求证：AG⊥平 (1)求证：BE⊥平面AND. 面SDC. (2)求直线DE与平面AND所成角的大小. (3)线段CD上是否存在点P,使得DE∥平 面AMP?若存在，求点P到平面AND的 距离；若不存在，说明理由 10.**（2025·江苏苏州高一月考)如图，正四 棱锥A-BCDE和正四面体A-CDF的所有棱 长均相等，G为BE的中点. 压轴挑战 (1)证明：FG⊥CD; 禁(2025·山东省实验中学高三 (2)证明：点A,B,C,F共面； 模拟)故宫角楼的屋顶是我国十字 (3)判断FG是否垂直于平面ACD,若垂直， 脊顶的典型代表，它是由两个完全相同的直三 请给出证明：若不垂直，请说明理由 棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图所 示.已知三棱柱ABF-CDE和BDG-ACH是两个 完全相同的直三棱柱，侧棱EF与GH互相垂直平 分，EF,GH交于点I,AF=BF=a,AF⊥BF,则点G 到平面ACEF的距离是 3 A. B. C 2 第六章黑白题131∠AGM=60° ② ⊙ 如图③，因为AG=1,AM=2,在△AGM中，由正弦定理可得 AG AM 1 2 √3 s血∠AMG sin LAGM'所以 ,所以sin∠AMG= in∠AMG 4 2 因为GM/AF,所以∠FaM=LAMG,所以sin∠FAM=月 4 压轴挑战 1 平行3 解析：记F为AB的中点，连接DF,MF,如图①，因为F,M 分别为AB,AE的中点，故MF∥EB 因为MF丈平面EBC,EBC平面EBC,所以MF∥平面EBC. 又因为△ADB为正三角形，所以∠DBA=60°，DF⊥AB.又因为△BCD为 等腰三角形，∠BCD=120°，所以∠DBC=30°，所以∠ABC=90°，即 BC⊥AB,所以DF∥BC.又因为DFt平面EBC,BCC平面EBC,所以DF∥平 面EBC,又MF∩DF=F,MF,DFC平面DMF,故平面DMF∥平面EBC. 又因为DMC平面DMF,故DM∥平面BEC. ① ② 延长DC,AB相交于点P,连接PM交BE于点N,连接CN,过点N作 NQ∥AE交AB于点Q,如图②.因为DM∥平面ECB,DMC平面PDM,平 面PDM∩平面ECB=CN,所以DM∥CN,此时D,M,N,C四点共面，设 BG=CD=2,LPCB=60°CBBP,得LCPB=30,PC=4,放PYP 合号又因为0A,所贤册号则有湿品分×号 AE 2AM 23 子妆器0行 §5垂直关系 5.1直线与平面垂直 白题 基础过关 1.ABC解析：A选项：根据线面垂直的定义，若1⊥α，则l⊥α面内的所 有直线，A正确； B选项：已知l⊥a,设lna=P,平面a内所有不过点P的直线均与l 异面，因此存在无数条这样的直线，B正确： C选项：平面α内所有过垂足P的直线均与相交于点P,这样的直 线有无数条，C正确： D选项：若lL,则平面αx内所有直线均与1垂直，不可能存在与1平 行的直线，D错误 2.D解析：如下图所示： B ,'m P 必修第二册·BS 易知l∥a,aCa,过点P作垂直于l的平面B,作过点P的直线 k,m,nCB,则1Lk,l⊥m,l⊥n,可做出无数条直线，且直线不一定 在内. 3.C解析：如图，因为AB∥CD,所以∠PBA为异面直线PB与CD所成 的角.因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB, 又PA=AB,所以∠PB=牙，所以直线PB与cD所成的角为子 D 4.6解析：AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,则AF∥DE.又，AF= DE,则四边形AFED为平行四边形，.EF=AD=6.故答案为6. 5.平行解析：平面∩平面B=l,.lCa,又EA⊥a,.l⊥EA.同理 I⊥EB.又EA∩EB=E,.I⊥平面EAB. :EB⊥B,aCB,,EB⊥a.又a⊥AB,EB∩AB=B, ∴.a⊥平面EAB,∴.a∥L. 6.AD解析：由线面垂直的判定定理知AD正确，对于B,当梯形的两 边平行时，不能推出1上α，对于C,当无数条直线相互平行时，不能推 出l⊥a 7.B解析：因为PB⊥a,ACCa,所以PB⊥AC.又AC⊥PC,PB∩PC=P, 所以AC⊥平面PBC.又BCC平面PBC,所以AC⊥BC.故△ABC为直 角三角形 8.A解析：连接A'C,A'B,如图所示.依题意得AA'⊥平面ABC,BCC平 面ABC,所以AA'⊥BC, 又AB是底面圆的直径，所以BC LAC, 又因为AA'∩AC=A,AA',ACC平面AA'C,所以BC⊥平面AA'C, 故A正确； 对于B,在△ABC中，BC⊥AC,显然BC与AB不垂直，则BC不可能垂 直平面A'AB,故B错误； 对于C,在△A'AC中，AA'⊥AC,显然AC与A'C不垂直，则AC不可能 垂直平面A'BC,故C错误； 对于D,在△ABC中，BC⊥AC,显然AC与AB不垂直，则AC不可能垂 直平面A'AB,故D错误 0'◆ B C B (第8题) (第9题) 9.PO⊥平面ABCD解析：如图，因为四边形ABCD为平行四边形，所以 点O为AC和BD的中点，因为PA=PC,所以PO⊥AC.因为PB=PD, 所以PO⊥BD.因为ACC平面ABCD,BDC平面ABCD,且AC∩BD= O,所以PO⊥平面ABCD. 1O.证明：(1)BP⊥平面ADP,ADC平面ADP,,BP⊥AD.四边 形ABCD是正方形，∴，AD⊥AB.又AB∩BP=B,AB,BPC平面ABP, .AD⊥平面ABP. (2)四边形ABCD是正方形，BC1AB.:AB=PB=)AP, .AB2+PB2=AP2,.AB⊥PB.又：BC∩PB=B,且BCC平面PBC PBC平面PBC,∴.AB⊥平面PBC..PCC平面PBC,.,AB⊥PC. 11.B解析：依题意，与平面a的距离为d的点的集合是平行于平 面，且到平面a的距离为d的两个平行平面，由于平行于平面a 的直线a与平面a的距离为d,因此直线a在上述两个平行平面中 的一个中，在此平面内到直线a的距离为d的点的集合是平行于直 线a且到直线a的距离为d的两条平行直线，所以到直线a与到平 面的距离都等于d的点的集合是两条平行直线. 12.C解析：如图，连接BC1,易得MW∥BC1,又BC1C平面 BCC1B1,MN∥平面BCC1B1, .MN与平面BCC1B,的距离为N到面BCC,B1的距离.又.N到平 黑白题078 面BCB,的距离为NB=宁4B=2MN与平面BCCB的距离 为2. D (第12题) (第13题) 13.6 解析：如图，取AB中点为点D,连接PD,CD,过点C作CE⊥PD 于点E. 因为PC⊥平面ABC,且ABC平面ABC,所以PC⊥AB 因为△ABC为等边三角形，所以CD⊥AB,又PC∩CD=C,且PC, CDC平面PCD,所以AB⊥平面PCD. 因为CEC平面PCD,所以AB⊥CE,又CE⊥PD,AB∩PD=D,AB PDC平面PAB,所以CE⊥平面PAB,则点C到平面PAB的距离 为CE. 在△PAB中，PA=PB=√PC2+AC=√7，所以PD=V√PA2-AD= √6，在等边△ABC中，CD=√3，因为PC⊥CD,所以在直角三角形 PCD中，由等面积法得CB=PC.CD_3xw36 PD 62 14.A解析：取A1C1中点D,连接B1D,AD,如图， C B 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△A1B1C1是正三角形，.B1D⊥A1C1. CC11底面A1B1C1,B1DC底面A1B1C1,.CC1⊥BD.又 CC1∩A1C1=C1,CC1,A1C1C平面AM1C1C,.B1D⊥平面AA1C1C, ∠B1AD为AB1与平面AM1C,C所成角. B1D⊥平面AM1C1C,ADC平面AM1C1C,B1D⊥AD,由题 意，AD=√22+1下=5，AB1=√22+2=22，在Rt△B1AD中， COSLBAD=AD=/5 V10 AB1224 15.B解析：过B,B1,D,D1四点作正四棱台的截面图，如图所示， B,BDD1为等腰梯形，过点B1作B1M⊥BD于点M,过点D1作 D,N⊥BD于点N,由线面角的定义可知，侧棱BB,与底面ABCD所 成角即为∠B1BM,由条件可得，BB1=1,B,D1=√2，BD=22, 则w=D,=,8=0经，则BM=V©-经，所 2 以sin∠B1BM= B M BB2 B (第15题) (第16题) 16石解析：如图，取AC的中点D,连接BD,Pm,因为AB=BC=1, AB⊥BC,所以BD⊥AC,且BD=)AC=2√12+12=2又因为 参考答案 PA⊥平面ABC,BDC平面ABC,所以PA⊥BD.因为AC∩PA=A,AC, PAC平面PAC,所以BD⊥平面PAC,所以∠BPD为直线PB与平面 PAC所成角. 又因为PA⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以PA⊥AB,所以PB= T5,所以血∠nP0:0子则∠BP0=:即直线P阳 1 6 与平面P1C所成角的大小为石 黑题 应用提优 1.D解析：对于A,由mCa,nC,l⊥m,I⊥n,只有直线m与n相交 时，可得1⊥α，所以A说法错误； 对于B,由mCa,n⊥a,l⊥n,则l与m平行、相交或异面，所以B说 法错误； 对于C,由l∥m,m⊥a,n⊥a,则l∥n,所以C说法错误； 对于D,由l∥m,l⊥a,可得m⊥a.又因为m∥n,所以n⊥a,所以D说 法正确故选D. 2.B解析：对于A选项，因为SD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,则 BC⊥SD.因为四边形ABCD为正方形，则BC⊥CD,因为SD∩CD= D,SD,CDC平面SCD,所以BC⊥平面SCD.因为SCC平面SCD,则 BC⊥C,故∠BSC为锐角，A错；对于B选项，因为SD⊥平面 ABCD,ABC平面ABCD,则SD⊥AB,B对；对于C选项，若SA⊥平 面ABCD,且SD⊥平面ABCD,则SA,SD平行或重合，矛盾，故假设不 成立，C错：对于D选项，若SA∥平面SBC,则SA与平面SBC无公共 点，这与SA∩平面SBC=S矛盾，故假设不成立，D错. 3.A解析：根据题意，如图，取AB,DC的中点分别为M,N,连接PM, PN.MN. 因为底面ABCD为边长为2的正方形，则AB∥CD,ABC平面PAB CD￠平面PAB,所以CD∥平面PAB,则直线CD到平面PAB的距离 为点N到平面PAB的距离. 因为PA=PB=2,PC=PD=√3，则PM⊥AB,PW⊥CD,又PM∩PN=P, PM,PNC平面PMW,所以AB⊥平面PMW,过点N作NT⊥PM于点 T,则AB⊥NT,又AB∩PM=M,AB,PMC平面PAB,所以NT⊥平面 PAB,则点N到平面PAB的距离为NT 又PM=√PA2-AM证=V4-I=3,PN=VPD2-DNz=V3-I= 2,MN=AD=2,在△PMN中，cos∠MPW=PM2+P2-M=6 2PM×PN 12 则sin∠MPW= E2,所以点N到直线PM的距离T=PN sin L MPN=√2xV138.V69 12 6 D b M (第3题) (第4题) 4.A解析：如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,依题意，体对角 线l=√a2+b2+c2, DE 设l与上、下底面所成角为a,则a=∠DAE,sina= T c acos a= EV√a2+b2 √a2+62+e2 设1与左、右侧面所成角为B,则B=LADB,nB=9 a BD c2+b2 acos B= 【√a2+62+a 设1与前、后面所成角为y,则y=∠DAC,i如y-CD b Va2+b2+c21 AC√a2+c2 cos y 黑白题079 所以a+niB+ny-=1,osa+esa+oa时y 2(a2+b2+c2)=2 a2+b2+c2 5.AB解析：对于A,AH垂直平面ABD,BA1C平面A1BD,故AH⊥BA1, 在长方体中直线AB,AD,AA1两两互相垂直，则AD⊥平面AA1B1B BA1C平面AA,BB,故AD⊥BA1,可得AH⊥BA1,AD⊥BA1,又AH,AD 是平面AHD内的两条相交直线，则BA,⊥平面AHD. 因为HDC平面AHD,所以BA1⊥DH.同理可得A1H⊥BD,BH⊥A1D, 则H是△A1BD的垂心，故A正确； 对于B,由长方体的性质可知，BA1∥CD1,BA1￠平面CB1D1,CD1C 平面CB1D1,所以BA1∥平面CB1D1;同理BD∥B,D1,BD丈平面 CB1D1,B1D1C平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,又因为BA1,BD 是平面A1BD内的两条相交直线，则平面A1BD∥平面CB1D1,由题 意可知AH垂直平面A1BD,则AH垂直平面CBD1,故B正确； 对于C,根据正方体的性质可知，对角线C1A垂直于平面A,BD,则在 不是正方体的长方体中，C,A不垂直于平面A,BD.又因为AH垂直平 面A,BD,两直线不重合，正方体是长方体的特殊情况，则AH的延长 线不一定经过点C1,故C错误： 对于D,根据正方体的性质可知，当该长方体为正方体时，AH即AC1: 由于四边形ABC,D,为平行四边形，故直线AC,和D,B是相交直线， 即直线AH和D,B不一定是异面直线，故D错误 6.D解析：如图，设正方体棱长为2，BD⊥平 D 面ACC1A1,当点W是靠近点A的四等分点 时，MN∥BD,则MW⊥平面ACC,A1,此时直A 线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值最 大为1； 当点N与点C1重合时，此时MW最长， Di-- 即MC1=√BM+BC2+CC=3,点M到平 M 面Cc4,的距离为婴-号，比时直线0 √2 即MC,与平面ACC,A所成角的正弦值最小，为2-三，所以直 -6 线MN与平面ACC,A,所成角的正弦值的取值范围是 7.①②④解析：：PA⊥矩形ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥BC. 在矩形ABCD中，BC⊥AB,PA∩AB=A,且PAC平面PAB,ABC平面 PAB,BC⊥平面PAB.PBC平面PAB,.PB⊥BC,.①正确. 同理可证CD⊥平面PAD,则PD⊥CD,.②正确. 由题意可知PB2=PA2+AB2,PD2=PA2+AD2,BD2=AD2+AB2,当PD⊥ BD时，在△PDB中，有PD2+BD2=PB2,即PA2+AD2+AD2+AB2= PA2+AB2,化简得AD=0,所以③错误. ,PA⊥矩形ABCD,BDC平面ABCD,∴.PA⊥BD,所以④正确. 8.√5解析：分别取SA,AB的中点M,N,连接DM,BM,EN,PN,CN,设 BM和EN交于点F, 因为S-ABCD为正四棱锥，所以△SAD,△SAB为等边三角形，则 DM⊥SA,BM⊥SA,且DM∩BM=M,DM,BMC平面BDM,则SA⊥平 面BDM,可知点P∈平面BDM.又因为N,E分别为AB,SB的中点， 则NE∥SA,且点F为NE的中点，可得NE⊥平面BDM,即点E关于 平面BDM的对称点为点N,则PE+PC=PN+PC≥CN=√22+12= √5，当且仅当C,P,N三点共线时等号成立，所以PE+PC的最小值 为w5. 9.证明：(1)因为四边形ABCD为矩形，SM⊥平面ABCD,所以BC⊥AB, BC⊥SA.因为SA∩AB=A,SA,ABC平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因 为AEC平面SAB,所以BC⊥AE.又因为AE⊥SB,SB∩BC=B,SB, 必修第二册·BS BCC平面SBC,所以AE⊥平面SBC.又因为SCC平面SBC,所以 AE⊥SC.又因为EF⊥SC,AE∩EF=E,AE,EFC平面AEF,所以SC⊥ 平面AEF.又因为AFC平面AEF,所以AF⊥SC. (2)因为四边形ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD,所以AB⊥AD AB⊥SA.因为SA∩AD=A,SA,ADC平面SAD,所以AB⊥平面SAD.因 为AB∥CD,所以CD⊥平面SAD.又AGC平面SAD,所以CD⊥AG. 由(1)知SC⊥平面AEF,因为平面AEF交SD于点G,可得AGC平 面AEF,所以SC⊥AG.又因为SC∩CD=C,SC,CDC平面SDC,所 以AG⊥平面SDC. 10.(1)证明：如图，取CD中点H,连接GH, FH,AG,AH, 因为A-BCDE是正四棱锥，A-CDF是正四 面体，G为BE的中点，所以CD⊥GH, CD⊥FH.因为GH∩FH=H,GH,FHC平面 GFH,所以CD⊥平面FGH.又因为FGc平B 面FGH,所以FG⊥CD. (2)证明：因为A-BCDE是正四棱锥，A-CDF是正四面体，G为BE 的中点，所以CD⊥GH,CD⊥AH,CD⊥FH.因为GH∩AH=H, GH,AHC平面AGH,所以CD⊥平面ACGH.又因为FH∩AH=H FH,AHC平面AFH,CD⊥平面AFH,所以平面AGH与平面AFH重 合，所以A,G,H,F四点共面，设正四面体与正四棱锥的棱长为2a, 则AG=HF=√/3a,GH=AF=2a,所以四边形AGHF是平行四边形，所 以GH∥AF.因为BC∥GH,所以BC∥AF,所以A,B,C,F四点共面. (3)解：FG不垂直于平面ACD.理由：假设FG⊥平面ACD,因 为AHC平面ACD,则FG⊥AH.又因为四边形AGHF是平行四边形， 所以四边形AGHF是菱形，则AG=GH,与AG=√3a,GH=2a矛盾，故 假设不成立，所以FG与平面ACD不垂直. 11.(1)证明：，AD∥BC,AD∥EF,∴EF∥BC,又M,N分别为BE,CF的 中点，.MN∥BC∥AD,M,N,D,A四点共面. .·EA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,.EA⊥AD,EA⊥AB. :AB⊥AD,AB∩AE=A,AB,AEC平面ABE,∴AD⊥平面ABE. 又.·BEC平面ABE,.AD⊥BE. 又M为BE的中点，且AE=AB,.AM⊥BE 又'AD∩AM=A,ADC平面AND,AMC平面AND,BE⊥平面AND (2)解：由(1)可知，BE⊥平面AWD,.直线DE与平面AND所成角 为∠EDM,在直角三角形EDM中，EM=2W2,DE=4W2,sin∠EDM= 觉分：∠BDM:石，即直线DB与平面AND所成角的大小 EM 1 为 (3)解：存在点P,使得DE∥平面AMP.如图， 连接DB,取其中点O,连接AO并延长与CD相 交，交点即为P. 证明：：M,O分别为BE,BD的中点，MO∥ 1M DE.MOC平面AMP,DE在平面AMP外 .DE∥平面AMP. 延长AP,BC交于点Q,连接DQ,过点P作B C O PR∥AD,交AB于点R,过点R作RT∥BE, 交AM于点T. PR∥AD,且ADC平面AND,PR丈平面AND,.PR∥平面AND, .点P到平面AND的距离等于点R到平面AWND的距离 由(1)知BE⊥平面AND,又：RT∥BE,.RT⊥平面AND,∴.点P到 平面AND的距离为RT, 易知△ADPC∽△QCP,△AOD≌△Q0B,.BQ=AD=4,CQ=1, PA AD 4 POQC-1 又PR∥AD-A-写又△BMAO△RA, ,在等腰直角三角形BE中，M=22,心肛 22=82即点P到平面AND的距离为8☑ 5 压轴挑战 B解析：取AC中点M,连接MI,过G作MI的垂线交MI的延长线于点 K,取AB中点N,连接FN,由题意知，M,I分别为AC,EF的中点， 黑白题080 因为几何体ABF-CDE是直三棱柱，所以 AF⊥AC,EF∥AC且EF=AC,所以FI∥AM 且FI=AM,所以四边形AMIF为平行四边 形.又AF⊥AC,所以AMIF为矩形，所以 EF⊥MK 又EF⊥GH,MKC平面KG,GHC平面 KIG,MK∩GH=I,所以EF⊥平面KIG, 又KGC平面KIG,所以EF⊥KG 又因为KG⊥MK,EFC平面ACEF,MKC平面ACEF,EF∩MK=I,所以KG⊥ 平面ACEF,所以点G到平面ACEF的距离等于线段KG的长度，设为h. 因为AF⊥BF,所以在Rt△ABF中，AF=BF=a,所以AB=√a2+a2= V2a,设∠RFMB=0,则n0=5 2 因为四边形AMIF为矩形，所以MI∥AF. 又因为几何体BDG-ACH是直三棱柱，所以AB∥HG,且HG=AB=√2a, 所以∠KC=LPMB=9,1G=2a 2 又因为KG⊥平面ACEF,IKC平面ACEF,所以KG⊥IK,所以sinB= 加∠C=径疗，即会经，解得=，所以点G到平面ACEr 1G2 2 的距商是了 5.2平面与平面垂直 白题 基础过关 1.BD解析：由二面角的定义，可知A说法不正 确，D说法正确； 由a,b分别和一个二面角的两个面垂直，知a,b 都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别 作a,b的平行线，分析知B正确； C中，如图，平面a,B,y两两垂直，过B,y的交 线m作可绕m旋转的半平面，显然二面角 a--B的两个半平面a,B分别垂直于y-m-入的 两个半平面，Y,但二面角y-m-入的大小无法确定，故C说法 不正确 四易错提醒 1.二面角的大小与垂足在棱上的位置无关.一个二面角的平面角有 无数个，它们的大小是相等的. 2.构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”即二面角 的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内 角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了 二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直. 3.当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°：当二面 角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°，所以 二面角的平面角0的取值范围是0°≤0≤180° 2.B解析：由题可知，在正方体ABCD-A1B1C,D1中，BC⊥平面 CDD1C1,由CD1C平面CDD1C1,所以BC⊥CD1,又BC⊥CD,所以二 面角D,-BC-D的平面角为LDCD因为CD=DD,则∠DCD,=牙 3.C解析：如图，在平面B内过点A作AE⊥1，并取AE=BD=4,连接 CE,DE,所以AE∥BD,四边形AEDB为矩形，∠CAE即为二面角 a-l-B的平面角，l⊥AC,l⊥AE,AC∩AE=A,ACC平面ACE,AEC平 面ACE,所以I⊥平面ACE,CEC平面ACE,故I⊥CE,又四边形AEDB 为矩形，所以AB∥ED,所以CE⊥ED. 在直角三角形CED中，DE=AB=2,CD=√4I,所以CE= √CD2-DE2=√37. 在三角形CE4中，AC=3,AE=4,CE=√37，由余弦定理得cos∠CAE= AC2+AE2-CE232+42-371 2AC·AE2×3×4 2 又∠CAE∈(0，m),所以LCME=3 T 参考答案 B E≤ D 4.AB解析：对于A,因为IC平面B,则平面α内只要是平行于1的直 线，都平行于平面B,故A正确；对于B,在平面B内作直线1的垂 线m,则m⊥平面a,则m垂直于平面内的任意直线，故平面a内 已知直线必垂直于直线m,以及与m平行的无数条直线，故B正确： 对于C,平面α内垂直于两平面交线l的直线才垂直于平面B,故 C错误：对于D,过平面α内，且在交线l外的一点作交线1的垂线，则 此垂线必垂直于平面B,故D错误 5.C解析：因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC, BC⊥BD, 所以BD⊥平面ABC,即B正确，不符合题意： 因为ACC平面ABC,所以BD⊥AC,即A正确，不符合题意； 因为AB=AC,O为线段BC的中点， 所以BC⊥AO,同理可得AO⊥平面BCD,即D正确，不符合题意； 因为BD⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以BD⊥AB, BD∩CD=D,BD,CDC平面BCD,若AB⊥CD,则AB⊥平面BCD, 显然B,0不重合，故C错误，符合题意. 6.2解析：取AB的中点E,连接DE,CE.因为△ADB是等边三角形，所 以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面 ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE.因为AC2+ BC2=AB2,且AC=BC=√2，得DE=√3，EC=1,在Rt△DEC中，CD= √/DE2+CE2=2. 7.证明：(1)由AA1∥CC1,AA1丈平面BCC,B1,CC,C平面BCC,B,所 以AA1∥平面BCCB1. 又因为AA1C平面ABB1A1,平面ABB1A1∩平面BCC,B1=BB1,所 以AA1∥BB1·同理：AA1∥DD1,所以BB1∥DD1, 所以B,B1,D1,D四点共面. (2)在菱形ABCD中，AC⊥BD,又因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,且 平面AA,C,C∩平面ABCD=AC,BDC平面ABCD,所以BD⊥平 面AAC,C. 因为AA1C平面AAC1C,所以BD⊥AA1,由(1)有AA1∥DD1,所以 BD⊥DD1· 8.C解析：对于A,由a⊥a,a∥b,得b⊥a,而b⊥B,则a∥B,A不是； 对于B,a∥B,a,b分别是平面a,B内互相垂直的异面直线，满足 aCa,bCB,a⊥b,B不是： 对于C,由a∥b,a⊥B,得bLB,又bCa,则a⊥B,C是； 对于D,由anB=a,b1a,bCB,得二面角a-a-B的平面角可以是锐 角、直角，也可以是饨角，D不是 9.B解析：，PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,.PA⊥BC,又AB⊥BC, PA∩AB=A,.BC⊥平面PAB,又ANC平面ABP,.BC⊥AN,又 ·:AN⊥PB,BC∩PB=B,.AN⊥平面PBC,又PCC平面PBC,∴.AN⊥ PC,又.PC⊥AS,AS∩AN=A,∴.PC⊥平面ANS,又PCC平面PBC, .平面ANS⊥平面PBC,.A选项正确，不符合题意. 由上述分析可知：BC⊥平面PAB,而BCC平面PBC,.平面PAB⊥平 面PBC,故C选项正确，不符合题意. 由上述分析可知：PA⊥平面ABC,PAC平面PAC,∴.平面ABC⊥平面 PAC,故D选项正确，不符合题意.从而可知B选项错误，符合题意. 1O.证明：因为PD⊥底面ABCD,AMC平面ABCD,所以PD⊥AM,又 PB⊥AM,PB∩PD=P,PB,PDC平面PBD,所以AM⊥平面PBD.因 为AMC平面PAM,所以平面PAM⊥平面PBD. 11.解：条件①②，结论③： 因为AD∥CF且AD=CF,故四边形ACFD是平行四边形，故CA∥ FD.因为FD⊥BE,所以CA⊥BE,又CA⊥DE,BE∩DE=E,BE,DEC 黑白题081