第6章 2 直观图-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§2直观图 子错题本 白题 基础过关 限时：25min 题组1水平放置的平面图形的斜二测画法 4.*用斜二测画法画一个高为10cm的圆柱 1.*人A教材变式(2025·广东东莞高一期 的直观图，若把底面画在x'O'y'平面上，则圆 中)用斜二测画法画水平放置的平面图形的 柱的高应画成 ( 直观图时，下列结论中错误的是 A.平行于z'轴且大小为10cm A.相等的线段在直观图中仍然相等 B.平行于z'轴且大小为5cm B.相等的角在直观图中不一定相等 C.与z'轴成45°且大小为10cm C.平行的线段在直观图中仍然平行 D.与z轴成45且大小为5cm D.互相垂直的线段在直观图中不一定互相 题组3与直观图有关的计算问题 垂直 5.·(2025·山东泰安高一月考)用斜二测画 2.*(2025·江西南昌高一期末)如图，在等 法画水平放置的边长为2的正方形的直观图， 腰梯形ABCD中，AD=BC,E是边AB上的一 得图形的面积是 点，且DE⊥AB.以A为坐标原点，AB所在直线 A.4 B.2√2 为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直 角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直 C.2 n 观图A'B'CD',且E在直观图对应的点为E', 6.*(多选)(2025·湖北武汉高一期中)如 则下列说法中错误的是 ( 图，△A'B'C'是△ABC的斜二测画法的直观 图，A'B'=2,A'C'=B'C'=√5，则在原平面图形 △ABC中，有 A.C'D'=CD B.D'E'∥y轴 C.D'E'=IDE D.A'D'=B'C' B.BC=√/41 题组2空间几何体的直观图 A.AB=2 3.*下列直观图是将正方体模型放置在你的 C.AC=BC D.SAAnC=42 水平视线的左下角而绘制的是 7.(2025·江西萍乡高一期中)如图，矩形 O'A'B'C'是水平放置的平面四边形OABC的 直观图，其中0'A'=10,0'C'=5,则原四边形 OABC的面积与周长的数值之比为 第六章黑白题113 黑题 应用提优 限时：30min 1.*如图，在斜二测画法下，边长为1的正三5.*斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的 角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是 点M(4,4)在直观图中对应的点为M',则M 的坐标为 6.*(2024·江西新余高二月考)平面直角坐 标系xOy中点A位于第一象限，线段OA的长 为5，与x轴所成的夹角为a,且tana=2,在 斜二测画法下其直观图为线段O'A',则线段 O'A'的长度为 7.*(2025·四川甘孜高一期末)如图，梯形 C D O'A'B'C'是水平放置的四边形OABC的直观 2.*(2025·福建三明高一月考)已知某一个 图，已知O'A'∥B'C',0'A'=2,O'B'=B'C'=3. 图形的直观图如图所示，AB·AC=-3,则原图 B 形的面积为 O'A 1359 (1)在下面给定的表格中画出四边形OABC A (不需写作图过程)； A.32 B.62 C.33 D.26 (2)若四边形OABC以OA所在直线为轴，其 3.★(2025·山东潍坊高一月考)如图所示， 余三边旋转一周形成的面围成一个几何 △A'B'C'表示水平放置的△ABC用斜二测画 体，说出该几何体的结构特征 法得到的直观图，A'B在x'轴上，B'C与x轴 垂直，且B'C'=3,则△ABC的边AB上的高为 A.3 B.32 C.6 D.62 C (第3题) (第4题)》 4.*(2024·河南郑州高一期末)如图，在直 角坐标系中，点A(1,0),B(-1,2),C(-1,0), D(0,-2),则四边形ABCD的直观图的面积为 ( A.42 B.32 C.22 D.2 必修第二册·BS黑白题114将四棱台A1B,C,D1-ABCD侧棱延长交于一点P,即在几何体 A,C,D,-ACD中，侧棱延长交于点P,且上下底面平行，所以几何 体A,C1D1-ACD是三棱台，③正确， 4.B解析：据题图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确： 该几何体恰有14个面，B不正确：该几何体恰有24条棱.C正确：该 几何体恰有12个顶点，D正确.故选B 5.B解析：侧面展开图如图所示： .圆柱的底面周长为6cm,∴.AC=3cm.PC= 3 BC....PC=2 36 4(cm).在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2,.AP=√32+42=5(cm). 6.BCD解析：对于A,截面中间是矩形，如果可能的话，那么一定是用 和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并且是从挖去四棱锥的那 部分剖开的，但此时剖面中间应该是一个正方形，因此选项A不可能 是截面； 对于B,当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通 过四棱锥顶点，如图①，此时截面形状如选项B,故B可能是该几何 体的截面： 对于C,当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行 去剖开正方体时，截面位置如图②所示，截面形状就会如选项C,故C 可能是该几何体的截面： 对于D,如图③，按图中截面A,B,C,的位置去剖开正方体，截面就会 如选项D,故D可能是该几何体的截面.故选BCD E B ③ 7.C解析：如图，O为正八棱锥S-ABCDEFGH底面外接圆心，连接 0A.0B,0E,由题意，∠0AB=,∠B=a,则 AB=SMA·c0sa= 3m 8 OA·c08 8 0A cos a H 8.C解析：设两个截面圆的半径分别为r1,2,球心0到截面的距离分 别为d1,d2,球的半径为10cm.由r=36π，得r1=6cm,d1= /102-r=8cm,由mr号=64r,得r2=8cm,d2=/102-r乃=6cm. 如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的 距离为球心与两个截面圆的距离之差，即d,-d,=2cm.如图②所示， 当球的球心在两个平行平面之间时，这两个平面间的距离为球心与 两个截面圆的距离之和，即d,+d2=14cm. d.b d ① ② 9.π(R2-2)解析：题图中的几何体的轴截面如图所示， 必修第二册·BS 0 2R OA=AB=R,所以△AOB是等腰直角三角形 又CD∥OA,则CD=BC.设O1D=x,则CD=R-x.又BC=R-1,故x=l, 所以所求截面面积S=πR2-T2=π(R2-1P). 10.8解析：由S△6=2S0·AB=25S0=45,可得S0=2,故SM= 8=V4(26F=4.令∠8=29且0<0号则m0=0g 1 255,即所以上A5BT由8a)6·5G 4 血LBG=&inSC,而0<∠BsC≤行，所以∠BC=2时，截 面SBC面积有最大值，最大值为8. 11.12解析：因为凸二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个 面共用，所以棱数E=20×3× 2 =30,面数F=20,顶点数V=E- F+2=12.故答案为12. 12.解：(1)因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形 如图①所示，在梯形ACCA'中，分别过A',C'作AC的垂线A'E与 CF,则由AC=2.A=AC=CC=1可知A=PC=弓，从面AE 即斜将为号 Cr③ (2)根据0与O分别是下底面与上底面的中心，以及下底面边长和 上底面边长分别为2和1，可以算出B0=2B"0,2,3假设正三校 3 台A'B'C'-ABC是由正棱锥V-ABC截去正棱锥V-A'B'C'得到的，则 由已知可得VO是棱锥V-ABC的高，VO'是棱锥V-A'B'C的高，O'O 是所求棱台的高.因此△VBO是一个直角三角形，画出这个三角形」 如图②所示，则B'O'是△VBO的中位线.因为棱台的棱长为1，所以 g182,从眉0m丽：2-(2因 此o0=，0=?因此棱台的高为，6 3 §2直观图 白题 基础过关 1.A解析：如图，四边形OABC为正方形. A 由斜二测画法可得其直观图如下： C 0 A 黑白题068 对于A,因为OA=OC,而O'A'≠O'C',故相等的线段在直观图中仍然 相等这种说法错误，A错误；对于B,因为∠OAB=∠ABC,而 ∠O'A'B≠∠A'B'C',故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正 确，B正确：对于C,由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍 然平行，C正确：对于D,因为OA⊥AB,而O'A',A'B不垂直，所以互相 垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确. 2.D解析：如图，在斜二测画法中，与 y x轴重合或平行的线段长度不变，所以 CD'=CD,故A正确：与y轴平行的线 段依然与y销平行，长度为原来的了， A E B'x 故B,C正确：在等腰梯形ABCD中，DE⊥AB,又因为D'E'∥y'轴，所 以D'位于E右上方.又因为CD'=CD,所以A'D'>BC',故D错误 3.A解析：由题意知应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观 图的画法及直观图中虚线的使用，可知选A. 4.A解析：平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长 度都与原来保持一致，所以圆柱的高应画成平行于Σ'轴且大小为 10cm. 四重难点拨 画空间几何体的直观图的技巧： (1)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点建在 图形的对称中心处 (2)要先画出底面的直观图，再画出其余各面 (3)与z轴平行的线段在直观图中应与z'轴平行且长度保持不变. 5.C解析：斜二测画法画水平放置的边长 为2的正方形的直观图如图所示， 根据斜二测画法的原则可知，0'A=2 0C=1,∠C0'A=45°，所以直观图的面积石 为0Ax0'CXsin45°=2x1x2 四方法总结 由直观图还原平面图形： (1)将直观图还原成平面图形的过程是由平面图形到直观图问题的 逆过程，解决这类问题时需要注意将画法步骤中的规则进行逆向转 换，比如：直观图中x'轴与y轴的夹角为45°（或135°），还原为平面 图形时，则需还原成90°，与y'轴平行的线段还原时应为原线段长 的2倍，且保持与y轴平行. (2)因为斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不 变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45° 因此直观图中任何一点距x'轴的距离都为原图形中相应点距x轴距 离的 2si45=2 1 4 6.ABD解析：如图①，在△A'B'C中，作C'D'⊥A'B于点D', 因为A'B'=2,A'C'=B'C=√5，所以A'D'=1,C'D'=√/5-1=2. 又∠C'0'D'=45°，所以0'D'=2,0'A'=1,0'C'=22. 利用斜二测画法将直观图△A'BC还原为原平面图形△ABC,如图② 所示. 由斜二测画法，可得OC=20'C'=4N2,OA=0'A'=1,AB=A'B'=2, 所以AC=V32+T=V3,BC=√329=V④，SAc=2AB·0C=45. y ' D'B'x' 0 ① 7.22解析：如图①，设BC交y'轴于点D',由0'A'=10,0'C'=5, ∠D'0'A'=45°，得D'为B'C的中点，且0'D'=52. 参考答案 ① ② 如图②，在平面直角坐标系内作出原四边形OABC,且四边形OABC 为平行四边形，OA=10, 又点D是BC中点，OD⊥OA,OD=20'D'=10√2，所以AB=OC= /(102)2+52=15, 因此四边形OABC的周长为50.面积为OD·OA=100√2，所以四边形 OABC的面积与周长的数值之比为2∑. 黑题应用提优 1.C解析：C中前者画成斜二测直观图时，底边AB不变，底边AB上的 原高么变为宁后者暂成斜二测直观图时，边4B上的高0C不变。 边AB变为原来的】，这两个三角形不是全等三角形.故选C 2.B解析：因为A店.A元=-3，所以1AB1·1AC1cos135°=-3，可得 1AB·A心1=32，原图形是长为1AB1,宽为1AC1的2倍的长方形， 即IA1B11=IAB1,|AC1I=21AC1,所以原图形的面积为21AB1· |AC1=62. B'C' 3.D解析：如图，作线段CD∥y'轴，交x'轴于点D,则CD= sin 450= 3=3万，所以边AB上的高为2CD=62. 2 y y OXA 45 C DO'A B'x (第3题) (第4题) 4.D解析：依题意可得AC=BC=OD=2,OA=OC=1,AC⊥BC,由平面 图形可得如图所示直观图，则BC'∥O'D',BC'= 2BC=1,A'C= AC=2,0D=0D=1,所以四边形ABCD的直观图的面积S- 5aac+5ame=子x1x2x7) 221x2 2=2故选D. 5.(4,2)解析：在坐标系x'0'y中，过点(4,0)和y轴平行的直线与过 点(0,2)和x'轴平行的直线交点即是点M',所以M'为(4,2). 6.√/2+2解析：如图①，过点A分别作x轴与y轴的平行线，分别交 y轴，x轴于C,B两点，则AB⊥x轴，在Rt△AB0中，OA=√5， m∠A0B=ma=0福2.所以4B=20R义08+48=01，所以得 到OB=1,AB=2,故OC=AB=2. B 0'B'x ① ② 如图②，过A'分别作x轴与y'轴的平行线，分别交y'轴，x轴于C',B 两点，则四边形O'B'A'C为平行四边形，所以O'C'=A'B 黑白题069 由平面直观图的性质知，0B'=0B=1,0C=之0C=1,所以AB'= 1.又因为∠x'0'y'=45°，所以∠0'B'A'=135 在△O'B'A'中，由余弦定理得O'A2=O'B2+A'B2-2O'B'·A'B'· c0s∠0'B'A'=1+1-2c0s135°=2+√2， 所以0A'=/2+√2，故答案为√/2+2 7.解：(1)因为0'A'与x'轴重合，则OA与x轴重合，且OA=0'A'=2: BC与x轴平行，则BC与x轴平行，且BC=BC'=3: 0'B'与y轴重合，则OB与y轴重合，且OB=20'B'=6: 连接AB,OC,即可得四边形OABC,如图①. 4 5■■■■■o5x ① (2)如图②所示，所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱挖 去一个同底等高的圆锥所得的几何体 ③ §3空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1空间图形基本位置关系的认识+ 3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理 白题基础过关 1.B解析：点和面、点和线的关系用∈和表示，线面关系用C和￠表 示，所以答案选B. 2.A解析：如题图所示，两个平面α与B相交于直线m,直线n在平 面α内，直线m和直线n相交于点A,故用符号语言可表达为 anB=m,nCa,m∩n=A. 3,BD解析：根据平面的定义，平面是向四周无限延展的，故无法确定 平面面积，A错误： 由基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面上，那么这条直 线在这个平面内，可得若A∈a,B∈a,A∈a,B∈，则aCa,B正确； 当三点共线时，过此三点的平面有无数个，C错误； 由推论，经过两条平行直线，有且仅有一个平面可得D正确， 4.C解析：自行车的前轮、后轮、脚撑与地面的三个接触，点不在同一条 直线上，它们可以确定唯一一个平面，因此自行车就稳了，其中蕴涵 的道理是不共线三点确定一个平面. 5.7解析：由题意空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，要使 确定的平面最多，则没有任何三点共线，同一平面的四个点一定能两 两连线，最多可连6条线，由三点确定一平面知任意一条线加上第五 个点都会形成一个面，因此有6个面，再加上4点确定的面总共是 7个面. 6.C解析：在空间四边形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，有E 平面ABC,F∈平面ABC,则直线EFC平面ABC, 同理，直线GHC平面ADC,因EF,GH能相交于点P,即PeEF,P∈ GH,因此P∈平面ABC,P∈平面ADC,而平面ABC∩平面ADC=AC. 于是有P∈AC,A不正确，C正确，D不正确：又直线AC与BD没有公 必修第二册·BS 共点，即点P不在直线BD上，B不正确 7.B解析：如图，连接AD1,BC1,BD1,BE.O∈直线AE,AEC平 面ABC1D1,,O∈平面ABCD1.又O∈平面BBD1D,平面 ABC,D1n平面BB,D,D=BD1,∴.Oe直线BD1,D1,0,B三点共线 ,△ABO△ED1O,.OB:OD1=AB:ED,=3:1,∴.OB=3OD1.故 选B. D (第7题) (第9题) 8.A解析：由直线AB与直线CD相交，得点A,B,C,D确定一个平面」 故充分性成立：当点A,B.C,D共面时，直线AB与直线CD有可能平 行，还有可能相交，故必要性不成立 9.既不充分也不必要解析：如图，在正方体ABCD-A1B,C,D1中， AA1,AB,AD三条直线两两相交，但AA1,AB,AD不共面；AB,AD,BC 都在平面ABCD中，但AD,BC不相交，所以空间中有三条直线a, b,c,则“a,b,c两两相交”是“a,b,c共面”的既不充分也不必要条件 10.BD解析：对于选项A:如果一个角的两边与另一个角的两边分别 平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误； 对于选项B:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么 这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确： 对于选项C:如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两 个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不 互补.反例：如图，在正方体ABCD-AB,C,D1中，∠AD,C1与 ∠A,BC满足AD1上A,B,CD⊥CB,但是∠AD,C,=2, ∠ABC=3,二者既不相等也不互补，故选项C错误： 对于选项D:如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直 线互相平行，故选项D正确.故选BD. 11.D解析：如图①，∠AOB=∠A,01B1,OA∥O1A1,OA与O1A1的方 向相同，但是OB与OB,不平行. 0 B ① 如图②，∠A0B=∠A101B1,0A∥01A1,0A与0，A1的方向相同，此 时OB∥O1B,且方向相同，故OB与O1B,不一定平行，故D正确 0 B 0 -A ② 12.60°或120°解析：空间等角定理：空间中，如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.因为空间中角α 的两边分别平行于角B的两边，所以与B相等或互补.因为α= 60°.所以B=60°或120°. 黑白题070